一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题
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直线AB在新系下过点 ，则在旧系下过点 。
下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。
三、解析高考
例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆 经过点 离心率 ,直线 的方程为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2) 是经过右焦点 的任一弦(不经过点 ),设直线 与直线 相交于点 ,记 的斜率分别为 问:是否存在常数 ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,说明理由.
设直线AB： 代入抛物线方程 得：
整理得： ，设A、B两点坐标分别为 ， 则
，
又
③
整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）
AB：
小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P ，新P ，所以移轴公式为 其中 为新坐标，与之对应的 为同一点的旧坐标，所以O新坐标为 。抛物线 即
二、应用举例
例1.抛物线 ,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过 轴上一定点。
分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。
解：设AB： ( 显然AB不能横着）
抛物线：
化为 代入 （目的化为二次齐次式）得
即 ③
③可化为
其中
又 （因OA与OB垂直）
解析:(1)略：椭圆 的方程为 . (2)：平移坐标系，使点P为原点,则
点P
点O
直线
椭圆
点F
旧坐标系
X=4
新坐标系
X=3
设在新系下，AB： （显然直线AB不可能竖着），可化为 ①
椭圆方程可化为： ②
把①代入②，化为齐次式:
上式可化为： 即
又直线AB过点F ,
注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！
， AB恒过点（2p．0)
说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！
下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。
例2。点p( ， )是抛物线 上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。
分析：注意到PA PB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。
解析：平移坐标系，使点B为原点，则
点B
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设PQ； （显然AB不能横着，故设成这种形式）
可化为： 代入 （目的是化为齐次式）
可化为:
其中A= ,
轴为 平分线， 即B=0
从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。
说明：此种解法还得出，直线l
例5。（2012高考真题重庆理20）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为 ，线段的中点分别为 ，且△ 是面积为4的直角三角形.
解：平移坐标系，使P为原点，则
点P
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设AB:
抛物线 可化为
（注意常数项肯定为0ຫໍສະໝຸດ Baidu因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）
把 化为 代入 得
可化为
其中 ， 。
。 AB： ，即
直线AB在新坐标系过点 在原坐标系过点 。
说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：
一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题
湖南省浏阳第一中学叶运平410300
中心词：过原点两直线、齐次式高考定点
高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估计您从未见识过）。
其中 ，
.易求
故 ，故存在常数 使得 恒成立。
例4。（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线 过定点.
(Ⅰ)略， (Ⅱ)分析： 轴为 平分线 .故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。
求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过做直线 交椭圆于P，Q两点，使 ，求直线 的方程
解析：（Ⅰ）离心率为 ，椭圆的标准方程为
（Ⅱ）平移坐标系使点 为原点，则
点
点0
点
椭圆
旧坐标系
（2，0）
（0，0）
（-2，0）
新坐标系
（0，0）
（-2，0）
（-4，0）
设直线PQ方程为 可化为 了①
椭圆方程 可化为 ②
把①代入到②得：
上式可化为 其中
又PQ直线过点 ，故
, ,
, 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为
总结：⑴设直线AB方程为 或 ，即使AB过定点也是如此，这样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例3、例5。⑵移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5， 说明横坐标都减少2个单位，纵坐标不变。故移轴公式为： （移轴公式在选修4-4即《坐标系与参数方程》有要求）。⑶最好列表体现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。⑷过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。
一、引理：过原点两直线与二次曲线
一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；
设直线AB方程为 ①
曲线方程为 =0②
（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有 项，即 ）
将①化为 ,②化为 ③
将 代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得：
④
显然④是一个二次齐次式，且一定可化为
即： ⑤
⑤中 的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为 。
由韦达定理知
从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。
下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。
下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。
三、解析高考
例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆 经过点 离心率 ,直线 的方程为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2) 是经过右焦点 的任一弦(不经过点 ),设直线 与直线 相交于点 ,记 的斜率分别为 问:是否存在常数 ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,说明理由.
设直线AB： 代入抛物线方程 得：
整理得： ，设A、B两点坐标分别为 ， 则
，
又
③
整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）
AB：
小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P ，新P ，所以移轴公式为 其中 为新坐标，与之对应的 为同一点的旧坐标，所以O新坐标为 。抛物线 即
二、应用举例
例1.抛物线 ,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过 轴上一定点。
分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。
解：设AB： ( 显然AB不能横着）
抛物线：
化为 代入 （目的化为二次齐次式）得
即 ③
③可化为
其中
又 （因OA与OB垂直）
解析:(1)略：椭圆 的方程为 . (2)：平移坐标系，使点P为原点,则
点P
点O
直线
椭圆
点F
旧坐标系
X=4
新坐标系
X=3
设在新系下，AB： （显然直线AB不可能竖着），可化为 ①
椭圆方程可化为： ②
把①代入②，化为齐次式:
上式可化为： 即
又直线AB过点F ,
注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！
， AB恒过点（2p．0)
说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！
下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。
例2。点p( ， )是抛物线 上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。
分析：注意到PA PB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。
解析：平移坐标系，使点B为原点，则
点B
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设PQ； （显然AB不能横着，故设成这种形式）
可化为： 代入 （目的是化为齐次式）
可化为:
其中A= ,
轴为 平分线， 即B=0
从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。
说明：此种解法还得出，直线l
例5。（2012高考真题重庆理20）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为 ，线段的中点分别为 ，且△ 是面积为4的直角三角形.
解：平移坐标系，使P为原点，则
点P
点O
抛物线
旧坐标系
新坐标系
在新坐标系下，设AB:
抛物线 可化为
（注意常数项肯定为0ຫໍສະໝຸດ Baidu因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）
把 化为 代入 得
可化为
其中 ， 。
。 AB： ，即
直线AB在新坐标系过点 在原坐标系过点 。
说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：
一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题
湖南省浏阳第一中学叶运平410300
中心词：过原点两直线、齐次式高考定点
高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估计您从未见识过）。
其中 ，
.易求
故 ，故存在常数 使得 恒成立。
例4。（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线 过定点.
(Ⅰ)略， (Ⅱ)分析： 轴为 平分线 .故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。
求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过做直线 交椭圆于P，Q两点，使 ，求直线 的方程
解析：（Ⅰ）离心率为 ，椭圆的标准方程为
（Ⅱ）平移坐标系使点 为原点，则
点
点0
点
椭圆
旧坐标系
（2，0）
（0，0）
（-2，0）
新坐标系
（0，0）
（-2，0）
（-4，0）
设直线PQ方程为 可化为 了①
椭圆方程 可化为 ②
把①代入到②得：
上式可化为 其中
又PQ直线过点 ，故
, ,
, 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为
总结：⑴设直线AB方程为 或 ，即使AB过定点也是如此，这样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例3、例5。⑵移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5， 说明横坐标都减少2个单位，纵坐标不变。故移轴公式为： （移轴公式在选修4-4即《坐标系与参数方程》有要求）。⑶最好列表体现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。⑷过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。
一、引理：过原点两直线与二次曲线
一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；
设直线AB方程为 ①
曲线方程为 =0②
（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有 项，即 ）
将①化为 ,②化为 ③
将 代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得：
④
显然④是一个二次齐次式，且一定可化为
即： ⑤
⑤中 的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为 。
由韦达定理知
从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。
下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。