柯西不等式2
课件2：二 一般形式的柯西不等式
方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．
柯西不等式二重积分形式
柯西不等式二重积分形式柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它在积分学中有着广泛的应用。
柯西不等式的二重积分形式可以用来估计两个函数的乘积的积分值的大小关系。
下面我将详细介绍柯西不等式的二重积分形式及其应用。
柯西不等式的二重积分形式可以表述为：设函数f(x, y)和g(x, y)在闭区域D上连续，且g(x, y)不为零，则有：∬D |f(x, y)g(x, y)| dxdy ≤ (∬D |f(x, y)|^2 dxdy)^0.5 * (∬D |g(x, y)|^2 dxdy)^0.5其中∬D表示对闭区域D的二重积分，|f(x, y)|表示函数f(x, y)的绝对值。
柯西不等式的二重积分形式可以用来估计两个函数乘积的积分值的大小关系。
通过柯西不等式，我们可以得到两个函数乘积的积分值的上界，从而对积分结果进行估计和判断。
这在数学分析、物理学等领域中有着重要的应用。
柯西不等式的证明可以通过使用向量的内积和向量的模的性质来完成。
具体来说，可以将函数f(x, y)和g(x, y)看作是在闭区域D上的向量，然后利用向量的内积和向量的模的性质，结合积分的性质，推导出柯西不等式的二重积分形式。
在应用柯西不等式的二重积分形式时，需要注意以下几点：1. 首先，需要确定积分的区域D，并确保函数f(x, y)和g(x, y)在该区域上连续。
2. 其次，需要确定函数g(x, y)不为零，以保证柯西不等式的有效性。
3. 接下来，可以利用柯西不等式的二重积分形式来估计两个函数乘积的积分值的上界。
具体而言，可以通过计算积分值的平方根来得到上界。
4. 最后，需要对估计结果进行分析和判断，根据具体问题的要求来确定是否满足要求。
柯西不等式的二重积分形式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率论中，柯西不等式可以用来证明方差的性质；在信号处理中，柯西不等式可以用来分析信号的功率谱密度；在图像处理中，柯西不等式可以用来衡量图像的相似性等等。
柯西不等式2
• 【训练3】 (2013·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c ＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析 法一 ∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋ y2＋z2)，
∴a2＋4b2＋9c2≥13(a＋2b＋3c)2＝336＝12． ∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12．
yx＋4yx
＋
xz＋9zx
＋
4yz＋9zy
≥14＋4＋6＋12＝
36．
当且仅当y＝2x，z＝3x，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．
答案
3 14 (1) 7
(2)36
•规律方法 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对 有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与 柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．
(2)法一 利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x ＋4y ＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36．
所以1x ＋4y ＋9z ≥36．
当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．
法二 1x＋4y＋9z＝1x(x＋y＋z)＋4y(x＋y＋z)＋
9 z
(x＋y＋z)＝14＋
法二 由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1 ＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12， 当且仅当1a＝21b＝31c，即a＝2，b＝1，c＝23时等号成立， 从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12．
• 答案 12
1，x＋2y＋3z＝ 14，则x＋y＋z＝________．
(2)已知x、y、z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则：
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
柯西不等式(二)教学课件
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
第04讲+++柯西不等式(2)(xs)
第四讲 柯西不等式柯西不等式： 设n n b b b a a a ,,,;,,,2121 是两组实数，则有+21(a ,)())(2221122221222n n n n b a b a b a b b b a a +++≥+++++ (*) 其中等号成立的条件是n i b a i i ,,2,1, ==λ 柯西不等式的另外几种形式： 1．令,121====n b b b(*)式变成为 ++2221a a n （.)()2212n n a a a a +++≥+ 特别地，若,,2,1, =∈+i R a i ,n 有,2122221na a a n a a a nn +++≥+++ 此即“平方平均≥算术平均”．2．若,,,2,1,,n i R b R a i i =∈∈+则+++222121(b a b a ))(212n nn b b b b a +++ ,)(221n a a a +++≥ 其中等号成立当且仅当.,,2,1,n i b a i i ==λ3．柯西不等式的推广：设,1,,,=∈∈++i R a N m n ij .,,2,1,,,2m j n =则有++++n n m n n a a a a 2111211)(( )()21222nnm n n n n n m n a a a a a ++++++≥12111(n a a a ,)2122212n nm m m n a a a a a a ++此即Holder 不等式，特别地，m=n=3时，有++++++332331323322321313312311)()(a a a a a a a a （;)()3332313322212312111333a a a a a a a a a a ++≥又若m=2，n=3，则有.)())()((3322212312111332331322321312311a a a a a a a a a a a a +≥+++[例1] 试证明柯西不等式+21(a ,)())(2221122221222n n n n b a b a b a b b b a a +++≥+++++[例2] ,,3421lg )(R a a x f xx ∈⋅++=且≤<a 0,1求证：0=/x 时，).2()(2x f x f <[例3]（首届女子数学奥林匹克试题）设)2(,,,21≥n P P P n 是n ,,2,1 的任意一个排列，求证：+++++++--123221111n n P P P P P P ⋅+->+-2111n n P P n n[例4] ( 2003年巴尔干数学竞赛试题)设z y x ,,是大于-1的实数．证明：++++2211z y x .211112222≥+++++++y x z x z y[例5] 设.,,+∈R z y x 求证：∑++++222)(2)2(z y x z y x .8≤[例6] 4321,,,a a a a 为周长为2S 的任意凸四边形的四条边，求证：,))((19214141j i j i i i a S a S S a --≤+∑∑≤<≤= 并问等号何时成立？[例7] 设2n 个实数n a a a 221,,, 满足条件-+-=∑1121(i n i a .1)2=i a 求)()(21221n n n n a a a a a a +++-+++++ 的最大值.[例8] 已知,,,+∈R z y x 且,1=++z y x 求证，)(21)(21)(21y x z z x z y y z y x x +-++⋅-++-+-+->y yx x 11⋅-zz 1[例9] 求证：,,,,,,R z y x c b a ∈∀+++cz by ax ))((222222z y x c b a ++++).)((32z y x c b a ++++≥[例10] 设n r <≤1是正整数，n r r x x x ,,,21 ++是给定的正实数，试确定,,,,21r x x x使得ji ji x xS ∑+=最小，[例11] （2004年美国数学奥林匹克试题）设△ABC 满足++22)2cot 2()2(cot BA ,)76()2cot 3(22rS C =其中r C b a s ),(21++=为内切圆半径．证明：△ABC 与一个三角形T 相似，T 的边长均为整数，并且三边的最大公约数为1，并确定T 的边长．[例12]（2005年全国高中数学联赛加试题）设正数z y x c b a ,,,,,满足+=+az a bz cy ;.;c ay bx b cx =+=求函数++++=y y x x z y x f 11),,(22zz +12的最小值，课外练习题1．,12,0,0=+>>y x y x 求yx 31+的最小值．2．设△ABC 的外接圆半径为R ，,,,γβα===C B A 且Rcb ac b a b a 9sin sin sin cos cos cos ++=++++αγβγβα成立，求它的三个内角的大小．3．设,1,,,=∈+xyz R z y x 求证：++++yz y xy x 11⋅≥+231zx z4．设2≥n 是一个固定的正整数，,,,,21+∈R a a a n +1a ,12=++n a a求证：若,,,,21+∈R x x x n +1x ,12=++n x x 有⋅-+--≤∑∑=<i i i n i j i ii a x a n n x x 112215．.1,0,,,=>abcd d c b a 求证：++++++d c c b b a 111.21≥+ad6．如图，AOB ∠是一个定角，P 是AOB ∠内一定点，过P 作一直线交AOB ∠两边分别于M 、N.求OM +ON 的最小值．7．设,31,0,,=++≥ca bc ab c b a 求证：++-112bc a .3111122≤+-++-ab c ca b8．设,,,2,1,n i R x i =∈+ 求证：2111111x x x ++++nZ x x x ++++++ 111⋅+++<nx x x 1 (1121)9．设,1,,,=++∈+z y x R z y x 求证：++yzxy xy⋅≤+++2xyxz xz zxyz yz10．设,,,,4321+∈R x x x x 求证：+++32112x x x x .1222214414334322≤++++++++x x x x x x x x x x x x11.设 ,,21a a 是一个正实数数列，使得对任意≥≥∑-=j na n 1,,2.n求证：对任意2≥n 都有⋅+++>∑=)1211(4121na j nj12．设 ,,,321a a a 都是实数，且满足,1(0=≤≤ic a i ),2 和,.1||ji a a j i +≥-当,j i =/求证：,1≥c13．设c b a ,,是正实数，求证：+++≥++c b a a c c b ba 222⋅++-c b a b a 2)(414．设d c b a ,,,为正实数，满足,1=+cd ab 点),(i i i y x P )4,3,2,1(=i 是以原点为圆心的单位圆上的四点，求证：≤+++++++2123424321)()(dx cx bx ax dy cy by ay ⋅+++)(22222cdd c ab b a解答。
二维形式的柯西不等式(2)
(x + y ) + (x + y ) ≥ (x1 − x2) +( y1 − y2 ) .
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
二维形式的三角不等式) 三角不等式 定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ∈ R , 那么
(x1 − x3 ) +( y1 − y3) + (x2 − x3 ) +( y2 − y3 )
变式:已知3 x + 4 y = 5, 求x 2 + 2 y 2的最小值
归纳
利用二维的柯西不等式可求以下函数最值：
类型一:求y = m ax − b + n c − dx(ad>0)的最大值
类 型 二 : 已 知 mx 2 + ny 2 = c(m, n, c > 0) , 求 Ax + By( AB ≠ 0) 的最大值.
2 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
≥ (x1 − x2 ) +( y1 − y2 )
2
2
练习
1.设 1.设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ∈ R , 那么
(x + y ) + (x + y ) ≥ (x1 + x2 ) +( y1 + y2 ) .
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
2.设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ∈ R , 那么
y
y
P1 ( x1 , y 1 )
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 ( x 2 , y 2 )
x
P2 ( x2 , y 2 )
柯西不等式二重积分形式
柯西不等式二重积分形式
柯西不等式是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的，它是分析数学中的一条重要不等式。
柯西不等式给出了两个函数在一个闭区间上的平方积分之间的关系。
柯西不等式的二重积分形式可以表示为：
∬(f(x,y))^2dxdy ≤ (∫f(x)^2dx)(∫g(y)^2dy)
其中f(x,y)和g(y)是定义在闭区间上的可积函数，而∫表示积分运算。
柯西不等式的应用非常广泛，特别是在概率论和信号处理中有着重要的应用。
在概率论中，柯西不等式被用于证明随机变量的方差的下界。
在信号处理中，柯西不等式可以用于估计信号的能量。
柯西不等式的证明是基于线性代数中的内积和向量的正交性质。
通过将函数看作向量，可以将柯西不等式的证明转化为向量的内积形式。
通过适当选择函数，可以得到柯西不等式的二重积分形式。
柯西不等式的二重积分形式可以简化很多计算问题。
通过将函数进行平方，可以将原问题转化为计算两个一元函数的积分。
这样可以简化计算过程，提高计算效率。
总结起来，柯西不等式是分析数学中的一条重要不等式，它以二重
积分的形式给出了两个函数的平方积分之间的关系。
柯西不等式具有广泛的应用，特别是在概率论和信号处理中。
柯西不等式的证明基于线性代数中的内积和向量的正交性质。
柯西不等式的二重积分形式可以简化计算问题，提高计算效率。
通过深入理解和应用柯西不等式，可以更好地解决实际问题。
柯西不等式2
证明 : (1 + 1 + L + 1 )(a + a + L + a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n
≥ (1 × a1 + 1 × a 2 + L + 1 × a n )
a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd
2 2 2 2
(a + b) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
(a + b)(c + d ) ≥ ac + bd (a, b, c, d为非负实数)
2 1 2 2 2 n
2
2
∴ n(a + a + L + a ) ≥ (a1 + a 2 + L + a n )
1 2 2 2 2 ∴ (a1 + a 2 + L + a n ) ≤ a1 + a 2 + L + a n n
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数 , 证明 a + b + c + d > ab + bc + cd + da
回顾练习： 回顾练习： 3 1.函数 y = 2 1 − x + 2 x + 1的最大值为 ______ 0 此时 x = ________
柯西不等式推广公式(二)
柯西不等式推广公式(二)柯西不等式推广公式1. 柯西不等式的基本形式柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它表达了两个向量内积的性质。
公式：对于任意两个向量a和b，其内积结果满足以下不等式：•|a·b| ≤ |a|·|b|其中，a·b表示向量a和b的内积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
2. 柯西不等式的推广公式柯西不等式可以推广到多个向量的情况，以下是柯西不等式的推广公式：公式：对于n个向量a1, a2, …, an，其内积结果满足以下不等式：•|a1·a2 + a1·a3 + … + a1·an + a2·a3 + … + a2·an + … + an-1·an| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + … +|an|^2)·√(1 + 1 + … + 1) = √(n)·√(|a1|^2 + |a2|^2 + … + |an|^2)其中，·表示向量的内积，|ai|表示向量ai的模，n表示向量的个数。
3. 推广公式的解释和示例推广公式表达了n个向量的内积之和的绝对值与这些向量模的乘积之间的关系。
不等式右侧的项相当于n个向量模的乘积的平方根，由于有n个向量，所以需要乘以√n。
不等式左侧的项是n个向量两两内积之和的绝对值，其绝对值不会超过两两内积的绝对值之和。
举例说明，假设有三个向量a1 = (1, 2), a2 = (3, 4), a3 = (5, 6)。
根据柯西不等式的推广公式，计算左侧和右侧的值：左侧：|a1·a2 + a1·a3 + a2·a3| = |(1, 2)·(3, 4) + (1, 2)·(5, 6) + (3, 4)·(5, 6)| = |3 + 10 + 27| = 40 右侧：√(3^2 + 4^2)·√(1 + 1 + 1) = √(9 + 16)·√3 = √25·√3 = 5√3根据计算结果可知，左侧的值40小于右侧的值5√3，符合柯西不等式的推广公式。
高二数学柯西不等式2
与一个 人的性格完全无关，爱好独处的人同样可能是一个性格活泼、喜欢朋友的人，只是无论他怎 么乐于与别人交往，独处始终是他生活中的必需。在他看来，一种缺乏交往的生活当然是一 种缺陷，一种缺乏独处的生活则简直是一种灾难了。 当然，人是一种社会性的动物，他需
要与他的同类交往，需要爱和被爱，否则就无法生存。 世上没有一个人能够忍受绝对的孤独。但是，绝对不能忍受孤独的人却是一个灵魂空虚的人 。世上正有这样的一些人，他们最怕的就是独处，让他们和自己呆一会儿，对于他们
探究：
一般形式的三角不等式应是怎样 的？如何应用一般形式的柯西不等 式去证明它？
例1、已知a1, a2 , an都是实数，求证
1 n
(a1
a2
an )2 a12 a22
an2 .
例2、已知a,b, c, d是不全相等的正数，证明 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
是要去发现一个未被发现的新世界 。确实，凡·高用他的作品为我们发现了一个全新的世界，一个万物在阳光中按照同一节奏 舞蹈的世界。另一个荷兰人斯宾诺莎是名垂史册的大哲学家，他为了保持思想的自由，宁可 靠磨镜片的收入维持最简单的生活，谢绝了海德堡大学以不触犯宗
教为前提要他去当教授的 聘请。 我并不是提倡苦行僧哲学。问题在于，如果一个人太看重物质享受，就必然要付出精神上的 代价。人的肉体需要是很有限的，无非是温饱，超于此的便是奢侈，而人要奢侈起来却是没 有尽头的。温饱是自然的需要，奢侈的欲望则是不断膨胀的市场
陈泽环译《敬畏生命》一书) 中说，这是不可能的，即使可能，任何人也无权对别人提出这种要求。"不仅存在着肉体上 的羞耻，而且还存在着精神上的羞耻，我们应该尊重它。心灵也有其外衣，我们不应脱掉它 。"如同对于上帝的神秘一样，对于他人灵魂的神秘，我们同样不能像看一
柯西不等式二级公式
柯西不等式二级公式柯西不等式（Cauchy Inequality）是数学领域中一种非常重要的不等式，由法国数学家柯西（Cauchy）首次提出。
它在我国的高等数学教育中也有着广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二级公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、柯西不等式的定义和基本形式柯西不等式的定义如下：设实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，那么以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)这就是柯西不等式的一般形式。
当n=2时，柯西不等式可以简化为：(a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)二、柯西不等式的一级公式和二级公式柯西不等式的一级公式是指：a1b1 + a2b2 + … + anbn ≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)柯西不等式的二级公式是指：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)三、二级公式的推导过程柯西不等式的二级公式可以通过一级公式进行推导。
首先，我们对一级公式两边进行平方，得到：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)四、二级公式的应用实例1.证明数学归纳法：在数学归纳法证明中，柯西不等式可以用来估计归纳步的误差。
2.信号处理：在信号处理领域，柯西不等式可以用来估计信号的功率。
3.概率论：在概率论中，柯西不等式可以用来估计随机变量的期望值和方差。
五、总结柯西不等式二级公式是柯西不等式的一种重要形式，它在数学、信号处理、概率论等领域有着广泛的应用。
柯西不等式二级公式
柯西不等式二级公式柯西不等式是数学中一种重要的不等式，可用于证明和推导多种数学定理。
该不等式有两个版本，一级版本是最为基本的形式，而二级公式是在一级基础上进行推导得到的。
柯西不等式的一级公式表述如下：对于任意实数a₁, a₂,...,aₙ和b₁, b₂,...,bₙ，有以下关系成立：(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)其中，等号成立的条件是存在一个实数k，使得a₁:b₁=a₂:b₂=⋯=aₙ:bₙ=k。
柯西不等式的二级公式是在一级公式的基础上进行推导和扩展得到的。
二级公式的表述如下：对于任意实数a₁, a₂,...,aₙ和b₁, b₂,...,bₙ，则有以下关系成立：(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) +2(a₁a₂ + a₁a₃ + ... + a_{n-1}aₙ)(b₁b₂ + b₁b₃ + ... + b_{n-1}bₙ)二级公式的证明较一级公式更为复杂，但其结果可以用于更广泛的数学推导和证明中。
在二级公式中，等号成立的条件是存在一组实数α₁, α₂,...,αₙ和β₁,β₂,...,βₙ，使得α₁/β₁=α₂/β₂=⋯=αₙ/βₙ。
柯西不等式的重要性在于它涉及到多个变量之间的关系，并可应用于各种数学分支中。
它在线性代数、实分析、概率论等领域中被广泛运用。
其推广形式也可以扩展到内积空间和希尔伯特空间等更为抽象的数学结构中。
总结起来，柯西不等式的一级公式和二级公式都是重要的数学工具，用于描述和推导多变量之间的关系。
在解决各种数学问题和证明定理时，这些不等式发挥着重要的作用。
高二数学必修1课件：柯西不等式2
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
一般形式的柯西不等式：
设a1, a2 , a3, an , b1, b2 , b3 bn是实数，则 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k, 使得ai kbi 时，等号成立.
设a1, a2 , a3, b1, b2 , b3是实数，则 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k,使得ai kbi时， 等号成立.
第三页，编辑于星式的柯西不等式
第八页，编辑于星期一：一点 一分。
例3、已知x 2 y 3z 1, 求x2 y2 z2的最小值.
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
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作业：
P41 1，2，3，4，5
第十一页，编辑于星期一：一点 一分。
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探究：
一般形式的三角不等式应是怎样 的？如何应用一般形式的柯西不等
式去证明它？
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
例1、已知a1, a2 , an都是实数，求证
1 n (a1 a2
an )2 a12 a22
an2 .
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、已知a,b, c, d是不全相等的正数，证明 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
柯西不等式（2）
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
柯西不等式课件
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
柯西不等式二级公式
柯西不等式二级公式摘要：1.柯西不等式的定义2.柯西不等式二级公式的推导3.柯西不等式二级公式的应用4.总结正文：一、柯西不等式的定义柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种在向量空间中的内积不等式，由法国数学家柯西（Cauchy）在19 世纪提出。
柯西不等式的基本形式为：设a = (a1, a2,..., an) 和b = (b1, b2,..., bn) 是两个n 维实向量，那么有：(a1 * b1 + a2 * b2 +...+ an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 +...+ an^2) * (b1^2 + b2^2 +...+ bn^2)等号成立的条件是存在常数k，使得a = k * b。
二、柯西不等式二级公式的推导柯西不等式可以推广到更高级的形式，即柯西不等式二级公式（Cauchy-Schwarz Inequality）。
对于两个m × n 的实矩阵A 和B，柯西不等式二级公式表示为：|A * B| ≤ |A| * |B|其中，|A * B| 表示矩阵A 和B 的乘积的行列式，|A| 和|B| 分别表示矩阵A 和B 的行列式。
为了证明柯西不等式二级公式，我们可以考虑如下的实值函数：f(x) = ∑(i = 1 to m) ∑(j = 1 to n) |Aij * Bij|显然，f(x) 是一个关于x 的实值函数，且在x 属于R^m 时连续。
根据柯西不等式，我们可以得到：f(x) = ∑(i = 1 to m) ∑(j = 1 to n) |Aij * Bij| ≤ ∑(i = 1 to m) ∑(j = 1 to n) (|Aij| * |Bij|) = |A| * |B|因此，我们证明了柯西不等式二级公式。
三、柯西不等式二级公式的应用柯西不等式二级公式在很多领域都有广泛的应用，如线性代数、概率论、最优化等。
以下是一个简单的应用例子：设A 和B 是两个m × n 的实矩阵，且A 的列向量组和B 的行向量组分别是线性无关的。
《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品
1，2，3)时，等号成立.
课前探究学习
课堂讲练互动
3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
课前探究学习
课堂讲练互动
2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
课前探究学习 课堂讲练互动
5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b c d ac bd
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求 1 1 (a )(2b ) b 2a
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
• 本节课实际上是柯西不等式的一些简单 应用，柯西不等式是一个经典不等式， 是一个重要的数学结论，在以后的证明 某些不等式和求最值时有重要作用，要 学会灵活运用。
作业：
P37 第8题
1 1 2 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
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2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b b b )
2 1 2 2 2 n
分析上述证明过程，一般形式的 柯西不等式取等号的条件是什么？
an a1 a2 当且仅当 或b i＝ 0 b1 b2 bn
(i＝1，2，…，n) 时取等号.
柯西不等式（2）
探究：
从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可以得到 二维形式的柯西不等式： (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2 2
你能类比得到三维形式的柯西不等式吗？
若α ，β 为空间向量，设α ＝(a1， a2，a3)，β ＝(b1，b2，b3)，由 |α·β|≤|α ||β |可得不等式:
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi时， 等号成立.
探究： 由二维形式与三维形式的柯西不等式 你能猜想一般形式的柯西不等式吗？
一般形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , an , b1 , b2 , b3 bn是实数，则 (a a an )(b b b )
(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 a3b3 )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2
三维形式的柯西不等式：
设a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3是实数，则 (a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 a3b3 )
如何用数学归纳法证明柯西不等式？
将二维三角不等式推广，则一般形 式的三角不等式是什么？如何用柯西不 等式证明？
x x x y y y
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2
2 n
( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
1 14
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
例4 已知a＋b＋c＋d＝6，且 a2＋b2＋c2＋d 2＝12，求a＋b＋c 的取值范围. [3，6]
练习：
P41
1，2, 3，4，5，6
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 n
(a1b1 a2b2 anbn ) 时，等号成立.
2
当且仅当bi 0, 或存在一个数k , 使得ai kbi
上述不等式可抽象为AC≥B2， 联想到判别式，如何构造二次函数 证明上述猜想？
f ( x) (a a a ) x
2
例1 已知a1，a2，…，an都是实数， 求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
例2 已知a，b，c，d是不全相等
的正数，证明：
a2＋b2＋c2＋d 2＞ab＋bc＋cd＋da.
例3 已知x＋2y＋3z＝1，求 x2＋y2＋z2的最小值.