高中解三角形与数列求和训练题目及答案

2018年07月18日-高中数学的高中数学组卷解三角与数列第Ⅰ卷（选择题）        &a mp;nbsp;       & nbsp;       &nbs p;        & amp;nbsp;       &am p;nbsp;       &n bsp;       &nbsp ;        &a mp;nbsp;一．选择题（共9小题）1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．4 D．23．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（）A． B．C．D．4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（）A．B．C．或D．或5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺．A．5.45 B．4.55 C．4.2 D．5.86．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）A． B．或C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．48．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b，则角A的大小为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共7小题）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c﹣b=1，△ABC 的外接圆半径为．（1）求角A的值；（2）求△ABC的面积．13．已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=2（n+1）a n，设b n=．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．14．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=2+S n，（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n）2，求数列{}的前n项和T n15．已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=6，S11=132（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．2018年07月18日-高中数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．4 D．2【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合B的范围可求B的值，进而可求A，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：由正弦定理，又c＞b，且B∈（0，π），所以，所以，所以．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（）A． B．C．D．【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得tanA=﹣1，进而可求A，由正弦定理可得sinC的值，进而可求C的值．【解答】解：∵b=a（cosC﹣sinC），∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，可得：sinA+cosA=0，∴tanA=﹣1，由A为三角形内角，可得A=，∵a=2，c=，∴由正弦定理可得：sinC===，∴由c＜a，可得C=．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（）A．B．C．或D．或【分析】由余弦定理化简条件得2ac•cosB•tanB=ac，再根据同角三角函数的基本关系得sinB=，从而求得角B的值．【解答】解：∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a2+c2﹣b2）tanB=ac，∴2ac•cosB•tanB=ac，∴sinB=，B=或B=，故选：D．【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，以及根据三角函数值及角的范围求角的大小．5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺．A．5.45 B．4.55 C．4.2 D．5.8【分析】由题意可得AC+AB=10（尺），BC=3（尺），运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．【解答】解：如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺），AB2﹣AC2=BC2=9，所以（AB+AC）（AB﹣AC）=9，解得AB﹣AC=0.9，因此，解得，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．【点评】本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）A． B．或C．D．【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可．【解答】解：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，a＜b则，A＜B，A+B＜π，，sinA==，所以：A=．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．4【分析】先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值．【解答】解：△ABC中，由bsinA﹣a•cosB=0，利用正弦定理得sinBsinA﹣sinAcosB=0，∴tanB=，故B=．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac，即b2=（a+c）2﹣3ac，又b2=ac，所以4b2=（a+c）2，求得=2，故选：C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b，则角A的大小为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．故选：C．【点评】本题考查了三角恒等变形，考查了转化思想，属于中档题．9．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．【解答】解：根据余弦定理得cosB===B∈（0，180°）∴B=60°故选：C．【点评】本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，解题过程中要注意角的范围，属于基础题．二．解答题（共7小题）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则：，整理得：，由于：b2+c2﹣a2=2bccosA，则：2bccosA=，即：a=2cosA．解：（2）由于：A=，所以：．由正弦定理得：，解得：b=1．C=，所以：．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用．11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．【解答】解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB．则：2bsinAcosA=asinB，由于：sinAsinB≠0，则：cosA=，由于：0＜A＜π，所以：A=．（2）利用余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，由于：a=2，所以：4=b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc=4．故：b2+c2=8，所以：（b+c）2=8+2•4=16，则：b+c=4．所以：三角形的周长为2+4=6．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c﹣b=1，△ABC 的外接圆半径为．（1）求角A的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理可得：，即解得．（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得bc即可求面积【解答】解：（1）由正弦定理可得：，即，解得．cosA=，A=120°或600；（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，⇒21=b2+c2±bc，又c﹣b=1，解得bc=20或，∴△ABC的面积S==5或【点评】本题考查了三角形的内角和定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．13．已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=2（n+1）a n，设b n=．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1=1，na n+1=2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1=1，b2=2，b3=4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=2+S n，（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n）2，求数列{}的前n项和T n【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，（Ⅱ）根据对数的运算性质，以及裂项求和，即可求出T n．【解答】解：（Ⅰ）a n=2+S n，（n∈N*），①+1当n=1时，a2=2+S1，即a2=4，当n≥2时，a n=2+S n﹣1，②，﹣a n=S n﹣S n﹣1=a n，由①﹣②可得a n+1=2a n，即a n+1∴a n=a2×2n﹣2=2n，n≥2，当n=1时，a1=21=2，∴a n=2n，（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=log2（a n）2=2n，∴==（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力，属于中档题．15．已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用已知条件列出方程求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式．（2）求出数列的通项公式，然后利用拆项法求解数列的和即可．+b n=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，【解答】解：（1）因为a n+1因为数列{a n}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=6，S11=132（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=6，S11=132，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由S11=132得11a6=132，即a6=12，∴，解得a1=2，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n，即a n=2n，（2）由（1）知S n==n（n+1），∴==﹣∴T n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于中档题．。