空间向量综合测试(含答案)

空间向量综合测试

一、选择题：本题共12小题，每小题5分

1．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，则线段AB 的中点坐标和|AB →

|是( )

A.⎝⎛⎭⎫2，1，52，17

B.⎝⎛⎭⎫2，－1，52，17

C.⎝⎛⎭⎫2，1，－52，17

D.⎝⎛⎭⎫2，－1，－52，17

2．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c

3．平面α的法向量u ＝(1，2，－1)，平面β的法向量v ＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D.不存在

4．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5，2)，CD →

＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →

的坐标为( )

A ．(2，3，3)

B ．(－2，－3，－3)

C ．(5，－2，1) D.(－5，2，－1) 5．已知四面体ABC

D 的所有棱长都是2，点

E ，

F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →

＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3 D.－ 3

6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则与直线CE 垂直的直线是( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D.A 1A

7．已知a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ，y 的值为( )

A ．x ＝－13，y ＝8

B ．x ＝－13，y ＝5

C ．x ＝7，y ＝5 D.x ＝7，y ＝8 8．已知棱长为1的正方体ABC

D -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1 D.2

9．已知直线l 的方向向量为n ＝(1，0，2)，点A (0，1，1)在直线l 上，则点P (1，2，2)到直线l 的距离为( )

A.

305 B.30 C.30

10

D.230 10．在四棱锥P -ABCD 中，AB →＝(4，－2，3)，AD →＝(－4，1，0)，AP →＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h ＝( )

A ．1

B ．2

C ．13 D.26

11.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC

→

＋BD →，则|BP →

|2的值为( )

A.32 B ．3 C.74 D.94

12．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足：A 1P →＝λA 1B 1→

，则直线PN 与平面ABC 所成角θ取最大值时λ的值为( )

A.12

B.22

C.32

D.255

一、选择题：本题共12小题，每小题5分

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________．

14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB →

与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．

15．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值范围是__________．

16．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)如图所示，在四棱锥M -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的

长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →

，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →

，并求BN 的长．

18．(12分)四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，M 、N 分别是PC 、AB 的中点，求证：MN ⊥平面PCD .

19．(12分)如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD

折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)若点F 为BE 的中点，求直线AF 与平面ADE 所成角的正弦值．

20．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG ＝1

3GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直

线GE 与PC 所成角的余弦值；(2)若F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PF

FC

的值．

21．(12分)在△A ′BC 中，A ′B ＝4，A ′C ＝42，∠BA ′C ＝45°，以A ′C 的中线BD 为折痕，将△A ′BD 沿BD 折起，构成二面角A -BD -C ，在平面BCD 内作CE ⊥CD ，且CE ＝2，连接DE ，AE ，AC ，如图所示．

(1)求证：CE ∥平面ABD ；(2)若二面角A -BD -C 的大小为90°，求二面角B -AC -E 的余弦值．

22．(12分)如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12

CD ＝1，PD ＝ 2.

(1)若M 为P A 的中点，求证：AC ∥平面MDE ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；

(3)在线段PC 上是否存在一点Q (除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为π3

？