数学历史到现代的浅谈

数学历史到现代的浅谈

日本数学家藤田宏教授在第九次国际数学教育大会报告指出，人类历史上有四个数学的高峰，分别是：古希腊的演绎数学时期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类的理性思维的第一个重大胜利：第二个是牛顿的微积分时期，他为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功；第三个是西伯尔特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为标志的新书学时期，我们现在处在的这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可度量，17、18世纪微积分基础的争论和20世纪的集合论悖论。

而在中国历史上，数学存在久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；据说《易经》还包含组合数学与二进制思想。2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现了距今大约2200多年的九九乘法表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十分相似。算筹是中国古代的计算工具，它在春秋时期已经很普遍；使用算筹进行计算称为筹算。中国古代数学的最大特点是建立在筹算基础之上，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。但是，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

而在现今的中国，和合是一个重要概念。“和”是平和、和谐、祥和、协调的意思。“合”是合作、对称、结合、统一的意思。和合思想认为,整个物质世界是一个和谐的整体,宇宙、自然、社会、精神各元素都处在一个和谐的优化结构中。而数学文化系统就是一个完美的和谐优化结构。数学文化中的数学发展史、数学哲学思想、数学方法、数学美育等重要内容蕴含着丰富的和合思想。其具体体现是整体系统性、平衡稳定性、有序对称性。就整体系统性举例：1.数学公理系统的相容性数学的公理化系统具有相容性、独立性和完备性。在这三项基本要求中,最主要的是相容性。相容性就是不矛盾性或和谐性,是指各公理不能互相抵触,它们推导的真命题也不能互相矛盾,公理系统的相容性是数学系统和谐的基础,也是基本要求。除了数学各分支自身要形成相容的公理系统之外,数学还要求各分支之间互相协调,不能互相抵触。有的系统之间,还形成密切的同构关系,在不同的数学系统之间,相容性是一致的。例如欧氏几何与非欧几何(罗式几何、黎曼几何)中平行公理是互否的命题,可在欧氏几何中构造非欧几何的模型,所以可以这样说只要欧氏几何无矛盾,那么非欧几何也是无矛盾的。 2.数学运算系统的完整性数学的运算法则、运算公式、运算结论都是完整的、准

确的。特别是数学的运算语言,它把文字语言、符号语言、图像语言完全融合到一个统一体中,互相印证、互相诠释、互相转化,达到了天衣无缝的完美。当扩充数系时,要建立新的理论和运算拓广原有运算和关系时,要尽量保持原有的运算、关系的一致性,如有不一致,必须作规定,使新系统与原有系统和谐。 3.数学推理系统的严密性在我们日常的数学活动中,常常用到反证法,在这种方法中,往往不仅要用到系统的公理和定理,而且要用到其他分支的知识。在整个推理过程中要和谐。例如古希腊三大著名问题之一化圆为方,即作一个与给定圆面积相等的正方形。要证明用圆规和直尺不能作出等面积的正方形就需要用到数“=”的超越性。在数学上的等式、解析式中出现“=”是和谐的体现。

一个数学定理的证明必定会经过复杂的过程，会不停有人提出问题——解决问题，直到完全证明其正确性。举一个我比较感兴趣的“四色定理”的证明过程：1852年, 英国的一位名叫Francis Guthrie的数学家兼植物学家和律师, 在给一幅英国各郡的地图着色时发现, 只要四种颜色, 就可以使任何相邻的两个郡不同色. 他推断, 任何地图的着色也只需要四种颜色就够了; 但是, 他未能证明. 于是, 就把问题告诉了他的弟弟Frederick Guthrie, 而当时Frederick正在Augustus De Morgan指导下学习数学. De Morgan 得知此问题后非常感兴趣, 并与同事们进行讨论. 1873年, Arthur Clayey又在伦敦数学会的所有成员面前提出此问题, 并在学会的通报上刊登出来, 让整个数学界对此重视起来.1879年, 一个律师Alfred Bray Kemp发表论文, 声称证明了这个问题. 但是, 11年后, Percy John Heywood发现了证明中的错误, 并证明了五色定理. 1913年, 哈佛数学家George Kirchhoff该进了Kemp的方法, 得到了一些新结果; 他的一个学生, Philip Franklin, 证明了当地区数不超过25时, 四色定理成立.二十世纪五十年代, 德国数学家Hirsch对此问题做出了贡献.1970年, 美国Illinois 大学的Hake开始攻击此问题. 他与Apple合作, 在1972年编出了一个计算机程序来检验可约性; 直到1976年才完全获得成功. 为此, 他们在三台不同的计算机上共运行了1200个小时!1976年, 当Hake在多伦多大学作完报告后, 只赢得了礼节性的掌声. 听众的反应很冷淡. 可在1993年, 当Andrew Wiles证明Fermat大定理时, 听众们欢呼雀跃, 他们都认为自己目睹了一个重大的历史事件, 而全世界数学家们的祝贺电话让系主任应接不暇.由此可以看出，证明一条定理有多么的难。数学是多么复杂又美丽，令人着迷。

还有一个我感兴趣的关于数学猜想，著名的“哥德巴赫猜想”，它也是数学史上三大难题中唯一一个到目前为止仍没有被证明的猜想。1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了一个大胆的猜想：任何不小于6的偶数，都是两个奇质数和。这个猜想被形象地表述为1+1=2。哥德巴赫猜想从诞生之日起，就以其极端简洁的美吸引了数学家们。然而，越是看似简单的问题，越是难以解答，哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象，也难怪有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。 1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”，随后数学家运用了圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法，逐步虽小了这个包围圈。值得一提的是，“哥德巴赫猜想”与中国有着不解之缘，1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”，同年又和王元合作证明了“1＋4”，1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。”这个定理被世界数学界