分析的严格化

分析的严格化
【摘要】十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。

法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。

他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。

法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。

【关键词】复分析、函数、解析数论、偏微分
19世纪分析的严格化成为这个时代分析的特点，但是，加固基础的工作并没有影响到19世纪的分析学家们去进一步拓广自己的领域。

伴随着分析的严格化，分析中的一朵奇葩——复变函数论成长壮大起来；与物理问题密切相关的微分方程继续成为数学家和物理学家共同关注的焦点；数学家们也开始更自觉地将分析工具应用于其他的数学分支，解析数论应运而生，概率论则为在20世纪的独立发展作好了准备。

19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学柯西．柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的．在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《无限小计算教程概论》(1823)，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理．其多产能力在历史上只被超过了两次（被欧拉和凯莱超过）。

他的工作就象他的时代，是革命的。

现代数学的两个引起兴趣的主要问题应归功于柯西，这两个问题中的每一个都标志着与十八世纪数学的断然决裂。

第一个是把严格性引进了数学分析。

第二个是组合方面。

柯西于1789年8月21日出生在巴黎。

1813年，柯西已经以他光辉的研究工作，特别是关于多面体的论文和关于对称函数的论文，吸引了法国主要数学家们的注意。

柯西到二十七岁(1816年)时已经使自己上升到当时的数学家的最前列。

他唯一的重要竞争对手是沉默的高斯1814年的关于复数极限的定积分的论文，开始了他作为单复变量函数理论的独立创造者和无与伦比的发展者的伟大业绩。

1815年，柯西由于证明了费马留给困惑的后代的一个伟大定理而引起了轰动，这个定理是：每一个正整数都是三个“三角形数”、四个“四边形数”，五个“五边形数”，六个“六边形数”等等的和。

1816年，论文“不定深度的湍流表面的波的传播理论”赢得了法国科学院大奖。

柯西二十七岁时发现自己被强有力地“推向”科学院院士的席位。

1826—1830年，创办一个他自己的杂志《数学练习》，第二辑继续以《分析数学和物理练习》为名，发表他在纯数学和应用数学方面的评论性的和独创性的著作。

复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯，三者的出发点和探索方法有所不同，但却可以说是殊途同归。

柯西在1825年出版的一本小册子《关于积分限为虚数的定积分的报告》可以看成是复分析发展史上的一个里程碑．在其中他建立了我们现在所称的柯西积分定理．另外，留数的概念和发展也是柯西的一个重要贡献．
1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，特别是阐述了现称为黎曼面的概念黎曼本人
利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之
一。

和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。

把分析建立在“纯粹算术”的基础之上，这方面的努力在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算术化”运动，这场运动的主将是上面已经提到的魏尔斯特拉斯．在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号．这种严格化的突出表现是创造了一套δε-语言，用以重建分析体系．可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。

不过，1872年，戴德金、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论，而其中戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的．这表明，由实数构成的基本序列不会产生任何更新类型的数，或者说由实数构成的基本序列不需要任何更新类型的数来充当它的极限，因为已经存在的实数已足够提供其极限了．因此，从为基本序列提供极限的观点来说，实数系是一个完备系． 这样，长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除．实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成．
在分析的严格化过程中，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立．狄利克雷、黎曼等人都研究过这方面的问题，但只有康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论，并开拓了一个全新的数学研究领域．康托尔关于实数不可数性的发现，是为建立超穷集合论而迈出的真正有意义的一步。

著名的康托尔定理：一集合的幂集的基数较原集合的基数大。

因此，从自然数集的基数(也是一切可数集的基数)出发，根据康托尔定理就得到了超穷基数一个无限上升的序列：
<<<002022S S S 这里0S 表示自然数集的基数，02S 表示其幂集的基数，等等这样，康托尔就为我们展现了一幅壮丽的图景：无穷也具有无穷多的“层次”，并不存在一个最大的无穷．
在分析严格化的同时，数学家开始更自觉地将分析工具应用于其他数学分支。

解析数论的形成，正是分析方法在数论中的应用结果。

解析数论作为有意识使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄利克雷开始的。

1896年，阿达马和瓦莱·普桑根据黎曼的方法和结果，应用整函数理论，终于证明了素数定理，从此解析数论开始得到迅速发展，并成为20世纪最为活跃的数论分支之一。

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19世纪偏微分方程发展的序幕，是由法国数学家傅里叶(J.Fourier ，1768—1830)拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一．他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 这就是我们通常所称的傅里叶级数． 傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论，而且使函数概念得以改进，同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放了出来．19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物是格林。

在19世纪后半叶，对常微分方程研究的理论方面变得突出，并且在两个大的方向上开拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大发展都与庞加莱的名字联系着．福克斯与庞加莱探讨了一阶非线性方程理论，到庞加莱与克莱因的自守函数理论而臻于顶峰．自守函数是在二阶非线性方程研究中，考虑当绕奇点的闭路径一圈时解的变换而导出的．一般自守函数是指在变换群或该群的某些子群作用下不变的函数，首先由庞加莱作为二阶常微分方程两个线性无关解的商的反函数而得到．在19世纪末，数学发展呈现出一派
生机蓬勃的景象，这与18世纪形成了鲜明的对比．无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有做不完的问题。

1900年8月5日，庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台，以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕．
参考文献：李文林《数学史概论》第三版高等教育出版社
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