2014全国大学生数学建模比赛-创意平板折叠桌

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）
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创意平板折叠桌
摘要
折叠桌更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。

首先，为了更好地描述折叠桌的动态变化过程，我们分别建立了折叠桌的平面状态模型和立体状态模型。

通过解析折叠桌从平面状态模型到立体状态模型的动态变化，我们得到了L
区域的木条边缘端点的坐标解析式为x D z x Z x x D x X y Y O O +⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=--==)600()(600，并通过Matlab 的曲线拟
合得到具体的三维图形。

其次，借助折叠桌的平面状态模型和立体状态模型，我们通过折叠桌的结构稳定分
析和结构受力分析，求出了最优的受力结构的表达式。

这些表达式满足对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，都能讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

最后，我们通过流程图给出了软件设计的过程，并画出了自己设计的创意平板折叠桌的9张动态变化过程的示意图。

关键词： 曲线拟合 结构 边缘线
一、问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：
1. 根据题目给定的长方形平板尺寸，试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设
（1）不存在测量上的误差；
（2）沿木条有空槽以保证滑动的自由度；
（3）能够将实际的构件抽象为线段以忽略构件的宽度和体积的大小；
（4）模型一中所有的杆件的材料不影响计算结果，且其受力均匀；
（5）忽略木条与木条之间的空隙。

三、符号说明
四、问题分析
在问题一中，根据题目所给的资料和动画视频，我们可以知道折叠桌的初始状态是一块可进行折叠的长方形木板。

木条通过铰链旋转，改变自身的形体结构，从而使之变成一台成形的桌子。

于是，我们将整个过程分解为一个初状态，一个变化过程，一个末状态。

根据题目所给的尺寸，分别建立模型解析初、末状态时的折叠桌，从中可得出各构件的尺寸大小和所处的空间位置以及其他的设计参数。

在问题二中，我们通过对问题一的解决，可以明晰地知道桌子的设计原理，从中可总结模型求解所得的结果，之后可以得出折叠桌设计的一般规律。

从而从特殊到一般，得出不同尺寸大小桌子的设计参数。

在问题三中，由于软件的设计，原理上是运算程序的设计。

即输入决定桌子外形的参数，软件通过一系列的运算，得出桌子所有部件的设计参数。

因此我们先将软件的设计分为前端、中端和后端三部分。

前端是数据输入端，将客户对桌子的要求转化为各个输入参数；中端是运算的核心，是将输入参数代入运算程序中运行，并得出各构件的设计参数；后端是设计结果的输出。

五、模型建立与求解
5.1平面状态模型建立与求解
5.1.1模型建立
由题意我们可知，折叠桌为一个有着动态变化的物体，于是我们将折叠桌分解成对三个状态下的求解。

首先，我们对折叠桌的初始状态进行了分析，得到如下的示意图（如图5-1），从中可以看出整一个桌面及两侧桌脚均由20根木条拼接而成，桌面圆的直径为d=500mm。

将整一个桌子分为三部分，分别记为L、M、R。

将各木条从下往上按1~20排号。

L部分的为L1~L20；M部分的为M1~M20；R部分的为R1~R20。

L和R为相互对称的部分。

图5-1
忽略木的的宽度和体积，将木条抽象为与之等长的线段，其所在位置穿过木条的几何截面。

将图5-1放置于坐标系中进行分析。

以桌面的圆心为坐标原点，木条的方向平行于x方向，建立直角坐标系。

如图5-2所示：
图5-2
通过以上的假设和坐标系的建立，可以得到序号为n的木条中心线所在的位置的y 坐标值为：
-
-
=
⨯
25-
y
n
=n
5.
262
5.
(
25
12
10
)
而桌面上各木条的端点均在一个圆周上，于是可以通过木条端点的坐标值来求出木条的长度。

根据圆的几何特性，可得：
4
2
2
2
d y x =+
换算得：
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≤--=>-=-
+0;40;422
22
x y d x x y d x 代入木条的序号，求出桌面上各木条端点的坐标值为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤--=>-=-+0;40;42
2
22
x y d x x y d x i i i i ， 其中]20,1[∈i ○
1求L 部分木条长度l : 由于L 部分各木条左端x 的坐标值均为-600，右端x 的坐标值为-i X 故序号为i 的木条i l 的长度为：
600)600(+=--=--i i Li x x l
○
2求M 部分木条长度l : 由于M 部分各木条左端x 的坐标值均为-i X ，右端的x 坐标值为+i X 故序号为i 的木
条Mi 的长度为：
-+-=i i Mi x x l
○
3求R 部分木条长度l ： 由于R 部分各木条左端的x 坐标值均为+i X ，右端的x 坐标值为600，故序号为i 的木条i l 的长度为
+-=i Ri x l 600
5.1.2模型求解
根据5.1.1中建立得出的各部分的木条长度的公式，代入10,3,2,1，
=n ，计算得出折叠桌各部件的长度（mm )如表5-1-所示。

用C 语言程序编程来计算折叠桌各部分的长度，输入源程序（见附录1）得出输出结果如图5-3所示。

用Matlab 命令来计算折叠桌各部分的长度。

输入源命令得到输出结果如图5-4所示： 由上经对比可知，用CAD 画图计算得到折叠桌各部分的长度与用C 语言编写程序以及用Matlab 命令输出的结果是一样的，由此可见这个模型的精确度比较高。

表5-1
序号L M R 序号L M R
1 521.94 156.1
2 521.94 11 350.32 499.37 350.32
2 468.31 263.39 468.31 12 352.8
3 494.3
4 352.83
3 434.6
4 330.72 434.64 13 357.94 484.12 357.94
4 410.0
5 379.97 410.05 14 365.82 468.37 365.82
5 391.21 417.58 391.21 15 376.75 446.51 376.75
6 376.75 446.51 376.75 16 391.21 417.58 391.21
7 365.82 468.37 365.82 17 410.05 379.97 410.05
8 357.94 484.12 357.94 18 434.64 330.72 434.64
9 352.83 494.34 352.83 19 468.31 263.39 468.31
10 350.32 499.37 350.32 20 521.94 156.12 521.94
图5-3
图5-4
5.2立体状态模型建立与求解
5.2.1模型建立
折叠桌折叠成形后应视为一个三维实体，而原来构成模型的二维坐标系已无法满足要求，木条的宽度和厚也不能忽略不计。

故把木条当成实体构件，在三维坐标系下求解。

图5-5
为了方便起见，在建立模型时将桌子倒立放置，以二维模型为基础，建立三维坐标系，将XOY 平面提至桌子的桌面。

由题目所给的信息可知，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，桌子的高度H 为mm H 530=。

设桌子的厚度δ为mm 30=δ。

构造出的木桌大致折叠情况如下图5-5所示：
设最外侧木条与地面所成的锐角为α，则有：
1
sin l H δ
α-=
1sin r l H c a δ
α-=
由于钢条是垂直于XOZ 平面的，木条折叠所在的平面平行于XOZ 平面，故可以暂不考虑y 的取值。

将分别靠近x 轴正负方向的两根钢条分别记做-+Q Q ,，得到式子如下：
2
)
(cot δα--
=--H x x Q 2
)
(δ+=
-H z Q 2
)
(cot δα--
=++H x x Q 2)
(δ+=
+H z Q
上式表现为如图5-6中右图中的Q 点，点Q 与钢条实际的中心仍有一定的距离。

在Q 点的基础上考虑木条厚度的影响，计算出钢条中心的真正的坐标。

图5-6
由木条在钢条铰接点的放大图（即图5-6中的左图）中，可以清晰地看出：
2
sin δ
α•
-=--Q O x x 2
cos δ
α•
-=--Q O z z 2
sin δ
α•+=++Q O x x 2
cos δ
α•
-=++Q O z z
如下图5-7所示，先根据已求出的桌面下表面木条端点的坐标与钢条中心的坐标，求出两点的坐标，再用勾股定理求出钢条中心在木条方向上距离铰接端点的距离。

图5-7
钢条中心距离木条端点的距离： L 部分：
22225.0)()(δδ--+-=----O i O z x x D
R 部分：
22225.0)()(δδ--+-=++++O i O z x x D
为求解各木条的开槽长度及开槽所在的位置，须求出钢条在各木条从初状态变化到末状态钢条在木条上走过的路径。

由于运动的相对性，为了研究方便，在研究某根木条在折叠的过程中钢条在木条上走过的路程，将木条看作是不动的。

其他构件以其为参照作相应的运动。

因此在表示木条上的开槽范围时可以沿用原先的平面坐标系，如下图5-8所示：
图5-8
沿用前面建立的平面坐标系，在此研究过程中，将钢条的中心记作P ，由于前面的论述钢条的中心在Z 方向的坐标不变，故可以在平面坐标系讨论，且可以暂不考虑方向Z 的坐标值，于是我们可以求得：
（1）在桌子未发生折叠时，L 和M 两部分中，钢条在各木条的坐标值是一致的，得：
2
1
1M L x p +-
=-
2
1
1R M x p +-
=+
（2）桌子折叠后，钢条所在各木条的坐标值为：
----=D x x i ip '
++++=D x x i ip '
从而我们可以得到：
（1）L 部分的开槽长度和开槽位置范围为： 开槽长度为：---=∆pi p i
x x ，范围：],[--p ip x x
（2）M 部分的开槽长度和开槽位置范围为：
开槽长度为：++-=∆p ip i x x ， 范围：],[++ip p x x
我们根据以上公式利用MATLAB 带入数据得出每个开槽长度，MATLAB 输出结果如下图5-9所示：
图5-9
5.3动态变化模型建立与求解
在求解折叠桌设计参数的模型中，木条的厚度和尺寸对设计参数有很大的影响，如果忽略木条实际尺寸的影响。

仅仅只是把木条当作线段来看待，则有可能会导致按求解得出的设计参数制作出来的桌子无法使用。

与求解折叠桌的设计参数不同，桌脚的边缘曲线只是描述其大概的形状，忽略木条的厚度和宽度可以大大减少问题的复杂程度，其厚度和宽度造成的影响可以忽略不计。

在5.2模型的基础上，忽略木条实际尺寸的影响，只将木条当做线段处理。

由于左右两边是对称的结构，两条桌脚边缘线的形状是一致的,所以只考虑右侧的情况。

又由于，
22
4
y d x -=
所以可以得知：
（1）对应的木条的长度为：
x l -=600 ..............................① （2）钢条中心所在的位置为：
2)
(cot δα--=H x x O ....................②
2
)
(δ+=H z O . ............................③
（3）钢条中心距离铰接点的距离为：
22)(z x x D O +-= .......................④
设木条边缘端点的坐标为（X ，Y ，Z ），得：
D
l
z Z x x x X O O ==-- .........................⑤ 联立以上 ~.⑤式，解得：
x D z x Z x x D x X y Y O O +⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
-=--==)600()(600
5.3.2模型求解
根据坐标利用matlab 画出其三维图，如图5-10(见附录4)：
接着我们再把X 轴投放Y 轴方向得出一个关于X Y -的二维图象；我们利用曲线拟合来求得关于X Y -的关系式。

经过我们不断拟合最终确定最高次为6次，次数再高的系数也太小，可以忽略不计，之后得出图5-11：
图5-10
图5-11
根据上述我们所得，则可以获得Y-X的等式为：
815.1191767267.248788.1216941.29.0707.4267686.1130912.7234
56+⨯-+⨯--⨯--⨯--⨯-+⨯-=y e y e y e y e y e y e X
同理，我们利用曲线拟合来求得关于Y-Z 的关系式。

为保持一致，我们也取最高次为6次，得出如下图5-12（见附录5）：
图5-12
根据上述描述，则我们获得的Y-Z 的等式为：
3082
.3251685235.53.06000.2206670.28.09592.1251619.2139405.12
3456+-+⨯-+⨯--⨯-+⨯-+⨯--=y e y e y e
y e y e y e Z
5.4任意尺寸模型建立与求解
5.4.1结构稳定分析
折叠成形的桌子，需要承担来自桌面的荷载。

而桌子自身的设计需保证在桌面存在荷载的情况下，桌子仍可以保持结构形状，不会重展开成平板状态。

对桌子折叠过程进行分析，我们知道桌子折叠的过程中，各构件位置会进行相对变化，包括充当桌脚的各木条围绕钢条旋转一定的角度以及充当桌脚和桌面的木条围绕连接在木条端点处的铰链进行一定角度的旋转都会改变。

然而若要桌子保持稳定，则要求要钢条的连接处各木条之间有足够的摩擦力。

当对
桌面有荷载作用时，由钢条连接处的各木条接触面之间有相对滑动趋势，当物体处于要滑动而未滑动的临界状态时，此时所受的摩擦力为最大静摩擦力，即：
N s F f F =max
式中m ax F 为最大静摩擦力，FN 为接触面的法向约束力（也称为法向正压力）；fs 称作静滑动摩擦因数。

由上式可知木条间的最大静摩擦力是由钢条的预紧力决定的，因此可以通过调节钢条的松紧程度来调整摩控力，使之满足使用要求。

而且钢条的预紧力应在合适的范围内，预紧力太小，则桌子在承担荷载时无法保持自身结构的稳定；预紧力太大，则完成折叠所需的旋转转矩太大，使一般人无法完成折叠过程。

而我们也可采用在钢条上设置方便使的紧力旋钮的方式。

在折叠的过程中将其调松，折叠完毕后将其调紧。

5.4.2结构受力分析
桌子在实际的使用过程中，荷载通常是加载在桌子的桌面的，把加载在桌面的荷载简化成均匀分布在桌面的均匀荷载。

由于折叠成形的是对称的结构，各作用杆对桌面产生的力均可以在对称的位置找到一个大小相同，方向相反的力与之相抵消。

以整一个桌子为研究对象，可以把桌面上的均匀荷载产生的合力当为0，均匀荷载的作用可以用一个合力F 来代替（图5-13）。

图5-13
由于力的矢量特点，利用平行四方形原则，对力的作用进行分析。

分析结果显示，桌子最外侧木条与地面的夹角越接近直角，桌子所来承受的荷载就越大。

木条所能承受的力为：
A F l σ=
材料的许可应力σ是由材料本身决定，木条采用相同的尺寸，横截面积A 是也固定不变的，因此木条所能承受的力也是不变的。

桌面能承受的荷载的能力为：
αsin 4l F F =
当2
π
α=
时，αsin 取最大值1。

此时桌子承受荷载的能力最大。

5.4.3最优的受力结构
在实际的情况下，桌承受的荷载不可能是对称的均匀荷载。

若最外侧的木条呈直角，
则会导致桌子桌脚所围成的面积较小；当桌子承受侧向力时，则可能会导致桌子整体侧翻。

为避免这样的情况出现，可以通过减小最外侧木条与地面的夹角，扩大桌脚围成图形的面积来增加桌子的稳定性。

参考一般的桌子，可知当桌子与地面接触形成的支撑面的面积与桌面的面积最接近的时候，即取支撑面的边长等于桌面直径时，桌子的稳定性是最好的，此时也是用材最少的。

对于已经给定的折叠桌高度H 和圆形桌面直径d 的折叠桌，假设它的厚度为δ（在这里，所有单位都用毫米），并它有由20根木条组成的两组桌腿。

则满足：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒--=--=--=--=d H d H d d H l d H l d H M M )39240(80arctan )39240(8040
392
222tan 11δαδδδδα
此时有：
2
22
1
22121403920)(2)(2)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=d H l d H l d H l M M L δδδ 此时平板的长为：
2039403920)(222
211d
d H l l l M L +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=+=δ 为了加工方便，桌子的开槽长度应尽量短。

当钢筋刚好穿过11,10L L 的端点时，桌子的开槽长度是最短的，此时木条20,19,,2,1L L L L 刚好互相平行。

如图5-14，N 点就是钢筋在木条1L 上的位置，则有：
d l d d l l l L MN 40
399
240422
210-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--==
设开槽长度为K l ，则有αtan 10⨯=L K l l 。

图5-14
当mm d mm mm H 500,30,530===δ时，算得：
5.71500
)39240()
30530(80arctan
≈⨯--=α
当mm d mm H 800,700==时，设这张平板的厚度为mm δ，此时平板的长为：
39
40)3920(400)700(28002039800403920)700(22039403920)(2222
2
2
2
+-⨯+-=⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=δδδd d H l
钢筋在1L 上位置离远点距离为：
399
203920)3920(400)700(800
403993920)3920(400)700(4039922222-+-⨯+-=⨯-+-⨯+-=-=δδd l l MN
开槽长度为：
39
20400)700(3920)3920(400)700(800)39240(700803920)3920(400)700()39240(80
)403992(tan 222210--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+-=
⨯--⨯
⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+-=--⨯-=⨯=δδδ
δδ
αd
H d l l l L K
5.5软件设计模型建立与求解
5.5.1软件设计步骤：
（1）输入桌面边缘的形状函数 （2）由（1）确定出桌面的宽度 （3）由（1）（2）计算最外侧木条与地面所成的夹角形成最佳受力分析 （4）输入桌子的高度 （5）由（3）、（4）计算出L1和R1的长度 （6）输入桌脚边缘线的函数
（7）由（4）（5）（6）计算得到其他木条的长度 （8）由（5）和（7）确定钢条折叠前后的位置
（9）由（5）-（8）计算出各木条的开槽位置和大小
其流程图如下：
5.5.2折叠桌的设计：
我们根据我们以上的模型以及我们的步骤设计了一款椭圆形桌面的折叠桌，我们的动态图如下：
桌面 平面
输入桌面边缘的形状函数 确定桌面的宽度
计算最外侧木条与地面所成的夹角形成最佳受力分
析 输入桌子的高度
计算出L1和R1的长度
输入桌脚边缘线的函数计算出其他木条的长度
确定钢条折叠前后的位置 得出各木条的开
槽位置和大小
1 2 3 4
5 6 7 8
9
六、模型的优缺点分析
模型优点：
○1通过不断优化，确定最优设计加工参数，使模型中产品稳固性更强，易中应用于现实生活。

○2对于问题三，根据客户的设想并结合已确定的最优设计加工参数，建立出满足切实可行的模型，可尽量满足客户的要求。

○3考虑了在实际的情况下，桌承受的荷载不可能是对称的均匀荷载，使模型更具有现实性，可行度也大大提高。

模型缺点：
○1对于问题一，没有考虑到平板的材料、木条之间的空隙，存在误差。

○2模型虽然把各种加工参数最优化，但是在实际生活中物体放在折叠桌时可能存在的不确定的冲击力，该模型考虑的情况过于理想化。

七、模型的推广
该模型从多方面的考虑使其具有强烈的可信度，适用性也相当不错，它的建立无疑能解决许多动态变化的问题，例如运用到军事，生物，家具等各个方面，为人类的发展作出卓越的贡献。

参考文献
[1]姜启源，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011.
[2]王敬赓，解析几何，北京：高等教育出版社，2010.
[3]迟毅林，计算机辅助设计技术基础（第1版），重庆：重庆大学出版社，2000.
[4]刘洁，建筑力学与结构，北京：中国水利水电出版社，2009.
[5]刘鸿文，材料力学Ⅰ(第四版)，北京：高等教育出版社，2004.
[6]王强，建筑工程制图与识图，北京：机械工业出版社，2010.
[7]杨文茂，空间解析几何，武汉：武汉大学出版社，2004.
[8]张德丰，MATLAB语言高级编程，北京：机械工业出版社（第1版），2010.
附录
附录1（C与C++程序设计学习与实验系统 2010.4）：#include <stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double a;
double x[20]={0};
double y[20]={0};
int i;
for(i=1;i<=20;i++)
{
y[i]=25*i-262.5;//求Yi坐标
a=62500-y[i]*y[i];
x[i]=sqrt(a);//求X的坐标
printf("L%d=%0.4f M%d=%0.4f
R%d=%0.4f\n",i,600-x[i],i,2*x[i],i,600-x[i]);
}//600-x[i]求的是L的长度，x是木条x坐标2*x就是M的长度，L长度等于R长度
while(1);
return 0;
}
附录2（MATLAB R2014a）：
y＝25*i-262.5;
x1=(62500-y.^2).^0.5;
x2=-(62500-y.^2).^0.5;
L=x2+600;
M=x1-x2;
R=600-x1;
附录3（MATLAB R2014a）：
A=[x; y; z1]; %桌边坐标
xz=sqrt(H^2-50^2)/2+x(1)
x2=xz*ones(size(y));
z2=zz*ones(size(y));
B=[x2; y; z2]; %折叠后开槽底部坐标
zx=hL-H/2;
x3=zx*ones(size(y));
E=[x3; y; z1]; %折叠前开槽顶部坐标
C=zeros(size(x));
D=zeros(size(x));
for i=1:20
C(i)=sqrt((A(1,i)-B(1,i))^2+(A(2,i)-B(2,i))^2+(A(3,i)-B(3,i))^2); %折叠后开槽底部到桌面的长度
D(i)=sqrt((A(1,i)-E(1,i))^2+(A(2,i)-E(2,i))^2+(A(3,i)-E(3,i))^2); %开槽顶部到桌面的长度F(i)=C(i)-D(i); %开槽的长度
End
附录4（MATLAB R2014a）：
%导入末端坐标数据XYZ
plot3(X,Y,Z);
title('桌脚边缘线三维图')
附录5（MATLAB R2014a）：A=polyfit(Y,X,6);
Bxi=polyval(A,Y);
plot(Y,X,'r',Y,Bxi,'b')
title('Y-X拟合图像')
附录6（MATLAB R2014a）：B=polyfit(Y,Z,6);
Bzi=polyval(B,Y);
plot(Y,Z,'r',Y,Bzi,'b')
title('Y-Z拟合图像'。