第8章自由网平差

2、秩亏自由网平差 如果不设起始已知高程， 设网中全部待定点为参数， 则误差方程为：
ˆ1 l1 v1 1 0 1 x v 1 1 0 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3
自由网： 当控制网中仅没有必要的起算数据时，通常称为自由网。 附合网： 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据 的网，称为附合网。 自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。
一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等， 一般为自由网。
1、经典自由网平差
例：
选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：
v1 1 0 l1 ˆ1 v 1 1 x l 2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程：
ˆ1 l1 l2 2 1 x 0 1 2 x ˆ2 l2 l3
ˆ X 1 t11 B2 f ˆ n1 nt1 X 2 t2 1
2、拟稳平差附加基准条件
ˆ 0 GT Px X 0 0 t1t1 T T 其中：Px , G G1 0 I du dt1 t t 2 2 则基准约束条件变为： ˆ 0 GT X
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ1 2 1 l1 l2 x x ˆ2 1 2 l2 l3
经典平差法的条件：
是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐标起算数据；
如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据，则称为经 典自由网平差。
误差理论与测量平差基础
—自由网平差
本章教学内容
8.1 引言
8.2 秩亏网平差
8.3 拟稳平差
第8 章
自由网平差
本章学习的目的和要求
掌握加权秩亏网平差原理和方法； 掌握拟稳平差原理及应用。
重点和难点
秩亏自由网平差方法（直接解法、附加条件法以及拟稳 平差法）；
附加矩阵G的选取。
8.1 引言
2
0 1 m x0 1 R
02 i
1 m 0
0 y2 R
0 1 m 0 x2 R
02
1 m 0
0 ym R
0 1 m 0 xm R
其中：R X
Yi
X i0 , Yi 0
是以网的重心坐标为原点的近似坐标。
3、测角网情况（ｄ=4）
1 m 0 GT 0 42 m y1 R 0 x1 R 0 1 m x0 1 R y10 R 1 m 0
按附加条件法平差自由网，要确定法方程系数阵N的属于零特征 值的特征向量所构成的矩阵G(标准化后矩阵,即GGT=I)。
1、水准网情况（ｄ=1）
1 G 1 1 u1 u
1
T
2、测边网情况（ｄ=3,m为网中三角点数目）
1 m GT 0 32 m y10 R
组法方程： 法方程系数阵：
ˆ B Pl 0 B PBx
T T
2 1 1 BT PB 1 2 1 1 1 2
可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。（原因是B 不为列满秩阵，称B秩亏。）
产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算数据个数。 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数，且
4）法方程
2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
ˆ1 6 1 x x ˆ2 0 1 ˆ3 6 1 x 0 K 0
5）求参数和K
ˆ1 2 x x ˆ2 0 x ˆ3 2 K 0
ˆ o G Px X
T du u1
自由网误差方程为 为消除秩亏，附加条件 按最小二乘原则，作函数
ˆ l V BX
ˆ o G Px X
T du
ˆ ) min V T PV 2K T (GT Px X
N G T P x ˆ BT Pf PxG X O K O
2 0
T
T
广义逆矩阵的概念
一、广义逆A1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵方程的A-定义为Aห้องสมุดไป่ตู้的广义逆。
nm mn nm
A A A A
nm
2、广义逆A-的计算 A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。 A是列满秩时 A1 ( AT A)1 AT
L
3）求最小范数的法方程解
即求下列数学解：
ˆ BT Pf 0 NX ˆTX ˆ min X
组新函数，得：
ˆ BT Pf ) min X T X 2 K T ( NX 2 X T 2K T N 0 X N T K NK NNK BT PB 0 K ( NN ) BT PB ( NN 0 ) X N ( NN ) BT PB
法方程：
T ˆ Nx B Pf 0
求解：
T ˆ x N ( NN ) B Pf
9.3 拟稳平差
若自由网的控制点可区分为非拟稳点和拟稳点两类，这种情 况下的加权秩亏网平差称为拟稳平差。
1、自由网拟稳平差原理
设不稳定未知数X1，稳定未知数为X2，则误差方程为
ˆ V BX f B1 nt1
A是行满秩时
1 AR AT ( AT A)1
A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法求广义逆：
• 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某一列降阶求 逆，删去位置均以“0”代之，即得奇异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 1 1 0 • 例如：
A 0 1 1 1 ，（ R A） 2，d 3 2 1 0 1 1 1 1 1 1 A1 , A1 0 1 0 1 1 1 0 A 0 1 0 0 0 0
• 可以验证：
AA A A

值得说明的是：
1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆 （NN）-代入直接解公式后，求得的X向量却是相 同的，故X有唯一解！
2）以上解法又称为“直接解法”。
广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆） 1、定义：满足下列四个条件，即
AA A A A AA A ( AA )T AA ( A A)T A A
或者，整理得：
T 1 T ˆ x ( N GG ) B Pf T 1 T T 1 Qxx ( N GG ) B PB ( N GG ) ˆˆ
单位权方差估值：
T T V PV V PV 2 ˆ0 r n (u d )
以上即为附加条件法的计算公式。
解：
解为：
ˆ N ( NN ) BT Pf X
4）精度估计
参数估值的协因数阵：
T QXX N ( NN ) B PQPB ( NN ) N ˆˆ
N ( NN ) N ( NN ) N N
单位权方差估值仍为：
V PV V PV ˆ n R( A) n r
Px S BT Pf Q11 Q12 BT Pf O Q Q O O 22 21
ˆ Q B T Pf X 11 QXX ˆ ˆ Q 11 NQ 11
1
得法方程
解法方程，得X解：
X N K G T P x
2 0 2 0 1
8.2.1 直接解法
1）按最小二乘原则组法方程：
ˆ f V Bx V T PV min ˆ B Pf 0 Nx
T
（N的行列式等于零，法方程有无穷多组解。）
2）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件：
ˆ x ˆ min x
T
（而这条件应保证所求的的平差值是最优的，称为最小范数条件。）
2 2
G
T 2 dt2
即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到消除秩 亏，求解未知量的目的！
6）求参数协因数
2 1 1 1 Qxx 1 2 1 ˆˆ 9 1 1 2
解2：直接解法
误差方程：
ˆ1 0 v1 1 1 0 x v 0 1 1 x ˆ2 0 2 ˆ3 v3 1 0 1 x 6
例：下图水准网中，测得观测高差： h 12.345m, h
1
2
3.478m, h3 15.817m
各段线路距离相等，试按秩亏自由网平差求参数平差值及其协 因数。
解1：附加条件法
• 1）取各点的近似高程
H10 0
0 H2 12.345m
H 30 15.823m
• 2）误差方程
ˆ1 0 v1 1 1 0 x v 0 1 1 x 0 ˆ 2 2 ˆ3 v3 1 0 1 x 6
• 3）附加条件
ˆ1 x ˆ2 0 x 1 1 1 ˆ3 x
0 y2 R x0 2 R
0 1 m x0 2 R 0 y2 R
1 m 0
0 ym R 0 xm R
0 1 m 0 xm R 0 ym R
4、边角网情况（ｄ=3）
边角自由网与测边网的S完全相同。
5、GPS网情况（ｄ=3）（与水准网情况类似）
GT 33 m 1 m 0 0 0 1 m 0 0 0 1 m 1 m 0 0 0 1 m 0 0 0 1 m 1 m 0 0 0 1 m 0 0 0 1 m
思考：
在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数相 等？ 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网的 秩亏数各是多少？
8.2
加权秩亏网平差
秩亏自由网平差的函数模型为
ˆBX ˆd L
n1 nu u1
n1
相应的误差方程为
随机模型为
ˆ f V Bx
D QLL P
2、 A+的计算 当A为对称方阵时：
A A( AA) A( AA) A
8.2.2 附加条件法(伪观测值法）
附加条件法的思想： 由于网中没有起算数据，平差中多选了d个参数，因此， 若在U个参数之间适当给定d个附加约束条件（基准条件）， 即在原平差函树模型中附加入d个参数间的限制条件方程， 从而可使秩亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。 网的基准： 必要的起算数据称之为网的基准。 d个基准条件形式为 ：
d R( B) R( B) 必要起算数据 R( B)是B的列满秩数,R( B)是实际秩数
如何合理解算这类平差问题，就是本节要讨论的秩 亏自由网平差问题。
秩亏自由网平差：
如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设 所 有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。