一元二次方程的整数根问题专题练习(解析版)

一元二次方程的整数根问题专题练习
一、选择题
1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：A
解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，
[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．
即x 1=
121k +，x 2=61k -． 由121
k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61
k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，
∴只有k =2为所求．
二、填空题
2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．
答案：2
解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．
∴x 1=61k +，x 2=31
k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．
3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．
答案：24
解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．
此时原方程的两个实数根为：x =212
m +14502
=±，
不妨设x 1＞x 2，
则x 1=32，x 2=18．
故m=24
4、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1
解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，
由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，
可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），
则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或12
1113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202
x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，
∴m =7或m =-1．
三、解答题
5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．
答案：-1．
解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13
（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，
设4m 2+5=n 2（n 为正整数），
4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，
2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩
， 则m =-1．
6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．
解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩
＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）
=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，
由求根公式得：x1=
6
1
a-
，x2=
4
1
a+
，
∵方程有两个不相等的负整数根，
∴a-1=-1，-2，-3，-6，
a+1=-1，-2，-4，
即：a=0，-1，-2，-5，
a=-2，-3，-5，
∴a=-2或-5．
∴a=-2．
7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．
解答：当m=0时，x=-1，
当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1
m
，
∵xm为整数，∴m=±1，
综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．
8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．
解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，
有整数根x=1，满足题意．
当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，
[mx-（2m+2）]（x-1）=0，
mx-（2m+2）=0或a-1=0，
∴x1=22
m
m
+
=2+
2
m
，
x2=1．
又∵该方程的根为正整数且m为整数，
∴2
m
为大于-2的整数，
∴m=1或2或-2．
则m 的值为0或1或2或-2．
9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？
答案：（1）证明见解答．
（2）m =2或m =3．
解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．
由求根公式解得：
x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()
2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21
m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21
m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．
∴m =2或m =3．
10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．
答案：（1）证明见解答．
（2）当m =-1时，原方程的根是整数．
解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．
∵（m +1）2≥0，
∴（m +1）2+4＞0．
∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．
∵（m +1）2≥0，
∴（m +1）2+4＞0．
∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，
得x =3m --．
要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．
设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．
∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，
可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩
．
将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．
∴当m =-1时，原方程的根是整数．
11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．
答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．
解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，
∴x =()22
m +±． ∵该方程的根均为整数，
∴m 2-12m +4必为平方数，
令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），
整理得（m -6）2-n 2=32，
∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，
∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．
因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩
， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122
m n =⎧⎨=⎩，
当157
m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，
∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．
当122
m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，
∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．
12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．
（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．
（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．
答案：（1）证明见解答．
（2）2或0或3或-1．
解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，
②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，
a =m -1，
b =-2m ，
c =m +1，
∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．
（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m
±-， ∴x 1=1，x 2=
11
m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，
即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．
13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．
（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．
（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．
（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．
答案：（1）证明见解答．
（2）m ＜-3．
（3）m =-3，-1，3．
解答：（1）解法一：
由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩
， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，
∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．
解法二：
原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，
∵m ≠0，
∴原方程必有两个实根．
（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m
-， ∴2＜
23m m -＜3，化简得2＜2-3m
＜3， 由2＜2-3m
可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．
（3）∵m 为整数，x 2=2-
3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．
14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围．
（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．
答案：（1）m ＜
52． （2）2．
解答：（1）由题意得：
b 2-4a
c =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，
解得：m ＜52
．
（2）由m 为正整数，可知m =1或2，
求根公式得x =-1
∵方程的根为整数，
∴5-2m 为完全平方数，
则m 的值为2．
15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．
（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．
答案：（1）m ＞-1．
（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．
解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）
=8m +8．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴8m +8＞0，
∴m ＞-1．
（2）在（1）的条件下，当m =1时，
该方程可化为x 2+4x =0．
∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．
16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围．
（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．
答案：（1）m ＞-
18． （2）m =15．
解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-
18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，
原因：方程解为x =()23m -，
∵10＜m＜21，m为整数，
∴81＜8m+1＜169且为整数，
∴913，
又∵方程有两个整数根，
或11或12，
∴m=99
8
或15或
11
8
，
∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．
17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．
解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得
（2x-m）（x-2m）=5
故
25
21
x m
x m
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，或
21
25
x m
x m
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，或
25
21
x m
x m
-=-
⎧
⎨
-=-
⎩
，或
21
25
x m
x m
-=-
⎧
⎨
-=-
⎩
解得
3131
1313 x x x x
m m m m
==-=-=
⎧⎧⎧⎧
⎨⎨⎨⎨
==-=-=
⎩⎩⎩⎩
，，，．
18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．
解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．
②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）
=-3k2+6k+1＞0
由根与系数关系得：x1+x2=-
1
k
k
+
=-1-
1
k
，
x1·x2=
1
k
k
-
=1-
1
k
，
∵根都是整数，
∴k=±1，
检验：k=-1不符合（舍）．
综上所述，k=1．
19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．
（2）求实数k 的值．
答案：（1）k =0，±2．
（2）k =0，±2，±12
． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=
61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，
∴k =0，±2．
（2）由x 1=61k +，x 2=31
k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2
932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，
∴k =0，±2，±12
． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？
答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．
解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，
∴2k -3≠0，
∴k ≠32
． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，
∴0＜4k +1＜14，
∴-14＜k ＜134
． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，
∴k ≥
1516
， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，
∴k =1或2或3．
当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；
当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。