高中数学--函数的奇偶性(1)导学案

课题：函数奇偶性（1）

【学习目标】

1、理解函数的奇偶性及其几何意义

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3、掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学习重点、难点】

重点：函数的奇偶性的概念。 难点：判断函数奇偶性的方法

【课前导学与自测】

1．函数奇偶性的概念

（1）偶函数：如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．

（2）奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．

2．奇、偶函数的图象

（1）偶函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是偶函数． （2）奇函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是奇函数．

3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.

【自测】

1、如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数一定是奇函数吗？

2、图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数吗？

3、你能试着自己总结出判断函数的奇偶性的步骤吗？

4、一个函数一定是奇函数，或者是偶函数吗？是否存在一个函数既是奇函数，又是偶函数？

5、若)(x f 具有奇偶性，函数的定义域会关于原点对称吗？

6、给定四个函数：3

(1)()f x x x =+；1(2)(0)y x x =>；（3）x

x x f 1)(-=；21(4)x y x +=；

（5）()1f x x =+.(6) f (x )＝1

x 2；其中哪些是奇函数 ；哪些是偶函数 7、函数x x x f -=3

)(的图像关于点__________对称．

我的疑惑

【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示

问题情境：美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习． 探究点一 偶函数的概念

问题1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？

问题2 关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 问题3 怎样说明函数y ＝x 2的图象关于y 轴对称？

问题4 如果函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？

问题5 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？ 例1 判断下列函数哪些是偶函数．

（1）f (x )＝x 2＋1；（2）f (x )＝x 2，x ∈[－1,3]；（3）f (x )＝0.（4）f (x )＝x 3－x 2

x －1

探究点二 奇函数的概念

问题1 观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1

x

的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

小结 （1）奇函数的定义：一般地，如果对于函数f (x )的定义域的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，

那么f (x )就叫做奇函数．（2）如果一个函数f (x )是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x )具有奇偶性． 问题2 类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？ 例2 判断下列函数的奇偶性．

（1）4

2

()23f x x x =+； (2)()(1)f x x x =+ （3）f (x )＝x ；

（4）f (x )＝1－x 2＋x 2－1. （5）f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2 (x <－1)，0 (|x |≤1)，

－x ＋2 (x >1).

小结 （1）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．

（2）用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否恒成立． 探究点三 函数奇偶性的应用

例3 如图，给出了偶函数y ＝f (x )的局部图象，试比较f (1)与f (3)的大小．

小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f (－3)>f (－1)，选用偶函数定义，得f (3)>f (1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．

跟踪训练3 如图，给出了奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－4)＝________.

【当堂检测】（加号*的可以选做）

1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2

x

2．已知函数y =2ax b

x c

++为奇函数，则（ ）.

A. 0a =

B. 0b =

C. 0c =

D. 0a ≠

3．偶函数y ＝f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝_______

4．若函数 3)1()2()(2

+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是 。 5．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 *6．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( )

A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数

B ．f (x )－|g (x )|是奇函数

C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数

D ．|f (x )|－g (x )是奇函数

7．设奇函数f （x ）的定义域为[－5,5]. 若当x ∈[0,5]时, f （x ）的图象如下图,则 不等式()0f x <的解是 .

【个人收获与问题】

知识： 方法：

【课堂小结】

1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数． 2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．

【课后反思】