概率论复习题
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
概率论复习题
概率论复习题### 概率论复习题#### 一、选择题1. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个选项是正确的？ - A. X的期望值是np- B. X的方差是np(1-p)- C. X的分布是连续的- D. X的分布是离散的2. 如果随机变量X和Y是独立的，那么下列哪个选项是错误的？- A. P(X > 0, Y > 0) = P(X > 0)P(Y > 0)- B. P(X ≤ 0, Y ≤ 0) = P(X ≤ 0)P(Y ≤ 0)- C. P(X > 0, Y > 0) = P(X ≤ 0)P(Y ≤ 0)- D. P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)#### 二、填空题1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X ≤ 0) = ________。
2. 若随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则其期望值E(X) = ________。
3. 设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x, y)，若X和Y是独立的，则f(x, y) = ________。
4. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为f(x) = ________。
#### 三、计算题1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求其概率密度函数。
2. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望值和方差。
3. 已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x, y)，求其边缘概率密度函数f_X(x)和f_Y(y)。
4. 设随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，求其概率质量函数。
#### 四、证明题1. 证明随机变量X服从二项分布B(n, p)时，其期望值E(X) = np。
2. 证明随机变量X和Y独立时，其联合概率密度函数f(x, y)可以表示为边缘概率密度函数f_X(x)和f_Y(y)的乘积。
#### 五、应用题1. 某工厂生产的零件合格率为0.95，现随机抽取100个零件，求至少有90个零件合格的概率。
概率论复习题题库
第一章 随机事件与概率第一部分 作业1. 将三封信任意投到四个信筒中，求三封信都投到同一信箱和分别投到三个不同信箱的概率。
2. 设,A B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：(|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
3. 甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4. 三台机器独立的运转着，三台机器不发生故障的概率分别为0.9、0.8和0.7，求三台机器至少有一台发生故障的概率。
第二部分 综合练习一、填空题1. 已知()0.5,()0.25P A P B A ==，则()P AB = 。
2. 试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次不发生的概率是 。
3. 设A 表示事件“掷一颗骰子出现偶数点”，B 表示事件“掷一颗骰子出现2点”则A 与B 的关系是 。
4. 将3个球随机地放入4个盒子中，则事件“盒中球个数最多为1”的概率为 .5. 设在三次独立试验中，事件A 发生的概率都相等。
若已知A 至少发生一次的概率为0.784，则A 在一次试验中发生的概率为 。
二、选择题1. 对于任意两事件A 和B ，( ) A. 若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 B. 若AB ≠Φ，则A 和B 可能独立 C. 若AB =Φ，则A 和B 一定独立 D. 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立2. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( ) A. 23(1)p p - B. 26(1)p p - C. 223(1)p p - D. 226(1)p p - 3. 设事件A 与事件B 互不相容，则( ) A. ()0P A B = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D.()1P A B ⋃= 4. 设事件A B ⊂且0()1P A <<，则必有( )A. ()(())P A P A A B ≥+B. ()(())P A P A A B ≤+C. ()()P B P B A ≥D. ()()P B P B A ≤5. 随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( )。
概率论
①
7 3 P ( B2 A1 ) = , P( B2 A2 ) = 8 4
P( A1 B1 ) = P( A1 B1 ) P( A1) P( B1 A1 ) = P ( B1 ) P( B1 )
P( A2 B1 ) P( A2 ) P( B1 A2 ) = P( B1 ) P( B1 )
1 n ∑ Xi ， n i =1
S2 =
1 n 。 ∑ ( X i − X ) 2 试求 S 2 的期望 E（ S 2 ）和方差 D（ S 2 ） n − 1 i =1
复习题三参考答案
一、1、0.3 二、1、C
2、0.2
3、
1 e
4、
1 4
5、0
6、
1 3
2、D 3、C
4、D 5、A 6、B
三、 （1） P ( B ) = P( A U B ) − P ( A) = 0.4 （2） P ( A U B ) = P( A) + P( B) − P ( A) P ( B)
(n − 1) S 2
σ
2
~ x 2 (n − 1)
E ( χ 2 (n − 1)) = n − 1
即： D
D( χ 2 (n − 1)) = 2(n − 1)
(n − 1) S 2 2 = 2(n − 1) σ
又
(n − 1) S 2 (n − 1) 2 2 D σ2 = σ 4 D( S ) = 2(n − 1)
2 , a < x < +∞ 五、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = π (1 + x 2 ) 。 0, 其它
概率论期末复习题库答案
概率论期末复习题库答案一、选择题1. 某随机事件的概率为0.6，那么它的对立事件的概率为：A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 无法确定答案：A2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2答案：B3. 如果一个骰子连续投掷两次，求至少出现一次6的概率：A. 1/6B. 5/6C. 2/3D. 1/3答案：B二、填空题1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X ≤ 0) = _______。
答案：0.52. 如果随机变量X的期望值为2，方差为4，那么P(X = 4) =_______。
答案：无法直接给出，需要更多信息3. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.4，且P(A∩B) = 0.1，那么事件A和B是________。
答案：既不互斥也不独立三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为：\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]其中，\( P(A|B) \) 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，\( P(A \cap B) \) 是事件A和事件B同时发生的概率，\( P(B) \) 是事件B发生的概率。
2. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
答案：大数定律是概率论中的一个基本概念，它描述了随机事件在大量重复试验中表现出的稳定性。
具体来说，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的相对频率会越来越接近其真实概率。
四、计算题1. 假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
如果从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率 \( P(\text{红球}) \) 可以通过以下公式计算：\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球的数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \]2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=2的概率。
概率论复习题
第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在内的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ，41)(=B P ，61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、假设3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，∅=AB ，则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ，41)(=B P ，21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、假设5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
长安大学概率论复习题答案
长安大学概率论复习题答案一、选择题1. 事件A和B互斥是指：A. A和B同时发生B. A和B不可能同时发生C. A发生时B一定发生D. A和B至少有一个发生答案：B2. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ表示：A. 均值B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 以下哪个不是概率论中的基本概念？A. 事件B. 随机变量C. 样本点D. 回归分析答案：D二、填空题1. 概率的公理之一是，任何事件的概率值介于________和1之间。
答案：02. 随机变量X的期望E(X)是所有可能值的加权平均，其中权重由________给出。
答案：概率分布3. 两个事件相互独立，意味着一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。
如果事件A和B相互独立，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)，其中P(A∩B)表示________。
答案：A和B同时发生的概率三、简答题1. 什么是条件概率？请给出其数学表达式。
答案：条件概率是指在已知某个事件B发生的条件下，另一个事件A发生的相对概率。
其数学表达式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率。
2. 什么是大数定律？它在实际应用中有何意义？答案：大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了随机事件在大量重复实验中出现的频率趋近于其概率的现象。
在实际应用中，大数定律意味着当我们进行足够多次的独立实验时，实验结果的平均值将接近于理论概率值，这对于统计推断和风险评估等领域具有重要意义。
四、计算题1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X的期望和方差。
答案：对于泊松分布，X的期望E(X) = λ，方差Var(X) = λ。
2. 已知两个相互独立的随机变量X和Y，X服从均值为2，方差为1的正态分布，Y服从均值为3，方差为4的正态分布。
求Z = X + Y的期望和方差。
答案：由于X和Y相互独立，Z = X + Y的期望E(Z) = E(X) +E(Y) = 2 + 3 = 5，方差Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 4 = 5。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论复习题和答案
概率论复习题和答案# 概率论复习题和答案一、选择题1. 事件A和B是互斥的，如果P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.4答案：C. 0.72. 抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A. 0.53. 随机变量X服从均值为μ，方差为σ²的正态分布，那么P(X > μ)是多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 不能确定答案：A. 0.5二、填空题4. 如果事件A的概率是0.6，事件B的概率是0.5，且P(A∩B) = 0.2，那么P(A∪B)等于______。
答案：0.75. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么X 的期望E(X)等于______。
答案：3三、简答题6. 什么是条件概率？请给出条件概率的定义和公式。
答案：条件概率是指在已知某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的相对概率。
条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) /P(B)。
7. 什么是大数定律？请简述其主要内容。
答案：大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件在大量重复实验中所表现出的稳定性。
主要内容是，当独立同分布的随机变量的个数趋于无穷大时，它们的算术平均值会趋近于它们的期望值。
四、计算题8. 某工厂生产的灯泡，其寿命超过1000小时的概率为0.7。
如果随机抽取5个灯泡，求至少有3个灯泡寿命超过1000小时的概率。
答案：首先计算恰好有3个、4个、5个灯泡寿命超过1000小时的概率，然后将这些概率相加。
使用二项分布公式计算，具体计算过程略。
9. 假设有一批零件，其合格率为90%。
如果从这批零件中随机抽取100个，求至少有85个是合格品的概率。
答案：使用正态近似的方法来计算，首先计算期望和标准差，然后使用标准正态分布表来查找对应的概率。
概率论复习题
一、选择题1.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ）A.0.12B.0.25C.0.375D.0.52.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<.,0;2x 1,x 2;1x 0,x 其它 则P{0.2<X<1.2}的值是（）A.0.5B.0.6C.0.66D.0.73.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （ ） A.31B.32C.1D.3104.设二维随机变量则F （0,1）=（ ）A.0.2B.0.6C.0.7D.0.85.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ ）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=416.设随机变量X 的E （X ）=μ,D(X)=2σ，用切比雪夫不等式估计≥σ≤-)3|)X (E X (|P （ ）A.91 B.31C.98D.1 1. 事件A,B 是任意两个事件,与A B=B 不等价的是( ).(a)A B ⊂ (b) B A ⊂ (c) AB =Φ (d) AB =Φ2. 已知12(),()F x F x 是分布函数,为使12()()()F x aF x bF x =-是个分布函数,则应取( ).(a)32,55a b ==- (b)22,33a b == (c)13,22a b =-= (d)13,22a b ==-3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.4. 总体上讲，甲地的气温)(X 比乙地的气温)(Y 高，而甲地的温差比乙地的温差小, 则正确的是： (A) DY DX EY EX >>,； (B) DY DX EY EX <<,； (C) DY DX EY EX ><,； (D) DY DX EY EX <>,。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论数理统计复习测验题
模拟试卷一、单项选择题：(每题2分，共14分)1.同时掷两颗骰子，消失的点数之和为10的概率为( )a 1 n 1 「5 c 7A. -B.—C∙— D.—4 12 12 122,设A,3为相互独立的随机大事，则下列正确的是( )A.P(B | A)=尸(A | B) B, P(B∣ A)=尸(A)C. P(A∖ B) = P(B)D. P(AS) = P(A)P(B)3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不行能听从()A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布4.设X听从正态分布N(2,4),Y听从参数为2的泊松分布，且X与丫相互独立，则D(2X-Y) =.A.14B.16C.18D.205.设x与y是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度分别为力和心(χ),则.A.∕1 (x) + f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.3(/。
) +力。
))必为某一随机变量的概率密度C./；(工)-力*)必为某一随机变量的概率密度D.力。
)力(幻必为某一随机变量的概率密度6.设X,,X2√-,Xπ是总体X的简洁随机样本，O(X) = ,,记1 n 1 //x=-Yx if s2 =——y(X,.-X)2，则下列正确的是建 /=1 "1 /=1A. S是。
的无偏估量量B. S是。
的极大似然估量量c.S2是，的无偏估量量 D.S与又独立7.假设检验时，当样本容量肯定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯其次类错误的概率( ).A.变小B.变大C.不变D.不确定1O2,在三次独立试验中，大事A消失的概率相等,若已知A至少消失一次的概率等于则27大事A在一次试验中消失的概率为3,若X〜N(l,4), y~N(L3)且X与y独立，则X — y〜4.设x和y是两个相互独立且听从同一分布的连续型随机变量，则P｛X>Y｝=.5.设随机变量X的分布未知，E(X) = μ , D(X) = σ29则采用切比雪夫不等式可估量P(∖X~μ∖< 2。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，在许多领域都有着广泛的应用。
为了帮助大家更好地复习这门课程，下面为大家准备了一些复习题。
一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则P(05 ＜ X ＜ 1) ＝（）A 075B 05C 025D 12、设随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，且 P(X ＝ 1) ＝ P(X＝ 2)，则λ ＝（）A 1B 2C 3D 43、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0, 1)，Y 服从自由度为 n 的χ²分布，则 X²／ Y 服从（）A F 分布B t 分布C 正态分布D χ²分布4、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中σ² 已知，μ 未知。
X₁,X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （X zα/2 σ/√n, X＋ zα/2 σ/√n)B （X tα/2 （n 1) S/√n,X＋ tα/2 （n 1) S/√n)C （X zα σ/√n, X＋ zα σ/√n)D （X tα （n 1) S/√n, X＋ tα （n 1) S/√n)5、设总体 X 服从参数为 p 的 0 1 分布，p 未知，X₁, X₂,， Xₙ是来自总体 X 的样本，则 p 的矩估计量为（）A XB 1 XC 2X 1D X²二、填空题1、设随机事件 A 和 B 相互独立，P(A) ＝ 05，P(B) ＝ 06，则 P(A ∪ B) ＝＿_______。
2、设随机变量 X 服从区间0, 2上的均匀分布，则 E(X) ＝＿_______，D(X) ＝＿_______。
3、设随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布，且 P(X ＞ 1) ＝ e⁻¹，则λ ＝＿_______。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论复习题
概率论简明教程 一．选择题1．设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件为 D ．(A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙两种产品均畅销”； (C ) “甲种产品滞销”； (D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” .2．设A B ⊂，则下面正确的等式是 B .（A ）)(1)(A P AB P -=； （B ）)()()(A P B P A B P -=-； （C ）)()|(B P A B P =； （D ）)()|(A P B A P =3．设随机变量X 的分布律为 5,4,3,2,1,15/)(===k k k X P 。
则)5.25.0(<<X P 的值是 B .(A ) 6.0 ； (B ) 2.0 ；C ) 4.0 ； (D ) 8.0 ．4．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 B .)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .5. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，如果 A ，则恒有1)(0≤≤x f .(A ))1,0(~N X ； (B )),0(~2σN X ；(C )),1(~2σ-N X ； (D )),(~2σμN X .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<+=,)(0,)1(/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为 C 的随机变量.(A ) 独立同分布； (B ) 独立不同分布； (C ) 不独立同分布； (D ) 不独立不同分布.7. 设X 为随机变量，若1.1)(2=X E ，1.0)(=X D ，则一定有 B .(A )9.0)11(≥<<-X P ； (B )9.0)20(≥<<X P ； (C )9.0)11(<≥+X P ； (D )1.0)1(≤≥X P .8. 设A B ⊂，则下面正确的等式是 B 。
概率论复习题库
第一章一、填空题1、已知34.0)(=A P ,52.0)(=B P ,26.0)(=AB P ,则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
2、设事件A 、B 相互独立，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
3、设事件A 、B 互不相容，且()0.4P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，()P AB = 。
3、设,,A B C 表示随机事件，则事件“C B A 、、都不发生”表示为 ，“A B 、至少有一个发生”表示为 。
4、甲,乙两人进行射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.85,则（1）至少一人击中目标的概率是 ，（2）两人同时命中的概率是 。
5、甲乙丙三人独立地同时破译密码，若各人能译出密码的概率为1/5，1/4，1/3，则此密码能被他们同时译出的概率为 ，此秘密能被破译出的概率为 。
6、某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25%、35%、40%，这三台机器的不合格品率依次为5%、4%、2%，现从总产品中任取一件，求恰好抽到不合格品的概率是 .二、选择题：1、设A,B 为两事件，则ABAB 为（ ） ()()()()A B AC D A B ΦΩ⋃2、设A ,B 为两事件，则AB 表示事件( )（A ）B 发生且A 不发生 （B ）A 与B 恰有一个发生 （C ）A 发生且B 不发生 （D ）A 与B 不同时发生 3、若()()()P AB P A P B =，则（ ）. (A) A ，B 相互独立 (B)A ，B 构成样本空间的一个划分(C)AB φ= (D)()()P B A P A =4、设袋中有5个白球3个黑球，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到白球的概率是（ ）. (A) 514 (B) 2564 (C) 58 (D) 38第二章 一、填空题 1、设..(4,9)r v XN ，则{0}P X == , {10}P X <= , (31)E X --= ，(2)D X -= ，21Y X =+ 。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题### 概率论与数理统计复习题#### 一、单项选择题1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X > 1.96)的值是（）。
A. 0.025B. 0.975C. 0.05D. 0.952. 假设随机变量X和Y是独立的，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)的值是（）。
A. 0.15B. 0.3C. 0.5D. 0.83. 已知随机变量X服从二项分布B(10, 0.6)，求E(X)的值是（）。
A. 4B. 6C. 10D. 3#### 二、填空题1. 如果随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则X的期望值E(X)等于______。
2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数f(x)为______。
3. 对于任意随机变量X，其方差Var(X)的定义是Var(X) = E[(X - E(X))²]，其中E(X)表示X的______。
#### 三、简答题1. 简述大数定律的内容及其在实际应用中的意义。
2. 描述中心极限定理，并解释为什么它在统计学中非常重要。
#### 四、计算题1. 已知随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(1 < X < 3)的值。
2. 假设随机变量X和Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y服从参数为0.5的均匀分布。
求Z = X + Y的期望值E(Z)。
#### 五、证明题1. 证明如果随机变量X服从参数为p的伯努利分布，那么X的方差Var(X)等于p(1-p)。
2. 证明对于任意随机变量X和Y，如果它们是独立的，那么它们的协方差Cov(X, Y)等于0。
#### 六、论述题1. 论述在实际问题中，如何使用概率论与数理统计的方法来估计总体参数，并给出一个具体的例子。
2. 讨论在数据分析中，为什么需要对数据进行假设检验，并解释常见的假设检验方法。
通过这些复习题，可以全面地回顾和巩固概率论与数理统计的基本概念、定理和计算方法。
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页P3015、设母体X 具有正态分N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样(X X X X X X 654321,,,，，)又设Y=）（X X X 3212+++）（X X X 6542++。
试决定常数C ，使得随机变量CY 服从x 2分布。
解：C=3131Y=31[）（X X X 3212+++）（X X X 6542++] =⎪⎭⎫ ⎝⎛++33212X X X +⎪⎭⎫ ⎝⎛++36542X X XXX X ++321,～N(0,32) 3321XX X ++∴～N(0,1)X X X ++654,,～N(0,32) 3654X X X ++∴～N(0,1)=∴Y 31⎪⎭⎫ ⎝⎛++33212X X X +⎪⎭⎫ ⎝⎛++36542X X X ～)2(2X页P 3018、设X X X X X m n n n ++,...,,...,121是分布为N(0,σ2)的正态母体容量为n+m的子样，试求下列统讲量的概率分布：(1)∑∑++===mn n i ini iXX Y nm 1211 (2)∑∑++===m n n i ini i X X Y n m 12122（1）解：∑ni x 1～N(0,σn 2)，σ21n nix∑～N(0,1)，∑++=mn n i ix122σ～)(2m x由T 分布定义：T=mn mn n i i ni x x∑∑++=12221/σσ=∑∑++=m n n i ini xxnm 121～t 分布自由度为m 。
（2）解：∑∑++===mn n i ini i X X Yn m 12122∑∑==ni nix xi 12212)(σσ，σxi～N(0,1)，∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n i x i 12σ～)(2n x同理，∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑++=++==mn n i mn n i i x x i 12212σσ σx i ～N(0,1)，∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∴mn n i x i 12σ～)(2m x由F 分布定义，可知：∑∑++===mn n i ini i X X Yn m 12122=mi ni mn n i n x x ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212σσ～F(n,m)页P76体X 具有在区间[a,b]上的均匀分布，其分布密度为f(x)=b x ≤≤ 其中a,b 是未知参数，试用矩法求a 与b 的估计量。
解：E(X)=2ba +,D(X)=()122b a +所以，由矩法估计有==∑n i x n x 112ba + （1）()==∑-nx x Sin 1221()122b a + (2)由（1）知道，a+b=2x 由(2)知道，b-a=2S 3 由（1）+（2） 得2b=2x +2S 3 所以，b=x +S 3,a=x -S 3页P764、设母体X 的分布密度为.0>θ（1）求的最大似然估计θ。
（2）用矩法求的估计量ϑ。
解：（1）L ()∏∏=-===ni i ni i n x x X X 1111,),...(θθθθ取对数lnL=ln(∏=-ni i x 11θθ)=ln[⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=-n i i x 11θθ]=nln ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∏=n i i x 1ln 1θθ0ln ln 1令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∏=n i i x nd L d θθ 所以，∏=-=ni ix n 1^ln θ解（2）用矩法求ϑ因为 E(x)=111111+=+==+-⎰⎰θθθθθθθθθxx x dx dx x由矩法估计有：1)(+==θθx E xθθ=+)1(x ，x x -1(x ^页P778、设母体X 的分布密度为θ的最大似然估计。
解：L=()()eeni i ix x ni ∑==--=--∏11θθLnL=-()∑=-n i i x 1θ=θn ni i x +-∑=1n d Ld =θln . 由上述结果，不能求出θ的估计值，由分析密度函数结构，参数为数据里最小的)...min(1^x x n =θ。
页P7712、设母体X 服从正态分布N(1,μ),(X 1,X 2)是从母体中抽取的一个子样。
试验证下面三个估计量。
（1）X X 21^13132+=μ 解：E(^1μ)=E(X X 213132+)=X X 213132+=μμμ=+3132(无偏) D （^1μ）=D(X X 213132+)=959194)()(22123132=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛X X D D (2)^2μ=XX 214341+解：E(^2μ)=E(X X 214341+)=)(43)(4121X X E E +=μμμ=+4341(无偏)D(^2μ)=D(X X 214341+)=)()(22124341XX D D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=85169161=+ （3）XX 21^32121+=μ解：E(^3μ)=E(X X 212121+)=)(21)(2121X X E E +=μμμ=+2121(无偏)D(^3μ)=D(X X 212121+)=214141)()(22122121=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛X X D D (无偏) 由以上结果，可知^3μ的方差最小。
P 79 23题 ：从正态母体中抽取一个容量为n 的子样，算得子样标准差S*的数值。
设（1）n=10,S*=5.1; (2)n=46,S*=14。
试求母体标准差σ的置信概率为0.99的置信区间。
解：2222(1)*~(1)n s x x n σ-=-对α可以由查表2x分布表找到2/2a x 使22221/2/22221/2/22221/2/2222222/21/222222/21/2{}{}/2{}1(1)*(1)*(1)*(1)*(1)*[,]p x x p x x p x x x n s xx n s n s x x n s n s x x αααααααααααασσσ-----<=>=<<=--<<⇒--<<--的置信区间将（1）n=10,S*=5.1带入得 （3.150，11.616）将(2)n=46,S*=14带入得 （10.979，19.047）P 79 22题：对于方差σ2为已知的正态母体，问需抽取容量n 为多大的子样，才使母体平均数μ的置信概率为1-α的置信区间的长度不大于L解：/2/2/2/22/21[222()x u x u M u Lu Ln u Lαααααμασσ--+=≤≤∴≥的的置信区间为长度为P 78 20题：为估计制造一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验。
由试验值算得平均张力为6720 kg/cm 2,标准差s*为220 kg/cm 2。
设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的置信概率为95%的置信区间解：/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2~90.05{}10.95[T T T t T t T t t x t t t x t x t x t x t x t x t x t ααααααααααααααααμμμ==≤=-≤≤-≤≤-≤-≤⇒--≤-≤-+-≤≤+-+分布自由度为对由查分布图可知使p 即置信度区间估计为代数得(6562.618,6877.382)页P111例1、检验一颗骰子的六个面是否匀称(取%5=α)现在掷120次，结果如下：点数 1， 2， 3， 4， 5， 6 频数 21， 28， 19， 24， 16， 12解：用上法检验，计算6112061120611206112061120611206112012611201661120246112019611202861120212222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-x=8.1 查附表3得，07.11)5(205.0=x 。
易见)5(205.02x x 〈，所以接受H 0，即可以认为骰子六个面是均匀的，页P1161、从己知标准差2.5=σ的正态母体中，抽取容量为n=16的子样，由它算得子样平均数56.27=x 。
试在显著水平0.05下，检验假设H 0：26=μ。
解：⑴H： 26=μ(2) 统计量： nx /26σμ-=，在H成立时，μ～N （0，1）分布(3)05.0=α μα2=1.96(4) 计算2.1/2.526756.2=-=nμ，96.12.1〈=μ H 0接受∴页P1113、某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为(%)x 3.25 , 3.27 , 3.24, 3.26, 3.24 测定值服从正态分布。
问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为3.25。
解：⑴H： μ=3.25（2）nx T s /25.3*-=当H成立时，T ～t 分布，自由度为4。
(3) 01.0=α 005.021=α41.6.42=t α()∑--=n x x sin n 12*11166.0*=s252.3=x（4）n x T s /25.3*-==38.05/1166.025.3252.3=- 因为0.038<4.6041,所以，接受H 0。
页P11816、某电工器材厂生产一种保险丝。
测量其熔化时间，依通常情况方差为400。
今从某天产品中抽取容量为25的子样，测量其熔化时间并计算得24.62=x ,s *2=404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显差异（%1=α）？假定熔化时间是正态母体。
解：（1）H： 4002=σ（2）找统计量()σ22*12s xn -=～)1(2-n x 当H成立时。
(3)01.0=α56.4522=xα(4)()29.2440077.40424400*1252=⨯=-=s x因为56.4529.24222=〈=x xα 所以，接受H 0。
120P页26、有一正四面体，将此四面体分别涂为红、黄、蓝、白四色。
现在任意地抛掷它直到白色面与地面相接触为止。
记录其抛掷的次数，作为一盘试验。
作200盘这样的试验，结果如下：抛掷次数 1， 2， 3， 4，5≥ 频 数 56， 48， 32， 28，36 问该四面体是否均匀（05.0=α）? 解：（1）H： 是均匀的。
（2）()∑-=5122pp n m x ini i(3)49.92=x α73.222=x因为x x 22α>，所以否定H 0P169 3题 抽查某地区三所小学五年级男生的身高，得数据如下：答：2133.75S = 22103.1S = 23 5.27S =3216852.72E iQ S==∑ 355415.2A Q = /(31)~/(183)A E Q F F Q -=-分布.第一自由度为2，第二自由度150.05α= ()2,15 3.68F = 312.59F = (2,15)F F > ∴有显著差异 P169 4题 一实验室有一批伏特计。