初中数学知识点精讲精析 比例线段
比例线段ppt课件
D． 6
C．
课堂新授
例2 已知＝＝ ，则 ＋ ＝_______.
解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或
参数法求解.
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解：方法一
由 ＝ ，得y＝ .
由 ＝ ，得z＝2x.
方法二
易知k ≠
易知x ≠ 0，∴原式＝
设 ＝ ＝ ＝k，∴
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如： ＝ ＝来自 →(b1－2b2＋3b3
－
－＋
＝
＝ →
＝
－ －＋
≠ 0).
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例1 [母题 教材 P63 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成
比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于(
5-1. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，
也蕴含着“黄金分割” . 如图 5-1，点 P 为线段
AB 的黄金分割点( AP ＞ PB)，则下列结 论中正
确的是 (
D )
A. AB2 ＝ AP2+BP2 B. BP2 ＝ AP·BA
C.
=
－
D.
=
－
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例6 如图3.1-2，已知点C是线段AB的黄金分割点，且
解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割
比进行计算 .
解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ AC=
－
AB ＝(40 － 40) cm.
∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
第二十五课比例线段
第25课 比例线段〖知识点〗比与比例、比例的大体性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 〖大纲要求〗1．明白得比与比例及比例中项等概念，把握比例的大体性质、合比定理和更比定理，会用它们进行简单的比例变形；2．明白得比例线段及黄金分割的概念，明白得平行线分线段成比例定理，会作第四比例项 〖考查重点与常见题型〗1． 考查比例的性质，常以选择题或填空题显现，如： (1) 已知a ＝4，b ＝9，则a 、b 的比例中项是(2) 已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 2． 求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型显现，如图，已知DE ∥BC ，CD和BE 相交于O ，S △DOE ：S △COB ＝4：9，则AE ：EC 为（ ） 〖预习练习〗1． 若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 知足a b ＝cd，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系必然成立的是（ ） （A ）a ＋mb ＋m ＝c ＋md ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝db （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d2．如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ）（A ） AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC（C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC 3． 如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝3：2：1， 则△ADE ，四边形DFGE ，四边形FBCG 的面积比是（ ） （A ）3：2：1（B ）9：4：1（C ）9：16：11（D ）9：25：36 4．已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝ 5．若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝ ， 又x 是6和y 的比例中项，则y ＝6．已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝7．若是x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y＝考点训练：一、若3x =x4，则x 等于（ ）(A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 3 二、已知y 是3，6，8的第四比例项，则y 等于（ ） (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)4 3、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（ ）(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:54、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（ ） (A) AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BCABCDEFABCD E(4) (8) 五、把m=abc写成比例式，且使m 为第四比例项 ;六、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是不是成比例线段 ; 7、已知x y =53，则(x+y):(x-y)= ;八、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ; 九、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB 于M ，交CD 于N ，若AD=3cm ，BC=5cm,求ON.10、如图，已知平行四边形ABCD 中,G 是DC 延长线上一点，AG 交BD 和BC 于E,F ，求证：AE EF =EGAE解题指导 一、（1）已知a:b:c=2:3:7，且a-b+c=12，求2a+b-3c 的值； （2）已知b+c a =c+a b =a+b c ，求a+bc的值。
初三数学圆中比例线段知识精讲
初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
3. 过切点的半径垂直于切线。
4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。
求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。
第18课 比例线段(学生版)-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义(浙教版)
第18课 比例线段学习目标 1.理解比例的基本性质，能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形.2.了解两条线段的比和比例线段的概念，能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题.3.了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项.4.了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算.知识点01 比例的基本性质1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例．2.a : b ＝c : d 或dc b a =称a ，d 为比例外项，称b ，c 为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若d c b a =，则ad ＝bc 知识点02 比例线段1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d 中，a 与b 的比等于c 与d 的比．即d c b a =那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例中项：如果三个数c b a ,,满足比例式cb b a =（或c b b a ::=），则b 叫做c a ,的比例中项. 知识点03 比例中项与黄金分割黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC ＝AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．知识精讲目标导航能力拓展考点01 比例及比例的基本性质【典例1】若＝，则下列式子正确的是（）A ．＝7B ．＝C ．＝4D ．＝【即学即练1】已知＝＝．（1）求的值；（2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值．考点02 比例线段【典例2】已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求线段a，b，c的长．（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【即学即练2】已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．（1）求a、b的值．（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．考点03 黄金分割【典例3】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为175cm，则此人的肚脐到足底的长度约是（精确到1cm）．【即学即练3】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（）A．B．C．或D．或分层提分题组A 基础过关练1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，cm，cm，2cm D．2cm，3cm，4cm，6cm2．已知线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（）A．B．2 C．3 D．83.已知，则n：m等于（）A．7：1 B．1：7 C．4：5 D．5：44.已知，则下列变形不正确的是（）A．B．2a＝3b C．D．3a＝2b5.根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．a：b＝4：5 B．a：b＝5：4 C．a：4＝b：5 D．a：5＝4：b6.线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1 B．2﹣C．3﹣D．﹣27.若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，则线段b的长为cm．8．已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．9.黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．10.已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a﹣2b+3c的值．11.线段a、b、c，且＝＝．（1）求的值；（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．12.小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A 点到B点走多少米，他的站台最得体？（取＝1.4，＝1.7，＝2.2）题组B 能力提升练13.已知四条线段a、b、c、d满足＝，则下列各式一定成立的是（）A．＝B．C．＝D．＝14.如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC2＝AB•AC C．D．≈0.61815.已知（a，b，c均不为0），且a+b﹣c＝4，则a＝．16.已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为．17.据比例的基本性质进行计算．若．（1）求的值；（2）求的值．18.（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．19.（1）已知＝≠0，求代数式的值；（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．20.在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）题组C 培优拔尖练21.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．无法确定22.若＝＝＝且b﹣2d+3f≠0，则的值为（）A．B．C．D．23.已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为．24.设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．25.请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（golden sec tion）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．∵AC：CD＝CD：AD，∴……任务：（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；②连结DA，在DA上截取DE＝DB；③在AB上截取AC＝AE；则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是．26. 若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．27.△ABC中，D是BC上一点，若＝，则称AD为△ABC的黄金分割线．（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）。
初中数学知识点精讲精析 线段的比
4·1线段的比1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.（a 、d 叫做比例线段的外项，b 、c 叫做比例线段的内项） 4. 比例的基本性质. （比例线段中两个外项的积等于两个内项的积）反之也成立。
即如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比：＝：或写成，其中，线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么或。
m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺＝图上距离实际距离四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么，这a b c d a b c d a b cd=如果，那么。
a b cdad bc ==a b cd =如果，那么。
a b c d a b b c dd =±=±如果，那么。
a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为_____________，现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.（保留两个有效数字） 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1：8000000∴太原到北京的实际距离＝6.4×8000000＝51200000（cm ）＝512千米 点评：注意单位要统一.2.在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【解析】（1）根据题意，得808000000千米＝cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离＝1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 【解析】根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 2×8000=16000（cm ）=160（m ） 矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值. 【解析】方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）： 由（*）得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案（3）： 由（*）得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4－2方案（4）： 由（*）得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1－21am =a 2－1∵m +n =1 ∴1－21a+a 2－1=1∴a =2522+（负值舍去）55.（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 【解析】（1）由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此：ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，求AC 与BD 的比值.【解析】设AO ＝x7．下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===，，则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4－4（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM 的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 【解析】（1）CD =2，HL =4，OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+（2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a ＝8cm ，b ＝4cm ，c ＝2.5cm ，d ＝5cm ，试判断它们是否成比例（若a ＝8cm ，b ＝0.05m ，c ＝0.6dm ，d ＝10cm 呢）？ 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列，然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.（1）从小到大排列为c 、b 、d 、a ac ＝8×2.5＝20，bd ＝4×5＝20 ac ＝bd ∴成比例（2）先化成同一单位，并从小到大排列为b 、c 、a 、d b ＝5cm ，c ＝6cm ，a ＝8cm ，d ＝10cm bd ＝5×10＝50，ac ＝6×8＝48 bd ≠ac ∴不成比例9.（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.【解析】（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知：d c b a ==fe=2（b +d +f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2（2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2（3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2（4）f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 【解析】（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b －3c =14 ∴4k +9k －6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4（2）4a －3b +c =32－18+4=1812的面积.精析：根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值，然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得：k ＝5∴△ABC 是以a ＝15cm ，b ＝20cm 为两条直角边，以c ＝25cm 为斜边的直角三角形.点评：比例实际上是比例性质的应用问题。
九年级成比例线段知识点
九年级成比例线段知识点成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。
本文将对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。
一、成比例线段的定义成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。
即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有AB/CD=常数k。
二、成比例线段的特性1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。
定比分点的特性是，若M是AB的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。
2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。
若已知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。
3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。
三、成比例线段的性质和定理1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。
2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。
3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得的各对共线点所构成的线段成比例。
四、成比例线段的应用成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。
求点M在铁丝上的位置。
解：设点M在铁丝上的位置离离起点距离为x cm，则根据定比分点的特性可知，x/9=(10-x)/1，解得x=0.9cm。
所以点M在铁丝上的位置离起点0.9cm处。
例2：已知线段AB和线段CD成比例，且AB=6cm，CD=15cm，在线段AB上取一点E，使得AE/EB=1/3，求线段CE 的长度。
初中数学知识归纳比例线段的计算及应用
初中数学知识归纳比例线段的计算及应用在初中数学学习中，比例和线段是重要的概念之一。
通过学习比例线段的计算和应用，我们能够解决实际生活中的许多问题，如测量、绘图和设计等。
本文将归纳总结初中数学中关于比例线段的相关知识，并探讨其实际应用。
一、比例线段的定义和计算比例线段指的是在一条直线上，两个线段的比例与其他两个线段的比例相等的情况。
比例线段的计算涉及到两个主要的概念：黄金分割和相似三角形。
1. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分成两部分时，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。
黄金分割的比例大约是1：0.618或0.618：1。
2. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应的边长之比等于对应的角度边之比。
在计算比例线段时，我们可以通过这些概念来推导和应用相关的公式。
比如，当我们已知两个线段的比例和其中一个线段的长度时，可以利用比例运算求解另一个线段的长度。
二、比例线段的应用比例线段的应用广泛存在于我们的日常生活中。
以下是一些常见的应用情况：1. 测量：在实际测量中，我们经常需要计算未知长度的线段。
比例线段的计算方法可以帮助我们准确地测量各种物体的长度，如建筑物、道路和地图等。
通过测量线段的比例，我们可以根据已知长度推导出未知长度。
2. 绘图：比例线段在绘图中也有重要的应用。
例如，我们在绘制地图或蓝图时需要按照比例缩放或放大。
通过计算比例线段，我们可以根据真实尺寸的物体，按照指定的比例进行绘制，确保绘制结果的准确和真实性。
3. 设计：在设计中，比例线段的应用可以帮助我们确定物体的比例和比例关系，从而在设计中保持准确和平衡的感觉。
比如，在室内设计中，我们可以通过比例线段计算家具的大小和放置位置，以确保整个空间的美观和协调。
除了以上应用，比例线段在其他领域也有广泛的应用，如金融投资、股票交易和地理测量等。
通过掌握比例线段的计算和应用，我们可以更好地解决各种实际问题。
比例线段课件
确定起点和终点
起点和终点是线段的两个端点，它们的位置决定了线段的方 向和长度。
在画比例线段时，需要先确定起点和终点的位置，以便于后 续的绘制工作。
使用工具进行绘制
使用工具进行绘制是画比例线段的关键步骤之一，合适的工具可以提高绘制的效 率和精度。
有AE:CF = AB:CD。
证明
由于AB = CD，根据等长线段的 性质，我们有AE = CF。因此，
AE:CF = AB:CD。
相似图形中的比例定理
1 2
总结词
相似图形中的比例定理是指，如果两个图形相似 ，则它们的对应边之间的长度之比是常数。
详细描述
设三角形ABC与三角形DEF相似，那么有AB:DE = AC:DF = BC:EF。
比例线段的性质
比例线段具有传递性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=B:C，那么线段A、B、 C也满足比例关系A:C=A:B*B:C。
比例线段具有交叉对应性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=C:D，那么线段A、B、 C、D可以按照一定的顺序交叉对应。
比例线段的分类
等比线段
线段长度相等，即A=B=C。
摄影构图
在摄影中，摄影师使用比 例线段来构图，以突出主 题并增强视觉效果。
在数学中的应用
几何学
比例线段是几何学中的基 本概念，用于描述线段之 间的长度关系。
代数方程
在代数方程中，比例线段 可以用于解决与用于表示函数的增减性和 变化率。
在工程中的应用
3
证明
由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三 角形的性质，我们有AB/DE = AC/DF = BC/EF 。因此，AB:DE = AC:DF = BC:EF。
初三比例线段知识点
初三比例线段知识点
嘿，初三的小伙伴们！今天咱就来聊聊超重要的比例线段知识点呀！比如说咱看地图，地图上的距离和实际的距离那就是有比例关系的哟！比例线段呢，就好像是一把神奇的尺子，能让我们通过一些已知的线段关系，去找到其他不知道的线段长度呢！
你看啊，就像分苹果一样，如果有一堆苹果要分给几个人，每个人能分到多少，这中间就有个比例关系。
比例线段也是这样的道理呀！比如已知两条线段的比是 2:3，那要是知道其中一条的长度，不就能算出另一条的长度啦！就像小明手里有两根小棒，长度之比是 3:4，其中一根长 9 厘米，那另一根不就能轻松算出来是 12 厘米嘛。
还有相似三角形里面也经常用到比例线段呢！这就好像是找到了相似图形的秘密钥匙。
哇塞，是不是很神奇呀？比例线段就是这么厉害，能帮我们解决好多几何问题呢！咱初三可得把它学好呀，以后遇到难题就不怕啦！
我的观点结论就是：比例线段真的超级重要，初三的我们一定要好好掌握它呀！。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
初中数学知识点精讲精析 成比例线段
23.1 成比例线段学习目标1. 理解比例线段的概念。
2. 掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例。
知识详解1.在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形。
2.成比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a cb d =（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。
3. 比例的基本性质如果a cb d=，那么ad＝bc。
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么a cb d =4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
（简称“平行线分线段成比例”）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【典型例题】例1：在中国地理图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（）A．3858千米B．3456千米C．2400千米D．3800千米【答案】A【解析】∵3：3.6：5.4=1：1.2：1.8，∴1286×1.2+1286×1.8=1543.2+2314.8=3858千米．例2：如图，线段AB：BC=1：2，那么AC：BC等于（）A．1：3B．2：3C．3：1D．3：2【答案】D【解析】设AB=k，BC=2k，∴AC=3k，∴AC：BC=3k：2k=3：2 例3：下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、3【答案】B【解析】A、1×4≠2×3，故选项错误；B、1×4=2×2，故选项正确；C、3×13≠5×9，故选项错误；D、1×3≠2×2，故选项错误【误区警示】易错点1：比例线段1. 下列长度的各组线段中，能构成比例的是（）A．2，5，6，8B．3，6，9，18C．1，2，3，4D．3，6，7，9【答案】B【解析】A、2×8≠5×6，故错误；B、3×18=6×9，故正确．C、1×4≠2×3，故错误；D、3×9≠6×7，故错误易错点2：比例的性质2. 下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，20cm，40cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，2cm，1cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm【答案】A【解析】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有A中，1×40=2×20【综合提升】针对训练1. 已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d= cm．2. 下面四条线段成比例的是（）A．a=1 b=2 c=3 d=4B．a=1 b=2 c=3 d=5C．a=1 b=2 c=3 d=6D．a=1 b=2 c=5 d=63. 如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8B．3：8C．3：5D．2：51.【答案】1.2【解析】∵a：b=c：d，∴ad=bc，∴2d=4×0.6，∴d=1.2cm2.【答案】C【解析】A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；B、由于2×3≠1×5，所以不成比例，不符合题意；C、由于2×3=1×6，所以成比例，符合题意；D、由于2×5≠1×6，所以不成比例，不符合题意。
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习
比例线段（基础） 知识讲解【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作ab或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a ca b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质如果a cb d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d=（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.a c a b c d b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （ •甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ， 则a=2k ，b=3k ，c=5k ， 所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型三、黄金分割4.（ •慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108° 【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6， 根据题意得：x ：y=0.6=3：5， 又∵x+y=360， 则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=-＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=--所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
北师大版九上数学4.1成比例线段知识点精讲
知识点总结1、线段的比。
线段的比就是它们的长度之比，它是一个比值，没有单位。
两条线段长度的比与所采用的长度单位无关，但是采用同一个长度单位，即在求比值之前要统一单位。
2、成比例线段。
（1）注意顺序性（2）判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将各线段的单位统一，如果规定线段顺序，就要严格按顺序计算；如果没有规定顺序，先把四条线段按照从小到大的顺序排列好，再判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等。
3、比例的基本性质。
在用比例的基本性质时，一般得到的等积式是唯一的，而由等积式得到的比例式是不唯一的，只要保证两内项之积等于两外项之积且与原等积式相同即可。
这两个性质的推导过程都是借助“设k法”，此种方法也是解决此类问题的通用方法，等比性质的应用的特征是出现连续等号，当然还有一个重要的条件就是分母相加不为零，有的题目中没有这个条件，这时候就必须要进行分类讨论，就像视频中的最后一个问题一样。
倒数第二个题即我们暑期生活第26页第5题，这个题目主要解决方案是第二种方法，也就是利用等比性质解决，这需要先观察好题中的形式，重点看系数发生了什么变化，再进行变形，最后利用等比性质。
教学设计一、学习目标1.掌握成比例线段的概念及性质。
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。
二、学习重点线段的比与比例线段，以及比例线段的基本性质。
三、自主预习1．相似图形的定义：相似图形的必须完全相同，但是两个图形的、不一定相同。
2．成比例线段完成课本48页试一试：从而概括得出成比例线段的定义即或a：b=c：d，那么这四条线段叫做，简称，此时也称这四条线段。
3．判断是否成比例线段阅读课本49页例1，注意解题格式仿例计算：已知四条线段a=2，b=3，c=6，d=10，判断它们是否成比例线段？四、合作探究1．探究比例的基本性质（1）如果那么ad=bc（2）如果ad=bc（a.，b，c，d都不是0）那么小组合作得出上述公式的推导过程。
2．探究书本59页例题2猜想由ad=bc（a.，b，c，d都不是0）得出外，还能推出哪些比例式？。
初中数学课件《比例线段
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段【基础知识精讲】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果dc b a =， 那么这四条线段d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。
2.比例中项： 如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。
三、比例的性质：1. 基本性质: 如果d cb a =，那么bc ad =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d bc a =.3．反比性质: 如果d c b a =，那么c da b =.4．合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+.5．分比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a -=-.6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ .四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。
【例题巧解点拨】例1：（1）已知 2a c a b c db d b d--==，求和（2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式训练：1.若a b c 、、均为正数，a b cx b c a c a b===+++，则x 的值一定是（ ）A 、12B 、-1C 、12或-1D 、322.已知一次函数1-=kx y 中，比例系数k 满足c a bk a b b c c a===+++， 试求直线1-=kx y 与x 轴的交点坐标. 例3：若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。
九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版
比例线段知识要点本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.1.线段的比在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比.2.比例线段①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.②比例线段中的相关概念已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.如果m nn p，比例外项是；比例内项是；比例中项是。
3.比例的性质①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0)＝b2＝ac(bc≠0)②合比性质：＝＝③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0)则＝4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点.1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。
2.画出黄金分割图，并用表达式表示。
典型例题例1已知3∶x＝8∶y，求例2已知＝，求.例3若＝，求例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.练习一、填空题1.若4x=5y,则x∶y＝ .2.若＝＝，则∶ ＝ .3.已知＝，则的值为 .4.已知＝，那么＝ .5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .7.若＝，那么＝ .8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm.10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm；a、c的比例中项x＝ cm.二、选择题1.已知x＝＝＝，则x的值是( )A.-B.1C.-1D.2.P在线段AB上，AP2＝AB·PB，若PB＝4，那么AP为( )A. +1B. +2C.2 +2D.2 +13.把ab＝cd，写成比例式，不正确的是( )A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝4.如果四条线段a、b、c、d构成＝，m＞0，那么推出下面的结论中，正确的个数是( )① ＝；② ＝；③ ＝；④ ＝A.1B.2C.3D.45.已知线段a＝3，b=6,c＝4，那么下面说法正确的是( )A.线段a、b、c的第四比例项是a+bB.线段a、b、c的第四比例项是(2a+3b)C.线段a、b的比例中项是cD.线段2a是线段b和c的比例中项6.已知M是线段AB延长线上一点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM等于( )A.3∶2B.2∶3C.3∶5D.5∶27.一个三角形三边之比为2∶3∶4，则这个三角形三边上的高的比是( )A.2∶3∶4B.6∶4∶3C.4∶3∶2D.4∶9∶168.已知菱形ABCD，∠A＝60°，则＝( )A. B.1∶ C.1+ D.( +1)∶2三、解答题1.已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且＝，如果AB＝6cm，AC ＝3.6cm，求AD和BD的长.2.一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°，另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°，计算每一个三角形三边长度之比.3.已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.4.已知a∶b＝c∶d，求证：ab+cd为a2+c2及b2+d2的比例中项.5.已知：＝＝＝3(且有b+d+f＝0)，求证：＝＝3.四、把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段的长为 .五、在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼右地面的影长为10m，同时高为1m的测杆的影长为50cm，那么教学楼的高是多少米?六、已知A、B、C在同一直线上，若AB∶BC＝2∶3，P为直线外一点，求的比.2．成比例线段 （课作）1．若线段AB=0.1, CD=0.75, 则AB ∶CD= ；若AB=1m, CD=25cm ，则AB ∶CD= ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= .2．若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN= , MN= PQ, PQ= MN.3．如图，C 是线段AB 的中点，D 在BC 上，且AB=24cm ，BD=5cm, 则AC ∶CB= ；AC ∶AB= ；BC ∶BD= ；CD ∶AB= ；AD ∶CD= .4．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= .5． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为 ；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= .6．若a=2cm ，b=8cm, 则a, b, b-a 的第四比例项为 ；（a+b ）,（b-a ）的比例中项为 .7．若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若bb a +=38，则ba = .8．若5a=3b ，则b a= ，ba ba +-3= .9．已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是 ；若在此地图册上量得A,C两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 . 10．正方形ABCD 的对角线相交于点O ，有下列式子：AB ∶BC=AD ∶DC ； AB ∶AC=AD ∶DB ；OA ∶OB=OD ∶OC ；OA ∶AD=AB ∶AC. 其中正确的式子有 个. 11．下列语句正确的有（ ）A 、已知线段a ∶b=2∶3，则a ，b 的长度一定是2和3；B 、四条线段a ，b ，c ，d ，不管各线段的位置如何，只要满足ad=bc ，则a ，b ，c ，d 一定是成比例线段；C 、若a ，b ，c ，d 是实数，且ad=bc ，则一定推出a ∶b=c ∶d ；D 、所有的矩形都相似，正方形都相似 ★12．已知b a=43，c b=53，则a ∶b ∶c 等于（ ）A. 3∶4∶5B.4∶3∶5C.9∶12∶20D. 9∶15∶2013．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ② a=30mm, b=2cm, c=54cm, d=12mm③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm★ 14．已知有三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.2．成比例线段 （家作）1．在比例尺为1∶200000的长春市交通图上，人民广场与日月潭之间的距离约为10厘米，DCBA则它们之间的实际距离约为 千米. 2．P 是线段AB 上一点，且PBAP =52，则PBAB = ，AB= AP.3．等腰梯形的两腰之比是 ，直角三角形斜边上的中线与斜边之比是 ，线段的垂直平分线上的一点到线段两端点的距离之比是 . 4． 若d 是5，-8，-3的第四比例项，则d= ；若b 是5，15的比例中项，则b= . 若a=3cm ，a, b 的比例中项是9cm ，则b= cm.5．若b ∶4=a ∶3, 则a ∶b= ；若3∶x=2∶6, 则x= ； 6．若（x+y ）∶y=4∶3, 且x+y=8, 则x= , y= . 7．若4x=5y ，则yy x += .8．已知2x=3y=4z ，则x : y :z 为（ ）A. 2 :3: 4B. 4: 3 :2C. 7 :6 :5D. 6 :4 :3 9．已知三角形的三边长的比是4：5：6，则它们对应高的比是（ ） A. 4:5:6 B. 5:4:6 C. 6:5:4 D.15:12:10 10. 判断下列各组长度的线段是否成比例？（1）a=6cm,b=0.12m,c=10cm,d=5cm (2) a=7cm,b=4cm, c=d=27cm11. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,3a =4b =5c , 求a,b,c 的长.12. 已知ab a -=32，求ba b a +-34的值.13. 已知x ∶y=3∶5, y ∶z=2∶3, 求⑴x: y :z ⑵（x+y-z ）∶（2x-y+z ）的值.★ 14. 若x ∶（y+z ）= y ∶（x+z ）= z ∶（x+y ）= k, 求k 的值.24.2.1 成比例线段【知能点分类训练】知能点1 成比例线段1．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a，b，c，d四条线段成比例，则d=_______．2．若2a=3b，则（a-b）：（a+b）的值是________．3．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：4，则AP：AB=_____，AB：PB=_______．4．求下列各式中的x:（1）3：x=6：x；（2）5：2=（3-x）：x知能点2 比例的性质5．若4,5a b ab b-=则=______．6．如果a=15cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=________．7．若4,7a c a cb d b d+==+则=________．8．已知4________,3m m n mn n m n+==-,则=_________.9．已知a：b：c=2：3：5，则222________,a b c a b ca ab ac bc+++-=+-=________．10．已知（a-b）：b=2：3，则a：b=_______，a ba b-+=__________．11．已知实数x，y，z满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x：y：z=________．【综合应用提高】12．设实数x，y，z使│x-2y│+3y z++（3x-z）2=0成立，求x，y，z的值．13．已知b c a c a b ca b c a b+++=+=,求的值．14．已知P是线段AB上一点，且AP：PB=3：5，求AB：PB的值．15．设x=a b cb c a c a b=+++=，求x的值．【开放探索创新】16．已知：2，3，3这三个数，请你添加一个数，写出一个比例式．【中考真题实战】17．（哈尔滨）若85a b b +=，则a b=______．18．（云南）已知5,7a c a cb db d+==+则（b+d ≠0）的值等于（ ）．A ．35105...77714B C D19．（湖南）在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km ．答案: 1．1522．1：5 3：1：5 5：4 4．（1）x=4 （2）x=695.756．c=203cm 点拨：线段不能是负数．7．4748.731或49．5 -12 点拨：设一份为x ，则a=2x ，b=3x ，c=5x ，代入式中求解． 10．513411．1：（-5）：（-4）点拨：可把原式列为方程组，用x 为表示y 和z ，可得y=-5x ，z=•-4x ， ∴x ：y ：z=1：（-5）：（-4）． 12．解：由题意20,30,30.x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩∴x=0，y=0，z=0． 13．解：设当a+b+c ≠0时，b c a+=a c b+=a b c+=k ．则b ca +=k ⇒b+c=ak ，a cb +=k ⇒a+c=bk ，a b c+=k ⇒a+b=ck ，∴2（a+b+c ）=（a+b+c ）k ，∴k=2，∴a+b=2c，即ca b+=12．当a+b+c=0时，a+b=-c，∴ca b+=-1．14．AB：PB=8：515．解：当a+b+c≠0时，a=（b+c）x， b=（a+c）x，c=（a+b）x，∴（a+b+c）=2（a+b+c）x，∴x=12．当a+b+c=0时，x=-1．16．如332等．17．3518．B 19．216答案：一、1.5∶4 2. 3. 4. 5.12 6.5∶3 7. 8. 9.24 10.3 4二、1.DC 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.B 8.B三、1.12cm、12cm 2.1∶ ∶21∶1∶ 3.x∶y＝ 4.∵a∶b＝c∶d，∴ad ＝bc，此时(a2+c2)(b2+d2)＝a2b2+a2d2+c2b2+c2d2＝a2b2+a2b2c2+c2d2(ab+cd)2＝a2b2+2abcd+c2d2=a2b2+2b2c2+c2d2即：(ab+cd)2=(a2+c2)(b2+d2)5.提示：a=3b c=3d e＝3f，代入得证.四、(cm)五、20m六、2∶3用心爱心专心11。
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
14初中数学“成比例线段”知识点全解析
初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。
理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。
2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。
三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。
2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。
3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。
4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。
四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。
2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。
即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。
3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。
因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。
五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。
2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。
例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。
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第一节比例线段
要点精讲
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说
这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
(三) 平行线分线段成比例定理
1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。
2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。
首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或
基本图形(2): 若DE//BC，则或或或
基本图形(3): 若AC//BD，则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,,
之一成立，则DE//BC。
基本图形(3):若, , , , ,
之一成立，则AC//DB。
典型例题
【例1】已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。
【答案】解:∵a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵2a+3b-c=28
∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
【解析】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。
【例2】若, 求的值。
【答案】设
则x=3k, y=4k, z=5k
∴
【解析】在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。