第一章 概率论基础
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一、概率论的基本概念 ② 确定概率的频率方法:在相同条件下,进行了������ 次实验,在这������次实验中,事件������发生的次数称 为频数。比值������������ ������称为事件������发生的频率,记为 ������������ (������)。当������逐渐增大时,频率������������ (������)逐渐稳定于 某个常数,称这个常数为频率的稳定值。而频率 的稳定值就是概率。
一、概率论的基本概念 3. 随机实验、样本空间、样本点 ① 随机实验:具有以下特点的实验为随机实验,简 称为实验。
① 可在相同条件下重复进行;(重复性) ② 每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验 的所有可能结果;(多样性) ③ 一次实验之前不能确定哪个结果将会产生;(不确定 性)
一、概率论的基本概念
一、概率论的基本概念 ③ 事件间的运算
I. 交换律:������ ∪ ������ = ������ ∪ ������; ������ ∩ ������ = ������ ∩ ������ II. 结合律: ������ ∪ (������ ∪ ������) = (������ ∪ ������) ∪ ������ ; ������ ∩ (������ ∩ ������) = (������ ∩ ������) ∩ ������ III.分配律:������ ∪ (������ ∩ ������) = (������ ∪ ������) ∩ (������ ∪ ������); ������ ∩ (������ ∪ ������) = (������ ∩ ������) ∪ (������ ∩ ������) IV. 德摩根律:������ ∪ ������ = ������ ∩ ������; ������ ∩ ������ = ������ ∪ ������
一、概率论的基本概念 4. 随机事件及事件间的关系(事件的运算) ① 随机事件:样本空间������的子集为������ 的随机事件, 简称事件。
例3 例1的实验中,几个事件的例子。 ������2 中的事件������1 :“第一次出现的是������”,即 ������1 = ������������������, ������������������, ������������������, ������������������ ; ������3 中的事件������2 :“寿命小于1000小时”,即 ������2 : ������ 0 ≤ ������ ≤ 1000 。
一、概率论的基本概念 (4)贝叶斯公式 设������1 , ������2 , ⋯ ������������ 互不相容,且 ������ ������=1 ������������ = Ω ,如果 ������(������) > 0,������(������������ ) > 0,������ = 1,2, … … , ������,则
一、概率论的基本概念 (3)全概率公式 设������1 , ������2 , ⋯ ������������ 互不相容,且 ������ ������=1 ������������ = Ω,如果 ������(������������ ) > 0,������ = 1,2, ⋯ , ������,则对任一事件������有 ������(������) = ������ ������=1 ������ ������������ ������ ������ ������������ . 全概率公式提供了计算复杂事件概率的一条有效 途径。
数理统计
上海财经大学 统计与管理学院
Contents 第一章 概率论基础
1. 概率论的基本概念 2. 随机变量及其分布
3. 多元随机变量及其分布
4. 随机变量的数字特征
5. 大数定律和中心极限定理
一、概率论的基本概念 1. 概率论简介 (1) 概率论:是从数量侧面研究随机现象规律性的学 科。它的目的是构造所研究的随机现象的数学模 型,进而透过大量表面的偶然性去发现内部隐藏 着的规律。 (2) 概率论研究的起源开始于17世纪中叶,本来是由 保险事业的发展而产生的,但是来自赌博者的请 求,却是数学家们思考概率论的一些特殊问题的 源泉。早在1654年,赌徒梅雷提出了一些问题, 使得法国数学家帕斯卡和费马进行研究并交换信 件,在这些通信中,首次陈述了概率论的基本原 则。
一、概率论的基本概念 5. 概率定义、确定概率的方法、概率的性质 ① 定义:设������ 是随机实验,������是它的样本空间,对 于������ 的每一事件������赋予一个实数,记为������(������),称 为事件������的概率,如果集合������(∙)满足以下条件:
I. 非负性:对于每一个事件������,有������(������) ≥ 0; II. 规范性:对于必然事件������,有������ ������ = 1; III.可列可加性:设������1 , ������2 , ⋯是两两互不相容的事件,即 对于������������ ������������ = ∅, ������ ≠ ������, ������, ������ = 1,2, ⋯,有 ������ ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ = ������ ������1 + ������ ������2 + ⋯
一、概率论的基本概念 2. 确定性现象和随机现象 ① 确定性现象:在一定条件下必然发生。
① 向上抛一枚石子必然下落 ② 同性电荷必互相排斥 ③ 太阳总从东边升起
② 随机现象:在个别实验中结果呈现不确定性,在 大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象。
① 用同一门炮向同一目标射击,每次弹着点不尽相同 ② 在相同条件下抛硬币,可能出现正面,可能出现反面 ③ 相同条件下抛一枚骰子,可能出现1至6中的任一数值
一、概率论的基本概念
V. 事件������ − ������ = ������ ������ ∈ ������且������ ∉ ������ ,称为事件������与事件������ 的差事件。 VI. 若������ ∩ ������ = ∅ ,则称事件������与事件������是互不相容的,或 互斥的。 VII.若������ ∪ ������ = ������ ,且������ ∩ ������ = ∅ ,则称事件������与事件������互 为逆事件,又称对立事件。 ������的对立事件记为������。
例4 参见教材P6的【例1】。
一、概率论的基本概念 ③ 确定概率的古典方法:对于具有以下两个特点的 实验称为等可能概型,又称为古典概型:实验的 样本空间只包含有限个样本点;试验中每个样本 点发生的可能性相同。若事件 ������ 包含 ������ 个样本点, 则事件������的概率为:
������包含的样本点个数 ������ ������ ������ = = ������ ������中样本点的总数 例5 参见教材P10的【例1】。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������(������������ |������) =
������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������=1 ������ ������������ ������ ������ ������������
一、概率论的基本概念
(2)乘法公式 i) 二元 若������(������) > 0,则 ������(������������) = ������(������)������(������|������) ii) ������元 若������(������1 ������2 ⋯ ������������ ) > 0,则 ������ ������1 ������2 ⋯ ������������ = ������ ������1 ������ ������2 ������1 ������ ������3 ������1 ������2 ⋯ ������(������������ |������1 ������2 ⋯ ������������−1 ) .
一、概率论的基本概念 ② 事件间的关系
I. 事件������包含事件������,记为������ ⊂ ������。 II. 若������ ⊂ ������且������ ⊂ ������,称为事件������与事件������相等,记为 ������ = ������。 III.事件������ ∪ ������ = ������ ������ ∈ ������或������ ∈ ������ ,称为事件������与事件������ 的和事件。 IV. 事件������ ∩ ������ = ������ ������ ∈ ������且������ ∈ ������ ,称为事件������与事件������ 的积事件。
一、概率论的基本概念 5.条件概率 (1)条件概率 设������,������是两个事件,若������ ������ > 0,则称
������ ������ ������ =
������ ������������ ������ ������
为“在事件������发生下事件������发生的条件概率”,简 称条件概率。它满足概率的三条公理。
一、概率论的基本概念 ② 样本空间:将随机实验������ 的所有可能结果组成的 集合称为������ 的样本空间,记为������。 ③ 样本点:在样本空间的元素,即������ 的每个结果, 称为样本点。
例2 例1的实验中,样本空间分别为: ������1 : ������, ������ ; ������2 : ������������������, ������������������, ������������������, ������������������, ������������������, ������������������, ������������������, ������������������ ; ������3 : 0, 1, 2, 3, ⋯ ; ������4 : ������ ������ ≥ 0 。
例1 以下均为实验的例子。 ������1 : 抛一枚硬币,观察正面������、反面������出现的情况; ������2 : 将一枚硬币抛3次,观察正面������、反面������出现的情况; ������3 : 记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数; ������4 : 在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。
一、概率论的基本概念 ④ 概率的性质:
I. ������ ∅ = 0。 II. (有限可加性)若������1 , ������2 , ⋯ ������������ 是两两互不相容的事件, 则有: ������ ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ = ������ ������1 + ������ ������2 + ⋯ + ������ ������������ III.设������, ������是两个事件,若������ ⊂ ������,则有: ������ ������ − ������ = ������ ������ − ������ ������ ;������(������) ≥ ������(������) IV. (逆事件的概率)对于任一事件������,有: ������ ������ = 1 − ������(������) V. (加法公式)对于任意两事件������, ������,有 ������ ������ ∪ ������ = ������ ������ + ������ ������ − ������(������ ∩ ������);