2014全国大学生数学建模比赛-创意平板折叠桌

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌

摘要

折叠桌更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。首先，为了更好地描述折叠桌的动态变化过程，我们分别建立了折叠桌的平面状态模型和立体状态模型。通过解析折叠桌从平面状态模型到立体状态模型的动态变化，我们得到了L

区域的木条边缘端点的坐标解析式为x D z x Z x x D x X y Y O O +⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧

-=--==)600()(600，并通过Matlab 的曲线拟

合得到具体的三维图形。

其次，借助折叠桌的平面状态模型和立体状态模型，我们通过折叠桌的结构稳定分

析和结构受力分析，求出了最优的受力结构的表达式。这些表达式满足对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，都能讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

最后，我们通过流程图给出了软件设计的过程，并画出了自己设计的创意平板折叠桌的9张动态变化过程的示意图。

关键词： 曲线拟合 结构 边缘线

一、问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：

1. 根据题目给定的长方形平板尺寸，试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设

（1）不存在测量上的误差；

（2）沿木条有空槽以保证滑动的自由度；

（3）能够将实际的构件抽象为线段以忽略构件的宽度和体积的大小；

（4）模型一中所有的杆件的材料不影响计算结果，且其受力均匀；

（5）忽略木条与木条之间的空隙。

三、符号说明

四、问题分析

在问题一中，根据题目所给的资料和动画视频，我们可以知道折叠桌的初始状态是一块可进行折叠的长方形木板。木条通过铰链旋转，改变自身的形体结构，从而使之变成一台成形的桌子。于是，我们将整个过程分解为一个初状态，一个变化过程，一个末状态。根据题目所给的尺寸，分别建立模型解析初、末状态时的折叠桌，从中可得出各构件的尺寸大小和所处的空间位置以及其他的设计参数。

在问题二中，我们通过对问题一的解决，可以明晰地知道桌子的设计原理，从中可总结模型求解所得的结果，之后可以得出折叠桌设计的一般规律。从而从特殊到一般，得出不同尺寸大小桌子的设计参数。

在问题三中，由于软件的设计，原理上是运算程序的设计。即输入决定桌子外形的参数，软件通过一系列的运算，得出桌子所有部件的设计参数。因此我们先将软件的设计分为前端、中端和后端三部分。前端是数据输入端，将客户对桌子的要求转化为各个输入参数；中端是运算的核心，是将输入参数代入运算程序中运行，并得出各构件的设计参数；后端是设计结果的输出。

五、模型建立与求解

5.1平面状态模型建立与求解

5.1.1模型建立

由题意我们可知，折叠桌为一个有着动态变化的物体，于是我们将折叠桌分解成对三个状态下的求解。

首先，我们对折叠桌的初始状态进行了分析，得到如下的示意图（如图5-1），从中可以看出整一个桌面及两侧桌脚均由20根木条拼接而成，桌面圆的直径为d=500mm。

将整一个桌子分为三部分，分别记为L、M、R。将各木条从下往上按1~20排号。L部分的为L1~L20；M部分的为M1~M20；R部分的为R1~R20。L和R为相互对称的部分。

图5-1

忽略木的的宽度和体积，将木条抽象为与之等长的线段，其所在位置穿过木条的几何截面。

将图5-1放置于坐标系中进行分析。以桌面的圆心为坐标原点，木条的方向平行于x方向，建立直角坐标系。如图5-2所示：

图5-2

通过以上的假设和坐标系的建立，可以得到序号为n的木条中心线所在的位置的y 坐标值为：

-

-

=

⨯

25-

y

n

=n

5.

262

5.

(

25

12

10

)

而桌面上各木条的端点均在一个圆周上，于是可以通过木条端点的坐标值来求出木条的长度。根据圆的几何特性，可得：