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【压轴题】数学中考一模试题(附答案)

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2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题一、倍长八字共5小题1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ． （1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ． （1）求∠EDF 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线C D ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF=EC ，连接BF 交CD 于G.(1)依题意补全图形； (2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明.4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. （1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。

5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为边BC 上一点（不与点C 重合），CD ＜BD ，点E 在AD 的延长线上，且ED =AD ，连接BE ，过点B 作BE 的垂线， 交边AC 于点F ． （1）依题意补全图形； （2）求证：BE =BF ；（3）用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．ABCDABCD二、一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ． （1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠； （2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形； （2）求∠DOC 的度数.四、手拉手共5小题8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ． （1）依题意补全图形，写出∠CAE= ° （2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ． （1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．AB C A B C AB C10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；∠=∠；①求证：BDP PCBBC BD BP之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段,,BC BD BP之间的数量关系．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为边BC 上一动点，点E 在边AC 上， C E CD =．点D 关于点B 的对称点为点F ，连接AD ，P 为AD 的中点，连接,,PE PF EF ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，写出线段PE 与PF 之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D 与点,B C 不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

(完整)中考数学压轴题精选及答案

(完整)中考数学压轴题精选及答案

一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。

上海市2020中考一模数学专题02 相似三角形 选择填空题之压轴题训练

上海市2020中考一模数学专题02 相似三角形 选择填空题之压轴题训练

专题02相似三角形选择填空题之压轴题训练(2)一、选择题（本大题共12题）1.（徐汇2020一模6）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为︒30的直角三角形都相似；B.凡有内角为︒45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为︒60的直角三角形都相似；D.凡有内角为︒90的等腰三角形都相似．2.（进才北2019十月6）如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，//EF CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是()A.AF DEDF BC=; B.DF AFDB DF=; C.EF DECD BC=; D.AF ADBD AB=.3.（金山2019期中6）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE//BC ，点F 为BC 边上的一点，连接AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是（）A.AD AEAB EC=;B .AG EGGF CF=; C.EG GDCF FB=; D.AG DEFG BC=.4.（黄浦2020一模6）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）A ．AD DEAB BC=;B ．AD AEAC AB=;C ．AD •AB ＝DE •BC ;D ．AD •AC ＝AB •AE.5.（闵行2019期中6）如图，在△ABC 中，∠A=60︒，CD 、BE 分别是边AB 、AC 上的高线，联结DE ，那么△ADE 和△ACB 的周长之比为（）A.12;B .32; C.14; D.34.6.（松江2021一模6）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53； B.73； C.83； D.103.7.（普陀2019期中6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，那么下列结论中，错误的是（）A.OAD OBC ∠=∠;B.12AB CD =; C.12AOB DOC C C ∆∆=;D.19AOD BOC S S ∆∆=.8.（杨浦2021一模6）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（）A ．S △AOB ＝S △DOC ；B ．AOB BOC S OD S OB∆∆=； C.AOD BOC S OA S OC ∆∆=;D ．ABD ABC S ADS BC ∆∆=.9.（普陀2021一模6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD OBOC=，由此推得的正确结论是()A.OA ABOD CD=； B.OA ADOC BC=； C.OB ABOD CD=； D.AB ADCD BC=．10.（浦东南片联合2019期中6）如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF 为内接正方形，那么AD ：DE ：EB 为（）A.3︰4︰5;B.16︰12︰9;C.9︰12︰16D.16︰9︰25.11.（杨浦黄兴2019九月6）如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB ，则此三角形移动的距离是（）A.﹣1；B.；C.1；D.22.12.（闵行2021一模6）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8cm ；D ．10cm.二、填空题（本大题共12题）13.（奉贤2019期中18）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且AP=4，那么BN=________．14.（嘉定2019期中18）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ＝CE ，将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，且DF ∥AB ，则BD 的长为．15.（崇明2021一模18）在ABC 中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．16.（松江2021一模18）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为．17.（长宁金山2020一模18）18.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP △绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于_____．18.（浦东四署2019期中18）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处.如果ADm DB =，AE n EC=.那么用含n 的代数式表示m 是：m =__________________.20.（静安2021一模18）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，2tan3B （如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么CDA'D的值为．21.（杨浦黄兴2019九月18）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为_____时，使得△BOC∽△AOB．22.（黄浦2021一模18）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．23.（浦东2021一模18）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC 上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．24.（新竹园2019九月18）如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为_____．专题02相似三角形选择填空题之压轴题训练(2)一、选择题（本大题共12题）1.（徐汇2020一模6）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为︒30的直角三角形都相似；B.凡有内角为︒45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为︒60的直角三角形都相似；D.凡有内角为︒90的等腰三角形都相似．【答案】B ；【解析】解：凡有内角为30︒的直角三角形都相似,故A 为真命题；凡有内角为45︒的等腰三角形不一定相似，45︒是顶角还是底角不确定，故B 是假命题；凡有内角为60︒的直角三角形都相似，故C 为真命题；凡有内角为90︒的等腰三角形都相似，故D 为真命题；因此假命题为B ，答案选B.2.（进才北2019十月6）如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，//EF CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是()A.AF DEDF BC=; B.DF AFDB DF=; C.EF DECD BC=; D.AF ADBD AB=.【答案】C;【解析】解:A 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF AE DF EC =，AE DEAC BC=，∵CE≠AC ，∴AFDE DF BC ≠，故本选项错误；B 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF AE DF EC =，AE ADEC BD =，∴AF AD DF BD =，∵AD≠DF ，∴DF AF DB DF ≠，故本选项错误；C 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴DE AE BC AC =，EF AE CD AC =，∴EF DE CD BC =，故本选项正确；D 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AD AE ABAC =，AF AE AD AC =，∴AF AD AD AB =，∵AD≠DF ，∴AF AD BD AB≠，故本选项错误.故答案选C.3.（金山2019期中6）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE//BC ，点F 为BC 边上的一点，连接AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是（）A.AD AEAB EC=;B .AG EGGF CF=; C.EG GDCF FB=; D.AG DEFG BC=.【答案】C ；【解析】解：∵DE//BC ，∴AD AEAB AC =，故A 错误；∵DE//BC ，∴AG EG AF CF=，故B 错误；∵DE//BC ，∴AG EG DG AF CF BF ==，故C 正确；∵DE//BC ，∴AG AE DE AF AC BC==，故D 错误；因此答案选C.4.（黄浦2020一模6）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）A ．AD DEAB BC=;B ．AD AEAC AB=;C ．AD •AB ＝DE •BC ;D ．AD •AC ＝AB •AE.【答案】D ；【解析】解：∵∠EAD ＝∠CAB ，∴当AE ADAC AB=，即AD •AC ＝AB •AE ，∴ED ∥BC ，故答案选D ．5.（闵行2019期中6）如图，在△ABC 中，∠A=60︒，CD 、BE 分别是边AB 、AC 上的高线，联结DE ，那么△ADE 和△ACB 的周长之比为（）A.12;B .32; C.14; D.34.【答案】A ；【解析】解：∵在△ABC 中，∠A=60︒，CD ⊥AB,BE ⊥AC ，易知△ADC ∽△AEB ，∴AD ACAE AB=，又∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，故△ADE 和△ACB 的周长之比为AD:AC ，在Rt △ABC 中，∠A=60︒，∴AD ：AC=1：2，故答案选A.6.（松江2021一模6）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53； B.73； C.83； D.103.【答案】C ；【解析】解：如图，连接AG 并延长交BC 于点D ． 点G 是△ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =，∵CB=8，∴142CD BD BC ===，∵GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，∵EAG CAD ∠=∠（公共角），∴△AEG ∽△ACD ，∴EG AG CD AD =，∵21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ．7.（普陀2019期中6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，那么下列结论中，错误的是（）A.OAD OBC ∠=∠;B.12AB CD =; C.12AOB DOC C C ∆∆=; D.19AOD BOC S S ∆∆=.【答案】D;【解析】解:∵OA =2，OB =3，OC=6，OD=4，∴23OA OD OB OC ==,∵∠AOD=∠BOC,∴△OAD ∽△OBC,∴OAD OBC ∠=∠，49AOD BOC S S ∆∆=,故A 正确，D 错误；∵OA=2，OB=3，OC=6，OD=4，∴12OA OB OD OC ==,∵∠AOB=∠DOC,∴△OAB ∽△ODC,∴12AB CD =,12AOB DOC C C ∆∆=,故B 正确，C 正确；故选D.8.（杨浦2021一模6）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（）A ．S △AOB ＝S △DOC ；B ．AOB BOC S OD S OB ∆∆=； C.AOD BOC S OA S OC ∆∆=;D ．ABD ABC S ADS BC∆∆=.【答案】C ；【解答】解：如图，∵AD ∥BC ，∴S △ABC ＝S △DCB ，即S △AOB +S △OBC ＝S △OBC +S △DOC ，S △AOB ＝S △DOC ，所以A 选项的结论正确；∵AD ∥BC ，∴OA OD OC OB =，∵AOB BOC S OA S OC ∆∆=，∴AOB BOC S OD S OB ∆∆=；所以B 选项的结论正确；∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴2AOD BOC S OA S OC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以C 选项的结论错误；∵AD ∥BC ，∴点B 到AD 的距离等于点A 到BC 的距离，∴ABD ABC S AD S BC∆∆=，所以D 选项的结论正确；故答案选C．9.（普陀2021一模6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD OBOC=，由此推得的正确结论是()A.OA ABOD CD=； B.OA ADOC BC=； C.OB ABOD CD=； D.AB ADCD BC=．【答案】A ；【解析】解：∵OA OD OB OC =,∴OA OBOD OC=，又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，∴OA ABOD CD=，故A 正确；因此答案选A.10.（浦东南片联合2019期中6）如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF 为内接正方形，那么AD ：DE ：EB 为（）A.3︰4︰5;B.16︰12︰9;C.9︰12︰16D.16︰9︰25.【答案】B ；【解析】解：设正方形边长为a ，即：DF=FG=EG=DE=a ；∵FD AB ⊥，四边形DEGF 为内接正方形，∴90ADF C ∠=∠= ，又∵A A ∠=∠，∴ADF ACB ∽，∴ADDF AC BC =,即：43AD a=，解得43AD a =；同理可得：BEG BCA ∆∆∽,∴BEEG BCCA =，即：34BE a=，解得34BE a =；∴43::::16:12:934AD DE EB a a a ==．故选B ．11.（杨浦黄兴2019九月6）如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离是（）A.﹣1；B.；C.1；D.22.【答案】A ；【解析】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，∴AC ∥DF ，∴△ABC ∽△DBG ，∴DBG ABC S S ＝（DB AB ）2＝12，∴AB ：DB：1，∵AB，∴DB ＝1，∴AD﹣1．故选：A ．12.（闵行2021一模6）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8cm ；D ．10cm.【答案】C;【解答】解：∵一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，∴她下半身的长度为92cm ，设鞋跟高为x 厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得6292x+≈0.618，解得x ≈8.3（cm ）．经检验x ＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故答案选C ．二、填空题（本大题共12题）13.（奉贤2019期中18）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且AP=4，那么BN=________．【答案】132;【解析】解：如图，连接BP ，交MN 于点O ；则BO=PO ，BO ⊥MN ；∵∠ABC=90°，∴∠MBO+∠NBO=∠NBO+∠BNO ，∴∠MBO=∠BNO ；∵AP ∥BC ，且∠ABC=90°，∴∠BAP=90°；由勾股定理得：BP 2=AB 2+AP 2，∵AB=6，AP=4，∴，ABP=∠BNO ，∴△ABP ∽△OBN ，∴AP PB BO BN =BN =解得：BN=132．14.（嘉定2019期中18）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ＝CE ，将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，且DF ∥AB ，则BD 的长为．【答案】4529；【解答】解：如图，延长DF 交AC 于点G ，设BD ＝CE ＝x ，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，∴AC 12，∵将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，∴EF ＝CE ＝x ，∵DF ∥AB ，∴∠A ＝∠EGF ，∴△ABC ∽△GEF ，∴AB BC GE EF=，即133GE x =，解得GE ＝133x ，∴CG ＝GE +CE ＝133x x +=163x ，∵DF ∥AB ，∴CG CD AC BC =，即1653125x x -=，解得x ＝4529．即BD ＝4529．15.（崇明2021一模18）在ABC 中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．【答案】;【解析】解：过点A作AM⊥BC,在Rt△ABM中，AM=AB⨯sin45°=2=42,AC=AM÷∵'A E AC⊥，∠AEA´=90°,∵△ADE≌△A´DE,∴∠AED=∠A´ED=45°,∴∠AED=∠B,∵∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB,AE AD AB AC=，=,AE==.16.（松江2021一模18）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且1BE=，将CBE△沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE的长为．【答案】152;【解析】解：设AE=x，则AB=x+1，∵折叠，∴BE=EF=1，BEC FEC∠=∠，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴BEC DCE∠=∠，∴FEC DCE∠=∠，∴1DE DC AB x===+，∵AC DE⊥，∴90AFE DAE∠=∠=︒，∵AEF DEA∠=∠，∴AEF DEA∽，∴AE EFDE EA=，即2AE DE EF=⋅，∴()211x x=+⋅，解x=或，∴12AE=．17.（长宁金山2020一模18）18.如图，在Rt ABC中，90ABC∠=︒，2AB=，4BC=，点P在边BC上，联结AP，将ABP△绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B'，则BB'的长等于_____．;【解析】解:如图，延长AB'交BC 于E ，过点B'作B'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90︒，AB ＝2，BC ＝4，∴AC=∵点M 是AC 中点，∴AM∵将△ABP绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AM∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB'＝2，∵AP 2＝AB 2＋PB 2，∴PB ＝1，∴2BA PB =,又2BC AB=,∴BA BC PB AB =且∠ABP ＝∠ABC ＝90°，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2＋BE 2，∴CE 2＝4＋（4−CE ）2，∴CE ＝AE ＝52，∴BE ＝32，∵B'D ∥BC ，∴△AB'D ∽△AEB ，∴''AB AD B D AE AB BE ==∴2'53222AD B D ==，∴AD ＝85，B'D ＝65，∴BD ＝AB-AD=2-85=25，∴BB'==．18.（浦东四署2019期中18）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处.如果AD m DB =，AE n EC=.那么用含n 的代数式表示m 是：m =__________________.【答案】21n +;【解析】解：作DH ⊥AC 于H ，如图，∵线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处，∴DE=DC ，∴EH=CH ，∵AE n EC=，即AE=nEC ，∴AE=2nEH=2nCH ，∵∠C=90°，∴DH ∥BC ，∴AD AH DB HC =，即AE EH 2nCH CH m 2n 1HC CH++===+.故答案为：2n+1．【答案】245；【解析】解：如图，90,10,cos AB == ∵旋转，∴CB '=CB=8=10，设A 'B '与AC ∴∠B 'FC=∠B 'CA CA ',∴''''B C CF A B A =∴8832'10B F ⨯==cosA=35,可知tanA=328'55B E =-=20.（静安2021一模18）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A’，点B 落在点B’，A’B’与边BC 相交于点D ，那么CD A'D 的值为．【答案】3135；【解析】解:过C 作CE ⊥AB 交AB 于E 点，∵2tan 3B =，∴23AC BC =，设AC=2x ，BC=3x ，在Rt △ABC 中，22)13AB x x ===13，∴x=，∴AC=，BC=，1122ABC S BC AC AB CE ∆== ，∴CE=BC AC AB=6，∵2tan 3CE B EB ==，∴EB=9，∵Rt △A 'B 'C 由Rt △ABC 旋转而得，∴∠B=∠B '，AC=A 'C ，∵CE ⊥AA '，∴AE=EA '，AE=AB-EB=13-9=4，∴AE=EA '=4，A 'B=EB-EA '=9-4=5，又∵∠A 'DB=∠CDB '，∴△A 'DB ∽△CDB '，∴''''5CD CB CB A D A B A B ===即'5CD A D =.21.（杨浦黄兴2019九月18）如图，在平面直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合）当点C 的坐标为_____时，使得△BOC ∽△AOB ．【答案】（1，0）或（﹣1，0）；【解析】解：∵△BOC∽△AOB，∴BOAO=OCOB，∴24＝OC2，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）．故答案为（1，0）或（﹣1，0）．22.（黄浦2021一模18）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．【答案】1或0.5或2;【解析】解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：2.5，∴AD=BC,若直线l∥AD，交AB、CD于E、F,根据题意和图形可知：矩形AEFD∽矩形BEFC，此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1；根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况；若直线l∥AB，交AD、BC于E、F，此时存在两种情况：①若矩形ABFE∽矩形DCFE，如下图所示，此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1；②若矩形BAEF∽矩形EDCF，如下图所示，∴AB AEDE CD=，设AB=CD=a，AE=x，则AD=2.5a，DE=2.5a x-，∴2.5a xa x a=-，解得：x=0.5a或x=2a，当x=0.5a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=0.5a：a=0.5；当x=2a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=2a：a=2；综上：这两个小矩形的相似比为1或0.5或2．23.（浦东2021一模18）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC 上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．【答案】2；【解答】解：如图，∵点D 是BC 的中点，BC ＝12，∴BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝8，CD＝4，过点M 作MH ∥AC 交CD 于H ，∴△DHM ∽△DAC ，∴MH DH DM AC CD AD==，∴点M 是AD 的中点，∴AD ＝2DM ，∵AC ＝8，∴1842MH DH ==，∴MH ＝4，DH ＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DE ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH CF CE =，∴410312x x x-=+-，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BD ＝x ＝2，故答案为：2．24.（新竹园2019九月18）如图，等边△ABC 的边长为10，点M 是边AB 上一动点，将等边△ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N ，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD ：DC=1：4，折痕为MN ，则AN 的长为_____．【答案】7或653；【解析】解：①当点A 落在如图1所示的位置时，∵△ACB 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD ，∠B=∠MDN ，∴∠BMD=∠NDC ，∴△BMD ∽△CDN ．∴得BD DM BM CN DN CD==，∵BD ：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x=DN ，则CN=10﹣x ，∴2108DM BM x x ==-，∴DM=210x x -，BM=1610x -，∵BM+DM=10，∴210x x -+1610x-=10，解得x=7，∴AN=7；②当A 在CB 的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD ∽△CDN ．∴得BD DM BM CN DN CD ==，∵BD ：DC=1：4，BC=10，∴DB=103，CD=403，设AN=x ，则CN=x ﹣10，∴10340103DM BM x x ==-，∴DM=()10310x x -，BM=()400910x -，∵BM+DM=10，∴()10310x x -+()400910x -=10，解得：x=653，故AN=7或653．。

备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)6选择压轴题含详解

备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)6选择压轴题含详解

专题06选择压轴题1．（2022•杭州）如图，已知ABC ∆内接于半径为1的O ，(BAC θθ∠=是锐角），则ABC ∆的面积的最大值为()A ．cos (1cos )θθ+B ．cos (1sin )θθ+C ．sin (1sin )θθ+D ．sin (1cos )θθ+2．（2021•杭州）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别是1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是()A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，()A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =4．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则()A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-5．（2018•杭州）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，//DE BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ．记ADE ∆，BCE ∆的面积分别为1S ，2S ，()A ．若2AD AB >，则1232S S >B ．若2AD AB >，则1232S S <C ．若2AD AB <，则1232S S >D ．若2AD AB <，则1232S S <6．（2022•上城区一模）在直角坐标系中，一次函数12(0)y kx k k =+-≠的图象记作G ，以原点O 为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：①当G 与O 相交时，y 随x 增大而增大；②当G 与O 相切时，54k =；③当G 与O 相离时，43k >或0k <．其中正确的说法是()A ．①B ．①②C ．①③D ．②③7．（2022•拱墅区一模）设函数(1)(1)(y x a x a a =-+--是实数），当1x =，2，3时，对应的函数值分别为r ，s ，(t )A ．若52a >，则1r ss t -<-B ．若522a <<，则01r ss t-<<-C ．若52a <，则1r s s t-<--D ．若322a <<，则10r s s t--<<-8．（2022•西湖区一模）已知1y ，2y 均为关于x 的函数，当x a =时，函数值分别为1A ，2A ，若对于实数a ，当01a <<时，都有1211A A -<-<，则称1y ，2y 为亲函数，则以下函数1y 和2y 是亲函数的是()A ．211y x =+，21y x =-B ．211y x =+，221y x =-C ．211y x =-，21y x=-D ．211y x =-，221y x =-9．（2022•钱塘区一模）在菱形ABCD 中，已知30A ∠=︒，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE BF CG DH ===．若线段AE 与AB 的比值为(01)k k <<，则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比可表示为()A ．2221k k -+B ．2221k k ++C ．222k k -+D ．2221k k -++10．（2022•淳安县一模）已知二次函数2(0)y ax bx a =-≠，经过点(,2)P m ．当1y - 时，x 的取值范围为1x t - 或3x t -- ．则如下四个值中有可能为m 的是()A ．1B ．2C ．3D ．411．（2022•富阳区一模）已知二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与一次函数(0)y mx n m =+≠的图象交于1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，()A ．若0a <，0m <，则122x x h +>B ．若0a >，0m <，则122x x h +>C ．若122x x h +>，则0a >，0m >D ．若122x x h +<，则0a >，0m <12．（2022•临安区一模）已知点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 为抛物线24(0)y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是()A ．若124x x +<，则12y y <B ．若124x x +>，则12y y <C ．若12(4)0a x x +->，则12y y >D ．若12(4)0a x x +-<，则12y y >13．（2022•钱塘区二模）如图，已知Rt ABC ∆，2AC BC ==，将ABC ∆绕点A 沿逆时针方向旋转后得到ADE ∆，直线BD 、CE 相交于点F ，连接AF ，则下列结论中：①AB =；②ABD ACE ∆∆∽；③45BFC ∠=︒；④F 为BD 的中点，其中正确的有()A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④14．（2022•西湖区校级一模）12()()(0)y a x x x x t a =--+>，点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点，()A ．若0t <，则2012()4ay x x <--B ．若0t，则2012()4ay x x >--C ．若0t <，则2012()4ay x x -- D ．若0t，则2012()4ay x x -- 15．（2022•萧山区校级一模）已知代数式12()()x x x x mx n --++化简后为一个完全平方式，且当1x x =时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是()A ．12x x m-=B ．21x x m-=C ．12()m x x n -=D ．12mx n x +=16．（2022•萧山区一模）已知二次函数1(1)(1)y ax bx =--和2()()(0)(y x a x b ab =--≠)A ．若11x -<<，10a b>>，则12y y >B ．若1x <，10a b>>，则12y y >C ．若11x -<<，10a b <<，则12y y <D ．若1x <-，10a b<<，则12y y <17．（2022•滨江区一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的图象经过点(2,)A m ，当1x 时，1y m + ；当1x >时，y m，则(a =)A ．1-B ．14-C ．14D ．118．（2022•上城区二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，延长BA 与弦CD 的延长线交于点P ，已知12PD AB =，下列结论：①若 CD AD BC=+，则2AB CD =；②若60B ∠=︒，则20P ∠=︒；③若30P ∠=︒，则31PA PD =-；④AD BC 的值可能等于13．其中正确的序号是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④19．（2022•余杭区一模）关于函数(1)(1)y mx m x =+--．下列说法正确的是()A ．无论m 取何值，函数图象总经过点(1,0)和(1,2)--B ．当12m ≠时，函数图象与x 轴总有2个交点C ．若12m >，则当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．若0m >时，函数有最小值是114m m--+20．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，有结论①0a c +=；②4b =；③11042a b c ++<；④10a -<<．则下列结论正确的是()A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④21．（2022•西湖区校级模拟）已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，有三条抛物线：22y ax bx c =++，22y bx cx a =++，22y cx ax b =++．则这三条抛物线与x 轴的交点个数情况是()A ．三条抛物线中至少有一条与x 轴有两个交点B ．三条抛物线中至多有一条与x 轴有两个交点C ．三条抛物线与x 轴都只有一个交点D ．三条抛物线与x 轴都没有交点22．（2022•富阳区一模）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，给出以下结论：①0abc <；②930a b c ++<；③若5(2-，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，则12y y >；④111()()422a b m am b m +>+≠，其中正确的结论是()A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．①③④23．（2022•西湖区校级二模）已知直线12//l l ，直线34//l l ，且13l l ⊥，若以1l ，2l 中的一条直线为x 轴，3l ，4l 中的一条直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线212(0)2y ax ax a =-+>与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x 轴、y 轴分别为()A ．直线1l ，3lB ．直线1l ，4lC ．直线2l ，3lD ．直线2l ，4l 24．（2022•西湖区校级模拟）已知函数1y 和2y 是关于x 的函数，点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，规定：当n q =时，有0m p +=，那么称函数1y 和2y 具有“性质O ”，则下列函数具有“性质O ”的是()A ．212y x x =-和21y x =-B ．2121y x x =-+-和2y x =-C ．212y x x =-和21y x =-+D ．2121y x x =---和2y x=25．（2022•下城区校级二模）若二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ．若函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，则q 的取值范围为()A ．92544qB ．944q --C ．2524qD ．924q -- 26．（2022•杭州模拟）二次函数21y x =第一象限的图象上有两点(,)A a k ，(,1)B b k +，关于二次函数22(b my x x m a a=++为任意实数）与x 轴交点个数判断错误的是()A ．若1m =，则2y 与x 轴可能没有交点B ．若12m =，则2y 与x 轴必有2个交点C ．若1m =-，则2y 与x 轴必有2个交点D ．若14m =，则2y 与x 轴必有2个交点27．（2022•江干区校级模拟）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ．且另有一点(,)B k m 也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是()A ．m k>B ．m k<C ．()0a m k -<D ．()0a m k ->28．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数(4)()y x k x k m =--+++，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是()A ．若2k >，0m <，则二次函数y 的最大值小于0B ．若2k ≠，0m <，则二次函数y 的最大值大于0C ．若2k <，0m ≠，则二次函数y 的最大值小于0D ．若2k ≠，0m >，则二次函数y 的最大值大于029．（2022•拱墅区模拟）如图，点P 是矩形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，已知3AB =，4BC =，设PAB ∆、PBC ∆、PCD ∆、PDA ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，下列判断，其中不正确的是()A ．PA PB PC PD +++的最小值为10B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PAD PBC ∆≅∆C ．若PAB PDA ∆∆∽，则2PA =D ．若12S S =，则34S S =30．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，且过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，则n 的值为()A ．32-B ．18-C ．16-D ．12-专题06选择压轴题1．（2022•杭州）如图，已知ABC ∆内接于半径为1的O ，(BAC θθ∠=是锐角），则ABC ∆的面积的最大值为()A ．cos (1cos )θθ+B ．cos (1sin )θθ+C ．sin (1sin )θθ+D ．sin (1cos )θθ+【答案】D【详解】当ABC ∆的高AD 经过圆的圆心时，此时ABC ∆的面积最大，如图所示，A D BC '⊥ ，2BC BD ∴=，BOD BA C θ∠=∠'=，在Rt BOD ∆中，sin 1BD BD OB θ==，cos 1OD ODOB θ==sin BD θ∴=，cos OD θ=，22sin BC BD θ∴==，1cos A D A O OD θ'='+=+，∴112sin (1cos )sin (1cos )22ABC S A D BC θθθθ∆='⋅=⋅+=+．故选：D ．2．（2021•杭州）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别是1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是()A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+【答案】A【详解】A ．令120y y +=，则2210x x x +--=，解得x =或x =1y 和2y 具有性质P ，符合题意；B ．令120y y +=，则2210x x x +-+=，整理得，210x x ++=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；C ．令120y y +=，则110x x---=，整理得，210x x ++=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；D ．令120y y +=，则110x x--+=，整理得，210x x -+=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；故选：A ．3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，()A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =【答案】B【详解】A 、错误．由12M =，22M =，可得240a ->，280b ->，取3a =，215b =，则25b c a==，此时2160c ->．故A 错误．B 、正确．理由：11M = ，20M =，240a ∴-=，280b -<，a ，b ，c 是正实数，2a ∴=，2b ac = ，212c b ∴=，对于234y x cx =++，则有△244221111616(64)(8)(8)0444c b b b b =-=-=-=+-<，30M ∴=，∴选项B 正确，C 、错误．由10M =，22M =，可得240a -<，280b ->，取1a =，218b =，则218b c a==，此时2160c ->．故C 错误．D 、由10M =，20M =，可得240a -<，280b -<，取1a =，24b =，则24b c a==，此时2160c -=．故D 错误．故选：B ．4．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则()A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-【答案】C【详解】()()y x a x b =++ ，a b ≠，∴函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点，2M ∴=，函数2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，∴当0ab ≠时，△22()4()0a b ab a b =+-=->，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有2个交点，即2N =，此时M N =；当0ab =时，不妨令0a =，a b ≠ ，0b ∴≠，函数(1)(1)1y ax bx bx =++=+为一次函数，与x 轴有一个交点，即1N =，此时1M N =+；综上可知，M N =或1M N =+．故选：C ．另一解法：a b ≠ ，∴抛物线()()y x a x b =++与x 轴有两个交点，2M ∴=，又 函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，而2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，它至多是一个二次函数，至多与x 轴有两个交点，2N ∴ ，N M ∴ ，∴不可能有1M N =-，故排除A 、B 、D ，故选：C ．5．（2018•杭州）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，//DE BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ．记ADE ∆，BCE∆的面积分别为1S ，2S ，()A ．若2AD AB >，则1232S S >B ．若2AD AB >，则1232S S <C ．若2AD AB <，则1232S S >D ．若2AD AB <，则1232S S <【答案】D【详解】 如图，在ABC ∆中，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴2112(BDE S AD S S S AB∆=++，∴若2AD AB >，即12AD AB >时，11214BDE S S S S ∆>++，此时123BDE S S S ∆>+，而222BDE S S S ∆+<．但是不能确定13S 与22S 的大小，故选项A 不符合题意，选项B 不符合题意．若2AD AB <，即12AD AB <时，11214BDE S S S S ∆<++，此时12232BDE S S S S ∆<+<，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选：D．6．（2022•上城区一模）在直角坐标系中，一次函数12(0)y kx k k =+-≠的图象记作G ，以原点O 为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：①当G 与O 相交时，y 随x 增大而增大；②当G 与O 相切时，54k =；③当G 与O 相离时，43k >或0k <．其中正确的说法是()A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【详解】12(0)y kx k k =+-≠ ，当2x =时，1y =，∴一次函数经过点(2,1)，如图，(2,1)P ，A 、B 为直线与圆的切点，连接OB 、AB 、OP 交AB 于点C ，过B 作BE y ⊥轴于E ，(0,1)A ，//PA x ∴轴，2PA = ，1OA =，225OP PA OA ∴=+=Rt PAO ∆中，sin 5OPA ∠=cos 5OPA ∠=，由切线长定理得：PB PA =，PO AB ⊥，2AB AC ∴=，2sin 5AC AP OPA =∠=5AB ∴=，90AOP OPA ∠+∠=︒ ，90AOC OAC ∠+∠=︒，OAC OPA ∴∠=∠，Rt ABE ∆中，414sin 555BE AB EAB =∠=，428cos 555AE AB EAB =∠=，35OE AE OA ∴=-=，4(5B ∴，3)5-，代入12(0)y kx k k =+-≠可得：43k =， 直线12(0)y kx k k =+-≠与y 轴交点坐标为(0,12)k -，当43k =时，直线与圆相切，直线与y 轴交点5(0,3-，当43k >时，5123k -<-，直线与圆相离；当0k <时，121k ->，直线与圆相离；当403k <<时，51213k -<-<，直线与圆相交； 直线与圆相交时，403k <<，∴一次函数递增，故①正确；直线与圆相切时，43k =，故②错误； 直线与圆相离时，43k >或0k <，故③正确，①③正确，故选：C ．7．（2022•拱墅区一模）设函数(1)(1)(y x a x a a =-+--是实数），当1x =，2，3时，对应的函数值分别为r ，s ，(t )A ．若52a >，则1r s s t -<-B ．若522a <<，则01r s s t -<<-C ．若52a <，则1r s s t -<--D ．若322a <<，则10r s s t--<<-【答案】D 【详解】将1x =，2，3分别代入(1)(1)y x a x a =-+--得22r a a =-，243s a a =-+，268t a a =-+，∴22222(43)232143(68)2525r s a a a a a s t a a a a a a ----+-===+--+--+--，当52a >时，2025a >-，∴1r s s t->-，选项A 不正确，当522a <<时，2225a <--，∴1r s s t-<--，选项B 不正确．当52a <时，2025a <-，∴1r s s t-<-，选项C 不正确．当322a <<时，22125a -<<--，10r s s t -∴-<<-，选项D 正确．故选：D ．8．（2022•西湖区一模）已知1y ，2y 均为关于x 的函数，当x a =时，函数值分别为1A ，2A ，若对于实数a ，当01a <<时，都有1211A A -<-<，则称1y ，2y 为亲函数，则以下函数1y 和2y 是亲函数的是()A ．211y x =+，21y x =-B ．211y x =+，221y x =-C ．211y x =-，21y x =-D ．211y x =-，221y x =-【答案】D【详解】（1）A 选项，211y x =+ ，21y x =-，21211y y x x∴-=++，当01x <<时，11x>，且211x +>，212111y y x x ∴-=++>，即此选项不合题意；（2）B 选项，211y x =+ ，221y x =-，2121(21)y y x x ∴-=+--2(1)1x =-+，当01x <<时，2(1)11x -+>，即此选项不合题意；（3）C 选项，211y x =- ，21y x=-，21211()y y x x∴-=---211x x=+-，当12x =时，215114x x +-=>，即此选项不合题意；（4）D 选项，211y x =- ，221y x =-，2121(21)y y x x ∴-=---22x x =-，当01x <<时，2120x x -<-<，即此选项符合题意；故选：D ．9．（2022•钱塘区一模）在菱形ABCD 中，已知30A ∠=︒，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE BF CG DH ===．若线段AE 与AB 的比值为(01)k k <<，则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比可表示为()A ．2221k k -+B ．2221k k ++C ．222k k -+D ．2221k k -++【答案】A 【详解】设AB BC CD DA x ====，AE BF CG DH kx ====，则AH DG CF BE x kx ====-，过F 作MN CD ⊥于N ，交AB 延长线于点M，: 四边形ABCD 是菱形，30A C ∴∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，AE BF CG DH === ，BE CF DG AH ∴===，在AEH ∆和CGF ∆中，AE CGA C AH CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEH CGF SAS ∴∆≅∆，同理：()BEF DGH SAS ∆≅∆，30A ∠=︒ ，//AB BCD ，30C MBF ∴∠=∠=︒，122kx FM BF ∴==，122x kxFN CF -==，2xMN FM FN ∴=+=，∴菱形ABCD 的面积222xx x =⋅=，四边形EFGH 的面积=菱形ABCD 的面积2CGF-∆的面积2BEF -∆的面积22221122()222222x x kx kx x x kx x kx kx k x -=⋅-⨯⨯⋅-⨯⨯-=-+，∴四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比为22222222212x kx k x k k x -+=-+．故选：A ．10．（2022•淳安县一模）已知二次函数2(0)y ax bx a =-≠，经过点(,2)P m ．当1y - 时，x 的取值范围为1x t -或3x t -- ．则如下四个值中有可能为m 的是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【详解】当1y - 时，21ax bx -- ，x 的取值范围为1x t -或3x t -- ，(1,1)t ∴--，(3,1)t ---为抛物线上的点，∴抛物线对称轴为直线1322t t x ---==-，∴22b a=-，4b a ∴=-，224(2)4y ax ax a x a ∴=+=+-，当0a >时，41a -- ，解得14a ，将(,2)m 代入解析式得242am am +=，22144a m m ∴=+ ，2048m m ∴<+ ，24(2)12m ∴<+ ，24m ∴--<-或02m <-+ ，故选：A ．11．（2022•富阳区一模）已知二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与一次函数(0)y mx n m =+≠的图象交于1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，()A ．若0a <，0m <，则122x x h+>B ．若0a >，0m <，则122x x h +>C ．若122x x h +>，则0a >，0m >D ．若122x x h +<，则0a >，0m <【答案】A【详解】2()y a x h k =-+ ，∴抛物线对称轴为直线x h =，0a < ，0m <，∴抛物线开口向下，一次函数中y 随x 增大而减小，设12x x <，则12y y >，∴122x x h +>，122x x h ∴+>．故选：A ．12．（2022•临安区一模）已知点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 为抛物线24(0)y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是()A ．若124x x +<，则12y y <B ．若124x x +>，则12y y <C ．若12(4)0a x x +->，则12y y >D ．若12(4)0a x x +-<，则12y y >【答案】C【详解】24y ax ax c =-++ ，∴抛物线对称轴为直线422a x a=-=-，22(P x ，2)y 关于直线2x =的对称点为2(4P x -，2)y ，若124x x +<，由2244x x +-=，12x x <，可得124x x <-，当抛物线开口向上时，12y y >，∴选项A 错误．若124x x +>，由2244x x +-=，12x x <，可得2124x x x -<<，当抛物线开口向下时，12y y >，∴选项B 错误．若12(4)0a x x +->，当124x x +<时，则0a <，0a ->，抛物线开口向上，12y y ∴>，当124x x +>时，则0a >，0a -<，抛物线开口向下，12y y ∴>，选项C 正确．若12(4)0a x x +-<，当124x x +<时，0a >，0a -<，抛物线开口向下，12y y ∴<，选项D 错误．解法二：作差法，21114y ax ax c =-++ ，22224y ax ax c =-++，221211224(4)y y ax ax c ax ax c ∴-=-++--++221212()4()a x x a x x =--+-121212()()4()a x x x x a x x =-+-+-1212()(4)a x x x x =--+-12x x < ，120x x ∴-<，当12(4)0a x x +->时，则1212()(4)0a x x x x --+->，12y y ∴>，故选：C ．13．（2022•钱塘区二模）如图，已知Rt ABC ∆，2AC BC ==，将ABC ∆绕点A 沿逆时针方向旋转后得到ADE ∆，直线BD 、CE 相交于点F ，连接AF ，则下列结论中：①22AB =；②ABD ACE ∆∆∽；③45BFC ∠=︒；④F 为BD 的中点，其中正确的有()A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④【答案】C【详解】在Rt ABC ∆，2AC BC ==，222222AB +=∴①正确；由旋转的性质可得：22AB AD ==，2AC AE ==，BAC DAE ∠=∠，∴AD ABAE AC =，且DAB EAC ∠=∠，ABD ACE ∴∆∆∽，∴②正确；ABD ACE ∆∆ ∽，DBA ECA ∴∠=∠，45BFC BAC ∴∠=∠=︒，∴③正确；45BFC BAC ∠=∠=︒ ，A ∴、B 、C 、F 四点共圆，90BFA ∴∠=︒，AB AD = ，BF DF ∴=，即F 为BD 的中点，∴④正确．故选：C ．14．（2022•西湖区校级一模）12()()(0)y a x x x x t a =--+>，点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点，()A ．若0t <，则2012()4a y x x <--B ．若0t ，则2012()4a y x x >--C ．若0t <，则2012()4a y x x -- D ．若0t ，则2012()4a y x x --【答案】D 【详解】对称轴公式为122x x x +=，将其代入12()()(0)y a x x x x t a =--+>，y ∴的最小值为212121212()()()224x x x x a a x x t x x t ++--+=--+，0a > ，∴顶点处为最小值， 点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点．2012()4a y x x t ∴--+ ，即A 、B 选项都不对，若0t 时，2012()4a y x x -- ，故选：D ．15．（2022•萧山区校级一模）已知代数式12()()x x x x mx n --++化简后为一个完全平方式，且当1x x =时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是()A ．12x x m-=B ．21x x m -=C ．12()m x x n -=D ．12mx n x +=【答案】B【详解】1x x = ，0mx n ∴+=，12()()x x x x mx n --++ 21212()x x x m x x x n=-+-++21()x x =-22112x x x x =-+，1212x x m x ∴+-=，即21x x m -=．故选：B ．16．（2022•萧山区一模）已知二次函数1(1)(1)y ax bx =--和2()()(0)(y x a x b ab =--≠)A ．若11x -<<，10a b >>，则12y y >B ．若1x <，10a b >>，则12y y >C ．若11x -<<，10a b <<，则12y y <D ．若1x <-，10a b <<，则12y y <【答案】D【详解】21(1)(1)()1y ax bx abx a b x =--=-++，22()()()(0)y x a x b x a b x ab ab =--=-++≠，2212(1)1(1)(1)(1)(1)(1)y y ab x ab ab x ab x x ∴-=-+-=--=-+-．对于A 选项，11x -<< ，(1)(1)0x x ∴+-<，10a b>> ，1ab ∴>，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+-<，即12y y <，故A 选项错误；对于B 选项，1x < ，(1)(1)x x ∴+-不确定正负，1y ∴与2y 的大小无法确定，故B 选项错误；对于C 选项，11x -<< ，(1)(1)0x x ∴+-<， 10a b<<，01ab ∴<<，10ab ∴-<，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+->，即12y y >，故C 选项错误；对于D 选项，1x <- ，(1)(1)0x x ∴+->， 10a b<<，01ab ∴<<，10ab ∴-<，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+-<，即12y y <，故D 选项正确．故选：D ．17．（2022•滨江区一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的图象经过点(2,)A m ，当1x 时，1y m + ；当1x >时，y m，则(a =)A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】D 【详解】 当1x 时，1y m + ，∴函数开口向上，且当1x =时，1y m =+，当1x >时，y m，∴函数的对称轴为2x =，将点(2,)m ，(1,1)m +代入函数2y ax bx c =++，得42122a b c m a b c m b a⎧⎪++=⎪++=+⎨⎪⎪-=⎩，解得：1a =，故选：D ．18．（2022•上城区二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，延长BA 与弦CD 的延长线交于点P ，已知12PD AB =，下列结论：①若 CD AD BC =+，则2AB CD =；②若60B ∠=︒，则20P ∠=︒；③若30P ∠=︒，则31PA PD =-；④AD BC的值可能等于13．其中正确的序号是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A 【详解】①连接OC ，OD ，CD 的度数 AD =的度数 BC +的度数， CD 的度数 AD +的度数 BC+的度数180=︒∴ CD的度数90=︒，90COD ∴∠=︒，CD ∴=，2AB OD ∴===，故①正确；②60B ∠=︒ ，OBC ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒，12PD AB = ，PD OD OC OB ∴===，P DOP ∴∠=∠，ODC OCD ∠=∠，2ODC OCD P ∴∠=∠=∠，2360P OCD P COB ∴∠+∠=∠=∠=︒，20P ∴∠=︒，故②正确；③30P ∠=︒ ，30ODP P ∴∠=∠=︒，120PDO ∴∠=︒，OP ∴=，∴1PA PA PD OD==-，故③正确；④若13AD BC =，PAD PCB ∠=∠ ，P P ∠=∠，PAD PCB ∴∆∆∽，∴13AD PD BC PB ==，13PD PB ∴=，12PD AB = ，PD PA ∴=，PD OD PA OA PO ∴+=+=，∴点D 与A 重合，与题目矛盾，故④错误，故选：A ．19．（2022•余杭区一模）关于函数(1)(1)y mx m x =+--．下列说法正确的是()A ．无论m 取何值，函数图象总经过点(1,0)和(1,2)--B ．当12m ≠时，函数图象与x 轴总有2个交点C ．若12m >，则当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．若0m >时，函数有最小值是114m m --+【答案】D【详解】A ．当1x =时，(1)(1)0y mx m x =+--=，当1x =-时，(1)(1)2y mx m x =+--=，故图象过(1,0)和(1,2)-，故A 错误，不符合题意；B ．当0m =时，(1)(1)1y mx m x x =+--=-，该函数与x 轴只有一个交点，故B 错误，不符合题意；C ．12m >，则函数为开口向上的抛物线，则1(1)(1)(1)m y mx m x m x x m-=+--=+-，则该函数的对称轴为直线111(1122m x m m -=+=<，故1x <时，y 随x 的增大而即可能减小也可能增大，故C 错误，不符合题意；D ．若0m >时，二次函数在顶点处取得最小值，当12x m =时，1(1)(1)14y mx m x m m-=+--=-+，故D 正确，符合题意；故选：D ．20．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，有结论①0a c +=；②4b =；③11042a b c ++<；④10a -<<．则下列结论正确的是()A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【详解】 点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，A ∴，B 关于原点对称，4m ∴=，1n =-，(1,4)A ∴，(1,4)B --，代入2(0)y ax bx c a =++≠得4??4a b c a b c ++=⎧⎨+=⎩，∴40b a c =⎧⎨+=⎩，∴①②正确，该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，22b a ∴->，422a∴->，10a ∴-<<，④正确，0a c += ，01c ∴<<，c a =-，当12x =时，21113224244y ax bx c a b c a a a =++=++=+-=-，10a -<< ，304a ∴->，∴11320424a b c a ++=->，③错误．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C ．21．（2022•西湖区校级模拟）已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，有三条抛物线：22y ax bx c =++，22y bx cx a =++，22y cx ax b =++．则这三条抛物线与x 轴的交点个数情况是()A ．三条抛物线中至少有一条与x 轴有两个交点B ．三条抛物线中至多有一条与x 轴有两个交点C ．三条抛物线与x 轴都只有一个交点D ．三条抛物线与x 轴都没有交点【答案】A【详解】证明：假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有212223440440440b ac c ab a bc ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩ ，三式相加，整理、化简得：2220a b c ab ac bc ++--- ，222()()()0a b b c c a ∴-+-+- ，a b c ∴==与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．故选：A ．22．（2022•富阳区一模）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，给出以下结论：①0abc <；②930a b c ++<；③若5(2-，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，则12y y >；④111()()422a b m am b m +>+≠，其中正确的结论是()A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．①③④【答案】C 【详解】 抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线与y 轴正半轴相交，0c ∴>，对称轴在y 轴右侧，a ∴，b 异号，0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，3x ∴=时，930y a b c =++=，故②错误；5(2- ，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，对称轴为12x =，12y y ∴<，故③错误；12x =时，函数有最大值，∴21142a b c am bm c ++>++，即111()()422a b m am b m +>+≠，故④正确．故选：C ．23．（2022•西湖区校级二模）已知直线12//l l ，直线34//l l ，且13l l ⊥，若以1l ，2l 中的一条直线为x 轴，3l ，4l 中的一条直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线212(0)2y ax ax a =-+>与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x 轴、y 轴分别为()A ．直线1l ，3l B ．直线1l ，4l C ．直线2l ，3l D ．直线2l ，4l 【答案】C 【详解】2122y ax ax =-+ ，∴抛物线对称轴为直线212a x a -=-=，3l ∴为y 轴，将0x =代入2122y ax ax =-+得12y =，∴抛物线经过1(0,)2，2l ∴为x 轴，故选：C ．24．（2022•西湖区校级模拟）已知函数1y 和2y 是关于x 的函数，点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，规定：当n q =时，有0m p +=，那么称函数1y 和2y 具有“性质O ”，则下列函数具有“性质O ”的是()A ．212y x x =-和21y x =-B ．2121y x x =-+-和2y x =-C ．212y x x =-和21y x =-+D ．2121y x x =---和2y x =【答案】C【详解】 点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，A 选项：将x m =代入212y x x =-，得：22n m m =-，将x p =代入21y x =-，得：1q p =-，n q = ，221m m p ∴-=-，221p m m ∴=-+，0m p += ，2210m m m ∴+-+=，210m m ∴-+=，△2(1)41130=--⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，A ∴选项不符合题意，错误；B 选项：将x m =代入2121y x x =-+-，得：221n m m =-+-，将x p =代入2y x =-，得：q p =-，n q = ，221m m p ∴-+-=-，221p m m ∴=-+，0m p += ，2210m m m ∴+-+=，210m m ∴-+=，△2(1)41130=--⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，将x m =代入212y x x =-，得：22n m m =-，将x p =代入21y x =-+，得：1q p =-+，n q = ，221m m p ∴-=-+，221p m m ∴=-++，0m p += ，2210m m m ∴-++=，2310m m ∴--=，△2(3)41(1)130=--⨯⨯-=>，∴存在不相等的两个m 使得方程成立，∴存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，C ∴选项符合题意，正确；D 选项：将x m =代入2121y x x =---，得：221n m m =---，将x p =代入2y x =，得：q p =，n q = ，221m m p ∴---=，221p m m ∴=---，0m p += ，2210m m m ∴---=，210m m ∴++=，△2141130=-⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，25．（2022•下城区校级二模）若二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ．若函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，则q 的取值范围为()A ．92544q B ．944q -- C ．2524q D ．924q -- 【答案】A【详解】 二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ，∴该函数的对称轴为直线12m x +=，函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，∴5122p p m +++=，42m p -∴=，244125()(1)(1)2244m m q m m --∴=--=--+，15m ，∴当1m =时，q 取得最大值254；当5m =时，q 取得最小值94，q ∴的取值范围是92544q ，故选：A ．26．（2022•杭州模拟）二次函数21y x =第一象限的图象上有两点(,)A a k ，(,1)B b k +，关于二次函数22(bmy x x m a a =++为任意实数）与x 轴交点个数判断错误的是()A ．若1m =，则2y 与x 轴可能没有交点B ．若12m =，则2y 与x 轴必有2个交点C ．若1m =-，则2y 与x 轴必有2个交点D ．若14m =，则2y 与x 轴必有2个交点【答案】B【详解】点A 、B 在二次函数21y x =第一象限的图象上，则2k a =且21k b +=，即221b a =+，对于函数函数2y ，△2224()4b m b ama a a -=-⨯=，当14m =时，△222213()4240a b am a a -+-==>，故14m =，则2y 与x 轴必有2个交点正确，故D 正确，不符合题意；当1m =-时，同理可得：△2241a a a ++=，2241(2)3a a a ++=+- ，0a >，2(2)4a ∴+>，∴△0，故C 正确，不符合题意；当12m =时，同理可得：△22(1)0a a -= ，故B 错误，符合题意；同理可得：A 正确，不符合题意；故选：B ．27．（2022•江干区校级模拟）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ．且另有一点(,)B k m 也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是()A ．m k>B ．m k <C ．()0a m k -<D ．()0a m k ->【答案】D【详解】 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ，2()y a x m k ∴=-+，整理得：222y ax amx m k =-++，2b am ∴=-，(,)A m k 和(,)B k m 都在抛物线上，可得：2am bm c k ++=①，2ak bk c m ++=②，②-①得：22m k ak bk am bm-=---22()()a m kb m k =----()()()a m k m k b m k =-+---，()()()()0a m k m k b m k m k ∴+-+-+-=，()[()1]0m k a m k b -+++=，()[()21]0m k a m k am -+-+=，()(1)0m k ak am --+=，0m k ∴-=或10ak am -+=，0m k ∴-=或()1a m k -=，()0a m k ∴->，故选：D ．28．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数(4)()y x k x k m =--+++，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是()A ．若2k >，0m <，则二次函数y 的最大值小于0B ．若2k ≠，0m <，则二次函数y 的最大值大于0C ．若2k <，0m ≠，则二次函数y 的最大值小于0D ．若2k ≠，0m >，则二次函数y 的最大值大于0【答案】D【详解】(4)()y x k x k m =--+++ ，∴抛物线对称轴为直线422k k x --==-，∴当2x =-时，函数最大值为2(2)y k m =-+，故选：D ．29．（2022•拱墅区模拟）如图，点P 是矩形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，已知3AB =，4BC =，设PAB ∆、PBC ∆、PCD ∆、PDA ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，下列判断，其中不正确的是()A ．PA PB PC PD +++的最小值为10B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PAD PBC ∆≅∆C ．若PAB PDA ∆∆∽，则2PA =D ．若12S S =，则34S S =【答案】C 【详解】A ．当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA PB PC PD +++的值最小，根据勾股定理得，5AC BD ==，所以PA PB PC PD +++的最小值为10，故此选项正确，不符合题意；B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PA PC =，PB PD =，所以P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上，即P 是矩形ABCD 两对角线的交点，所以PAD PBC ∆≅∆，故此选项正确正确，不符合题意；C ．若PAB PDA ∆∆∽，则PAB PDA ∠=∠，90PAB PAD PDA PAD ∠+∠=∠+∠=︒，180()90APD PDA PAD ∠=︒-∠+∠=︒，同理可得90APB ∠=︒，那么180BPD ∠=︒，B 、P 、D 三点共线，P 是直角BAD ∆斜边上的高，根据面积公式可得345 2.4PA =⨯÷=，故此选项不正确，符合题意；D ．如图，若12S S =，过点P 作PH BC ⊥于H ，HP 的延长线交AD 于G ，则PG AD ⊥．∴四边形ABHG 是矩形，GH AB ∴=，2411111()22222S S AD PG BC PH BC PH PG BC GH BC AB ∴+=⋅+⋅=⋅+=⋅=⋅，过点P 作PM AB ⊥于M ，MP 的延长线交CD 于N ，同理1312S S BC AB +=⋅，1324S S S S ∴+=+，则34S S =，故此选项正确，不符合题意．故选：C ．30．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，且过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，则n的值为()A ．32-B ．18-C ．16-D ．12-【答案】A 【详解】 抛物线22y x bx c =-++过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，∴对称轴是直线2x m =-．又 抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为22(2)y x m =--+，把(6,)A m n -代入，得22(62)32n m m =---+=-，即32n =-．故选：A ．。

中考数学压轴题专项训练(一)(习题及答案)

中考数学压轴题专项训练(一)(习题及答案)

压轴题专项训练（一）1. （2019宁波）如图，已知二次函数y =x 2+ax +3的图象经过点P (-2，3)．（1）求a 的值和图象的顶点坐标； （2）点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m =2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．2. （2019河北）如图，若b 是正数．．，直线l ：y =b 与y 轴交于点A ；直线a ：y =x -b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y =-x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，(x 0，y 1)，(x 0，y 2)，(x 0，y 3)分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点(x 0，0)与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上．．．，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接．．写出 b =2 019和b =2 019.5时“美点”的个数．备用图复习巩固3.（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【参考答案】1.（1）a=2；(-1，2)；（2）①n=11；②3＜n＜11．2.（1）L的对称轴为x=2，与a的交点坐标为(2，4)；（2）点C与l距离的最大值为1；（3）(x0，0)与点D间的距离为12；（4）b=2 019时，“美点”的个数为4 040个；b=2 019.5时，“美点”的个数为1 010个．3.（1）(5，4)；（2）抛物线的对称轴为x=1；（3）当43a<-或13a≥或a=-1时，抛物线与线段BC恰有一个公共点．。

九年级数学备考中考：最新各地中考模拟卷(相似)压轴题集锦(附答案)

九年级数学备考中考：最新各地中考模拟卷(相似)压轴题集锦(附答案)

最新各地中考模拟卷（相似）压轴题集锦一．选择题1．（2019•萧山区模拟）如图，已知在△ABC 中，点D 为BC 边上一点（不与点B ，点C 重合），连结AD ，点E 、点F 分别为AB 、AC 上的点，且EF ∥BC ，交AD 于点G ，连结BG ，并延长BG 交AC 于点H ．已知＝2，①若AD 为BC 边上的中线，的值为；②若BH ⊥AC ，当BC ＞2CD 时，＜2sin ∠DAC ．则（ ）A ．①正确；②不正确B ．①正确；②正确C ．①不正确；②正确D ．①不正确；②正确2．（2019春•北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC 上两点，且EF ∥BC ，若AE ：EB ＝2：1，则S △AEF ：S △ABD ＝（ ）A ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：93．（2019•云南模拟）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为（ ）A ．2B ．C ．2或D ．3或4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点A （7，5），B （4，3），先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ） A ．（4，3） B ．（4，3）或（﹣4，﹣3） C ．（﹣4，﹣3）D ．（3，2）或（﹣3，﹣2）5．（2019•平房区一模）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，射线BF 交AC 于点G ，交CD 的延长线于点E ，则下列等式正确的为（ ）A ．B ．C ．＝D ．＝6．（2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，则OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．7．（2019•铁西区三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论： ①；②若AF ＝AB ，则点D 是AB 的中点；③若＝1，则S △ABC ＝9S △BDF ；④当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ； 其中正确的结论序号是（ ）A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．10．（2019•中原区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB11．（2019•香坊区一模）如图，△ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC， BD∥CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题12．（2019•沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是．13．（2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．14．（2019•福田区校级模拟）如图，分别以△ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．15．（2019•昆明模拟）如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为．16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD 中，点E 是边BC 上一点，AE 交BD 于点F ，若BE ＝2，EC ＝3，△BEF 的面积是1，则▱ABCD 的面积为 ．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第4个正方形的面积为 ．三．解答题21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AC ，E 是边BC 上的点，且∠AED ＝∠CAD ，DE 交AC 于点F ． （1）求证：△ABE ∽△DAF ；（2）当AC •FC ＝AE •EC 时，求证：AD ＝BE ．22．（2019•青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（2）在△ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE＝2AC，CD＝，求BE的长．23．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．26．（2019•宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．27．（2019•郊区一模）（1）问题发现如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．28．（2019•都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤4），求△BDP的面积；（用含n的代数式表示）（3）当△BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．29．（2019•曹县一模）如图1，▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．30．（2019春•江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（2）在△ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED＝2AC，若CD＝3，BC＝4，直接写出△BED的面积．31．（2019春•包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．参考答案一．选择题1．（2019•萧山区模拟）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知＝2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC．则（）A．①正确；②不正确B．①正确；②正确C．①不正确；②正确D．①不正确；②正确解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，∴∠C＝∠MBD，在△ACD和△MBD中，，∴△ACD≌△MBD（ASA），∴AD＝MD，∵EF∥BC，，∴，∴，∵BM∥AC，∴△MBG∽△AHG，∴，∴，故①正确；（2）过点D 作DN ⊥AC 于点N ，则DN ＝AD sin ∠DAC ， ∵BH ⊥AC ，DN ⊥AC ， ∴BH ∥DN ， ∴，即，∵BC ＞2CD ， ∴， ∴．故②错误； 故选：A ．2．（2019春•北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC 上两点，且EF ∥BC ，若AE ：EB ＝2：1，则S △AEF ：S △ABD ＝（ ）A ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：9解：∵AE：EB＝2：1，∴AE：AB＝2：3，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴S△ABD ＝S△ABC，∴＝，故选：D．3．（2019•云南模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB＝9，AC＝6，AD＝3，若使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（）A．2 B．C．2或D．3或解：①若∠AED对应∠B时，＝，即＝，解得AE＝；②当∠ADE对应∠B时，＝，即＝，解得AE＝2．故选：C．4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点A（7，5），B（4，3），先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（4，3）B．（4，3）或（﹣4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）解：∵点A（7，5），B（4，3），先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点A，B平移后的对应点的坐标为A′（8，6），B（5，4），∵以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，∴则点A′的对应点C的坐标为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故选：B．5．（2019•平房区一模）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD 的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A．B．C．＝D．＝解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG，∵△ABF∽△DEF，∴＝，故A错误；∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，∴＝，＝，∴＝，故B正确；∵△AFG∽△CBG，∴＝，故C错误；∵△EFD∽△EBC，∴＝，故D错误；故选：B．6．（2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，则OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．解：∵点A （4，2），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ， ∴C （2，1），则OC 的长度＝．故选：C ．7．（2019•铁西区三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论： ①；②若AF ＝AB ，则点D 是AB 的中点；③若＝1，则S △ABC ＝9S △BDF ；④当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ； 其中正确的结论序号是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④解：依题意可得BC ∥AG ， ∴△AFG ∽△BFC ， ∴＝，数学又AB＝BC，∴＝．故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又BD＝AD，∴AG＝AD，在△AFG与△AFD中，，∴△AFG≌△AFD（SAS），∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∵△AFG≌△A FD，∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD＝∠AFD＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵BG⊥CD，∴＝，∴DF＝DB，故③正确；∵＝，∵AG＝BD，＝，∴＝，∴＝，AF＝AC，∴S△ABF ＝S△ABC；∴S△BDF ＝S△ABF，∴S△BDF ＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：B．8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：∵AB∥DG，∴△ABF∽△GDF．∴＝2．∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．在△ADG和△ECG中，∴△ADG≌△ECG（AAS）．∴AG＝EG．∴AE＝2AG＝12．故选：D．9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，∴＝＝．故选：C．10．（2019•中原区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，故A、D选项正确；∵△ACD∽△CBD，∴＝＝，∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；故选：B．11．（2019•香坊区一模）如图，△ABC中，G、E分别为A B、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE 交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴＝，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴＝，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝EC，∵GE∥BC，∴＝，∴＝，故选：D．二．填空题（共9小题）12．（2019•沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是6．解：∵点H是AC的中点，∴AC＝2AH∵FG＝FD，EF⊥AD，∴EF为DG的中垂线∴GE＝DE∴∠EDG＝∠EGD∴∠AGH＝∠ADB∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，且∠AGH＝∠ADB∴△AGH∽△ADB∴＝＝＝，且AB：AC＝5：4，∴∴AD＝AG＝20，∴DG＝AD﹣AG＝12∴DF＝DG＝×12＝6故答案为：613．（2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．14．（2019•福田区校级模拟）如图，分别以△ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．＝BC×BE＝18，四边形EBCD的面积为24，解：∵S△BEC＝24﹣18＝6∴S△DEC∵△EBC与△DAC是等腰直角三角形∴BE＝BC＝6，AC＝DA，∠EBC＝∠DAC＝90°，∠ECB＝45°＝∠DCA，∴EC＝BC，DC＝AC，∠BCA＝∠DCE，∵，且∠BCA＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC∴∠DEC＝∠ABC，＝＝3∴S△ABC∵DE∥BC∴∠DEC＝∠ECB＝45°∴∠ABC＝45°如图，过点A作AM⊥BC于M∵S＝×BC×AM＝3△ABC∴AM＝1∵∠ABC＝45°，AM⊥BC∴∠ABC＝∠BAM＝45°∴BM＝AM＝1，∴AB＝故答案为：15．（2019•昆明模拟）如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为49：81 ．解：∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FDE＝∠FBA，∠FED＝∠FAB，＝，∴△DFE∽△BFA，∴＝（）2＝，故答案为：49：81．μ16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为2+．解：过D点作DF∥AB，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AF＝DF，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∴∠FDE＝∠2＝∠B ∴CD＝CF，∴BD＝AF，∵AD＝AF，∴∠3＝∠E，∴∠E＝∠1，在△ABD和EFD中，，△ABD≌△EFD（AAS）∴EF＝AB＝6，∵CE＝2，∴CF＝4，∵DF∥AB，∴△ABC∽FDC∴，∴，解得，（舍去）故答案为：2+．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是①②③解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP•CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP•CM，③正确，故答案为：①②③．18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC 上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝＝∴CQ的最大值为∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝3，△BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．解：▱ABCD 中，BE ∥AD ， ∴△BFE ∽△DFA而△BEF 的面积是1， ∴S △DFA ＝又∵△BFE ∽△DFA ∴利用＝，即可知S △BAF ＝而S △ABD ＝S △BAF +S △DFA ∴S △AFD ＝+＝∴▱ABCD 的面积＝×2＝故答案为．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 5 ；第4个正方形的面积为 （）3×5 ．解：∵点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）． ∴OA ＝1，OD ＝2，在Rt △AOD 中，AD ＝＝，∴正方形ABCD 的面积为：（）2＝5；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠ABA 1＝90°＝∠DOA ， ∴∠ADO +∠DAO ＝90°，∠DAO +∠BAA 1＝90°， ∴∠ADO ＝∠BAA 1， ∵∠DOA ＝∠ABA 1， ∴△DOA ∽△ABA 1， ∴＝，即＝，解得：A 1B ＝，∴A 1C ＝A 1B +BC ＝，∴正方形A 1B 1C 1C 的面积为：（）2＝；∵第1个正方形ABCD 的面积为：5； 第2个正方形A 1B 1C 1C 的面积为：＝×5；同理可得：第3个正方形A 2B 2C 2C 1的面积为：××5＝（）2×5； ∴第4个正方形A 3B 3C 3C 2的面积为：（）3×5． 故答案为：5，（）3×5． 三．解答题（共11小题）21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AC ，E 是边BC 上的点，且∠AED ＝∠CAD ，DE 交AC 于点F ． （1）求证：△ABE ∽△DAF ；（2）当AC •FC ＝AE •EC 时，求证：AD ＝BE ．证明：（1）∵AD ∥BC ，数学∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∴＝，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．22．（2019•青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（2）在△ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE＝2AC，CD＝，求BE的长．（1）证明：∵AH⊥CG，EG⊥CG，AD⊥CE，∴∠AHD＝∠G＝∠AFC＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠C+∠CDF＝90°，∴∠A＝∠C，∴△ADH∽△CEG，∴；（2）解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴＝＝＝2，∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝，故答案为：；（3）解：如图3，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝，∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FH⊥BC，BC＝4，∴BH＝HC＝2，且∠B＝30°，FH⊥BC∴FH＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3，BC＝4，∴BD＝7，又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CMD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEM＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，∴∠ACF＝∠AEM，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA∴＝＝，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝，∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6．23．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．数学∴∠BPE＝∠BAC，在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝＝，∵AB＝2，∴AE＝6，∴BE＝＝2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH＝PD＝a．QH＝BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠PAC，∴△ACP∽△QCH，∴＝，即＝，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ＝＝a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴＝，即＝，解得，FC＝a，∴QF＝QC﹣FC＝a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴＝＝．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（1）得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．∴BE＝．∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为90°．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．解：（1）在△DEB和△AEC中，，∴△DEB≌△AEC（SAS）．∴∠EDB＝∠EAC．∵∠EFA+∠EAF＝90°，∠EFA＝∠DFG，数学∴∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠AGB＝90°．故答案为90°；（2）①∵四边形AECD是平行四边形，∴∠AED＝∠EDC＝90°，AE＝AD．∵△ADE是等腰三角形，∴AE＝ED．∴ED＝EC，∠CED＝45°．∴∠BED＝90°+45°＝135°．∵∠AED＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．又EB＝EB，ED＝EA，∴△BAE≌△BDE（SAS），∴DB＝AB；∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BED＝∠CEA．∵EB＝EC，EA＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝CA，∴AC＝AB．②∵△BAE≌△BDE，∴△CAE≌△BAE．∴∠BAE＝∠CAE＝∠BDE．∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠BAE＝90°．∵∠GFD＝∠AFE，∠EDB＝∠EAB，∴∠EDB+∠GFD＝90°，即∠CGD＝90°．∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△AEF，∴，∴AF•CG＝CD•AE＝4．故答案为90°．26．（2019•宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．解：（1）①∵△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵∠EAC＝α＝60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠ADE＝∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴＝，∴＝，又∵∠ADF＝∠EDC，∴△DAF∽△DEC；（2）①∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△FG C；②∵△AGE∽△FGC，∴＝，∴＝，又∵∠AGF＝∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；27．（2019•郊区一模）（1）问题发现如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为 1 ；②∠AMB的度数为36°；（2）类比探究如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．数学解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，∴∠COA＝∠DOB，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，故答案为：1；②设AO与BD交于点E，由①知，△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，∠AMB+∠CAO＝∠DEO，∴∠AOB＝∠AMB＝36°，故答案为：36°；数学（2）在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴tan30°＝＝＝，∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，即∠DOB＝∠COA，∴△DOB∽△COA，∴＝＝，∠DBO＝∠CAO，∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，∴∠CAO+∠MEA＝90°，∴∠AMB＝90°，∴＝，∠AMB＝90°；（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，在Rt△OAB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2，由（2）知，∠AMB＝90°，且＝，∴设BD＝x，则AC＝AM＝x，在Rt△AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴AC＝AM＝3；②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，在Rt△AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，解得，x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴AC＝AM＝4，综上所述，AC的长为3或4．28．（2019•都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤4），求△BDP的面积；（用含n的代数式表示）（3）当△BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．（1）证明：∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴CD＝PC，BC＝CE，∴＝＝，＝＝，∴＝（2）解：如图1中，作PH⊥BD于H，∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠BCE＝45°，∠PBC＝∠PDC＝45°，∴B、C、P、D四点共圆，∴∠DBP＝∠PCD＝45°，∴∠CBD＝∠DBP+∠PBC＝45°+45°＝90°，△PBH是等腰直角三角形，∵∠BCE＝∠DCP＝45°，∴∠BCD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠CBD＝90°，∴△CBD∽△CEP，∴＝＝，∵PE＝n，∴BD＝n，∵tan A＝＝，AC＝6，∴BC＝4，∴EC＝BE＝4，∴PB＝4+n，PH＝BH＝（4+n），∴S＝•BD•PH＝×n×（4+n）＝2n2+n（0＜n≤4）；△BDP（3）解：①如图2中，当BF＝BD时，在BC上取一点G，使得BG＝BD，∵∠PBD＝45°，∴∠BDF＝67.5°，∵∠CBD＝90°，∴∠BDG＝∠BGD＝45°，∴∠BCD＝∠GDC＝22.5°，∴GC＝GD，∵PE＝n，BD＝n，∴BG＝n，CG＝DG＝BG＝2n，∴BG+CG＝BC＝4，∴n+2n＝4，∴n＝4﹣4，∴PE＝4﹣4；②如图3中，当FB＝FD时，则∠FBD＝∠FDB＝45°，此时BD＝BC＝4，∵∠CDP＝45°，∴∠BDP＝90°，∵∠CPD＝90°，∠CBD＝90°，∴四边形CBDP为正方形，E、F点重合，∴PE＝BE＝4，综上所述，线段PE的长度为：4﹣4或4．29．（2019•曹县一模）如图1，▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．解：（1）四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，又∵点E是AB中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）①∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2AE，∴∠AEK＝∠CDH，∵AK∥HC，∴∠AKE＝∠CHD，∴△AEK∽△CDH，∴＝＝，∴HC＝2AK；②由①知∠ADH＝∠F，又∵∠AHD＝∠GHF，∴△AHD∽△GHF，∴＝，由①△ADE≌BFE，得AD＝BF，∵G是BC的中点，∴AD＝BF＝2BG，∴＝，∴＝．30．（2019春•江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（2）在△ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED＝2AC，若CD＝3，BC＝4，直接写出△BED的面积．解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥ED，∴∠B＝∠C＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴＝；（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝（3）如图，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FM⊥BC于点M∵tan B＝m＝∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FM⊥BC，BC＝4，∴BM＝MC＝2，且∠B＝30°，FM⊥BC∴FM＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3，BC＝4，∴BD＝7又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CHD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEH＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE∴∠ACF＝∠AEH，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA∴，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6＝×BD×GD＝∵S△BGD＝×＝∴S△BED31．（2019春•包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．解：（1）①如图（1），∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，。

2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题(学生版)

2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题(学生版)

2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题1．（2023•海淀区一模）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．2．（2023•西城区一模）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝（用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是时，这种产品的成本最低．3．（2023•东城区一模）一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……（1）当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为；（2）依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为．4．（2023•朝阳区一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元．）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间；（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元．5．（2023•丰台区一模）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为（用含x，y的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2023•石景山区一模）为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A型、B型环保板材，具体要求如下：板材规格需用量板材要求板材型号A型板材60cm×30cm290块B型板材40cm×30cm180块现只能购得规格为150cm×30cm的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：裁法一裁法二裁法三裁出数量（块）裁法板材型号A型板材210B型板材0a3如表中a的值为；公司需购入标准板材至少张．7．（2023•通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．8．（2023•平谷区一模）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称次就能把乙车上装错的货物区分出来．9．（2023•门头沟区一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：客车型号甲乙丙每辆客车载客量/人203040每辆客车的租金/元500600900其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为元；（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是．10．（2023•房山区一模）为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲6：00﹣8：0016：00﹣18：00乙6：30﹣7：3017：00﹣20：00丙8：00﹣11：0018：00﹣19：00丁7：00﹣10：0017：30﹣18：30已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为小时，最长为小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）11．（2023•延庆区一模）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；②当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是．12．（2023•顺义区一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是．13．（2023•大兴区一模）某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案．14．（2023•燕山一模）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kg A347B325C235现要用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．（1）若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为；（2）若使用甲种原料不超过13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为．。

中考数学综合压轴题100题(附答案)

中考数学综合压轴题100题(附答案)

中考数学综合压轴题100题（附答案）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．4．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．6．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．7．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．8．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点∴MN∥BC，MN＝BC＝1又∵BD∥AC∴∠DBA＝∠A＝60°∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM＝MN＝1连接OA交MN于点G，则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG＝FG，MG＝FN由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB∴EM（EM+1）＝1解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）∴DE＝DM﹣EM＝∴DE（3﹣DE）＝1解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．9．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．10．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．11．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．12．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．14．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．15．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．17．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．18．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．19．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．20．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．22．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．23．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．。

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解
∴ 2x 2 y ， 2x 1 2 x
可得： y 2x2 2 （0＜x＜2）； 2x 1
（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝ 1 x2 ，EH＝ 1 ( y x)2 ，
∴ EG AE ，∴EG＝ AE EH ，
GH CH
AE CH
∵∠BEG＝∠DHE，
若△BEG 与△DHE 相似，则有两种情况，
8．（2020 秋•普陀区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝3，点 E 是边 BC 上一个动 点（不与点 B、C 重合），AE 的垂线 AF 交 CD 的延长线于点 F．点 G 在线段 EF 上，满足 FG：GE＝1：2．设 BE＝x． （1）求证： AD DF ；
AB BE （2）当点 G 在△ADF 的内部时，用 x 的代数式表示∠ADG 的余切； （3）当∠FGD＝∠AFE 时，求线段 BE 的长．
在 Rt△EAD 与 Rt△DCF 中，
∠ADE=∠CDF
∠EAD=∠FCD=90
°
，
∴△EAD∽△FCD，∴ DE = AD = 1 ， DF CD 2
∴tan∠EFD＝ DE = 1 ， DF 2
（2）由（1）可知 FC＝2EA＝2x，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴△FCH∽△FBE，∴ FC = CH ， FB BE
专题 2021 年上海各区分类汇编-25 题
专题一 动点函数下的相似三角形
【历年真题】
1．（2020 秋•闵行区期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，点 E 在边 AB 上（点 E 与端点 A、B 不重合），联结 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，联结 EF， 与对角线 AC、边 CD 分别交于点 G、H．设 AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD 的正切值； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结 BG，当△BGE 与△DEH 相似时，求 x 的值．

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．专题二动点函数背景下的面积问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE 的长．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．专题三动点函数背景下的等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD＝10，CD＝4，AD＝6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE＝DQ＝BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）当BP＞BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；（3）当BP＝m（0＜m＜5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．专题四动点函数背景下的线段问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF（3）如果AG＝8，求DE的长．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．专题四动点函数背景下四边形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．4．(2019秋•普陀区期末)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD AB ＝5，tan A ＝2，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE ＝m ．（1）当点E 在边AD 上时，①求△CEF 的面积；（用含m 的代数式表示）②当S △DCE ＝4S △BFG 时，求AE ：ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求m 的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF ∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE ＝4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF ∽△CGF 时，得出∠AFE ＝∠CFG ，进而得出BG ＝12BC ＝52，FG ＝BG tan ∠CBFBF ＝52，进而得出AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，最后判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF ∽△CGF 时，先判断出∠AFC ＝90°，进而得出CF ＝2BF ，再根据勾股定理得，求出BF ＝1，得出AF ＝AB +BF ＝6，同理：BG ＝，再判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，在Rt △AEF 中，tan A ＝2，AE ＝m ，∴EF ＝AE tan A ＝2m ，根据勾股定理得，AF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD AD ∥BC ，∴∠G ＝∠AEF ＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE AFBG BF =，∴m BG =，∴BG m ，∴CG ＝BC +BG ＝m ＝m ，∴S △CEF ＝12EF •CG ＝12•2m •（m ）＝m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ，∴BF FG AF EF =，∴FG ＝BFAF •EF •2m ＝2m ），∴EG ＝EF +FG ＝2m +2﹣m ）＝∴S △CDE ＝12DE •EG ＝12（m ）•5，S △BFG ＝12BG •FG ＝12m ）•2m ﹣m ）2，S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5＝4m ）2，∴m m ＝354，∴DE ＝AD ﹣AE ﹣4＝4，∴AE ：ED ＝354：54＝3，即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1，∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG ＝12BC ＝52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF根据勾股定理得，BF 52，∴AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴BG BFAE AF=，∴，∴m ＝35 2；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG ＝5 5，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴AE AFBG BF=6155=，∴m ＝655．即：如果△AEF与△CFG相似，m 的值为35 2或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt △PCH 中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明△POQ ∽△BOC ，推出∠OPQ ＝∠OBC ＝30°＝∠PCQ ，推出PQ ＝CQ ＝y ，推出PC ，在Rt △PHB 中，BH ＝12x ，PH ＝2x ，根据PC 2＝PH 2+CH 2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝4，AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC ＝180°，∵∠A ＝120°，∴∠PBH ＝60°，∵PB ＝3，∠PHB ＝90°，∴BH ＝PB •cos60°＝32，PH ＝PB •sin60°＝332，∴CH ＝BC ﹣BH ＝4﹣32＝52，∴PC =．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠PCQ ＝30°，∴∠PBO ＝∠QCO ，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴PO BOQO CO=，∴PO QOBO CO=，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC y，在Rt△PHB中，BH＝12x，PH＝32x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（2x）2+（4﹣12x）2，∴y＝3（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝PCF＝45°，∴PF＝CF＝，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE 与△BCP 相似，∴∠CQE ＝∠CBP ＝120°，∴∠QCE ＝∠PCB ＝15°，作CF ⊥AB 于F ．∵∠FCB ＝30°，∴∠FCP ＝45°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝PF ＝23∴PB ＝3﹣2．综上所述，满足条件的PB 的值为3或232．【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．专题二动点函数背景下的面积问题【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE的长．【考点】三角形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ．AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．根据BG ＝EG 构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF ∽△BEC ，可得22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD ＜120°时，当120°＜∠CAD ＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AD ＝AC ，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD ＝180°，∠CAD ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠EBC ＝45°．过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G．设AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．在Rt △CGE 中，∠ACB ＝60°，∴3sin ACB=)2EG EC x =- ∠，1cos ACB=12CG EC x =- ∠，∴BG ＝2﹣CG ＝1+12x ，在Rt △BGE 中，∠EBC ＝45°，∴131)22x x +=-，解得4x =-．所以线段AE的长是4-．（2）①设∠ABD ＝α，则∠BDA ＝α，∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝120°﹣2α．∵AD ＝AC ，AH ⊥CD ，∴1CAF=DAC=60-2α ∠∠，又∵∠AEF ＝60°+α，∴∠AFE ＝60°，∴∠AFE ＝∠ACB ，又∵∠AEF ＝∠BEC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由（1）得在Rt △CGE 中，BG ＝1+12x，EG )2x =-，∴BE 2＝BG 2+EG 2＝x 2﹣2x +4，∴2224x x y x-+=（0＜x ＜2）．②当∠CAD ＜120°时，y ＝7，则有7＝2224x x x-+，整理得3x 2+x ﹣2＝0，解得x ＝23或﹣1（舍弃），2AE=3．当120°＜∠CAD ＜180°时，同法可得22+24x x y x +=当y＝7时，7＝22+24x xx，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣23（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．【考点】相似形综合题．【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．【分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG＝∠MON，在Rt△AOE中，设OE＝a，可求得OA，OG，OF的长，则EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝5，推出CO＝CG＝5，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，m＝2；当△FDA∽△CDF 时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，∵∠BCG+∠CGB＝90°，∠MON+∠CGB＝90°，∴∠BCG＝∠MON，则tan∠BCG＝tan∠MON＝2，∴BG＝2BC＝4，CG＝，在Rt△AOE中，设OE＝a，由tan∠MON＝2，可得OA a，则OG+6，OF＝OG＝a+，∴EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝∵CD平分∠FCO，∴∠FCD＝∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD＝∠CGO，∠DCO＝∠COG，∴∠CGO＝∠COG，∴CO＝CG＝在Rt△COB中，由BC2+BO2＝OC2，得22++2）2＝（2，解得a1＝﹣655（舍去），a2＝255，∴OF＝a+5＝5，cos∠COF＝45 OFOC=，∴sin∠COF＝3 5；（3）当D在∠MON内部时，①如图3﹣1，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，∴m＝2；②当△FDA∽△CDF时，如图3﹣2，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，则∠FDC＝∠FDA＝135°，∴∠FDP＝45°，∵PC＝FP•tan∠PFC＝FP•tan∠MON＝2FP＝2DP＝CD+DP，∴FP＝PD＝CD＝m，∴FD m，∵△FDA∽△CDF，∴FD CD DA FD=，∴FD==，∴m＝1；当D在∠MON外部时，∠ADF＞90°，∠DFC＞90°，∴∠ADF ＝∠DFC ，∴∠DFI ＝∠FDI ，ID ＝IF ，①如图3﹣3，△FDA ∽△DFC 时，此时△FDA ≌△DFC ，∴CF ＝AD ＝2，∵∠DAF ＝∠FCD ＝∠FHD ，∴A 、O 重合，延长BC 交ON 于R ，∴FR ＝2CF ＝4，CR ＝BR ＝，∴m ＝CD ＝AB ＝12BR ＝；②如图3﹣4，△FDA ∽△CFD 时，设CF ＝（t ＞0），延长BC 交ON 于R ，过F 作FS ⊥CD 于S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH ＝FC ，∴ID ＝IF ＝12CF ，∴IS ＝t ，FS ＝2t ，CS ＝4t ，DS ）t ，DH ＝FC ＝，∵△FDA ∽△CFD ，∴AD DF DF FC=，∴DF 2＝AD •FC ＝2DH ＝t ，∵DF 2＝DS 2+FS 2，∴＝4t 2+）2t 2，解得t 1＝512-，t 2＝0（舍去），∴DH ＝t ＝52＝AD ，矛盾，综上所述：m ＝1或m ＝2，或m ＝【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．专题三动点函数背景下的等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得AD ACAC AB=，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出AC ADDH EH=，由此构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴AD ACAC AB=，∴334AD=，∴94AD=．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=5，∵BE＝y，∴EH＝35y，BH＝45y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴AC AD=DH EH，∴3x=434-x-55y y，∴220594x xyx-=+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC ＝AB ′＝3，AE ⊥CB ′，∴CE ＝'EB ='12CB ＝52，∴AE 22225113()22AC CE -=-，由△ACE ∽△KCA ，可得AK ＝3115，CK ＝185，∴BK ＝AB ﹣AK ＝4﹣3115，∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM ＝DN ，∴181185215252CDK CDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆===== ，∴BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043151143）＝7242151143．②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝7242﹣151143．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝BD ＝10，CD ＝4，AD＝6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE ＝DQ ＝BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP ＞BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP ＝m （0＜m ＜5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ ∽△BCD ，得出∠DQE ＝∠BDC ，即可得出结论；（2）先用△DEQ ∽△BCD ，得出比例式表示出EQ ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）先判得出△PHQ ∽△BGD ，得出PH PQ HQ BG BD GD ==，进而表示出HQ ＝1025m -，PH ＝26(102)5m -，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠EDQ ＝∠DBC ，∵DE ＝DQ ，BD ＝BC ，∴1DE DQ =，BD BC ＝1，∴DE BD DQ BC=，∴△DEQ ∽△BCD ，∴∠DQE ＝∠BDC ，∴EQ ∥CD ；（2）设BP ＝x ，则DQ ＝x ，QP ＝2x ﹣10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQ QDDC BC=，∴410EQ x=，∴EQ＝25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ＝EP时，∴∠EQP＝∠EPQ，∵DE＝DQ，∴∠EQP＝∠QED，∴∠EPQ＝∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴，∴EQ2＝DE•QP，∴（25x）2＝（2x﹣10）•x，解得，x＝0（舍）或x＝12523＜6，即：BP＝12523，Ⅱ、当QE＝QP时，25x＝2x﹣10，解得，x＝254＞6，此种情况不存在，即：BP＝125 23；（3）如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD＝BC，BG⊥DC，∴DG＝2，BG＝，∵BP＝DQ＝m，∴PQ＝10﹣2m，∵EQ∥DC，∴∠PQH＝∠BDG，∵∠PHQ＝∠BGD＝90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PH PQ HQBG BD GD==102102m HQ-==，∴HQ＝1025m-，PH＝2)5m-，∴EH＝102255m m-+＝2，∴tan∠PEQ＝PHEH＝2)5m-12⨯＝﹣5m．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE ∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝12CD=1；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴AD DEBH EH=，∴2x DEEH=，∴22x DE EH DHEH EH++==，∴4-2xEH=x+2，∴2424(02)22x xy CE CH HE x xx x-+==+=+=<≤++；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH ＝AD ，那么AD ＝CH ＝12CD =1；当CG ＝CD 时，如图2﹣2，即CG ＝2，点G 为△ABC 的重心，∴332CF CG ==，∴AB ＝2CF ＝6，∴22AC AB ==，∴AD ==；综上所述，AD ＝1【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF ∥AB ，根据平行线的性质得到AE BD AC BC =，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD CD CE=，即AB •CE ＝BD •CD ；（2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴DF ∥AB ，∴AE BD AC BC=，∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA ∽△BAC ，∴BD BA BA BC =，即101016BD =解得，254BD =，∴2541016AE =，解得，AE ＝12532；（3）解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝HC ＝12BC ＝8，由勾股定理得，AH 22221086AB BH -=-=，∴tan B ＝AH BH ＝34，∴tan ∠ADF ＝AF AD ＝34，设AF ＝3x ，则AD ＝4x ，由勾股定理得，DF 22AD AF +＝5x ，∵△BAD ∽△CDE ，∴AD AB DE CD =，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴1042xCD x=，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴1042.5xCD x=，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝39 4；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10475xCD x=，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝252；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴1048x CD x=，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【考点】几何变换综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ODE ∽△OCA ，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解；（2）通过证明△OEM ∽△BAC ，可得∠EOM ＝∠ABC ＝36°，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴S △OAC ＝13，∵DE ∥AC ，∴△ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD ＝k ⋅OC ，∴S △ODE ＝13k 2，（2）∵△ODE ∽△OCA ，∴OE OD DE k OA OC AC ===，∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴AB ＝2AO ，EM ＝12DE ，∴2OE k EM AB AC==，且∠OEM ＝∠OAC ，∴△OEM ∽△BAC ，∴∠EOM ＝∠ABC ＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON ＝∠B +∠ONB ，∴∠AOE +∠EOM ＝∠B +∠ONB ∴y ＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON ＝∠EOM ﹣∠BOE ＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB ＝α﹣144°，∵∠BNO ＝∠ABC ﹣∠NOB ＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝180362-＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键．专题四动点函数背景下的线段问题【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝23 DCAC=；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得AF CFAG BC=，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝12AF CD，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE ＝AD ﹣AE 可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝35，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝23DC AC =；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ，∴AF CF AG BC =，AG AF BC CF =，∴34x CF CF-=，∴124CF x =+．∴12334AF CF x =-=-+＝34x x+．∵∠EAF ＝∠CBF ，∴CD CF AC BC =，∴94CD x =+，∴S △DAF ＝12AF CD ＝2193272442(4)x x x x x ⨯⨯=+++；（3）①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，∵AG ＝8，BC ＝4，AG ∥BD ，∴21AG AF BC CF ==，∴AF ＝2CF ，∵AC ＝3，∴AF ＝2，CF ＝1，∴CF 1tan AGE=tan CBF==BC 4∠∠，∴AE 1=GE 4，设AE ＝x ，GE ＝4x ，∴x 2+16x 2＝82，解得x ＝，即AE ．同理tan ∠DAC ＝tan ∠CBF ，∴DC 1=AC 4，∴DC ＝34，∴AD∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴8241AG AFBC CF===．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴654AE=，∴245AE=，同理AC BCAD AB=，∴345AD=，∴154AD=．∴DE＝AE﹣AD＝241521 5420-=．综合以上可得DE的长为191768或2120．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADE ，理由如下：∵AB 2＝BE •DC ，∴BE AB AB DC=，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，BE AC AB DC =，∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED ＝∠DAC ．∵∠AED ＝∠C +∠EAC ，∠DAC ＝∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE ＝∠C ．∴△ADE ∽△CDA ；（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴DG DE AD DF AD CD==，设CE ＝a ，则DE ＝3CE ＝3a ，CD ＝4a ，∴34a AD AD a=，解得：AD ＝23a ，∴23342DG AD a DF CD a ===；（3）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠DAE ＝∠C ＝45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG ＝∠ADF ＝45°，∴AG ＝DG ＝22AD ＝22×236a ，∴EG 2222(3)(6)3DE DG a a -=-a ，∴AE ＝AG +EG ＝（63）a ，∵∠AED ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△DFA ，∴AD AE DF AD=，∴22AD AE ==a ，∴24DG DF +==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．专题四动点函数背景下四边形【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP ＝x ，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）当四边形PQMN 是矩形时，PQ ∥AB ．根据tan ∠PQM ＝PM PQ求解即可．（2）如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y ＝PM •MK 求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．根据EG ＝12PC 构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．根据PC ＝GH 构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ=3955253PACQ=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝35x，AM＝45x，KQ＝45BQ＝2445x-，BK＝35BQ＝1835x-，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝296325x x-（0＜x＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝35NQ＝35PM＝925x，PC＝8﹣x，∴925x＝12•（8﹣x），解得x＝20043．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝12•925x，解得x＝40059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分三种情形：AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC分别求解即可解决问题．【解答】证明：（1）∵∠ABP +∠BAP +∠APB ＝180°，∠APB +∠BAC ＝180°，∴∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAC ，即∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAP +∠CAP ，∴∠ABP ＝∠CAP ，又∵∠APB ＝∠APC ，∴△PAB ∽△PCA ．（2）如图1中，∵∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴，又∵△PAB ∽△PCA ，∴12PB PA AB PA PC AC ===，∴14PB PB PA PC PA PC == ，即4PC PB =．（3）∵∠BAC ＝45°，∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝∠APC ，∴∠APB ＝∠APC ＝135°．∴∠BPC ＝360°﹣∠APB ﹣∠APC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA ∽△PAB ，∴PA PC AC PB PA AB==，∴163．①如图2中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC 时，2tan PBC=()=1PC AC PB AB =∠．②如图3中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC 时，∠ACB ＝∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，易得2AC AB ，∴2tan PBC=()=2PC AC PB AB=∠．③如图10﹣4，当△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC 时，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠ACB ＝90°，易得2=2AC AB ，∴21tan PBC=()=2PC AC PB AB =∠．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，∠CDE ＝∠A ，∠GBE ＝∠ABC ，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当∠A ＝2∠ACD 时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，AD ：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD ：BE 的值；如果变化，请说明理由．【考点】三角形综合题．。

2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版

2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版

例 2022年上海市宝山区第25题如图1，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果13DPCF=，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果22AF AB=，求n的值．图1满分解答（1）如图2，过点F作DC的平行线交EC于点M，所以∠FME＝∠DCE．已知CE⊥BP，DF⊥BP，所以CE//DF．所以四边形CDFM是平行四边形．所以FM＝DC＝CB．根据同角的余角相等，得∠DCE＝∠CBE．所以∠FME＝∠CBE．于是根据“AAS”，可证得△FME≌△CBE．所以EF＝EC．图2 图3 图4 （2）如图3，设BP与AD交于点G．设∠ABP＝α．在等腰三角形ABP中，AB＝AP，所以∠APB＝α．在Rt△ABG和Rt△DFG中，根据内角和相等，得∠ADF＝α．在等腰三角形ADP中，∠ADP＝∠APD．所以∠ADP－α＝∠APD－α．所以∠FDP＝∠FPD．所以FD＝FP．所以△FDP和△ECF都是等腰直角三角形，DP//CE（如图4所示）．如图4，延长CD交BP的延长线于点N．那么∠N＝α．如果13DPCF=，那么1236PF mFE m==，13NPNF=．所以122NP mPF m==．在Rt△NEC中，tan∠N＝62623CE mNE m m m==++．所以tan∠ABP＝23．（3）第一步，点F是一个关键点．如图5，根据“边边边”，可以证得△AFD≌△AFP．所以AF平分∠DAP，∠AFD＝∠AFP＝135°．所以∠AFB＝45°．所以∠AFC＝90°，△AFC始终是直角三角形（如图6所示）．第二步，计算说理．如图6，因为22AB AC=，如果22AF AB=，那么12AF AC=．所以∠ACF＝30°，∠F AC＝60°．所以∠F AD＝60°－45°＝15°．所以n°＝2∠F AD＝30°，n＝30．图5 图6例 2022年上海市崇明区第25题如图1，正方形ABCD 的边长为1，在射线AB 上取一点E ，联结DE ，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，点E 落在点F 处，联结EF ，直线EF 与对角线BD 所在直线交于点M ，与射线DC 交于点N ．（1）当13AE =时，求tan ∠EDB 的值； （2）当点E 在线段AB 上，如果AE ＝x ，FM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值．图1满分解答（1）如图2，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，所以BD ＝2，∠ABD ＝45°． 在等腰直角三角形△BEH 中，BE ＝AB －AE ＝23，所以BH ＝EH ＝23． 在Rt △DEH 中，DH ＝BD －BH ＝223-＝223，所以tan ∠EDB ＝EH DH ＝12．图2 图3 （2）如图3，在Rt △BEF 中，BE ＝1－x ，BF ＝1＋x ，由勾股定理，得222EF x =+ 过点F 作BF 的垂线交BD 的延长线于点Q ，那么△BFQ 是等腰直角三角形．由QF //BE ，得11FM QF x EM BE x+==-．所以11(1)(1)2FM x x EF x x ++==++-． 21222x x +=+．所以2(1)22x x y ++．定义域是0≤x ≤1． （3）按照点G 的位置，分两种情况讨论：①如图4，点G 在BC 上．由13BM BG DM AD ==，得43BD DM =．所以33244DM BD =如图5，由∠DEF＝∠DBA＝45°，∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以2332242DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝31122-=．所以AE＝22．图4 图5 ②如图6，点G在CB的延长线上．由13BM BGDM AD==，得23BDDM=．所以33222DM BD==．如图7，由∠DEF＝∠DBA＝45°，根据等角的补角相等，得∠DEM＝∠DBE．又因为∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以232232DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝3－1＝2．所以AE＝2．图6 图7例 2022年上海市奉贤区第25题如图1，已知锐角△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，延长AD 至G ，使DG ＝FD ，联结BG 、CG ．（1）求证：BD ∙AC ＝AD ∙BG ；（2）如果BC ＝10，设tan ∠ABC ＝m ．①如图2，当∠ABG ＝90°时，用含m 的代数式表示△BFG 的面积；②当AB ＝8，且四边形BGCE 是梯形时，求m 的值．图1 图2满分解答（1）如图3， 在Rt △ADC 和Rt △BEC 中，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为BD 垂直平分FG ，所以BF ＝BG ．根据等腰三角形的“三线合一”，得∠2＝∠3．所以∠1＝∠3．由cos ∠1＝cos ∠3，得AD BD AC BG=．所以BD ∙AC ＝AD ∙BG ．图3 图4（2）①如图4，如果∠ABG ＝90°，那么∠3＝∠4．所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4．．根据“ASA ”，可证△ADB ≌△ADC ．所以BD ＝CD ＝5．由△ABC ∽△BFG ，根据相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，得()222tan ABC BFG S AD ABC m S BD ⎛⎫==∠= ⎪⎝⎭△△．所以S △BFG ＝21m S △ABC ． 而S △ABC ＝225AD BC AD BC m BC⋅=⋅=，所以S △BFG ＝21m S △ABC ＝25m ． ②分两种情况讨论梯形BGCE ．情况一：如图5，当CG ∥BE 时，∠2＝∠5．又因为∠2＝∠3，所以∠3＝∠5．所以GB ＝GC ．根据等腰三角形的“三线合一”，可知GD 垂直平分BC ．所以BD ＝CD ＝5．在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝5，所以AD＝39，m＝tan∠ABC＝395ADBD=．情况二：如图6，当BG∥CE时，∠3＝∠6．又因为∠1＝∠3，所以∠1＝∠6，△ADC是等腰直角三角形．设BD＝x，那么AD＝DC＝10－x．由BD2＋AD2＝AB2，得(10－x)2＋x2＝82．解得x1＝57-，x2＝57+（此时△ABC是钝角三角形，舍去）．当x＝57-，m＝tan∠ABC＝10571657957AD xBD x-++===-．图5 图6例 2022年上海市虹口区第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan B ＝34，点D 是边BC 延长线上的一点，在射线AB 上取一点E ，使得∠ADE ＝∠ABC ．过点A 作AF ⊥DE 于点F ．（1）当点E 在线段AB 上时，求证：AF DE AC BD=； （2）在（1）题的条件下，设CD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）记DE 交射线AC 于点G ，当△AEF 与△AGF 相似时，求CD 的长．图1满分解答（1）如图2，已知∠ADE ＝∠ABC ，∠BAD 是公共角，所以△ADE ∽△ABD ．如图3，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得AF DE AC BD=．图2 图3 图4（2）在Rt △ABC 中，由AB ＝10，tan B ＝34，可得AC ＝6，BC ＝8． 如图4，在Rt △ACD 中，CD ＝x ，AC ＝6，所以AD ＝236x +．在Rt △ADF 中，sin ∠ADF ＝sin ∠B ＝35，所以AF ＝35AD ＝23365x +． 由（1），得AF DE AC BD=．所以2336568x y x +=+． 整理，得21(8)3610y x x =++．x 的取值范围是0＜x ≤8．当x ＝8时，E 、B 两点重合． （3）△AEF 和△AGF 有公共的直角边AF ，分两种情况讨论相似．①如图5，AE 和AG 在AF 的两侧．此时AF 垂直平分EG ，∠GDC ＝∠GAF ＝∠EAF ＝α．设AF 的延长线与BC 交于点M ，那么点M 到∠BAC 两边的距离相等，等于MC ．由S △ABC ＝12BC AC ⋅＝1()2MC AB AC ⋅+， 得863106BC AC MC AB AC ⋅⨯===++． 图5 再由∠AMD ＝∠ABC ＋α，∠ADM ＝∠ADE ＋α，∠ABC ＝∠ADE ，得∠AMD ＝∠ADM ．所以AM ＝AD ．根据等腰三角形的“三线合一”，得CD ＝MC ＝3．②如图6，AE 和AG 在AF 的同侧．此时∠GDC ＝∠GAF ＝∠E ＝α．所以BE ＝BD ＝8＋x ．如图7，由△ABD ∽△ADE ，得AB AD AD AE=．所以AD 2＝AB ·AE ． 所以x 2＋36＝10×(10＋8＋x )．整理，得x 2－10x －144＝0．解得x ＝18，或x ＝－8（舍去）．图6 图7例 2022年上海市黄浦区第25题如图1，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠ACB ＝∠DAB ＝90°，AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF ．（1）求证：AE ＝AC ；（2）设BC ＝x ，=AE y EF，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （3）当△ABC 和△DEF 相似时，求边BC 的长．图1满分解答（1）如图2，因为AB 2＝BC ∙BD ，所以=AB BD BC AB． 所以Rt △ACB ∽Rt △DAB ．所以∠4＝∠2．因为AE ⊥BD ，所以∠4＋∠3＝90°．又因为∠1＋∠3＝90°，所以∠4＝∠1．所以∠1＝∠2．根据“AAS ”，可证得△AEB ≌△ACB ．所以AE ＝AC ．图2 图3（2）已知AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，BC ＝BE ＝x ，所以9BD x=． 设M 为Rt △ABD 的斜边BD 的中点，那么MB ＝MA ＝MD ．所以∠MAB ＝∠MBA ．又因为∠MBA ＝∠CBA ，所以∠MAB ＝∠CBA ．所以MA //FC ．所以229192222x BD BE AE ME x x y EF BE BE x x ---=====． 定义域是0＜x 32 （3）如图4，因为△ABC ∽△ABE ≌△DAE ，若△ABC 与△DEF 相似，我们灵活运用相似三角形的传递性，分两种情况讨论．①如图4，当∠1＝∠5时，AB //DF ．所以BE AEyED EF==．所以229292x xxxx-=-．整理，得x2＝3．解得x＝±3．所以BC＝3．②如图5，当∠1＝∠6时，等量代换，得∠4＝∠6．此时AE＝EF．所以229212-==xyx．整理，得x2＝94．解得x＝±32．所以BC＝32．图4 图5例 2022年上海市嘉定区第25题在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD 垂直，34ABAC=，四边形ABCD的周长是16，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F是在边AB上一点，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果BF∶FA＝1∶2，求△CDE的面积．图1 图2 备用图满分解答（1）如图3，过点D向直线AB作垂线，垂足为H，那么四边形ACDH是矩形．由AB＝DC，DC＝HA，得HA＝AB．所以BH＝2AB．在Rt△DBH中，cot∠AFD＝233242 BH ABDH AC==⨯=．图3 图4（2）如图3，在Rt△ABC中，34ABAC=，设AB＝3m，AC＝4m，那么BC＝5m．已知平行四边形ABCD的周长为16，所以2(3m＋5m)＝16．解得m＝1．所以AB＝3，AC＝4，BC＝5．如图4，由DC//AB，得∠EDC＝∠F AD，∠CDF＝∠DF A＝α．又已知∠CDF＝∠CED＝α，所以∠CED＝∠DF A＝α．所以△EDC∽△F AD．所以35 DE DCAF AD==．所以5335xy-=-．整理，得53433y x=-+．定义域是5＜x≤345．当E、D两点重合时，x＝5．当F、B两点重合时，53435y x=-+=，解得x＝345．（3）如图5，由△CDE∽△DAF，得2239525 CDEDAFS CDS DA⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．而S△DAF＝12AF DH⋅＝142AF⨯＝2AF，所以S△CDE＝925S△DAF＝9225AF⨯＝1825AF．分两种情况讨论BF∶FA＝1∶2．①如图5，当点F在AB上时，AF＝23AB＝2．此时S△CDE＝1825AF＝18225⨯＝3625．②如图6，当点F在AB的延长线上时，AF＝2AB＝6．此时S△CDE＝1825AF＝18625⨯＝10825．图5 图6例 2022年上海市金山区第25题如图1，AD ⊥直线MN ，垂足为D ，AD ＝8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC 交射线DN 于点C ，∠ABC 的平分线分别与AD 、AC 相交于点E 、F ．（1）求证：△ABE ∽△CBF ；（2）如果AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结DF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长．图1满分解答（1）如图2，∠ACD 和∠BAD 都是∠ABC 的余角，所以∠ACD ＝∠BAD ．又因为BF 平分∠ABC ，所以∠1＝∠2．所以△ABE ∽△CBF ．（2）如图3，由∠1＝∠2，∠BAF ＝∠BDE ，得△BAF ∽△BDE ． 所以=AF BF DE BE ． 所以∠AFB ＝∠BED ＝∠AEF ．所以AF ＝AE ．已知AE ＝x ，所以AF ＝x ，ED ＝AD －AE ＝8－x ．由（1），得△ABE ∽△CBF ．所以=CF BF AE BE． 等量代换，得=CF AF AE DE ．所以8=-y x x x．整理，得28=-x y x ．图2 图3 （3）如图4，因为△ABE ∽△CBF ，如果△DEF 与△BCF 相似，那么△DEF 与 △ABE 也相似．因为∠AEB ＝∠DEF ，分两种情况讨论．①如图4，如果∠3＝∠4，那么△AEB ∽△FED ．所以EA EB EF ED=． 又因为∠AEF ＝∠BED ，所以△AEF ∽△AED ．所以∠AFE ＝∠BDE ＝90°，不符合题意，舍去．②如图5，若∠3＝∠1，那么DF //AB ．所以=FD DE AB AE ，=FD CF AB CA ．等量代换，得=CF DE CA AE． 所以8-=+y x y x x ．代入28=-x y x，整理，得x 2＋8x －64＝0． 解得x 1＝445-+x 2＝445--．所以AE ＝445-+图4 图5例 2022年上海市静安区第25题如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB ＝9，AE ＝6，AE 2＝AB ∙AD ，且DC //AE ．（1）求证：DE 2＝AE ∙DC ；（2）如果BE ＝9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设BE ＝x ，EF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 图2满分解答（1）如图3，如图4，因为AE 平分∠BAD ，所以∠1＝∠2＝α．因为AE 2＝AB ∙AD ，所以=AB AE AE AB．所以△ABE ∽△AED ． 所以∠3＝∠4＝β，∠5＝∠6＝θ．因为DC //AE ，所以∠4＝∠7＝β，∠9＝∠5＝θ．所以∠9＝∠6＝θ．所以△AED ∽△EDC ．所以=AE DE DE DC．所以DE 2＝AE ∙DC ．图3 图4（2）如图5所示，如果BE ＝BA ＝9，那么α＝θ．此时△ABE 、△AED 、△DEC 是两两相似的等腰三角形．所以AE ＝ED ＝DC ＝6．因为AD //BC ，所以四边形ABCD 是梯形，四边形AECD 是平行四边形．由966AD=，得EC ＝AD ＝4． 如图6，作DH ⊥EC 于H ，那么EH ＝HC ＝2．在Rt △DHC 中，DC ＝6，HC ＝2，由勾股定理，得364DH -42所以S 梯形ABCD ＝1()2+⋅AD BC DH ＝1(494)422++⋅＝342图5 图6（3）如图，由△ADE ∽△AEB ，得AE DE AB BE =．所以69DE x =． 解得DE ＝23x ． 由△EDC ∽△ABE ，得DE DC EC AB BE AE==．所以2396x DC EC x ==． 解得DC ＝2227x ，EC ＝49x ，则CF ＝49y x -． 由DC //AE ，得DC CF AE EF=．所以2242796x y x y -=． 整理，得23681x y x=-．定义域为0＜x ＜9．。

2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-图形的旋转含详解

2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-图形的旋转含详解

专题图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是边BC上的高，将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点E处，点A落在点F处，那么cos∠FAD ＝．2．（2021秋•静安区期末）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为．3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么AMAN的值为．4．（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．6、（2021秋•黄浦区期末17）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转,使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于．7．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，sin A ＝55（如图），把△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A 、B 的对应点分别记为点A ′，B ′，如果△AA ′C 为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为．8．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝3，tan B ＝．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝．9．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为．10．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为．11．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP ＝．12．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt △ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．13．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD （AB ＞BC ），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么∠BEG 的正切值是．14．（2019秋•浦东新区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D '、E '，当直线D 'E '经过点A 时，线段CD '的长为．15．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．16．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k，将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，联结AD′，分别交边CD，A′B于E、F，如果AE D′F，那么k＝．17．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为．18．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．19.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P为边BC上一点，PC=3,将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'(点A，B、C分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G 的长等于．专题图形的旋转【历年真题】1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4，AD 是边BC 上的高，将△ABC 绕点C 旋转，点B 落在线段AD 上的点E 处，点A 落在点F 处，那么cos ∠FAD ＝21332-．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】如图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由旋转可知：CE ＝BC ＝4，CF ＝EF ＝AB ＝AC ＝5，利用三角函数可得∠ECD ＝60°，进而可得：DE ＝AF ＝EF ＝5，运用勾股定理可得AD ，AE ﹣，由等腰三角形性质可得AG ＝EG ＝21332-，再运用三角函数可得cos ∠FAD ＝AG AF ＝．【解答】解：如图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，∵将△ABC 绕点C 旋转，点B 落在线段AD 上的点E 处，点A 落在点F 处，∴CE ＝BC ＝4，CF ＝EF ＝AB ＝AC ＝5，∵AB ＝AC ，AD 是边BC 上的高，∴BD ＝CD ＝2，∴cos ∠ECD ＝2142CD CE ==，∴∠ECD ＝60°，∴DE ＝CE •sin ∠ECD ＝4×sin60°＝，∵∠ACF ＝∠ECD ＝60°，∴△ACF 是等边三角形，∴AF ＝EF ＝5，在Rt △ACD 中，AD ＝＝＝，∴AE ＝AD ﹣DE ﹣∵AF ＝EF ，FG ⊥AD ，∴AG ＝EG ＝21332-，∴cos ∠FAD ＝AG AF ＝＝2-，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．2．（2021秋•静安区期末）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为45°或135°．．【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE＝EC，∵将边BC绕着点C旋转，∴BC＝CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝BC＝BE，∴∠AEB＝75°，∴∠AEC＝75°+60°＝135°；当点E'在BC的下方时，同理可得△BE'C是等边三角形，∴BC＝BE'，∠BE'C＝60°＝∠CBE'，∴∠ABE'＝150°，∵AB＝BC＝BE'，∴∠AE'B＝15°，∴∠AE'C＝45°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么AMAN的值为23．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据题目条件作出图象，由∠C＝90°和tan A＝512，设BC＝5k，AC＝12k，然后由旋转的性质得到AE ＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以点C为原点、BC和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，NH ⊥AD于点H，得到NF＝NH，得到AMCAMDAC12k==AD13kSS△△，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CNDN的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到AMNM的值，即可得到AMAN的值．【解答】方法一：解：由∠C＝90°和tan A＝512可设BC＝5k，AC＝12k，∴AB＝13k，由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），∵旋转角为90°，∴E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，作NH⊥AD于点H，∵AN平分∠CAD，∴NF＝NH，∴AMCAMDAC12k==AD13kSS△△，又∵△ANC 在边CN 上的高和△AND 在边DN 上的高相等，∴AMC AMD CN 12==DN 13S S △△，∴点N 的坐标为（144k 25，84k 25），设直线BE 的解析式为y ＝mx +n ，则-5mk+01212n km n k =⎧⎨+=⎩，解得：12m 176017k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝1217x +6017k ，当y ＝8425k 时，1217x +6017k ＝8425k ，解得：x ＝﹣625k ，∴P （﹣625k ，8425k ），∴NP ＝144k 25﹣（﹣625k ）＝6k ，∵NF ⊥AC ，∠EAC ＝90°，∴AE ∥NP ，∴△MAE ∽△MNP ，∴126AM AE k MN NP k ==＝2，∴23AM AN =，方法二：解：由题可知，∠BAC ＝∠DAE ，∠CAM ＝∠MAD ，∴∠BAC +∠CAM ＝∠DAE +∠MAD ，∴∠BAN ＝∠NAE ，如图，延长AN ，交BC 的延长线于点F ，∵AE ∥BC ，∴∠EAN ＝∠AFC ，∴∠BAN ＝∠AFC ，∴BF ＝BA ，设BC ＝5，AC ＝12，AB ＝13，∴1213AE BF =，∴△AME ∽△FMB ，∴1213AM AE MF BF ==，∴1225AM AF =，延长AD 与BC 的延长线交于点H ，延长ED 与BH 交于点I ，∵DE ＝5，∴四边形ACIE 为正方形，∴DI ＝7，延长CD 与AE 延长线交于点G ，易证△EDG ∽△IDC ，∴EG DE CI DI =，即5127EG =，∴EG ＝607，∴AG ＝12+607＝1447，易知，△ANG ∽△FNC ，∴AN AG NF FC =，∵BF ＝13，BC ＝5，∴CF ＝8，∴14418787AN NF ==，∴1825AN NF =，∵1225AM NF =，∴122183AM AN ==，故答案为：23．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．4.（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，D 在边AC 上，CD ：AD ＝1：3，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果∠BCE ＝∠A ，那么CE ＝52．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的相似；运算能力．【分析】根据已知∠BCE ＝∠A ，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，可得△ABC ∽△CEF ，进而可得CF ＝2EF ，然后设EF 为a ，则CF 为2a ，BF 为2﹣2a ，最后再证明A 字模型相似△BFE ∽△BCD ，从而解答即可．【解答】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，25AB =2222(25)24AC AB BC =-=-，∵CD ：AD ＝1：3，∴CD ＝1，∵∠BCE ＝∠A ，∠ACB ＝∠CFE ＝90°，∴△ABC ∽△CEF ，∴42AC CF BC EF ==＝2，∴设EF 为a ，则CF 为2a ，BF 为2﹣2a ，∵∠ACB ＝∠BFE ＝90°，∠CBD ＝∠FBE ，∴△BFE ∽△BCD ，∴BF EF BC CD =，∴2221a a -=，∴a ＝12，∴EF ＝12，CF ＝1，∴CE 22215()122EF CF +=+=，故答案为：52．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A 字模型相似是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，E 是边DC 上一点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△AD ′E ′，使得点D 的对应点D '落在AE 上，如果D ′E ′的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于94．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图，连接BE 、BE ′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD ′＝AD ＝3，∠AD ′E ＝∠D ＝90°，利用勾股定理可得BD ′＝4，再运用面积法可得：AB •AD ＝AE •BD ′，求出AE ＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接BE 、BE ′，∵矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，∴∠D ＝90°，由旋转知，△AD ′E ′≌△ADE ，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD4==，∵AB•AD＝AE•BD′，∴AE＝'5315 44AB AD BD⨯==，在Rt△ADE中，DE94 =，方法二：∵△ADE∽△BDA，∴'' DE AD AD BD=∴334DE=∴DE＝94故答案为：9 4．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE．6、（2021秋•黄浦区期末17）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转,使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC【考点】旋转的性质；相似三角形的判定．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，则CD=AC-AD=1，然后证明△BDC∽△ADE，得到BC DCAE DE=，即15BCBC=，则BC2=5，由此即可得到答案．【解答】解：如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，∴CD=AC-AD=1又∵∠BDC=∠ADE∴△BDC∽△ADE，∴BC DCAE DE=，即15BCBC=，∴BC2=5，∴BC （负值已经舍去），【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．7．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝55（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据△AA′C为直角三角形，分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点B'的距离．【解答】解：分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形，∵∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝5 5，∴BC＝AB×5＝10×5＝∴B'C＝AC=，∴AB'＝AC﹣B'C＝②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，同理可得，B'C＝AC＝，∴AB'＝AC+B'C＝综上所述，点A与点B'的距离为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．8．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝3【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由旋转的性质得出∠B＝∠D，得出tan∠B＝tan∠D＝12FGGD=，由平行线的性质得出∠B＝∠AFG，设AG＝x，则FG＝2x，则2132xx=+，求出AG＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，∴∠B ＝∠D ，∴tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，∵∠ACB ＝∠FGA ＝90°，∴BC ∥FG ，∴∠B ＝∠AFG ，∴tan ∠B ＝tan ∠AFG ＝12AG FG =，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，∴2132x x =+，解得x ＝1，∴AG ＝1，FG ＝2，∴AF 225FG AG +=∴BF ＝AB ﹣AF ＝35．故答案为：35【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为3135．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，根据勾股定理和正切的定义得到AC ＝213，BC ＝313，根据三角形面积得到CE ＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，∵tan B ＝23，∴23AC BC =，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，AB＝13，解得x＝AC ＝，BC ＝，S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ，即12××312×13×CE ，解得CE ＝6，∵tan B ＝CE EB ＝23，∴EB ＝9，∵将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，∴∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′，∵CE ⊥AB ，∴AE ′＝AE ＝AB ﹣BE ＝13﹣9＝4，∴A ′B ＝AB ﹣A ′E ＝9﹣4＝5，∵∠A ′DB ＝∠CDB ′，∴△A ′DB ∽△B ′DC ，∴'CD A D ＝''CB A B ＝'CB A B．．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为622．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB＝30°，由直角三角形的性质可求DB1＝DE，DB＝﹣DE，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1DE+DE＝AB，DB1DE，∴DB＝AB﹣ADDE﹣DE，∴1BDB D622=，故答案为：622．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．11．（2020秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP﹣1．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】分两种情形：①当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，AP=PD ＝22a，∴PC＝a +22a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝2 2 a，∴PC＝a ﹣22 a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为3 7．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设点C落在射线CD上的点C'处，由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．【解答】解：如图，设点C落在射线CD上的点C'处，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，∴∠CAC'＝90°＝∠EAB，∴AC'∥BC，∴'34AD ACDB BC==，∴AD＝157，∴tan∠AED＝37 ADAE=，故答案为：3 7．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．13．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．14．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为【考点】三角形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：如图1，当点A 在E 'D '的延长线上时，∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，∴AB ＝＝2，∵点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝1，BD ＝12BC ＝2，∴∠EDB ＝∠ACB ＝90°，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠BD 'E '＝∠BDE ＝90°，D 'E '＝DE ＝1，BD ＝BD '＝2，∵在Rt △ABC 和Rt △BAD '中，D 'B ＝AC ＝2，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD '（HL ），∴AD '＝BC ，且AC ＝D 'B ，∴四边形ACBD '是平行四边形，且∠ACB ＝90°，∴四边形ACBD '是矩形，∴CD '＝AB ＝如图2，当点A 在线段D 'E '的延长线上时，∵∠AD 'B ＝90°，∴AD '=＝4，∴AE '＝AD '﹣D 'E '＝3，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠ABC ＝∠E 'BD '，∵'12BE AB =＝BD BC ，∴△ABE '∽△CBD '，∴''AE AB CD BC=，∴'3254CD =，∴CD '故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于5．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC=＝∵点M是AC中点，∴AM∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵BAPB＝2＝BCAB，且∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△ABP∽△CBA，∴∠PAB＝∠C，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE，∵AE2＝AB2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝AE＝52，∴BE＝32，∵B'D∥BC，∴△AB'D∽△AEB，∴''AB AD B DAE AB BE==，∴'253222AD B D==，∴AD＝85，B'D＝65，∴BD＝25，∴BB'=2105，故答案为：2105．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE 的长是本题的关键．16．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果AED ′F ，那么k【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA 'D '，可得''''AD DE AE A F A D D F ==，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，∴A 'D '∥BA ∥CD∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，∴△ADE ∽△FA 'D '，∴''''AD DE AE A F A D D F==，且AED ′F ，∴DEA 'D '，A 'FAD＝2，∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴'''EC FC A D A F =，∴''21222k k A D ---=∴k+1，+1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A 'F 的长是本题的关键．17．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为36 5．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点C作CE⊥A'B'，由锐角三角函数可求AC＝6，由旋转的性质可得AC＝A'C＝6，∠A'＝∠BAC，即可求A'E的长，由等腰三角形的性质可求AA'的长．【解答】解：如图，过点C作CE⊥A'B'，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos∠BAC＝35，∴AC＝6，∵把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，∴AC＝A'C＝6，∠A'＝∠BAC，∵cos∠A'＝cos∠BAC＝＝35，∴A'E＝185，∵AC＝A'C，CE⊥A'B'，∴AA'＝2A'E＝36 5，故答案我：36 5．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，求出A'E的长是本题的关键．18．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是25 8．【考点】旋转的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF ＝125，由勾股定理可求AF ＝95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求CA '＝75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得EC BC HC AC =，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC，∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝＝＝5，∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF ＝125∴AF 22144925AB BF -=-95，∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F ＝95，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '＝75，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC ＝12A 'C ＝710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC HC AC EC =∴74105EC =∴EC ＝78，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4﹣78＝258，故答案为：258．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．19.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P 为边BC 上一点，PC=3,将△ABC 绕点P 旋转得到△A'B'C'(点A ，B 、C 分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB ，边A'C'与边AB 交于点G ，那么A'G 的长等于2013．【考点】旋转的性质;解直角三角形；平行线的判定，图形的旋转【专题】矩形菱形正方形；平移，旋转与对称；解直角一角形及其应用；应用意识。

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题（附答案）一、中考压轴题1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．2．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．3．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．7．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．8．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．9．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．10．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．12．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．13．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．14．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．16．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．17．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．18．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，P＝25x＝75万平方米，所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×（2000+1000）＝10000万元，年新房积压面积增加了45万平方米．建议：对于新房的销售应订一个合理的价格，不能过高，只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大．【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用．解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值，根据题意求解．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB 与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．。

压轴题26选择压轴题(函数篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

压轴题26选择压轴题(函数篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

选择压轴题(函数篇)1压轴题速练1一．选择题(共40小题)1(2023•方城县一模)如图，点A(0，3)、B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是()A.(7，2)B.(7，5)C.(5，6)D.(6，5)【答案】D【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．【详解】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，∵点A(0，3)、B(1，0)，∴OA=3，OB=1．∵线段AB平移得到线段DC，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴∠BAD=90°，BC=AD．∵BC=2AB，∴AD=2AB．∵∠BAO+∠DAE=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠EAD．∵∠AOB=∠AED=90°，∴△ABO∽△DAE．∴AO DE=OBAE=ABAD=12．∴DE=2OA=6，AE=2OB=2，∴OE=OA+AE=5，∴D(6，5)．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．2(2023•东莞市校级二模)如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A-B-C -D-A⋯⋯的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()A.(-1，0)B.(0，2)C.(-1，-2)D.(0，1)【答案】A【分析】由点A、B、C的坐标可得出AB、BC的长度，从而可得四边形ABCD的周长，再根据12=1×10+2即可得出细线另一端所在位置的点的坐标．【详解】解：∵A点坐标为(1，1)，B点坐标为(-1，1)，C点坐标为(-1，-2)，∴AB=1-(-1)=2，BC=2-(-1)=3，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=10．2023÷10=202⋯3，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，即细线另一端所在位置的点的坐标是(-1，0)．故选：A．【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．3(2023•越秀区二模)抛物线G：y=-13x2+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是()A.415B.154C.32D.23【答案】B【分析】先求出A(-3，0)，B(0，3)，进而求出直线AB的解析式为y=x+3，再推出抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为(m，m +3)，则抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，进而求出y D=-13m-322+154，则y D的最大值为15 4．【详解】解：在y=-13x2+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，y=-13x2+3=0，解得x=±3，A(-3，0)，B(0，3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 b=3，解得k=1 b=3 ．∴直线AB的解析式为y=x+3，∵抛物线y=-13x2+3的顶点坐标为(0，3)，即抛物线y=-13x2+3的顶点在直线AB上，∴抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为(m，m+3)，∴抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，在y=-13(x-m)2+m+3中，令x=0，则yD=-13m2+m+3=-13m-322+154，∵-13<0，∴y D的最大值为154，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上是解题的关键．4(2023•上城区一模)二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中a，b，c，m均为常数)．x⋯-2023⋯y⋯-m22-m2-m2⋯甲同学发现当a>0时，x=5是方程ax2+bx+c=2的一个根；乙同学发现当a<0时，则a+b=0．下列说法正确的是()A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲乙都错D.甲乙都对【答案】A【分析】由已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表和抛物线的对称性可得：m≠0、函数图象的对称轴是直线x=52即有-b2a=52，又因为-m2<0<2，可知自变量x<52，y随x的增大而减小，由函数图象对称性可知x>52时，y随x的增大而增大，故函数图象开口向上，进而得到a>0，a+b≠0，由抛物线的对称性可知x=5是方程ax2+bx+c=2的一个根，从而得出结论．【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表可知：当x=2与3时，都是y=-m2，当x=-2时，y=-m，当x=0时，y=2，∴m≠0，由抛物线的对称性可知：函数图象的对称轴是直线x=52，即--b2a=52．由于-m2<0<2，故自变量x<52时，y随x的增大而减小，由抛物线的对称性可知x>52时，y随x的增大而增大，故函数图象开口向上．∴a>0，a=-15b，a+b=45b≠0；由抛物线的对称性可知：当x=5时，y=2，即方程ax2+bx+c=2的一个根是x=5．∴甲对乙错．故选A．【点睛】本题重点考查二次函数的图象和性质，能数形结合从而推出结论是解决此类题型的关键．5(2023•温州二模)已知函数y=-x2+mx+n(-1≤x≤1)，且x=-1时，y取到最大值1，则m的值可能为()A.3B.1C.-1D.-3【答案】D【分析】根据二次函的性质分析求解即可．【详解】解：因二次函数y=-x2+mx+n中a=-1，所以开口向下．由二次函数的性质得当a<0时，当x<m2时，y随x增大而增大；当x>m2时，y随x增大而减小；若当x=-1时，y取到最大值1，必有m2≤-1．即m≤-2．故答案为：D．【点睛】本题考查二次函数的基本性质．6(2023•越秀区一模)抛物线G：y=-13x2+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是()A.415B.154C.32D.23【答案】B【分析】先求出A(-3.0)，B(0.3)，进而求出直线AB的解析式为y=x+3，再推出抛物线G沿直线AB 平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为(m，m+ 3)，则抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，进而求出y D=-13m-322+154，则y D的最大值为15 4．【详解】解：在y=-13x2+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，y=-13x2+3=0，解得x=±3，A(-3.0)，B(0，3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 b=3，解得k=1 b=3∴直线AB的解析式为y=x+3，∵抛物线y=-13x2+3的顶点坐标为(03)，即抛物线y=-13x2+3的顶点在直线AB上，∴抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为(m，m+3)，∴抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，在y=-13(x-m)2+m+3中，令x=0，则yD=-13m2+m+3=-13m-322+154，∵-13<0，∴y D的最大值为154，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上是解题的关键．7(2023•定海区模拟)如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB=10，设AC=x(5<x<10)，记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则S1S2与x的函数关系为()A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系【答案】B【分析】根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10-x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，∴AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10-x，S1=S△EDK=12DE•DK，S2=S△EAC=12AC•AK，∵∠EDC=∠DFG=90°，∴ED∥FG，∴△EDK∽△GFK，∴KF KD=FGED=10-xx，∴KD=x10-x•KF，∵DK+KF+CF=CD，∴KF+x10-x•KF+10-x=x，∴KF=(2x-10)(10-x)10，∴DK=x(2x-10)10，∴S1=12x•x(2x-10)10=12x2•2x-1010，S2=12x2，∴S1S2=2x-110=15x-1，∴S1S2与x的函数关系为一次函数，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．8(2023•雁塔区模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数)开口向上，且过点A(1，0)，B(m，0)(-1 <m<0)，下列结论：①abc>0；②若点P1(-1，y1)，P2(1，y2)都在抛物线上，则y1<y2；③2a+c<0；④若方程a(x-m)(x-1)+2=0没有实数根，则b2-4ac<8a，其中正确结论的序号为()A.①③B.②③④C.①④D.①③④【答案】C【分析】根据题意得出x=-1时函数值的符号和x=1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵过点A(1，0)，B(m，0)(-1<m<0)，∴-b2a>0，c<0，∴b<0，∴abc>0，故①正确；∵抛物线过点A(1，0)，B(m，0)(-1<m<0)，∴y1>0，y2=0，∴y1>y2，故②错误•；根据题意得a+b+c=0，∴b=-a-c，当x=-2时，有4a-2b+c>0，∴4a-2(-a-c)+c>0，∴2a+c>0，故③错误；若方程a(x-m)(x-1)+2=0没有实数根，即抛物线与直线y=-2没有交点，∴顶点的纵坐标4ac-b24a>-2，∵a>0，∴4ac-b2>-8a，∴b2-4ac<8a，故④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y> 0，下方的点对应的y<0．9(2023•碑林区校级模拟)已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为()A.12或4B.4或-12C.-43或4D.-12或43【答案】B【分析】分两种情况讨论：当a>0时，-a=-4，解得a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，9a-a=-4，解得a=-1 2．【详解】解：y=a(x-1)2-a的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-a)，当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值-a，∵y的最小值为-4，∴-a=-4，∴a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，当x=4时，函数有最小值，∴9a-a=-4，解得a=-1 2；综上所述：a的值为4或-1 2，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．10(2023•海安市一模)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB=90°，则a的值为()A.4B.2C.12D.14【答案】D【分析】设出抛物线与x轴交点及点C坐标，利用勾股定理整理出相关等式，利用韦达定理解答即可．【详解】解：如图，作CD⊥x轴，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点C(m，-4)，∵CD⊥x轴，∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∴AD2+CD2+BD2+CD2=AB2，∴(m-x1)2+42+(x2-m)2+42=(x1-x2)2，整理得，m2-m(x1+x2)+16+x1x2=0，∴m2+b a m+16+c a=0，∴am2+bm+c=-16a，∵点C(m，-4)在抛物线上，∴-16a=-4，∴a=14．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题关键．11(2023•和平区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，9a-3b+c=m，有下列结论：①若m=0，则抛物线经过点(-3，0)；②若4a-2b+c=n且m>n，当-3<x<-2，y随x的增大而减小；③若m>0，抛物线经过点A(-1，0)，B(5，m)和P(t，k)，且点P到y轴的距离小于2时，则k的取值范围为-3a<k<5a．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由题意可得抛物线过点(-3，m)，以此可判断①；由4a-2b+c=n可知抛物线过点(-2，n)，m>n，因无法判断a的大小，则不能判断该区间函数的增减性，以此判断②；抛物线经过点B(5，m)，9a-3b+c=m可求出抛物线的对称轴x=1，再根据抛物线经过点A(-1，0)，可得出抛物线经过点(3，0)，从而得出c=-3a，且a>0，再根据P到y轴的距离小于2，则-2<t<2，由函数的图象和性质判断③．【详解】解：抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)，9a-3b+c=m，当x=-3时，y=9a-3b+c，∵9a-3b+c=m，m=0，∴抛物线经过点(-3，0)，故①正确；当x=-3时，y=9a-3b+c，9a-3b+c=m，当x=-2时，y=4a-2b+c，4a-2b+c=n，当m>n时，因无法判断a的大小，则不能判断该区间函数的增减性，故②错误；∵抛物线过点(-3，m)，(5，m)，∴-b2a=-3+52=1，∴b=-2a，又∵抛物线过点A(-1，0)，∴a-b+c=0，∴c=-3a，∴y=ax2-2ax-3a，∵对称轴为x=1，∴抛物线也过点(3，0)，∵抛物线过点(-3，m)，(5，m)，m>0，∴抛物线开口向上，即a>0，P到y轴的距离小于2，则-2<t<2，此时，x=-2y=5a，x=1，y=-4a，∴-4a≤k<5a，故③错误，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．12(2023•杭州一模)设二次函数y=ax2+c(a，c是常数，a<0)，已知函数的图象经过点(-2，p)，(10，0)，(4，q)，设方程ax2+c+2=0的正实数根为m，()A.若p>1，q<-1，则2<m<10B.若p>1，q<-1，则10<m<4C.若p>3，q<-3，则2<m<10D.若p>3，q<-3，则10<m<4【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得点(10，0)关于对称轴的对称点为(-10，0)，点(-2，p)关于对称轴的对称点为(2，p)，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数y=ax2+c的图象与直线y=-2的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解．【详解】解：∵二次函数y=ax2+c关于y轴对称，∴点(10，0)关于对称轴的对称点为(-10，0)，点(-2，p)关于对称轴的对称点为(2，p)，∵方程ax2+c+2=0的正实数根为m，∴二次函数y=ax2+c的图象与直线y=-2的右侧的交点的横坐标为m，如图，当-2<q<-1时，m>4，故A、B选项错误，不符合题意；当p>3，q<-3时，10<m<4，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13(2023•衡水模拟)某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为()A.AB =24mB.池底所在抛物线的解析式为y =125x 2-5C.池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的13【答案】C【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．【详解】解：设解析式为y =ax 2+bx +c ，抛物线上点A (-15，0)，B (15，0)，P (0，-5)，代入抛物线解析式中得：0=(-15)2a +(-15)b +c 0=152a +15b +c-5=c，解得：a =145b =0c =-5，解析式为y =145x 2-5．选项A 中，AB =15-(-15)=30，故选项A 错误，该选项不符合题意；选项B 中，解析式为y =145x 2-5，故选项B 错误，该选项不符合题意；选项C 中，池塘水深最深处为点P (0，-5)，水面CD ：y C =145×122-5=-1.8，-1.8-(-5)=3.2(米)，所以水深最深处为点P 到水面CD 的距离为3.2米，故选项C 正确，该选项符合题意；选项D 中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于y 轴对称可知，抛物线上点横坐标±6，代入解析式算得y =145×(6)2-5=45-5=-215，即到水面CD 距离为-1.8--215=2.4米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的34．故选项D 错误，该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．14(2023•宝安区二模)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =-x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是()A.当m >0时，二次函数y =-x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B.若x2=2，且y1>y2，则0<x1<2C.若x1+x2>2，则y1>y2D.当-1≤x≤2时，y的取值范围为m-3≤y≤m【答案】D【分析】当m>0时，判别式Δ>0，从而判断A；由抛物线对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性可判断B；由x1+x2>2，可得x1+x22>1，从而得出点(x1，y1)离对称轴的距离小于点(x2，y2)离对称轴的距离，可判断C；根据函数的性质求出当-1≤x≤2时，y的最大值和最小值可判断D．【详解】解：令y=0，则-x2+2x+m=0，Δ=b2-4ac=22-4×(-1)•m=4+4m，当m>0时，4+4m>0，∴二次函数y=-x2+2x+m与x轴总有两个交点，故A正确，不合题意；若x2=2，且y1>y2，∵对称轴为直线x=1，∴0<x1<2，故B正确，不符合题意；∵x1+x2>2，∴x1+x22>1，∵二次函数y=-x2+2x+m的对称轴为直线x=1，∴点(x1，y1)离对称轴的距离小于点(x2，y2)离对称轴的距离，∵x1<x2，∴y1>y2，故C正确，不符合题意；∵对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，∴当x=1时y有最大值，最大值为1+m，当x=-1时，y有最小值，最小值为-3+m，∴当-1≤x≤2时，y的取值范围为-3+m≤x≤1+m，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．15(2023•四川模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，跟x轴正半轴交于A、B两点，直线y=kx +b与y轴正半轴交于点D，交x轴于点C(C在A的右侧不与B重合)，抛物线的对称轴为x=2，连接AD，则△AOD是等腰直角三角形，有以下四个命题：①-4ac<0；②4a+b+c>0；③k≠-1；④b=-4a．以上命题正确的是()A.①②③④B.②③C.①③④D.①②④【答案】C【分析】由抛物线的开口方向，并且根据与x轴正半轴交于A、B两点，判断出c的大小，据此判断①；再根据抛物线的对称轴判断出②④；最后根据△AOD是等腰直角三角形确定k的值．【详解】解：①∵a<0，抛物线的开口向下，跟x轴正半轴交于A、B两点，∴跟y轴交点在x轴的下方，∴c<0，∴-4ac<0，该命题正确；②∵抛物线的对称轴为x=-b2a=2，b=-4a，∴4a+b+c=c，∴4a+b+c<0，故该命题错误；③∵直线y=kx+b与y轴正半轴交于点D，△AOD是等腰直角三角形，∴D点的坐标为(0，b)，A点坐标为(b，0)，∴过AD的直线为y=-x+b，k=-1，又∵C在A的右侧不与B重合，所以与y轴正半轴交于点D，交x轴于点C的直线y=kx+b中，k≠-1，该命题正确；④由②可知，b=-4a，该命题正确．综上，命题正确的是①③④．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及等腰直角三角形，解答本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16(2023•东莞市校级模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过两点(m，n)，(4-m，n)，则关于函数y=ax2+bx+c(a>0)，下列说法“①4a-b=0；②当x>2时，y随着x的增大而增大；③若b2-4ac =0，则ax2+bx+c=a(x-2)2；④若实数t<2，则(t+2)a+b<0”中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据题意可判断抛物线的对称轴为直线x=-b2a=m+4-m2=2，以此得到b=-4a，即可判断①；根据抛物线的开口方向和二次函数的性质即可判断②；由b2-4ac=0得抛物线与x轴只有一个交点，且该交点为抛物线的顶点，其坐标为(2，0)，根据抛物线的顶点式即可判断③；由t<2得(t+2) a<4a，则(t+2)a+b<4a+b=0，以此可判断④．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过两点(m，n)，(4-m，n)，∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=m+4-m2=2，∴b=-4a，即4a+b=0，故①错误；∵a>0，∴抛物线开口朝上，∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当x>2时，y随着x的增大而增大，故②正确；∵b2-4ac=0，∴抛物线与x轴只有一个交点，且交点坐标为(2，0)，∴抛物线的顶点式为y=a(x-2)2，∴ax2+bx+c=a(x-2)2，故③正确；由上述可知，4a+b=0，a>0，∵t<2，∴(t+2)a<4a，∴(t+2)a+b<4a+b=0，即(t+2)a+b<0，故④正确．综上，正确的有②③④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的性质、二次函数与抛物线的交点坐标，熟知二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．17(2023•商河县一模)已知二次函数的表达式为y=-x2-2x+3，将其图象向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y1=mx2+nx+q的图象，使得当-1<x<3时，y1随x增大而增大；当4<x<5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是()A.1≤k≤3B.2≤k≤3C.3≤k≤4D.4≤k≤5【答案】D【分析】将二次函数y=-x2-2x+3的图象向右平移k(k>0)个单位得y=-(x-k+1)2+4的图象，新图象的对称轴为直线x=k-1，根据当-1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k-1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案．【详解】解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，∴将二次函数y=-x2-2x+3的图象向右平移k(k>0)个单位得y=-(x-k+1)2+4的图象，∴新图象的对称轴为直线x=k-1，∵当-1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，∴3≤k-1≤4，解得4≤k≤5，∴符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式可以是y=-(x-3)2+4=-x2+6x-5，故答案可以为：y=-x2+6x-5(答案不唯一)，4≤k≤5；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．18(2023•佳木斯一模)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=a x的图象上，顶点B在反比例函数y=bx的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形OABC的面积是3，则a-b的值是​()A.3B.-3C.5D.-5【答案】B【分析】利用△BOD 和△AOD 的面积差等于平行四边形面积的一半，求出b 与a 的差．【详解】解：如图，延长BA 交y 轴于点D ，连接OB ，∵四边形OABC 为平行四边形，∴AB ∥x 轴，即AD ⊥y 轴由反比例的几何意义得，S △AOD =a 2，S △BOD =b2，∵平行四边形OABC 的面积是3，∴△AOB 的面积为32，∴b 2-a 2=32，∴b -a =3，∴a -b =-3，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的面积的求法，三角形的面积与底和高的关系等知识点．19(2023•雨山区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在函数y =-1x (x <0)，y =4x(x >0)的图象上，则sin ∠ABO 的值为()A.13B.64C.25D.55【答案】D【分析】点A ，B 落在函数y =-1x (x <0)，y =4x(x >0)的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．【详解】解：过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D 、E ，∵点A 在反比例函数y =-1x (x <0)上，点B 在y =4x(x >0)上，∴S △AOD =12，S △BOE =2，又∵∠AOB =90°∴∠AOD =∠OBE ，∴△AOD ∽△OBE ，∴OA OB 2=S △AOD S △BOE =14，∴OA OB=12，设OA =m ，则OB =2m ，AB =m 2+(2m )2=5m ，在Rt △AOB 中，sin ∠ABO =OA AB =m 5m=55．故选：D ．【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin ∠ABO 的值．20(2023•驻马店模拟)某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R 1=10Ω，R 2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S 为0.01m 2，压敏电阻R 2的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示(水深h 越深，压力F 越大)，电源电压保持6V 不变，当电路中的电流为0.3A 时，报警器(电阻不计)开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式：I =UR，F =pS ，1000Pa =1kPa )，则下列说法中不正确的是()A.当水箱未装水(h =0m )时，压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警，应使定值电阻R 1的阻值为12Ω【答案】B【分析】由图3可以直接判断A ；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F =pS 计算压敏电阻受到的压力即可判断B ，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C ；根据液体压强公式计算水深为1m 时压敏电阻受到的压强，根据F =pS 计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B 知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．【详解】解：A 、由图3可知，水箱未装水(h =0m )时，压强p 为0kPa ，故A 正确，不符合题意；B 、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R =U I=60.3=20(Ω)，比时压敏电阻的阻值：R 2=R -R 1=20Q -10Q =10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N ，故B 不正确，符合题意；C 、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P =F S=800.01=8000(Pa )，则水箱的深度为h =P ρg =80001×103×10=0.8(m )，故C 正确，不符合题意；D 、水深为lm 时，压敏电阻受到的压强：P =ρgh =1.0×103×10×l =10000(Pa )，此时压敏电阻受到的压力：F =PS =10000×0.01=100(N )，由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，由B 知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q ，根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R 1=R -R 2=20-8=12．故D 正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数，关键串联电路特点、欧姆定律、液体压强公式、压强定义公式的灵活运用．21(2023•长春一模)如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y =2x(x >0)的图象上，点B 在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，AB ∥x 轴，BD ⊥x 轴与反比例函数y =2x的图象交于点C ，与x 轴交于点D ，若BC =2CD ，则k 的值为()A.4B.5C.6D.7【答案】C【分析】设点C 的坐标为a ，2a ，则CD =2a ，BC =4a ，BD =6a ，进而得到B a ，6a，将其代入反比例函数y =kx中即可求解．【详解】解：设点C 的坐标为a ，2a，∵BD ⊥x 轴，∴CD =2a，∵BC =2CD ，∴BC=4a，∴BD=CD+BC=6a，∴B a，6a，∵点B在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，∴6a=k a，∴k=6．故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式．22(2023•翼城县一模)如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在AB上，点B，E均在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若点B的坐标为(-1，6)，则正方形ADEF的周长为()A.4B.6C.8D.10【答案】C【分析】设正方形的边长是a(a>0)，表示出E的坐标是(-1-a，a)，把B的坐标代入y=kx(x<0)得到y=-6x，把E的坐标(-1-a，a)代入y=-6x得到关于a的方程，求出a的值即可．【详解】解：设正方形的边长是a(a>0)，∵B在反比例函数y=k x(x<0)的图象上，点B的坐标为(-1，6)，∴6=k-1，∴k=-6，∵OD=OA+AD=a+1，∴E的坐标是(-1-a，a)，把E(-1-a，a)代入y=-6 x，∴a=-6-1-a，∴a=2或a=-3(舍)，∴正方形的周长是4a=8．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是把E (-1-a ，a )代入y =-6x，列出关于a 的方程．23(2023•萧县一模)如图，在Rt △OAB 中，OC 平分∠BOA 交AB 于点C ，BD 平分∠OBA 交OA 于点D ，交OC 于点E ，反比例函数y =k x 经过点E ，若OB =2，CE OE=12，则k 的值为()A.49B.89C.43D.83【答案】B【分析】过点E 作EG ⊥x 轴交于点G ，过点E 作EH ⊥OB 交于点H ，过点C 作CF ⊥x 轴交于点F ，根据角平分线的性质可得HE =EG ，BC =CF ，再由平行线的性质可得OH OB =OE OC =HE BC=23，EG CF =OE OC=23，分别求出EG 、BC 、CF ，再由勾股定理求出CO 、OG ，从而得到E 点坐标为43，23 ，由此可求k 的值．【详解】解：过点E 作EG ⊥x 轴交于点G ，过点E 作EH ⊥OB 交于点H ，过点C 作CF ⊥x 轴交于点F ，∵OC 平分∠BOA ，BC ⊥OB ，∴BC =CF ，HE =EG ，∵BD 平分∠OBA ，∠OBA =90°，∴∠OBE =45°，∴HB =HE ，∵OB ⊥AB ，HE ⊥OB ，∴HE ∥AB ，∵CE OE=12，∴OHOB =OE OC =HE BC=23，∵OB =2，∴OH =43，∴BH =HE =23，∴BC =1，∴CF =1，∵EG ⊥OA ，CF ⊥OA ，∴GE∥CF，∴EG CF=OEOC=23，∴EG=23，在Rt△OBC中，BC=1，OB=2，∴OC=5，在Rt△EOG中，EG=23，OE=235，∴OG=43，∴E43，23，∵E点在反比例函数y=k x上，∴k=89，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理是解题的关键．24(2023•仙桃校级一模)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为(6，3)，反比例函数y=kx的图象经过A，P两点，则k的值是()A.4B.3C.2D.1【答案】C【分析】根据菱形的性质可得对角线BD与AC互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点P 坐标，进而求得k的值，再利用一次函数性质即可求解．【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线BD与AC互相垂直且平分，∴PA=PC，∵AC经过原点O，且反比例函数y=k x的图象恰好经过A，P两点，∴由反比例函数y=k x图象的对称性知：OA=OP=12AP=12CP，∴OP=13OC．过点P和点C作x轴的垂线，垂足为E和F，∴△OPE∽△OCF，∴OP ：OC =OE ：OF =PE ：CF =1：3，∵点C 的坐标为(6，3)，∴OF =6，CF =3，∴OE =2，PE =1，∴点P 的坐标为(2，1)，∴k =2×1=2．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．25(2022•吴兴区校级二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，过点O 的直线交反比例函数y =1x的图象于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连结BC 并延长，交反比例函数图象于点D ，连结AD ，将△ACB 沿线段AC 所在的直线翻折，得到△ACB 1，AB 1与CD 交于点E ．若点D 的横坐标为2，则AE的长是()A.23B.223C.22D.1【答案】B【分析】首先根据题意设出点A 和点B 的坐标，即可得出点C 的坐标，求出直线BC 的解析式为：y =x 2m2-12m ，把点D 的坐标代入可得m 的值，即可得出点A 、B 、C 的坐标以及直线BC 的解析式，根据△ACB 1是通过△ACB 沿线段AC 翻折得到的，即可得出点B 1的坐标，即可求出直线AB 1的解析式y =-x +2，联立y =-x +2y =12x -12，即可得出点E 的坐标，利用两点间的距离公式得出AE 的长．【详解】解：根据题意可设点A 的坐标为m ，1m ，则点B 的坐标为-m ，-1m，∵AC ⊥x 轴，∴C (m ，0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B -m ，-1m，C (m ，0)代入得：-km +b =-1m mk +b =0，解得：k =12m 2b =-12m ，∴y =x 2m 2-12m ，。

中考数学压轴题(含答案) 1百度文库

中考数学压轴题(含答案) 1百度文库

一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDE ABMC 1S S 9=四边形． 3．已知抛物线217222yx mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD和BC之间的距离；（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．试求当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PQD为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t值，若不存在，请说明理由．5．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为．（2）如图3，当∠EPF＝90°，F P平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；6．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ．（1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ；（2）在上述旋转过程中，DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．8．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）求点A ，C 的坐标；（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由． 9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．11．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．12．如图1，已知抛物线21833y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1，已知4tan 3BDE ∠=，求点E 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点K ，若EK EG =，求点K 的坐标．13．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒3的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 14．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．16．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．（1）求证：CD=CF；（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．17．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．（1）求点A 的坐标；（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当12d =时，请你直接写出点P 的坐标．19．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积． 20．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ．（1）求证：AM MD=（2）连接CF，并延长CF交AB于G ①若2AB=，求CF的长度；②探究当ABAD为何值时，点G恰好为AB的中点．21．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）． 23．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 24．已知，抛物线212y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．（1）求该抛物线的解析式．（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接CP ，求PCE ∆面积的最大值．（3）如图2，若直线y x m =+与线段AC 交于点M ，与线段BC 交于点N ，是否存在M ，N ，使得OMN ∆为直角三角形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．25．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求nm 的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．C解析：（1）点C的坐标为(2,0)；（2）1522 y x=-+；（3）①2481515y x x=-；②1013．【解析】【分析】（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；（2）利用待定系数法求解可得；（3）①由AE=3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；②若△CDB与△BOA相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y=ax2-2ax可得a值．【详解】解：（1）把0y=代入22y ax ax=-，得220ax ax-=，解得：0x=，或2x=．∵点C在x轴正半轴上，∴点C的坐标为(2,0)．（2）设直线表达式为y kx b=+，把点(1,2)A，(5,0)B分别代入y kx b=+，得250k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1252kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的表达式为：1522y x=-+．（3）①作AH x⊥轴于点H，EF AH⊥于点F（如图），∵222125OA=+=，2222420AB，22525OB==，∴222OA AB OB+=．∴90EAO OAB∠=∠=︒．由EFA AHO △∽△，得2EF FA EAAH HO AO===， ∴4EF =，2FA =， ∴点E 坐标为()3,4-．把(3,4)E -代入22y ax ax =-，得964a a +=， 解得：415a =． ∴2481515y x x =-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，∴CD BD BC AO AB BO==，∠OAB=∠CDB=90°， 35525==， ∴35CD =65BD =，∵523BC =-=，∴356565535DG ==， ∴156225x -+=，解得：135x =， ∴点D 的坐标为：（135，65）， 把点D 代入22y ax ax =-，即16913622555a a -⨯= 解得：1013a =； 故答案为：1013． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．2．C解析：（1）21y x 343=--+（），顶点M为3,4；（2）P 3,2（）；（3）1m ＝2，2m ＝1【解析】 【分析】（1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把()A 3,0-、()B 33,0代入解析式，即可求出a 、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标；（2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的 坐标；（3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDES3=，根据OC ＝3，OB ＝33，推出OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到OD ＝3m -，()OE 33m =-，根据PDEDOE PDOE SS S=-四边形，列出关于m 的方程，解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、()B 33,0，()C 0,3三点， ∴c ＝3，∴3a 3b 3027a 33b 30⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩， 解得1a 323b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故抛物线的解析式为()221231y x x 3x 3433=-++=--+，故顶点M 为()3,4．（2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ． 设对称轴与x 轴交于点H ， ∵PH //y 轴， ∴PHB COB ∽． ∴PH BHCO BO=． 由题意得BH ＝23，CO ＝3，BO ＝33，∴PH 23333=， ∴PH ＝2． ∴()P3,2．（3）如图2，∵()A 3,0-、()B 33,0，()C 0,3，()M3,4，∴ABMC S 四边形＝()AOC MHBCOHM 111SS S3334342393222++=⨯⨯++⨯⨯=梯形． ∵ABMC S 四边形＝PDE9S ，∴PDES3=∵OC ＝3，OB ＝33∴OCB ∠＝60． ∵DE //PC ， ∴ODE ∠＝60．∴OD ＝3m -，)OE 33m =-． ∵PDOE S 四边形＝))COE133S 333m 3m 2=⨯-=-， ∴PDES＝())2DOEPDOE 333S S3m 3m 22-=---=四边形 2333m m 0m 3322-+<<（）．∴2m m 22-+= 解得1m ＝2，2m ＝1． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，熟练运用方程思想方法和转化思想是解题关键． 3．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或417k 或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【解析】 【分析】 （1）从2172022x mxm的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32b xa来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MN k k kCD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k k k，通过解该方程可以求得k 的值；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NM k kk ，通过解该方程可以求得k 的值． 【详解】 解：（1）2217()4(2)(2)322m m m， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，2(2)30m ，∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程2172022x mxm总有两个不相等的实数根，∴无论m 为何实数，抛物线217222y x mxm与x 轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线3x =，3122m ，即3m =，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222y x xx ，∴顶点C 坐标为(3,2)-；（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k，， (3,2)C ，4CD ∴=，2151(3)422MNk k kCD，①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MNk k k，整理得，28150k k -+=，解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NMk kk ，整理得2810k k ， 解得，12417417k k ，，综上，5k =或417k或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．4．A解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685s 或72s 【解析】 【分析】（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离；（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E∵∠B=90°，AD∥BC∴AB⊥BC，AB⊥AD∴AB的长即为AD与BC之间的距离∵AD=16，BC=21，∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC中，DE=12同理，DE的长也是AD与BC之间的距离∴AD与BC之间的距离为12（2）∵AD∥BC∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21∴16－t=21－2t或16－t=2t－21解得：t=5s或t=37 3s（3）情况一：QP=PD图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F∵PQ=PD，PF⊥QD，∴QF=FD∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°∴四边形ABPF是矩形，∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+2t =2t 或8+2t=42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+-∵PQ=QD ， ∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解综上得：t=163或685或72【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q运动的轨迹，得出BP的长度．5．E解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－12∠EPF【解析】【分析】（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－1EPF2，最后在四边形EPFQ中得出结论．【详解】（1）如下图，过点P作PQ∥AB∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD ∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC 又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF∴∠EPF=∠AEP+∠PFC如下图，过点P作PQ∥AB同理，AB ∥QP ∥CD∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=150°在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2∠ ∴在四边形PEQF 中： ∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．6．A解析：（1）详见解析；（2）3DN DM =3）92【解析】【分析】（1）利用ASA 证ADM DBN △≌△，从而得出DM BN =；（2）如下图，先证NDQ MDP △∽△，得出DN DQ DM DP =，然后在Rt BDQ △，利用tan ∠B 得出DQ BQ 的值，最后得出DN DM的值； （3）如下图，先证点C 是EF 的中点，然后利用CD 平分EDF ∠可推导出四边形CGDH 为正方形，从而得出CHN CGM △≌△，进而得出面积．【详解】解：（1）由题意，∵60α=︒，90EDF ∠=︒，∴30BDN ∠=︒，∴BDN A ∠=∠，B EDA ∠=∠，∵点D 是斜边AB 的中点，∴AD BD =，∴ADM DBN △≌△，∴DM BN =．（2）3DN DM=，是一个定值． 证明：如图1，作DP AC ⊥于点P ，DQ BC ⊥于点Q ，∴90NQD MPD ∠=∠=︒，又∵90MDN PDQ ∠=∠=︒，∴NDQ MDP ∠=∠，∴NDQ MDP △∽△，∴DN DQ DM DP=， 在Rt BDQ △中，60B ∠=︒，∴tan ∠B 3DQ BQ== 又由（1）可知：DP BQ =， ∴3DQ DP=， ∴3DN DM =． （3）连接CD ，作CG DE ⊥于点G ，CH DF ⊥于点H ，在Rt ABC 中，点D 是AB 的中点，∴132CD AB ==， ∵AB EF =，∴12CD EF =，∵90EDF ∠=︒，∴C 是EF 中点，∴CD 平分EDF ∠，45CDE ∠=︒，∵CG DE ⊥，CH DF ⊥，∴CG CH =，∵90CGD CHD EDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形CGDH 为正方形，90GCH ∠=︒，∴GCM HCN ∠=∠，∴CHN CGM △≌△，∴S 四边形CMDN S =正方形21922CGDH CD ==． 【点睛】本题综合考查了全等三角形和相似三角形的证明和性质，解题关键是找出两个全等(相似)三角形，根据三角形全等(相似)的性质推出结论． 7．E解析：（1）详见解析；（2）52r =，55AC +=；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB ∆∽AOD ∆，求出BF 的长，再证BFE ∆∽BAC ∆，即可求出AC 的长；（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF ，∵AE 平分BAC ∠，FAE CAE ∴∠=∠，FA FE =，FAE FEA ∴∠=∠，FAE EAC ∴∠=∠，//FE AC ∴，90FEB C ∴∠=∠=︒，又E 为⊙F 上一点，BC ∴是⊙F 的切线；（2）如图，连接FD ，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+， 解得52r =， 即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠，90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515= 55BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA∴=，即55522555AC =+ 55AC +∴=（3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．8．A解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--． 【解析】【分析】（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=12•BC•OP 求解即可．（3）分两种情形分别构建方程求解即可．【详解】 解：（1）由725m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：43 mn=⎧⎨=⎩，∴A（0，4），C（3，0）；（2）如图1中，当0＜t＜4时，S=1 2•BC•OP=12×5×（4-t）=-52t+10．如图2中，当t＞4时，S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52t-10．综上所述，S=()()51004251042t tt t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，（3）当04t<<时，由题意，1314(4)3222t t⨯⨯=⨯⨯-⨯，解得3617t=，此时，363241717OP=-=，32(0,)17P∴，(4,0)B-，BQ∴的中点Q的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭，当4t >时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得36t =，此时36432OP =-=，(0,32)P ∴-，(4,0)B -，BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．综上所述，满足条件的t 的值为3617或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t 的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan 3A =，可得出PN 与AP 的关系，从而求出t 的值； （2）如下图，存在2种情况，一种是点M 在△ABC 内，另一种是点M 在△ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM 所在的直线将△ABC 的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC 的面积平分．【详解】（1）如图1，点N 在AC 上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E 图5则28PBE S =∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE 是等腰直角三角形∵1282PBE S PE PB ==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．C解析：（13332CP≤≤，②O；（2）13b≥；（3）0＜r≤3．【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可． 【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03， ∴OD=1，3OE = ∴3OEtan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3 当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒= 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2， 3332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ． （2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴1+b ≥2（1-b ）， 解得13b ≥，∴b的取值范围为131b≤＜．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为121b-，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立，∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为13 b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．11．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若0C °B，动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

中考数学压轴题100题精选及答案(全)

中考数学压轴题100题精选及答案(全)
【024】如图，已知 为直角三角形， ， ,点 、 在 轴上，点 坐标为（ ， ）（ ），线段 与 轴相交于点 ，以 （1，0）为顶点的抛物线过点 、 ．
（1）求点 的坐标（用 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点，连结 并延长交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，试证明： 为定值．
【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证：梯形 是等腰梯形；
（2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由．
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合(解答25题压轴题)-(解析版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合(解答25题压轴题)-(解析版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．【分析】（1）根据＝tan B＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG ＝2﹣m，利用EF∥BC，可得＝，建立方程求解即可；（2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，进而得出：AG ＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA证明△PQD≌△PEG，即可求得答案；②分两种情况：Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，∴＝tan B＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值为；（2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD，∴＝，即＝，∴DQ＝m﹣1，∴BQ＝BD+DQ＝m，∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF，∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE，Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝，综上，线段CD的长为或．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD 的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案；（2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC ＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即 2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∴S△DAF＝AF•AC＝12，∴，∴S△CDE＝．综上所述，△CDE的面积是或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BAD＝∠BCF，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBF，根据相似三角形的判定定理证明△ABE∽△CBF；（2）作FH⊥BC于点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到∠AEF＝∠CFE，得到AE＝AF ＝x，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可；（3）分∠BAE＝∠FDE、∠BAE＝∠DFE两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥直线MN，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BCF+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF；（2）解：作FH⊥BC，垂足为点H．∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB＝∠CFB，∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFB+∠CFE＝180°，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE＝AF＝x，∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC＝90°，∴AF＝FH＝x．∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴＝，即＝，解得：y＝（4＜x＜8）；（3）解：设AE＝x，∵△ABE∽△CBF，∴如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似时，以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似．∵∠AEB＝∠DEF，∴∠BAE＝∠FDE或∠BAE＝∠DFE，当∠BAE＝∠FDE时，DF∥AB，∴∠ABE＝∠DFE，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠DFE，∴BD＝DF，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC＝90°，∴∠DFC＝∠ABD＝90°，∵∠BAD＝∠BCF，∴△ABD≌△CDF（AAS），∴CF＝AD＝8，即＝8，解得：x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4（舍去），∴AE＝﹣4+4；当∠BAE＝∠DFE，＝时，∵∠ABF＝∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE＝∠BDE，因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立，综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为﹣4+4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF ＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O作OD ⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证∠ADE＝∠AEP，且∠A＝∠A，可证结论成立；（2）由OD∥BC，得，可知AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，得AE2＝AD•AP，有（x+）2＝，变形即可得出答案；（3）当点P在线段AB上时，由△PBF∽△PED，得，由△ADE∽△AEP，得，则，代入解方程即可；当点P在AB的延长线上时，首先通过导角得出∠CEF＝∠CFE，得EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，由相似得，则EG＝，CG＝，再利用EG∥BP，得，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，∵OD⊥AB，EP⊥ED，∴∠ADO＝∠PED，∴∠ADO+∠ODE＝∠PED+∠OED，∴∠ADE＝∠AEP，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP；（2）解：∵OD⊥AP，BC⊥AB，∴OD∥BC，∴，∴AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，∴∴AE2＝AD•AP，∴（x+）2＝，∴y＝；（3）解：①当点P在线段AB上时，如图1，BP＝4﹣y＝4﹣，∵△PBF∽△PED，∴，∴△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，∴x＝，∴AP＝2，②当点P在AB的延长线上时，如图2，∵∠CFE＝∠PFB＝∠PDE，∠CEF+∠DEO＝∠PDE+∠EDO，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，∴，∴EG＝，CG＝，∴EG∥BP，∴，∴PB＝2，∴AP＝2+4＝6，综上所述，AP＝2或6．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想是正确解题的关键．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠BGF＝∠ACD，且∠BDG＝∠ADC＝90°，则△BDG∽△ADC，可证明结论；（2）①通过导角可利用ASA证△ADB≌△ADC，得BD＝CD＝BC＝5，再通过tan∠BGD＝m，可得GD＝，则GF＝2GD＝，代入三角形的面积公式即可；②分两种情形，当BG∥AC或BE∥CG，分别通过导角发现数量关系，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BFD＝∠ACD，∵BD⊥FG，DF＝DG，∴BD垂直平分GF，∴BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠BGF＝∠ACD，又∵∠BDG＝∠ADC＝90°，∴△BDG∽△ADC，∴，∴BD•AC＝AD•BG；（2）解：①∵∠ABG＝90°，∴∠ABD+∠GBC＝90°，∵∠GBD+∠BGD＝90°，∴∠ABD＝∠BGD，同理∠GBD＝∠BAD，由（1）知△BDG∽△ADC，∴∠GBD＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD＝CD＝BC＝5，∵tan∠ABC＝m．∴tan∠BGD＝m，∴GD＝，∴GF＝2GD＝，∴S△BFG＝×FG×BD＝＝；②当BG∥AC时，∴∠ACB＝∠GBC，∵∠GBC＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x，由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82，解得x＝5±，当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝，当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝；当BE∥CG时，∴∠EBC＝∠BCG，则∠CBG＝∠BCG，∴BG＝CG，∴BD＝CD＝5，由勾股定理得AD＝，∴m＝，综上，m＝或或．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握角之间的转化发现解题思想是关键．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x，根据△CDE∽CBD，得出＝＝，建立方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵＝tan∠B＝，∴＝，∴DE＝；（2）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠CDB＝×90°＝45°，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴tan∠CDE＝tan∠BAC＝＝＝，综上所述，∠CDE的正切值为1或；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，∴BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣x，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝3，x＝，∴AD＝6﹣x＝6﹣×＝，故这时AD的长为．【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．根据矩形的性质得到AD＝HG＝2，AH＝DG，解直角三角形即可得到结论；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM＝AH＝2，解直角三角形即可得到结论；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．根据平行四边形的性质得到DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ＝DG＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，则四边形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．【点评】本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，设AC＝a，BC＝a，由勾股定理得AB的长，在△ABD中，利用面积法可表示出DG的长，再利用勾股定理得出AG的长，从而解决问题；（2）首先利用两个角相等可证明△ADB∽△DEB，得，再证明△ACB∽△DFB，得，从而证明结论；（3）设DE＝x，EF＝3x，得DF＝4x，由cot，可表示出BF的长，再利用勾股定理得出BE、BD的长，由（2）可知，△ADB∽△DEB，得，可表示出AB的长，从而解决问题．【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ABC中，cot A＝，设AC＝a，BC＝a，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝a，∵D是AC的中点，∴AD＝，∵S，∴DG＝，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，在Rt△GDB中，tan；（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，∴△ACB∽△DFB，∴，∴，∴AD•BF＝BC•DE；（3）解：∵，∴设DE＝x，EF＝3x，∴DF＝4x，∵∠A＝∠BDE，∴cot A＝cot∠BDE＝，在 Rt△BDF中，cot，∴BF＝x，在Rt△BEF中，BE＝＝＝x，在Rt△BDF中，DB＝＝＝2x，由（2）可知，△ADB∽△DEB，∴，∴，∴AB＝x，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣x＝x，∴，即AE：EB＝7：17．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC＝∠AED，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△OEC，∴，∴＝，∴EC＝，∴AE＝，∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ODB，∴＝（）2＝（）2＝；（2）如图1，当点E在AC上时，∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝EO，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，∴OC＝；当点E在线段CA的延长线上时，如图2，∵∠EAO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝AO，∴∠E＝∠AOE，∵∠B＝∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠AOE，∴△ABC∽△AOE，∴，∴，∴AE＝OC，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝EC﹣AE＝5，∴OC﹣OC＝5，∴OC＝，综上所述：线段OC的长为或；（3）如图3，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，∴∠EBO＝∠DCA，∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，∴∠DAC＝∠BOE，∴△CDA∽△BEO，∴，∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，∴△ABE∽△ODC，∴，∴，∴，∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），∴OC＝8﹣．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．【分析】（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．解直角三角形求出ER，DR即可；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．证明＝＝＝，构建关系式，可得结论；（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∠A＝90°，∠BD＝90°，∴BD＝＝＝，∵ER⊥BD，∴∠EBR＝∠BER＝45°，∵AE＝，∵BE＝，∴ER＝BR＝，∴DR＝﹣＝，∴tan∠EDB＝＝＝；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DA＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝，∵∠EBM＝∠FBM＝45°，MP⊥BE，MQ⊥BF，∴MP＝MQ，∴＝＝＝，∴＝，∴y＝﹣x（0≤x≤1）；（3）如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝1﹣x﹣＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝﹣（x﹣1）＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．【分析】（1）将AB2＝BC•BD转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而△ABC∽△DAB，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；（2）作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC＝，再根据比例性质求得结果；（3）两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y＝1求得结果，当△ACB∽△FED时，推出DF∥AB，从而＝，根据△ABE∽△DBA，推出BD＝，进而可求得结果．【解答】（1）证明：∵AB2＝BC•BD，∴，∴＝，∴＝，即：＝，∴，∵∠C＝∠BAD＝90°，∴△ABC∽△DAB，∴∠ADB＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE＝∠BAC，∵∠AEB＝∠C，AB＝AB∴△BAE≌△BAC（AAS），∴AE＝AC；（2）如图1，作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，∴，由（1）得，∠EAB＝∠BAC，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠BAG，∴AG＝BG，∴BH＝AH＝AB＝，∵cos∠ABC＝，∴，∴BG＝，∴AG＝，∴，∴，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜）；（3）如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，∴△DEF≌△DEA（ASA），∴EF＝AE，∴y＝1，∴＝1，∴x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，如图3，当△ACB∽△FED时，∠BAC＝∠DFE，∵∠BAE＝∠BAC，∴∠DFE＝∠BAE，∴DF∥AB，∴＝，∵△ABE∽△DBA，∴，∴，∴BD＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，∴＝，∴x＝，∴BC＝，综上所述：BC＝或．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．14．（宝山区）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果＝，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果AF＝AB，求n的值．【分析】（1）作DG⊥CE于G，证明△BCE≌△CDG，进一步命题得证；（2）设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，通过角的运算推出∠BPD＝45°，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果；（3）连接AF，CF，证得∠AFC＝90°，再证得AF平分∠PAD，进一步求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作DG⊥CE于G，∵CE⊥PB，∴∠DGC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠BCE+∠DCG＝90°，∴∠CBE＝∠DCG，∴△BCE≌△CDG（AAS），∴DG＝CE，∵CE⊥PB，DF⊥PB，DG⊥CE，∴∠GEF＝∠DFE＝∠DGE＝90°，∴四边形EFDG是矩形，∴EF＝DG，∴CE＝CF；（2）解：如图2，设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∵AP＝AD，∴AB＝AP，∴∠APB＝∠ABP＝α，∴∠BAP＝180°﹣∠ABP﹣∠APB＝180°﹣2α，∴∠PAD＝∠PAB﹣∠BAD＝90°﹣2α，∵AP＝AD，∴∠APB＝∠ADP＝＝45°+α，∴∠FPD＝∠APD﹣∠APB＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴EG＝DF＝PD＝，由（1）得：EF＝CE，∴△EFC也是等腰直角三角形，∴DG＝EF＝CE＝＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣a＝，∴tan∠CDG＝＝，同理（1）可证：∠BCE＝∠ABP＝α，∵∠BCE＝∠CDG，∴∠ABP＝∠CDG，∴tan∠ABP＝；（3）解：如图3，连接AF，CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝45°，∴∠CFE＝∠BAC，∴点A、B、C、F共圆，∴∠AFE+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝90°，∵AF＝，AB＝AC，∴，即：cos∠CAF＝，∴∠CAF＝60°，∴∠DAF＝∠CAF﹣∠DAC＝60°﹣45°＝15°，由（2）得：△PFD是等腰直角三角形，∴FD＝FP，∵AP＝AD，∴AF是PD的垂直平分线，∴∠PAD＝2∠DAF＝30°．【点评】本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角．15．（虹口区）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE∽△ABD及△ADF∽△ABC，进而命题得证（2）根据△ADE∽△ABD得出，进而得出y与x的关系式，当x＝0时，求得此时DE长，进而求得x的范围；（3）当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM＝CD，根据AM平分∠BAC，推出MN＝CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tan B＝，∴tan B＝＝，设AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，当x＝0时，此时DE⊥AB，由S△ABC＝得，10•DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如图1，当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16•CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如图2，当G点在AC的延长线上时，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴这种情形不存在，∴CD＝3．【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化条件，发现特殊性．。

【压轴题】中考数学第一次模拟试题带答案

【压轴题】中考数学第一次模拟试题带答案

【压轴题】中考数学第一次模拟试题带答案一、选择题1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A．2.3×109 B．0.23×109 C．2.3×108 D．23×1072．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°3．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（）A．7分B．8分C．9分D．10分4．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．185．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．123D．1636．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤7．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（ ）A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）8．如图，直线//AB CD ，AG 平分BAE ∠，40EFC ∠=o ，则GAF ∠的度数为( )A ．110oB ．115oC ．125oD ．130o9．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm10．下列计算正确的是（ ）A ．()3473=a b a bB ．()232482--=--b a b ab b C ．32242⋅+⋅=a a a a a D ．22(5)25-=-a a11．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（ ）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°12．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ）A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%二、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．14．已知62 x=+，那么222x x-的值是_____．15．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.16．不等式组3241112x xxx≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是x=．17．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．18．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD 的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为_____．20．计算：21(1)211xx x x÷-+++＝________．三、解答题21．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？22．在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．23．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？24．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．25．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表 组别海选成绩xA组50≤x＜60B组60≤x＜70 C组70≤x＜80 D组80≤x＜90E组90≤x＜100请根据所给信息，解答下列问题：（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为，表示C组扇形的圆心角θ的度数为度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】230000000=2.3×108 ,故选C. 2．C解析：C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】根据平均数的定义进行求解即可得．【详解】根据折线图可知该球员4节的得分分别为：12、4、10、6，所以该球员平均每节得分=1241064+++=8，故选B．【点睛】本题考查了折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的求解方法．4．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．5．D解析：D【解析】如图，连接BE，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°．∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°3．∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．∴矩形ABCD的面积33D．考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．6．A解析：A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x 取何值时，y＞0．【详解】①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a ， ∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于0．故错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．7．D解析：D【解析】【分析】根据已知中有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，可得S1中2的个数应为偶数个，由此可排除A ，B 答案，而3的个数应为3个，由此可排除C ，进而得到答案．【详解】解：由已知中序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，A 、2有三个，即序列S 0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故A 不满足条件；B 、2有三个，即序列S 0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故B 不满足条件；C 、3有一个，即序列S 0：该位置的数出现了三次，按照变换规则，应为三个3，故C 不满足条件；D 、2有两个，即序列S 0：该位置的两个数相等，1有三个，即这三个位置的数互不相等，满足条件，故选D ．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．8．A解析：A【解析】【分析】依据AB//CD ，EFC 40∠=o ，即可得到BAF 40∠=o ，BAE 140∠=o ，再根据AG 平分BAF ∠，可得BAG 70∠=o ，进而得出GAF 7040110∠=+=o o o ．【详解】解：AB//CD Q ，EFC 40∠=o ，BAF 40∠∴=o ，BAE 140∠∴=o ，又AG Q 平分BAF ∠，BAG 70∠∴=o ，GAF 7040110∠∴=+=o o o ，故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质和角平分线的定义，理解两直线平行，内错角相等是解题的关键．9．D解析：D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．10．C解析：C【解析】【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案.【详解】A.43123()a b a b =，故该选项计算错误，B.()232482b a b ab b --=-+，故该选项计算错误， C.32242⋅+⋅=a a a a a ，故该选项计算正确，D.22(5)1025a a a -=-+，故该选项计算错误，故选B.【点睛】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.11．D解析：D【解析】题解析：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACD =90°-∠DCB =90°-20°=70°，∴∠DBA =∠ACD =70°．故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．C解析：C【解析】【分析】设月平均增长率为x ，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x ，根据题意得：240000（1+x ）2=290400，解得：x 1=0.1=10%，x 2=-0.21（舍去），故选C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．二、填空题13．【解析】【分析】延长AD 和BC 交于点E 在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长则EC 的长即可求得然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC 相交于点E∵∠B=90°∴∴BE=∴ 解析：65【分析】延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD 、BC 相交于点E ，∵∠B=90°， ∴4tan 3BE A AB ==， ∴BE=443AB ⋅=， ∴CE=BE-BC=2，225AB BE +=， ∴3sin 5AB E AE ==， 又∵∠CDE=∠CDA=90°， ∴在Rt △CDE 中，sin CD E CE =， ∴CD=36sin 255CE E ⋅=⨯=. 14．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确 解析：4【解析】【分析】 将所给等式变形为26x =【详解】 ∵62x =， ∴26x -= ∴(2226x =， ∴22226x x -+=， ∴2224x x -=，故答案为：4本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.15．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5 =，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.16．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【解析：﹣4．【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．【详解】解：3241112x xxx≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②,∵解不等式①得：x≤﹣4，解不等式②得：x＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，∴不等式组的整数解为x=﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键．17．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正解析：4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×109，故答案为4.4×109．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达解析：20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．【详解】由图象可知，x=4时，点R到达P，x=9时，点R到Q点，则PN=4，QP=5∴矩形MNPQ的面积是20．【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．19．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x 轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q解析：【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D 点的坐标为（a ，b ），则C 点的坐标为（a+3，b ），∵E 为AC 的中点，∴EF=12CM=12b ，AF=12AM=12OQ=12a ， E 点的坐标为（3+12a ，12b ）， 把D 、E 的坐标代入y=k x得：k=ab=（3+12a ）12b ， 解得：a=2， 在Rt △DQO 中，由勾股定理得：a 2+b 2=32，即22+b 2=9，解得：5∴5故答案为5【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a 、b 的方程是解此题的关键．20．【解析】【分析】先对括号内分式的通分并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到÷；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算然后约分即可得到化简后的结果【详解】原式=÷=·=故答案为【点睛 解析：11x + 【解析】【分析】先对括号内分式的通分，并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到()21xx +÷111x x +-+；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算，然后约分即可得到化简后的结果.【详解】原式=()21x x +÷111x x +-+=()21x x +·1x x+ =11x +. 故答案为11x +. 【点睛】 本题考查了公式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握分式的混合运算法则.三、解答题21．甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．【解析】【分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x ﹣4）个零件， 根据题意得：1201004x x =-， 解得：x=24， 经检验，x=24是分式方程的解，∴x ﹣4=20．答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB 与CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DF A =∠F AB ，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF =∠DF A ，根据角平分线的判定，可得答案．试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ．∵BE ∥DF ，BE =DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE ⊥AB ，∴∠DEB =90°，∴四边形BFDE 是矩形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DF A =∠F AB ．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BC =，∴AD =BC =DF =5，∴∠DAF =∠DF A ，∴∠DAF =∠F AB ，即AF 平分∠DAB ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF =∠DF A 是解题关键．23．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【解析】【分析】（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=，整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =，∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．24．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（1）答案见解析；（2）a=15，72°；（3）700人.【解析】试题分析：（1）用随机抽取的总人数减去A 、B 、C 、E 组的人数，求出D 组的人数，从而补全统计图；（2）用B 组抽查的人数除以总人数，即可求出a ；用360乘以C 组所占的百分比，求出C 组扇形的圆心角θ的度数；（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．试题解析：（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50（人），补图如下：（2）B组人数所占的百分比是×100%=15%；C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°（3）根据题意得：2000×=700（人），答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．考点：（1）条形统计图；（2）用样本估计总体；（3）扇形统计图。

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【详解】
∵把A（ ，y1），B（2，y2）代入反比例函数y= 得：y1=2，y2= ，
∴A（ ，2），B（2， ），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是( )
A．③④B．②③C．①④D．①②③
4．在同一坐标系内，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A． B． C． D．
②估计该市100万户家庭中决定不生二胎的家庭数．
22．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？
23．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【详解】
460 000 000=4.6×108．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
7．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B． C． D．
8．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣ x2刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，下列结论错误的是（ ）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
∴正确结论的序号为②③．
故选B．
点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．
7．A
解析：A
【解析】
试题解析：∵x+1≥2，
∴x≥1．
故选A．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
8．A
解析：A
【解析】
分析：求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
详解：当y=7.5时，7.5=4x﹣ x2，
【详解】
解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长=3,故选：C
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是．（填“A”、“B”或“C”）
（2）将一种比较合理的调查方式调查得到的结果分为四类：（A）已有两个孩子；
（B）决定生二胎；（C）考虑之中；（D）决定不生二胎．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
①补全条形统计图．
A．8%B．9%C．10%D．11%
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．
14．如果a是不为1的有理数,我们把 称为a的差倒数 如：2的差倒数是 ,-1的差倒数是 ，已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类推,则 ___________．
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
5．A
解析：A
【解析】
分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
详解：根据题意，得： =2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
9．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）
A．6B．5C．3D．
5．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣ x2
=﹣ （x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
把A、B的坐标代入得：
，
解得：k=-1，b= ，
∴直线AB的解析式是y=-x+ ，
当y=0时，x= ，
即P（ ，0），
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
15．如图， 中， ，顶点 ， 分别在反比例函数 与 的图象上，则 的值为_____．
16．不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是_____．
17．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是．
18．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于_______．
11．C
解析：C
【解析】
分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．
详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故本选项错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故本选项正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为1＞x=﹣ ＞0，
∴2a+b＜0，
故本选项正确；
④对称轴为x=﹣ ＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
【压轴题】数学中考一模试题(附答案)
一、选择题
1．如图所示，已知A（ ，y1），B(2,y2)为反比例函数 图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）
A．( ，0)B．(1,0)C．( ,0)D．( ,0)
2．预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（）
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