一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题

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高考试卷解析几何中的求过定点问题

一种神奇的解法——高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20。

解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。

神奇之处有三点：（1）知道或接触过此方法的人特别少。

（2）运算量少（从而出错机会少）。

（3）联立方程不是消元，而化为齐次式（估计您从未见识过）。

原理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A ﹑B,如图；设直线AB 方程为mkx y += ① 曲线方程为fey dx cxy by ax +++++22=0 ② （说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有xy 项，即0≠c ）将①化为mkxy -=1代入②（目的使②中所有项化为二次齐次式）得： 0)(222=-⋅+-⋅+-⋅+++mkx y f m kx y ey m kx y dx cxy by ax ③显然③是一个二次齐次式，且一定可化为022=++Cx Bxy Ay ④ ④中xy的几何意义为A 、B 两点（即AB 直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA 、OB 的斜率，设为 21,k k 。

由韦达定理知,21A B k k -=+ AC k k =⋅21。

从而，能通过最初的二次曲线和直线AB 相交，得出OA 、OB 的性质。

倒过来，我们也可以通过OA 和OB 的性质与二次曲线得出直线AB 的性质。

例1.抛物线px y 22=,过原点的两条垂直的直线OA ，OB 交抛物线于A 、B 。

求证：直线AB 过x 轴上一定点。

（当然已知条件也可以这样表达，抛物线px y 22=和直线AB 与相交与A 、B ，且OA ⊥OB 。

）分析：知道OA 与OB 的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB 的性质，进而得出定点。

一道令人深思的解析几何过定点问题

一道令人深思的解析几何过定点问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)007【总页数】1页(P17)【正文语种】中文求过定点问题是高考数学中一个热点,也是重点和难点,在求解过程中往往因为计算较为烦琐而让人望而却步.为了提高解决此类问题的效率,除了提高基本运算能力和技巧外,更应该追求更优的解题方式,甚至达到“解一题、通一类”的目的.例已知椭圆过C上一点P(2,1)作两条相互垂直的直线,分别交椭圆于A，B两点,求证:直线AB过定点,并求出此定点的坐标．方法1 常规解答,巧借分解.设A(x1,y1)，B(x2,y2),由题意知直线AB斜率存在,设直线AB方程为:y=kx+m．所以得到(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0. ①其中x1≠2,x2≠2.联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0.由Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-8)>0⟹代入式①,得到化简得12k2+16km+5m2-2m-3=0=(2k+m-1)(6k+5m+3),所以m=-2k+1或则y=k(x-2)+1或由于点(2,1)与点P重合,所以直线AB过定点题目是常见的定点问题,设点A，B坐标及直线AB方程,借助目标kPA·kPB=-1,寻找k与m的线性关系式,从而判断AB过定点．方法2 识别模式,巧用齐次.图1将平面直角坐标系的坐标原点按a=(2,1)平移至点P,使得点P在新的坐标系下的坐标为(0,0),如图1所示，则椭圆发生相对运动后方程为设直线AB方程为:mx+ny=1,由巧用直线方程配齐次方程为令表示椭圆上的点与原点构成的斜率代入直线AB方程得令直线AB过点所以平移前，AB过定点反思点P的坐标发生变化，或将椭圆方程改为抛物线、双曲线等其他圆锥曲线方程,也能巧借直线方程构造齐次式,顺利解决问题．假设点P为(0,0),则kPA·kPB表示曲线上的点A，B与原点构成的直线斜率之积,从而构造关于的一元二次方程.构造f(x,y)=0关于x,y的齐次方程,不妨巧用直线方程mx+ny=1．。

第06讲定点问题(解析几何)(原卷版)

第06讲定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭．定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭．定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ，且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。

【高中】高考数学解题方法攻略定点定线定值理

【关键字】高中高中理科数学解题方法篇（定点定线定值）1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为，(II)设，由得，，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，(最好是用向量点乘来)，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2.已知椭圆过点，且离心率。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的笔直平分线过定点，求的取值范围。

解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。

（Ⅱ）设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，，即 (1)由韦达定理得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN笔直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。

3.过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数．【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为．由相减得，故同理可得，由倾斜角互补知：∴∴由相减得，∴∴直线的斜率为非零常数．题型：动弦过定点的问题例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相笔直，证明直线过定点，就是通过笔直建立k 、m 的一次函数关系。

江苏高考解析几何定值定点问题含答案解析

第2课时定点、定值问题题型一定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解由题意可得2c ＝22，即c ＝2，设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4，可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k 2)x 2＝4，解得x ＝±21＋2k2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2，由E 是3x ＋3y －2＝0上一点，可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE ⊥MN ，OM ＝d ，即有23－m m ＝－1k，①4＋4k21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)，以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)，由题意知直线PQ 斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合，从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)， x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k2，所以λ＋u ＝2＋－2k1＋k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋k 2＝83. 综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)，直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65，所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2，即2x ＋y －2＝0.(2)证明设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2，同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2，直线MN 的斜率k ＝24t36＋t 2－－8t4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t 12－t2，直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2，化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2，所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值．解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S＝12MF 1· MF 2＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，因为直线RS 过点(2，－1)，所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4＝2k －2kmm ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．(1)解由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45，由题意可知D (5,0)，显然，直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0.(2)证明设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1.△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1， ∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ，所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)· 4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB2＋2OM 2为定值． (1)解将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2，所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2，同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2. 所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.1 OA2＋1OB2＋2OM2为定值76.综上，。

2025届高考数学二轮复习解析几何常考问题第3讲定点与定线含解析

第3讲定点与定线典型例题【例1】直线1y x =+与椭圆22221x y a b +=交于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点记为P ,且OBP 的面积为2,则椭圆22221x y a b+=恒过定点A.⎛⎝⎭B.()1,1C.(D.【答案】D【解析】设点()()()111122,,,,,A x y P x y B x y -,21122112112.22OPB S x y x y x x x x ∆=+=++则2222221,,y x b x a y a b =+⎧⎨+=⎩得()222222220a b x a x a a b +++-=.所以2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+=-=++,代入得221112,2OPB S a b ∆=+=.【例2】已知椭圆22:1C a b+=的右焦点为()1,0,且经过点()0,1A .(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线():1l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同的点,P Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若2OM ON ⋅=,求证:直线l 经过定点.【答案】 (1) 221;2x y += (2) 见【解析】.【解析】(1) 椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0), 且经过点(0,1)A , 可得1,b c a ===, 则椭圆的方程为2212x y +=.(2) 证明记点()()1122,,,P x y Q x y , 设直线:PQ y kx t =+. 22,22,y kx t x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x ktx t +++-=, ()()222216412220k t k t ∆=-+->,2121222422,1212kt t x x x x k k-+=-=++. AP 的方程为1111y y x x -=+, 令0y =, 可得x =111xy -, 即点11,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭; AQ 的方程为2211y y x x -=+, 令0y =, 可得x =221x y -, 即点22,01x N y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()()()()()()121212*********y y y y y y kx t kx t kx kx t --=+-+=+++-++()2222222224(1)12()121212t kt t t t k kt k k k k--⎛⎫=+-+⋅+-⋅-= ⎪+++⎝⎭||||2OM ON ⋅=, 即1212211y y ⋅=--, 即有221(1)t t -=-, 由1t ≠±, 解得0t =, 满意0∆>, 即有直线l 方程为y kx =恒过原点(0,0).【例3】曲线22:12x C y +=,直线:1(0)l y kx k =->关于直线1y x =-对称的直线为1l ,直线1,l l 分别与曲线C 交于点,A M 和点,A N ,记直线1l 的斜率为1k .(1)求证:11k k ⋅=;(2)当k 改变时,试问:直线MN 是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.【答案】(1) 见【解析】; (2) 直线MN 过定点(0,3).【解析】(1) 证明设直线l 上随意一点(,)P x y 关于直线1y x =-的对称点为()000,P x y ,直线l 与直线1l 的交点为(0,1)-,所以:1l y kx =-,11:1l y k x =-,1y k x+=,0101y k x +=由00122y y x x ++=- 得002(1)y y x x +=+-由1y y x x -=--得00y y x x -=- (2)由(1)(2)两式得001,1,x y y x =+⎧⎨=-⎩()00101(1)11(1)yy y y y x y x kk xx x y +++-++-+==+1=.(2) 设点()()1122,,,M x y N x y .()22221,1240,22,y kx k x kx x y =-⎧⇒+-=⎨+=⎩可得0x =或2412kx k =+, 即点222421,1221k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 由11kk =, 可将k 换为1k, 可得点22242,22k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,21M N MN M N y y k k x x k -+==--, 即直线():N MN N MN y y k x x -=-, 可得222221422k k k y x k k k -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 即为y =213k x k +-+ 则当k 改变时, 直线MN 过定点(0,3).【例4】已知椭圆22:195x y C +=,过左焦点F 的动直线交椭圆于,A B 两点,P 为直线92x =-上肯定点(不是与x 轴的交点),直线,,PA PF PB 的斜率分别为123,,k k k .(1)123,,k k k 是否恒为等差数列?若是,给出证明;若不是,请说明理由;(2)对随意给定的点P ,是否存在一条过点F 的直线AB ,使得123,,k k k 为等比数列?请说明理由.【答案】(1)见【解析】; (2) 见【解析】.【解析】(1) 椭圆22:195x y C +=的左焦点为(2,0)F -, 设点9,(0)2P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭,若直线AB 的斜率为 0 , 易得,A B 分别为椭圆的左、右顶点, 即点(3,0),(3,0)A B -, 则129332PA t k k t ===--+, 3222,,991553222PB PF t t k k t k k t ===-===----+ 此时13222423155k k t t t k +=--=-=, 即满意123,,k k k 是等差数列;若直线AB 的斜率不为 0 , 设点()11,A x y , ()22,B x y , 直线AB 的方程为2x my =-.22222,5(2)945,1,95x my my y x y =-⎧⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩得()225920250m y my +--=, 1222059m y y m +=+,1222559y y m =-+,11111,9522PA y t y t k k x my --===++22322.9522PB y t y tk k x my --===++所以1213125522y t y tk k my my --+=+++()()12211255225522y t my y t my my my ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()12121221212525252524my y y y mt y y t m y y m y y ++-+-=+++22222222505020559595925502559594m m m t t m m m m m m m -+--+++=-++++ 22222202545592525594m t m t tm m m ---+=++()()()()()2222222224514514595910012522552251459459t m t m m m t m m m m m -+-+++===-+++++, 又229522PF t k k t ===--+，所以2425k t =-. 因为0t ≠, 所以2132k k k ≠+. 综上, 123,,k k k 不是恒为等差数列.(2) 由 (1) 可得, 当直线AB 的斜率为 0 时,2221322242,315455k k t t t k t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2425t ,因为0t ≠, 所以2132k k k ≠;当直线AB 的斜率不为 0 时,1213125522y t y tk k my my --=⋅++()()12125522y t y t my my --=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212122121252524y y t y y t m y y m y y -++=+++()()22222252059592251459mt t m m m m --+++=++()()222222252059592251459mt m t t m m m +---+=++ ()()22224252059.2251mt m t t m -+--=+又222425k t =, 若123,,k k k 为等比数列, 则2132k k k =, 即()()2222242520594252251mt m t t t m -+--=+, 则()()2222225205991mt m t t t m -+--=+, 整理得22420250t m tm ++=,即2(25)0tm +=, 则52tm =-, 即对随意的(0t t ≠), 都有唯一的m 与之对应, 即存在对应的直线AB 满意题意;所以对随意给定的点P , 都存在一条过点F 的直线AB , 使得123,,k k k 为等比数列.【例5】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点),,,,FA B C D 分别为椭圆E的左、右、上、下顶点,且四边形ACBD 的内切圆的方程为2245x y +=. (1)求椭圆E 的方程;(2)若P 是直线1x =-上的动点,直线,PA PB 与椭圆C 的另一个交点分别是,M N ,求证:直线MN 经过肯定点.【答案】(1) 221;4x y += (2) 见【解析】.【解析】(1) 由题可知, c ⎧⎪=解得2a =, 1b =, 椭圆E 的方程为2214x y +=.(2) 由对称性可知, 直线MN 若经过肯定点, 则该点必在x 轴上. 又取点(1,1)P -时, 可解得点64,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1012,1313N ⎛⎫⎪⎝⎭, 此时直线MN 与x 轴的交点为(4,0)Q -.下面证明,直线MN 必经过点(4,0)Q -. 设点()01,P y -.当时00y ≠时, 01:2AP l x y y =-.202200212,1440,1,4x y y y y y y x y ⎧=-⎪⎛⎫⎪⇒+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 所以0220044,21414M M y y x y y ==-++, 所以点02200442,1414y M y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.20220023: 2.32,91240,1,4BP l x y y x y y y y y y x y =-+⎧=-+⎪⎛⎫⎪⇒+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩所以022001236,29494N N y y x y y ==-+++, 所以点0220012362,9494y N y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 所以02200442,1414y QM y y ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭, 所以022*******,9494y QN y y ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 而0022220000124436260,14949414y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅--+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以//QM QN , 此时, 直线MN 必经过点Q (4,0)-. 又当00y =时, 直线MN 为x 轴, 此时也过点(4,0)Q -. 故直线MN 必经过点(4,0)Q -.【例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为,并且直线y x b =+是抛物线24y x =的一条切线.(1)求椭圆的方程;(2)过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆于,A B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T ,使得以AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在,求出T 的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】(1) 221;2x y +=; (2) 存在点(0,1)T .【解析】 (1) 222,(24)04,y x b x b x b y x =+⎧⇒+-+=⎨=⎩. 由直线y x b =+与抛物线24y x =相切得∆=22(24)401b b b --=⇒=.因为222c e a b c a ===+, 所以22212a b a -=,所以a =故所求椭圆为2212x y +=.(2) 当l 与x 轴平行时, 以AB 为直径的圆的方程为2221433x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当l 与x 轴垂直时, 以AB 为直径的圆的方程为221x y +=.2222214,331,x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩解得0,0x y ==, 即两圆的公共点为(0,1). 因此所求点T 假如存在, 只能是(0,1). 证明如下：当l 与x 轴垂直时, 以AB 为直径的圆过点(0T ,1).当l 与x 轴不垂直时, 设直线1:3l y kx =-.()22221,318912160.1,2y kx k x kx x y ⎧=-⎪⎪⇒+--=⎨⎪+=⎪⎩记点()()1122,,,A x y B x y , 则1212221216,189189k x x x x k k -+==++, 又()()1122,1,,1TA x y TB x y =-=-. ()()121211TA TB x x y y ⋅=+--12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()22216412161018931899k k k k k -=+-⋅+=++.即以AB 为直径的圆恒过点T , 故在坐标平面上存在点(0,1)T , 满意题意.注圆过定点问题, 可以先取特别值或者临界值, 找出定点, 再证明向量数量积等于 0 .【例7】已知椭圆C 的方程为22143x y +=,斜率为12的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方. (1)若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ,求此时直线l 的方程; (2)求证:PAB 的内切圆的圆心在定直线1x =上. 【答案】(1) 111;27y x =- (2) 见【解析】. 【解析】(1) 设直线1:2l y x m =+, 点()11,A x y , ()22,B x y . 22221,4330,1,2x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩则21212,3x x m x x m +=-=-. 由()22430m m ∆=-->解得22m -<<.又因为点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方,所以21m -<<.若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F , 则220AF BF ⋅=, 即()()21221,1,0x y x y --⋅--=，化简得274110m m +-=, 解得117m =-或 1 (舍). 所以直线l 的方程为11127y x =-. （2）因为1212332211PA PBy y k k x x --+=+--.12123131222211x m x m x x ----=+-- 12111(1)11m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()12121221(1)1x x m x x x x -+=+-⋅-++221(1)13m m m m +=+-⋅++-222102m m m m --+=+=+-所以直线1x =平分APB ∠, 即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上.注第 (1) 问计算量稍大, 是常规的对韦达定理考查; 第 (2) 问, 由内切圆的圆心的定义,内切圆圆心与顶点连线平分角, 又留意到直线1x =的特别性, 故转化证明目标直线1x =平分APB ∠.【例8】已知抛物线2:2(0)E ypx p 过点1,2,Q F 为其焦点,过点F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于,A B 两点,动点P 满意PAB 的垂心为原点O . (1)求抛物线E 的方程;(2)求证:动点P 在定直线m 上,并求PAB QABS S的最小值.【答案】(1) 24;y x = (2) 证明见【解析】,最小值为【解析】 (1) 抛物线E 过点Q , 则222p =, 则抛物线E 的方程为24y x =. (2) 方法1:设:1l x ty =+, 点()(112,,A x y B x , )()200,,y P x y . 224,440,1,y x y ty x ty ⎧=⇒--=⎨=+⎩则12124,4y y t y y +==-. 因为O 为ABP ∆的垂心, 则,OA PB OB ⊥⊥PA , 即121211,PB PA OA OB x x k k k y k y =-=-=-=-. 因此()2112:x PA y x x y y=--+,()1221:x PB y x x y y =--+()()21121221,,x y x x y y x y x x y y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得1212211201212x x x x y y y y x x x y y -+-=-(()12212121216)43144y y y y y y y y y -+==--=--因此动点P 在定直线3x =-上.()2221011123344x y y y x y y y ⎛⎫=---+=---+ ⎪⎝⎭()21211123334164y y y y y y y t =++=+=因此点(3,3)P t -.点Q 到直线AB的距离为1d =, 点P 到直线AB的距离为2d =.则24323232222PAB QAB S t t tS t t t ∆∆+==+⋅=当232t t =即t =时取得最小值方法 2 设:1l x ty =+, 点()()1122,,,A x y B x y ,()00,P x y . 224,440,1,y x y ty x ty ⎧=⇒--=⎨=+⎩则12124,4y y t y y +==-. 因为O 为ABP ∆的垂心,则0,0OA PB OB PA ⋅=⋅=, 即()()()()1201202102100(1)(2)x x x y y y x x x y y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩由(1)式得222112001120416y y y x y y y y =--++=2010134x y y y ---,即20101304x y y y ++=. 由 (2)式得20202304x y y y ++=. 因此12,y y 是方程200304x y y y ++=的两根, 则01212003,44y y y y y x x +=-=, 可得003,3x y t =-=, 即点(3,3)P t -.因此点P 在定直线3x =-上. 后同方法 1 , 略.。

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》

解析几何题型——《解析几何中的定值定点问题》题型特点：定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。

解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法。

典例 1 如图，已知双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，OB AB ⊥，OA BF //（O 为坐标原点）。

（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点),(00y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF MF恒为定值，并求此定值。

典例2 已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8。

（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。

典例3 已知直线6:+=x y l ，圆5:22=+y x O ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率33=e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。

（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。

典例4 椭圆的两焦点坐标分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)23,1(-。

（1）求椭圆方程；（2）过点)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。

解析几何中的定点问题

解析几何中的定点问题解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。

提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。

解析几何中的定点问题的求解，实质就是等式恒成立问题的求解。

一.直线中的定点问题例1.已知a • R ，直线I : （a _1）x 2ay • 3 = 0，求直线I 经过的定点的坐标解：由 a(x 2y ) 3-x i ；=0, -a R 知,3所以直线I 经过定点（3 -—），2变式：已知实数 a,b, c 满足b • c =2a ，直线I : ax by ^0，过点P 2,3作直线I 的垂线，垂足为 M , O 为坐标原点，求线段 OM 的最大值解：因为 b ，c=2a ， ax by 0 所以 ax (2a -c) y c = 0 ,即 a ( x 2 y) c( -y 1) = 0, 一a, c 二 Rx + 2y = 0x= -2 所以」丫，解得J—y+i=oy=i2所以直线I 经过定点Q-2,1 ），点M 在以PQ 为直径的圆x 2+（y —2）=5 上, 由几何性质知 OM 的最大值为2 • 5 .x 2y = 0J 3 —^x = 0，解得:二圆中的定点问题例2.已知F （1,0）椭圆G 的右焦点且F 为双曲线C 2的右顶点，椭圆G 与双曲线C 2的一个2[3 3 交点是M（竺°,、3） •[]若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF3 3以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论.2 2 解：由题意设椭圆C 1的方程是笃+每=1，双曲线C 2的方程是x 2交y 轴于点Q ，试问a i22 1， b 2则 2印 T MF J + I M F Q I =闪 +--a<i = 2 , bj = 1，椭圆 G 的方程是"y -1,由点M 在双曲线上得: 12 =1，得b ； = 1，所以双曲线C 2的方程是x 2 - y 2 = 1,3b 2 、 2 设 P （X 。

应用齐次化解决解析几何中定点定值问题

(
１)求椭圆 C 的方程．
２
．
２
２
２
２
(
２)若过点 A 作圆 M :(
x＋１)
＋y ＝r (
r＞０)的
两条切线分别与椭圆相交于点 B ,
当
D (不同于点 A )．
r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定点? 若是,求出
该定点;若不是,请说明理由．
x
２
解析:(
１)易得椭圆的方程为＋y ＝１．
２
[(
x－２)＋２]
方法２:双曲线的方程可化为
－
２
直线l 不过点 A ,设其方程为
下面再通过两个例题具体解释利用齐次化方法
解决问题的详细过程和注意要素．
(
２)把原点平移到点 A ,点 A 坐标为 (
０,
０),则新
解得k＝－１．
１＝０．
２
２
２
２
２
[(
y－１)＋１]＝１,变形整理,得
２
(
a＞b＞０)的上顶点 A (
０,
１),离心率为
x
２
２
可化为＋ (
x＋１)
＋
y＋１)＝１,圆 M 的方程可化为(
２
２
m (
x－２)＋n(
m,
n∈R)．
y－１)＝１(
x２ y２
例１ (
２０２１年高三模考)已知椭圆 C: ２＋２＝１
a b
坐标系(下面均指新坐标系下的问题)中,椭圆的方程
时,则 k１＝
k２＝
k１＋k２＝

高考解析几何中的定点定值问题

解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法：引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过点 P1，32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不
是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2：设直线OA，OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
O B
思路1：设直线AB方程代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1：设AB : x my a( AB水平显然不适合）A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
ห้องสมุดไป่ตู้
0

解析几何中的定值与定点问题(原卷版)高考数学选填压轴题第19讲

第19讲解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．2．（2020温州高三月考）如图，P 为椭圆上的一动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ，PB ，斜率分别为k 1，k 2．若k 1•k 2为定值，则λ＝（）A ．B ．C ．D ．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则＝．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线l ′∥l ，且l ′与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，0）D ．（2，0）【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,12．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（）A ．为定值3-B ．为定值3C ．为定值1-D ．不是定值2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba 的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2C ．3D ．44．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（）A ．定值aB ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ：224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,08．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ．1324M M M M ⋅B ．14FM FM ⋅C ．1234M M M M ⋅D ．112FM M M ⋅11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B．C．D．12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（）A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（）A ．(1,0)B ．C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON +=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（）A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ= ，2PN NF λ= ，规定12λλ+=PM PN MF NF + ，则PM PN MF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PNMF NF+的定值为________.【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．。

例谈解析几何中定点和定值问题的解法

众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。

高考数学复习----《定点问题》规律方法与典型例题讲解

高考数学复习----《定点问题》规律方法与典型例题讲解【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明．【典型例题】例1、（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >−为F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3−． (1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．【解析】（1）因为以MN 为直径的圆过点F ，则MF NF ⊥，当点E 为MN 的中点时，MN EF ⊥，则MF NF =，此时FMN 为等腰直角三角形，又点E 、F 在x 轴上，则MN x ⊥轴，所以3M E x x ==−6p >−32p ∴>−F 在E 的右侧，所以32pEF =−+由抛物线的定义知2M p x MF +=，所以，3322p p −=−+，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）证明：若直线MF 与x 轴重合，则直线MF 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线NF 与x 轴也不重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=−+，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my −−=，216160m ∆=+>，设()11,M x y 、()22,A x y ，则124y y m +=，124y y =−，所以()221,2P m m +，同理可得2221,Q m m ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，当21m ≠时，()2222221211PQm m m k m m m +==−⎛⎫+−+ ⎪⎝⎭，所以直线PQ 的方程为()222121m y x m m m =−−+−，化简得()231m y x m =−−，当3x =时，0y =，直线PQ 过定点()3,0．当21m =时，直线PQ 的方程为3x =，直线PQ 必过点()3,0，综上所述，所以直线PQ 过定点()3,0．例2、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F 到(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）由题可知,直线的方程为()2y x a =−,即220x y a −−=,∴右焦点F= 又∵椭圆C 的离心率为12c e a ==,即代入上式得2,1a c ==，所以222413b a c =−=−=.∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：222(34)84120k x kmx m +++−=. 由2222644(34)(412)0k m k m ∆=−+−>得：2243m k <+.设1122(,),(,)E x y F x y ，椭圆的右焦点为(2,0)D ，则21212228412,3434km m x x x x k k−+=−=++，2212122312()()34m k y y kx m kx m k −=++=+ 因为以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，所以AE AF ⊥，所以0AE AF ⋅=，即1212(2)(2)0x x y y −−+=，代入化简得：2271640m km k ++=，解得：2,27m k m k =−=−，皆满足2243m k <+.当2m k =−时，直线EF 的方程为()22y kx k k x =−=−过点()2,0，不符合题意.当27m k =−时，直线EF 的方程为2277y kx k k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭过点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，符合题意.综上：直线l 过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭.例3、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）依题意，(A ，B ，当动圆M 与圆A 外切且与圆B 内切时，有22MA MB −=+，即4MA MB −=，当动圆M 与圆A 内切且与圆B 外切时，有22MA MB +=−，即4MA MB −=−，即4()MA MB AB −=<=，∴动圆的圆心M 的轨迹C 是以A 、B 为焦点的双曲线，其中2,a c ==1b ∴=，∴轨迹C 的方程为2214x y −=；（2）证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2244y kx m x y =+⎧⎨−=⎩得222(14)8440k x kmx m −−−−=，由()()()22221408414440k km k m ⎧−≠⎪⎨=−−−−−>⎪⎩，得()222140*140k k m ⎧−≠⎨−+>⎩，且2121222844,1414km m x x x x k k −−+==−−，依题意，以PQ 为直径的圆经过点(2,0)D ，∴0DP DQ ⋅=，且()()11222,,2,DP x y DQ x y =−=−，1212(2)(2)0x x y y ∴−−+=，()()()121212240x x x x kx m kx m ∴−+++++=，即221212(1)(2)()40k x x km x x m ++−+++=，∴()()2222244812401414m km k km m k k −−++−++=−−，化简，得22316200m km k ++=，即(310)(2)0m k m k ++=，∴103m k =−或2m k =−，且均满足(*)，当2m k =−时，直线l 的方程为(2)y k x =−，直线l 过定点(2,0)即是点D ，不符题意，舍，当103m k =−时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，直线l 过定点10(,0)3，符合题意，当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为(2)x n n =>，由2244x n x y =⎧⎨−=⎩解得2214Px nn y =⎧⎪⎨=−⎪⎩，依题意，以PQ 为直径的圆经过点(2,0)D ，2P y n ∴=−，即()222Py n =−， ∴221444n n n −=−+，即2316200n n −+=，解得2n =（舍)或103n =，l ∴的方程为103x =，直线l 过点10(,0)3，故直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，定点的坐标为10(,0)3．。

高考数学专题复习《定点问题》突破解析

母题突破2　定点问题母题　已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P(0,1)，设直线l 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为－1，求证：l 过定点．思路分析❶l 斜率k 存在时写出l 的方程 ↓❷联立l ，C 的方程，设而不求 ↓❸计算k PA ，k PB 并代入k PA ＋k PB ＝－1 ↓❹分析直线方程，找出定点【解析】证明　设直线PA 与直线PB 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k m4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝k x 1＋m －1x 1＋k x 2＋m －1x 2＝2k x 1x 2＋ m －1 x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8k m 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．[子题1]　已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若点E(－2,0)，直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO ＝∠BEO ，求证：直线l 过定点．【解析】证明　设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ny ＋b(n ≠0)，由Error!得y 2－4ny －4b ＝0，则y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4b.由∠AEO ＝∠BEO ，得k EA ＝－k EB ，即y 1x 1＋2＝－y 2x 2＋2，整理得y 1x 2＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2＝0，即y 1(ny 2＋b)＋2y 1＋(ny 1＋b)y 2＋2y 2＝0，整理得2ny 1y 2＋(b ＋2)(y 1＋y 2)＝0，即－8bn ＋4(b ＋2)n ＝0，得b ＝2，故直线l 的方程为x ＝ny ＋2(n ≠0)，所以直线l 过定点(2,0)．[子题2]　(2020·湖南四校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 与过点(2,0)的直线l 交于M ，N 两点，若M P → ＝12M N → ，PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点．【解析】证明　由题意可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋2(m ∈R )，将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －8＝0，显然Δ＝16m 2＋32>0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，因为M P → ＝12M N → ，所以P 是线段MN 的中点，设P(x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝m y 1＋y 2 ＋42＝2m 2＋2，y P ＝y 1＋y 22＝2m ，所以P(2m 2＋2,2m)，又PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，所以Q(0,2m)，设以PQ 为直径的圆经过点A(x 0，y 0)，则A P → ＝(2m 2＋2－x 0,2m －y 0)，A Q →＝(－x 0,2m －y 0)，所以A P → ·A Q → ＝0，即－x 0(2m 2＋2－x 0)＋(2m －y 0)2＝0，化简可得(4－2x 0)m 2－4y 0m ＋x 20＋y 20－2x 0＝0，①令Error!可得Error!所以当x 0＝2，y 0＝0时，对任意的m ∈R ，①式恒成立，所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0)．规律方法　动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【拓展训练】1．(2020·北京东城区模拟)已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1的右焦点为F ，直线l ：y ＝kx ＋m(k ≠0)过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P ′，求证：直线P ′Q 过x 轴上的定点．【解析】证明　∵c ＝6－2＝2，∴F(2,0)，直线l ：y ＝kx ＋m(k ≠0)过点F ，∴m ＝－2k ，∴l ：y ＝k(x －2)．由Error!得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.依题意Δ>0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1.∵点P 关于x 轴的对称点为P ′，则P ′(x 1，－y 1)．∴直线P ′Q 的方程可以设为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)，令y ＝0，x ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝k x 2 x 1－2 ＋k x 1 x 2－2k x 1＋x 2－4＝2x 1x 2－2 x 1＋x 2 x 1＋x 2－4＝2×12k 2－63k 2＋1－2×12k 23k 2＋112k 23k 2＋1－4＝3.∴直线P ′Q 过x 轴上的定点(3,0)．2．已知P(0,2)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 的离心率e ＝33.(1)求椭圆的方程；(2)过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A ，B 两点，若l 1与l 2的斜率之和为－4，则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】解　(1)由题意可得Error!解得a ＝6，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 26＋y 24＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t(t ≠2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!消去y 并整理，可得(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0，∴Δ＝36(kt)2－4×(3k 2＋2)(3t 2－12)>0，即24(6k 2－t 2＋4)>0，则x 1＋x 2＝－6k t 3k 2＋2，x 1x 2＝3t 2－123k 2＋2，由l 1与l 2的斜率之和为－4，可得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝－4，又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，∴y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝k x 1＋t －2x 1＋k x 2＋t －2x 2＝2k ＋ t －2 x 1＋x 2 x 1x 2＝2k ＋ t －2 ·－6k t 3k 2＋23t 2－123k 2＋2＝－4，∵t ≠2，化简可得t ＝－k －2，∴y ＝kx －k －2＝k(x －1)－2，∴直线AB 经过定点(1，－2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝m ，A(m ，y 1)，B(m ，y 2)，∴y 1－2m ＋y 2－2m ＝y 1＋y 2－4m ＝－4，又点A ，B 均在椭圆上，∴A ，B 关于x 轴对称，∴y 1＋y 2＝0，∴m ＝1，故直线AB 的方程为x ＝1，也过点(1，－2)，综上直线AB 经过定点，定点为(1，－2)．专题训练1．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，D(0，－1)，若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16.证明：直线l 恒过定点．【解析】证明　①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A(m ，y A )，B(m ，－y A )，因为点A(m ，y A )在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以m 22＋y 2A ＝1，即y 2A ＝1－m 22，所以k AD ·k BD ＝y A ＋1m ·－y A ＋1m ＝1－y 2A m 2＝m 22m 2＝12≠16，不满足题意．②当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!整理得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，依题意得，Δ>0，所以x 1＋x 2＝－4k b 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2，则k AD ·k BD ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝k x 1＋b k x 2＋b ＋[k x 2＋x 1 ＋2b ]＋1x 1x 2＝k 2x 1x 2＋ k b ＋k x 1＋x 2 ＋b 2＋2b ＋1x 1x 2.将x 1＋x 2＝－4k b 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2，代入上式化简得，k AD ·k BD ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝ b ＋1 22 b ＋1 b －1 ＝16，即b ＋1b －1＝13，解得b ＝－2.所以直线l 恒过定点(0，－2)．2．已知点H 为抛物线C ：x 2＝4y 的准线上任一点，过H 作抛物线C 的两条切线HA ，HB ，切点为A ，B ，证明直线AB 过定点，并求△HAB 面积的最小值．【解析】解　设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，H(t ，－1)，由C ：x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x ，所以抛物线C ：x 2＝4y 在点A(x 1，y 1)处的切线HA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －12x 21＋y 1，因为y 1＝14x 21，所以y ＝x 12x －y 1，因为H(t ，－1)在切线HA 上，所以－1＝x 12t －y 1，①同理－1＝x 22t －y 2，②综合①②得，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标满足方程－1＝x 2t －y ，即直线AB 恒过抛物线的焦点F(0,1)，当t＝0时，此时H(0，－1)，可知HF⊥AB，|HF|＝2，|AB|＝4，S△HAB＝12×2×4＝4，当t≠0时，此时直线HF的斜率为－2t，得HF⊥AB，于是S△HAB＝12×|HF|×|AB|，而|HF|＝ t－0 2＋－1－1 2＝t2＋4，把直线y＝t2x＋1代入C：x2＝4y中，消去x得y2－(2＋t2)y＋1＝0，|AB|＝y1＋y2＋2＝t2＋4，即S△HAB＝12(t2＋4)t2＋4＝()322142t+>4，综上所述，当t＝0时，S△HAB最小，且最小值为4.。

2012 年高考解析几何恒过定点问题

2012 年高考解析几何恒过定点问题（2012湖南理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得 2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦= 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.2拓展1定理1在平面直角坐标系中xoy ，动点P 在直线h x =上，过点P 能作定圆Ω:)0()(222>=+-r r y p x 的两条不同切线（切线的斜率存在），且分别与定抛物线)0(4:2>=Γp px y 交于点A ，B 和C,D(这四个点互不相同)，则这四个点的纵坐标之积为定值的充要条件是222h r p +=，且定值为1622h p 。

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析：设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

解析几何直线过定点问题

解析几何定点问题一、曲线过定点1、（2016广州一模）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上，由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………7分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭． (10)分则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2，即224x y y k++=．…………………………………………………………11分令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=．所以08MN y =．……………………………………………………………………9分设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分.)0(111.22标恒过定点，求定点的坐取何值的图象无论已知函数≠+++++=m m m m x m m m x y二、直线过定点)2()1(.,232面积的最小值求必经过定点；求证直线两点弦交抛物线于顶点作两条互相垂直的、过抛物线AOB AB B A x y ∆=)2()1()0(232面积的最求必经过定点；求证直线顶点作两条互相垂直、过抛物线AOB AB p px y ∆>=4、已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.5、（2013陕西）已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C 2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为 x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)6、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-，||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2pp =- 2440,2p p p ∴-+=∴=，抛物线C 的方程为24y x =.（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++ 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB tk t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，整理22(1)1t y x t =--∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-，直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFttt k t t t t -+==≠±--+，AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. ∴直线AB 过定点F .5、已知椭圆C :222210x y (a b )a b+=>>的离心率为2，直线0l :x y -=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ,2k ，且124k k +=，证明:直线AB 过定点(12-，-l )．解:（Ⅰ）椭圆C的离心率e = 222222221,2.2c a b e a b a a -∴===∴=由0x y -+=与圆222x y b +=相切，得21, 2.b a =∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=．（Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点00(,)A x y ，00(,)B x y -．由已知0000114,y y x x ---+=得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点(12-，-l)．②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠±．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220.k x kmx m +++-=则122412kmx x k +=-+，212222.12m x x k -=+由已知124k k +=, 1212114,y y x x --+= 1212114kx m kx m x x +-+-∴+=即12122(1)4x x k m x x ++-=将1212,x x x x +代入得21kmk m -=+，∴2(1)k m =+， 1.2k m ∴=-故直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-． ∴直线过定点 (12-，-l )．（Ⅱ）法二：由已知MA 方程为11y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由122112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22111240.k x k x ++= 121412A k x k ∴=-+2112112112A A k y k x k -∴=+=+， 2112211412(,)1212k k A k k -∴-++，同理可得2222222412(,)1212k k B k k --++ 设1(,1)2N --，下面只要证,,A B N 三点共线即可．2121211121121122,41142122ANk k K k k k k -++==-++-++同理2222,142BN K k k =-++ 124,k k +=()222112222222.11144(4)44222AN BN K K k k k k k k ∴====-++--++--++∴,,A B N 三点共线 ∴直线过定点(12-，-l )．。

高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题

3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.

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直线AB在新系下过点，则在旧系下过点。
下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。
三、解析高考
例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆经过点离心率 ,直线的方程为 .
(1)求椭圆的方程;
(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点 ),设直线与直线相交于点 ,记的斜率分别为问:是否存在常数 ,使得 ?若存在求的值;若不存在,说明理由.
求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程
解析：（Ⅰ）离心率为，椭圆的标准方程为
（Ⅱ）平移坐标系使点为原点，则
点
点0
点
椭圆
旧坐标系
（2，0）
（0，0）
（-2，0）
新坐标系
（0，0）
（-2，0）
（-4，0）
设直线PQ方程为可化为了①
椭圆方程可化为 ②
解：平移坐标系，使P为原点，则
点P
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设AB:
抛物线可化为
（注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）
把化为代入得
可化为
其中，。
。 AB：，即
直线AB在新坐标系过点在原坐标系过点。
说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：
一、引理：过原点两直线与二次曲线
一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；设直线AB方程为 ①曲线 Nhomakorabea程为 =0②
（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有项，即）
将①化为 ,②化为 ③
将代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得：
④
显然④是一个二次齐次式，且一定可化为
把①代入到②得：
上式可化为其中
又PQ直线过点，故
, ,
, 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为
总结：⑴设直线AB方程为或，即使AB过定点也是如此，这样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例3、例5。⑵移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5，说明横坐标都减少2个单位，纵坐标不变。故移轴公式为：（移轴公式在选修4-4即《坐标系与参数方程》有要求）。⑶最好列表体现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。⑷过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。
解析:(1)略：椭圆的方程为 . (2)：平移坐标系，使点P为原点,则
点P
点O
直线
椭圆
点F
旧坐标系
X=4
新坐标系
X=3
设在新系下，AB：（显然直线AB不可能竖着），可化为 ①
椭圆方程可化为： ②
把①代入②，化为齐次式:
上式可化为：即
又直线AB过点F ,
注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！
即： ⑤
⑤中的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为。
由韦达定理知
从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。
下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。
， AB恒过点（2p．0)
说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！
下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。
例2。点p( ， )是抛物线上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。
分析：注意到PA PB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。
二、应用举例
例1.抛物线 ,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过轴上一定点。
分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。
解：设AB： ( 显然AB不能横着）
抛物线：
化为代入（目的化为二次齐次式）得
即 ③
③可化为
其中
又（因OA与OB垂直）
其中，
.易求
故，故存在常数使得恒成立。
例4。（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.
(Ⅰ)略， (Ⅱ)分析：轴为平分线 .故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。
设直线AB：代入抛物线方程得：
整理得：，设A、B两点坐标分别为，则
，
又
③
整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）
AB：
小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P ，新P ，所以移轴公式为其中为新坐标，与之对应的为同一点的旧坐标，所以O新坐标为。抛物线即
一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题
湖南省浏阳第一中学叶运平410300
中心词：过原点两直线、齐次式高考定点
高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估计您从未见识过）。
解析：平移坐标系，使点B为原点，则
点B
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设PQ；（显然AB不能横着，故设成这种形式）
可化为：代入（目的是化为齐次式）
可化为:
其中A= ,
轴为平分线，即B=0
从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。
说明：此种解法还得出，直线l
例5。（2012高考真题重庆理20）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形.