电磁场边值问题的解法

l r ln 2 2π 0 r1
( y 0)
3 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界， 0 360 / ，而 n 为 整数 当其夹角 为 n 1 该角域中的点电荷将有个 n 时， 个镜 像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。 当n =4时：
q zd zd Ez 2 2 3/ 2 2 2 2 2 3/ 2 4π 0 x y ( z d ) x y (z d )
•
导体表面感应电荷
qd S Dn 0 Ez 2π( x 2 y 2 d 2 )3/ 2
点 电 荷 与 接 地 导 体 球 周 围 的 电 场
a
a
(r , )
c
N
在球面上任取一点c，则
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2
d
q ab q d a
r2 q q r1
q a b q d a
a q q d
q
导体平面
在空间的电位为点电荷q 和镜像 电荷 -q 所产生的电位叠加，即
q 4π 0
1 1 r1 r2
0
z
q
d 导体平面 o
r1
r2
p
导体平面边界上：
r1 r2
电位满足边界条件
d q
x
q 1 1 电位： 2 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 2 4π 0 x y ( z d ) x y (z d )
1 (r ) 0 积分 A ln r B r r r
R2
R1
由边界条件
U A ln R1 B 0 Aln R2 B
U A R1 ln R2
U B ln R2 R1 ln R2
R2 U ln 则： R2 r ln R1
E
E
2
因为，2
0

V
3.1.3 静电场边界值问题的间接解法
边值问题 唯一性定理
解析法
数值法
镜像法
分离变量法
有限差分法
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 R1 和 R2 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 U ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系
/ n f ( s)
3 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组 合

n
f ( s)
另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界 条件
lim r 有限值
r
若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或 另一部分导体表面的电荷量。
d2
o
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0 的位置和大小分别为 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2
球壳外区域任一点电位为
2 a2 b2 d2
a2 q2 q2 d2
a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4 π 0 (r 2d 2 r cos d 2 ) (d 2 r 2d 2 ra2 cos a2 )
r2 a 2 b 2 2ab cos
在柱面上取两个特殊点M和N，则 l l N ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0 l l M ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
a2 b d
l l
的通解，其中含有待定常数。
– 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条 件的特解。
1. 直角坐标系中二维拉普拉 斯方程分离变量法
2 2 2 0 2 x y
3.2 唯一性定理
1 定理内容 在静电场中，每一类边界条件下， 泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是 唯一的，即静电场的唯一性定理。 2 证明过程 利用反证法来证明在第一类边界条 件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。 考虑一个由表面边界S包围的体积V， 由格林第一定理
V ( )dV S n dS
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像 法就不再适用了；当角域夹角为钝角时， 镜像法亦不适用。
4. 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距 离为d，如图所示。待求场域为r >a区域，边界条件为导体 球面上电位为零。
a
d
q
a q
d
q
设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。 根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。

球壳内区域任一点电位为
q 内 4π 0
1 2 2 1/ 2 ( r 2 d r cos d 1 1 ) a1 2 2 (d1 r 2d1ra12 cos a14 )1/ 2

用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外
的情况不予考虑。
3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程
1 泊松方程(Poisson‘s Equation) 在线性、 各向同性、 均匀的电介质中，
V
2
称之为静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分布取决于 当地的电荷分布。 2 拉普拉斯方程(Laplace's Equation) 电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数 点的体电荷密度等于零，即 ρV=0，因而有 ▽2φ=0 称为拉普拉 斯方程。
q q 球面上任一点电位： 4π 0 a 4π 0 d
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 ( r , , ) 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
a2
r
解：
a1 q1
a2
q2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a1 , , ) 0 根据球面镜像原理，镜像电荷 的
位置和大小分别为
a12 b1 q1 d1
a1
q1
q1
q1
a1 q1 d1
d1
b1
两平行线电荷的电位分布
空间电位为： l r2 ln c 2π 0 r1
2 2 r r d 2dr cos 其中： 1
r2 r 2 b 2 2br cos
四、分离变量法
理论基础
惟一性定理
分离变量法的主要步骤 – 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下 拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 – 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程
第3章 边值问题的解法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类 1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数） 值
f ( s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
• 导体表面上感应电荷总量
qS
•





S dxdy

qd 2π( x2 y 2 d 2 )3/ 2 dxdy q
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
F
q2 a 2 z 16π 0 d
2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
2
整理， V ( )dV S n dS
2
V n dS 所以， V ( ) dV 设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有 φ1和 φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的， 2 两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程 '0 2 V ( ) dV S n dS 在边界S上，电位 1 S 2 S S 所以φ′在边界S上的值为 ' S 1 S 1 S 0 则得 ( ) 2 dV 0
U R2 r ln R1
ˆr a
3.3 镜像法
• 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
• 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多 个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代 替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边 界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间 电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电 场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这 种求解方法称为镜像法。
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
a
导体球不接地：
a
—
a q q d
a2 b d
该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ， 位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
当n=6时：

π 3
q
q
q
q

π 3
q q
q
角域外有5个镜像电荷， 大小和位置如图所示。 所有镜像电荷都正、 负交替地分布在同一 个圆周上，该圆的圆 心位于角域的顶点， 半径为点电荷到顶点 的距离。
应注意的问题：
– 镜像电荷位于待求场域边界之外。
– 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀
空间中媒质特性与待求场域中一致。
– 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边
界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的 镜像
待求场域：上半空间
边界条件： 0 边界： 无限大导体平面
a q q q d
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代 数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜 像电荷
q″=－q′
( r , , )
r
为了保证球面为等位面的 条件，镜像电荷q″应位于 球心处 。
p
a
q
r2
r1
q
球外任一点电位：
b
q
d
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
5 线电荷对导体圆柱面的镜像
待求区域：r a 边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷 l 位于对称面上， 且与圆柱轴线距离为b，则导体柱 面上任一点的电位表示为
l l 面 ln r1 ln r2 2π 0 2π 0
2 2 r a d 2ad cos 其中： 1
上半空间的电场强度： E
q x x Ex 4π 0 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2
q y y Ey 4π 0 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2
y
y
l
l
r1
P ( x, y , z )
0
h
0 x 0
h
o
r2
x
h
l
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限 大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为 平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 l 上半空间的电场 待求场域 中的电位
l l E ar1 ar 2 2π 0 r1 2π 0 r2