波动方程求解法2

现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:

2

00

(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.

11(,)(()())()22()().22x at x at

x at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠

∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形

称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x at

d at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，

()ωξ

1(,)().2x at x at

v x t d at ωωξξ+−=∫记作

于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t t

ϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.

23

123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222

112233:()()()r C x x x r

ξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：

123,1,2,3,

sin cos ,sin sin ,cos ,

0,02.

i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤

21231122332002123112233100211(,,,)(,,),

(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)

4sin ,sin ,

r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r

∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:

r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈

12312321122332200(,,,)(,,,)

11(,,)(3.7)

44r r r

C v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有

再由复合函数的求导法则

应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导

r C 33212001111,44r k k r k k k

k

C v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫

21,(3.8)4r

D v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,

r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200

sin ,

r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有

223211,(3.9)24r r

r D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).

下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知

211223312300001(,,)(,,).

4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασ

ωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知

3

1231232123141(,,)(,,),433

(,,).

r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r r

ξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.

引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则

123123(,,,)(,,,)

(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题

2001230()|0,|(,,)

tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.

证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),
ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),
其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得
2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.
2 2
关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.