与圆有关的证明与计算中考综合复习

圆的证明与计算中考专题复习

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，对部分学生是难点，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、圆的切线证明

1、判断一条直线是圆的切线的方法有三种：①直线与圆只有一个交点；②圆心到直线的距离等于半径；（即证d=r）③切线的判定定理，即：经过圆心的线段，并且的直线是圆的切线。（即证垂直）

2、证切线常见的辅助线添法即证法：①若切不点明确，则作

②若切点明确，则连

例1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

例2、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

二、圆的证明与计算的几大几何理论依据：

1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用半径相等.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系以及中点等等. 用来计算弦长和半径。

(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. 用来计算圆心角或者圆周角。

(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、

弧相等. 其中一个重要应用就是圆的直径所对的圆周角等于90度，90度圆周角所对应的的弦是直径。

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。

2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

基础训练：一、垂径定理的应用，圆心角和弧以及圆周角的转换

例1、如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，

（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长

例2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE =1，AE =5，

∠AEC =30°，求CD 的长．

三、解题思想与方法 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。解题时要重点注意观察已知线段间的关系，结合问题设问的角度，选择合适的定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想有：

（1）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段或角之间的数量关系。构造策略：如：①构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；

②构造勾股定理模型（已知线段长度）③构造三角函数(已知有角度的情况）；④构建矩形转化线段；⑤构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）及转换角度；

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，运用勾股定理、比例线段或三角函数建立方程，解决问题。常用数学方法：如面积法，勾股定理，相似，三角函数等

例1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

(2) 连接CE，若CE=6，AC=8，求AE的长.

例2、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．

（1）求证：∠FBC=∠FCB；

（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．

3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过 点D 作DF△AC ，垂足为F ．

(1)求证：DF 为△O 的切线；

(2)若AE ＝42，△CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积．

4、如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=6，

AD BD =2

3，求BE 的长．

5、如图,⊙O 中,直径CD ⊥弦AB 于E,AM ⊥BC 于M,交CD 于N,连接AD.

(1)求证:AD=AN;

(2)若AB=8,ON=1,求⊙O 的半径.