柯西不等式2
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(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 a3b3 )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
三维形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3是实数，则 (a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 a3b3 )
1 14
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
例4 已知a＋b＋c＋d＝6，且 a2＋b2＋c2＋d 2＝12，求a＋b＋c 的取值范围. [3，6]
练习：
P41
1，2, 3，4，5，6
2
例1 已知a1，a2，…，an都是实数， 求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
例2 已知a，b，c，d是不全相等
的正数，证明：
a2＋b2＋c2＋d 2＞ab＋bc＋cd＋da.
例3 已知x＋2y＋3z＝1，求 x2＋y2＋z2的最小值.
柯西不等式（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
探究：
从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可以得到 二维形式的柯西不等式： (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2 2
你能类比得到三维形式的柯西不等式吗？
若α ，β 为空间向量，设α ＝(a1， a2，a3)，β ＝(b1，b2，b3)，由 |α·β|≤|α ||β |可得不等式:
如何用数学归纳法证明柯西不等式？
将二维三角不等式推广，则一般形 式的三角不等式是什么？如何用柯西不 等式证明？
x x x y y y
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2
2 n
( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
2 1 2 2 2 n 2
2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b b b )
2 1 2 2 2 n
分析上述证明过程，一般形式的 柯西不等式取等号的条件是什么？
an a1 a2 当且仅当 或b i＝ 0 b1 b2 bn
(i＝1，2，…，n) 时取等号.
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi时， 等号成立.
探究： 由二维形式与三维形式的柯西不等式 你能猜想一般形式的柯西不等式吗？
一般形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , an , b1 , b2 , b3 bn是实数，则 (a a an )(b b b )
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 n
(a1b1 a2b2 anbn ) 时，等号成立.
2
当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi
上述不等式可抽象为AC≥B2， 联想到判别式，如何构造二次函数 证明上述猜想？
f ( x) (a a a ) x
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
三维形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3是实数，则 (a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 a3b3 )
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小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
例4 已知a＋b＋c＋d＝6，且 a2＋b2＋c2＋d 2＝12，求a＋b＋c 的取值范围. [3，6]
练习：
P41
1，2, 3，4，5，6
2
例1 已知a1，a2，…，an都是实数， 求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
例2 已知a，b，c，d是不全相等
的正数，证明：
a2＋b2＋c2＋d 2＞ab＋bc＋cd＋da.
例3 已知x＋2y＋3z＝1，求 x2＋y2＋z2的最小值.
柯西不等式（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
探究：
从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可以得到 二维形式的柯西不等式： (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2 2
你能类比得到三维形式的柯西不等式吗？
若α ，β 为空间向量，设α ＝(a1， a2，a3)，β ＝(b1，b2，b3)，由 |α·β|≤|α ||β |可得不等式:
如何用数学归纳法证明柯西不等式？
将二维三角不等式推广，则一般形 式的三角不等式是什么？如何用柯西不 等式证明？
x x x y y y
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2
2 n
( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
2 1 2 2 2 n 2
2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b b b )
2 1 2 2 2 n
分析上述证明过程，一般形式的 柯西不等式取等号的条件是什么？
an a1 a2 当且仅当 或b i＝ 0 b1 b2 bn
(i＝1，2，…，n) 时取等号.
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi时， 等号成立.
探究： 由二维形式与三维形式的柯西不等式 你能猜想一般形式的柯西不等式吗？
一般形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , an , b1 , b2 , b3 bn是实数，则 (a a an )(b b b )
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 n
(a1b1 a2b2 anbn ) 时，等号成立.
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当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi
上述不等式可抽象为AC≥B2， 联想到判别式，如何构造二次函数 证明上述猜想？
f ( x) (a a a ) x