高剪切均质机转子系统的临界转速分析
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PU GuangΟyi , FAN BenΟjun 3
( School of Mechanical Engineering , So ut hern Yangtze U niversity ,Wuxi 214122 ,China)
Abstract : The critical rotatio nal speed , i. e. , t he first nat ural f requency , o n t he high Οshear ho mogenizer’ rotato r system was st udied. Formulas to calculate t he critical rotatio nal speed were derived . The nat ural f requencies were also tested wit h F EM by sof t ware AN S YS. The result s o btained p rovide a basis for optimizing t he st ruct ural parameter s of rotator system of t his kind. Key words : highΟshear ho mogenizer ; rotator system ; nat ural f requency ; critical rotatio nal speed ; finite element met hod ; AN S YS
5
(3 G2 + 4 H F) b3 + 9 HGb4 + 36 H2 b5 ] (14) 5
显然 ,系统的动能由 3 部分组成 : AB 段轴的动能 、 B C 段轴的动能和均质头的动能. 则 AB 段轴的最大 动能为
∫ ∫ TABmax
=
1 2
a
V 2 dm
0
=
21gq1
a 0
(
d y) dt
d
y ( x , t) = Y ( x) sin ( p t + <) [4]
则轴 AB 段最大势能为
∫ ∫ U ABmax
=
1 2
a M2 d x = 0 EI
1 2
a EI ( M ) 2 d x = 0 EI
∫ ∫ 1
2
a 0
EI
(
d2 y d x2
)
2
d
x
=
1 2
a
¨
EI ( Y ( x) ) 2 d x
高剪切均质机是利用高速旋转转子的梳状齿 与定子上相应齿之间的剪切作用 ,将流体中的物料 粉碎并搅匀的设备. 该机能将物料粉碎至 2 μm 以 下 ,且生产效率极高 ,因而在食品 、医药 、石油化工 等行业有着广阔的应用前景.
1 均质头转子系统的工作原理及力学模型
1. 1 工作原理 均质头转子系统的核心部件是定 - 转子结构
( q2 b2 + Mc gb) x2 + q2 b + Mc g x 3 - q2 x 4 (7)
4 EI 2 EI
6 EI
24 EI
令
F = - ( q2 b2 + Mc gb)
(8)
4 EI 2 EI
G
=
q2 b + Mc g 6 EI
(9)
H
=-
q2 24 EI
则 B C 段挠度方程可简写为
图 1 均质头示意 Fig. 1 The diagram of a homogenizing apparatus
2 求挠度方程
设 AB 段轴的质量为 M a , BC 段轴的质量为 M b , 均质头的质量为 Mc ,而 q1 与 q2 在数值上分别 等于 AB 段和 B C 段单位长度轴的质量. 一般情况 下 ,在高剪切均质机结构中的转轴可视为等截面 , 故 q1 = q2 ,见图 3. 2. 1 求 AB 段的挠度方程
均质头的成本较高 ,目前国内外的高剪切均质
收稿日期 :2004 - 12 - 21 ; 修订日期 :2005 - 07 - 15. 作者简介 : 浦广益 (1972 - ) ,男 ,江苏无锡人 ,讲师 ,生化与食品机械专业硕士研究生. 3 通讯联系人 : 范本隽 (1947 - ) ,男 ,江苏苏州人 ,副教授 ,硕士生导师. 主要从事机械力学性能与结构参数优化等
如图 4 (a) 所示 ,由材料力学[3] 可知 AB 段的挠 度方程和 B 端面的转角为
f 1 ( x)
=-
q1 x ( a3 - 2 ax 2 + x3 ) ; 24 EI
θ1B
=
q1 a3 24 EI
式中 , E 为转轴的弹性模量 , I 为惯性矩. 图 3 中所示
的 B C 段 (包括均质头) 对 B 点的力矩为
f ( x) = θB X + Fx 2 + Gx 3 + H x 4
(10) (11)
图 5 BC 段受力图 Fig. 5 Math model for BC shaft
3 用 Rayleigh 法求一阶固有频率
对于可以忽略阻尼的保守系统 , 在整个振动过 程中 ,系统的机械能保持不变 , 即 T + U = 常量. 对于简谐振动 ,如取系统的动能为极大值 Tmax 时的 位置为零势能位置 (即 U0 = 0 的位置) ;则当动能为 零时 (振动质量达到最大位移时) , 势能必有极大值
+ 2 Mc gb) 24 EI
-
q1 a3 )
(2)
334
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 第 5 卷
B
=
( ( q1 a2
+ q2 b2 12 EI a
2 Mc gb)
(3)
C = - q1
(4)
24 EI
则 AB 段挠度方程可简写为
f ( x) = A x + B x 2 + Cx 4
0
¨
式中的 Y ( x) 以 AB 段 的的 静挠 度方 程代 入 , 即
¨
Y ( x) = ( A x + B x 3 + C4 ) ″= 6 B x + 12 Cx 2 .
故
∫ U ABmax =
1 2
a
EI (6B x + 12 Cx 2 ) 2 d x =
0
18 EI ( B2 a3 + 4 C2 a5 + B Ca4 )
高剪切均质机转子系统的临界转速分析
浦广益 , 范本隽wk.baidu.com3
(江南大学 机械工程学院 江苏 无锡 214122)
摘 要 : 利用 Rayleigh 法推导了高剪切均质机转子系统的临界转速 (一阶固有频率) 的解析解 ;并
应用有限元法验证了一阶固有频率 (临界转速) 和振型 ,所得结果为此类转子的结构参数优化设计
1. 2 力学模型 建立高剪切均质机的转子系统的力学模型 ,如
图 3 所示.
图 3 转子系统的数学模型 Fig. 3 Math model for rotator system
图 4 AB 段受力图 Fig. 4 Math model for AB shaft
令
A
=
( 2 a ( q2 b2
同理 ,可得 B C 段轴的最大动能为
T B Cma x
=
q2 2
p2 g
[θ2B3b3
+
θB
Fb4 2
+
( F2 + 2θB G) b5 + (θB H + FG) b6 +
5
3
第 3 期
浦广益等 :高剪切均质机转子系统的临界转速分析
335
( G2
+ 2 F H ) b7 7
+
GH b8 4
(12)
3
5
同理有
U BCmax = 2 EI [ F2 b + 3 FGb2 +
(3 G2
+ 4 H F) b3
+ 9 HGb4
+
36 H2 5
b5
]
(13)
则转子系统的最大势能为
U max = U AB max + U BCmax = 2 EI [3 B2 a3 + 36 C2 a5 + 9 B Ca4 + F2 b + 3 FGb2 +
f ( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) = ( 2 a( q2 b2 + 2 Mc gb) - q1 a3 ) x +
24 EI
( q1 b2
-
q2 b2 12 EI a
2 Mc gb)
x3
-
q1 x4 24 EI
(1)
图 2 定Ο转子结构 Fig. 2 Model of the homogenizer’ statorΟrotor
提供了依据.
关键词 : 高速均质机 ;转子系统 ;固有频率 ;临界转速 ;有限元法 ;AN S YS 软件
中图分类号 : TB 122
文献标识码 : A
Analysis of the Critical Rotational Speed on the HighΟShear Homogenizer Rotator System
第20056卷年第6
3期 月
Journal
of
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) Southern Yangtze University( Natural Science
Edition)
Vol. 5
J un.
No . 3 2006
文章编号 :1671 - 7147 (2006) 03 - 0332 - 05
x
=
∫ ∫ q1
2g
a
Y2 ( x) ·p2 d x
0
=
q1 p2 2g
a
Y2 ( x) d x
0
=
∫ q1 p2
2g
a
(Ax + Bx2
0
+ Cx 4 ) 2 d x
=
q1 p2 [ A 2 a3 2g 3
+
2 AB a5 5
+
A Ca6 3
+
B2 a7 7
+
B Ca8 4
+
C2 a9 9
]
(15)
Umax ,故有 Tmax = U max . 这就是所谓的用能量法求 固有频率.
Rayleigh 法是能量法的推广. 对一个单自由度 系统而言 ,简化时考虑到弹性元件的分布质量对振 动系统的影响 , 从而得到振动系统较准确的基频 (即系统最低的固有频率) 近似值.
现以转子系统的静变形进行计算 , 设系统的振 动方程为
(5)
B 端面转角
θB
= θ1B +θ2B
= q1 a3 24 EI
( q2 b2 / 2 + Mc gb) a (6) 3 EI
2. 2 求 BC 段挠度方程
如图 5 (a) 所示 , 在纯均布载荷 q2
=
Mb g 作用
b
下其挠度方程为
f 1 ( x)
=-
q2 x2 ( x2 24 EI
4 bx + 6 b2 )
研究. Email :Benjunfan @hot mail. com
第 3 期
浦广益等 :高剪切均质机转子系统的临界转速分析
333
机转子转速大都均在 3 000～4 500 r/ min 之间 ,在 进行高剪切均质机设计时必须考虑均质头转子系 统的振动特性. 文中将均质头与转轴即转子系统视 为一个整体进行分析 ,研究其临界转速. 所谓回转 体的临界转速 ,是指当回转体在这些转速或与其接 近的转速运转时 ,本身将出现很大的变形并作弓状 回旋 ,引起支座及整个机械的剧烈振动 ,甚至造成 轴承和回转体的破坏. 而当转速不在这些特定范围 转速时 ,则运行趋于平稳. 任何机械若强行在临界 转速下工作 ,将危害操作人员的人身安全 ,甚至造 成事故. 对于高剪切均质机的转子系统而言 ,当不 考虑回转效应和工作环境等因素时 ,转子系统的临 界转速在数值上与其横向振动频率相同 ,即临界转 速在数值等于其固有一阶频率[2] .
如图 5 ( b) 所示 ,在作用力 Mc g 的作用下 , B C 段挠度
方程为
f 2 ( x)
=-
Mcgx2 (3b 6 EI
x)
求 B C 段的总挠度 ,可将 B C 部分看作是整体转动了
一个θB 的悬臂梁 ,故其挠度为
f ( x) = θB X + f 1 ( x) + f 2 ( x) = θB x -
的均质头转子系统 ,工作原理见图 1 ,图 2. 由于转子 高速旋转所产生的高切线速度在转子与定子间的 狭窄间隙中形成极大的速度梯度 ,以及高频机械效 应带来的强劲动能 ,使物料在定 - 转子的间隙中受 到强烈的液力剪切 、离心挤压 、液层磨擦 、撞击撕裂 和湍流等综合作用 ,使不相溶的固相 、液相 、气相在 相应成熟工艺和适量添加剂的共同作用下 ,瞬间均 匀精细地分散均质 ,经过高频循环往复 ,最终得到 稳定的高品质产品[1 ] .
∫ Mc g b + q2
b
xdx
0
=
Mc gb
+
q2 b2 2
如图 4 ( b) 所示 , 在纯力矩作用下 AB 段的挠度方程
和 B 端面转角为
θ2B
=-
(
q2 b2 2
+ Mc 3 EI
g b)
a
;
f 2 ( x)
=
( q2 b2 2
+ Mc gb) x ( a2
-
6 EI a
x2 )
由叠加原理可知 ,轴 AB 段的挠度方程为
( School of Mechanical Engineering , So ut hern Yangtze U niversity ,Wuxi 214122 ,China)
Abstract : The critical rotatio nal speed , i. e. , t he first nat ural f requency , o n t he high Οshear ho mogenizer’ rotato r system was st udied. Formulas to calculate t he critical rotatio nal speed were derived . The nat ural f requencies were also tested wit h F EM by sof t ware AN S YS. The result s o btained p rovide a basis for optimizing t he st ruct ural parameter s of rotator system of t his kind. Key words : highΟshear ho mogenizer ; rotator system ; nat ural f requency ; critical rotatio nal speed ; finite element met hod ; AN S YS
5
(3 G2 + 4 H F) b3 + 9 HGb4 + 36 H2 b5 ] (14) 5
显然 ,系统的动能由 3 部分组成 : AB 段轴的动能 、 B C 段轴的动能和均质头的动能. 则 AB 段轴的最大 动能为
∫ ∫ TABmax
=
1 2
a
V 2 dm
0
=
21gq1
a 0
(
d y) dt
d
y ( x , t) = Y ( x) sin ( p t + <) [4]
则轴 AB 段最大势能为
∫ ∫ U ABmax
=
1 2
a M2 d x = 0 EI
1 2
a EI ( M ) 2 d x = 0 EI
∫ ∫ 1
2
a 0
EI
(
d2 y d x2
)
2
d
x
=
1 2
a
¨
EI ( Y ( x) ) 2 d x
高剪切均质机是利用高速旋转转子的梳状齿 与定子上相应齿之间的剪切作用 ,将流体中的物料 粉碎并搅匀的设备. 该机能将物料粉碎至 2 μm 以 下 ,且生产效率极高 ,因而在食品 、医药 、石油化工 等行业有着广阔的应用前景.
1 均质头转子系统的工作原理及力学模型
1. 1 工作原理 均质头转子系统的核心部件是定 - 转子结构
( q2 b2 + Mc gb) x2 + q2 b + Mc g x 3 - q2 x 4 (7)
4 EI 2 EI
6 EI
24 EI
令
F = - ( q2 b2 + Mc gb)
(8)
4 EI 2 EI
G
=
q2 b + Mc g 6 EI
(9)
H
=-
q2 24 EI
则 B C 段挠度方程可简写为
图 1 均质头示意 Fig. 1 The diagram of a homogenizing apparatus
2 求挠度方程
设 AB 段轴的质量为 M a , BC 段轴的质量为 M b , 均质头的质量为 Mc ,而 q1 与 q2 在数值上分别 等于 AB 段和 B C 段单位长度轴的质量. 一般情况 下 ,在高剪切均质机结构中的转轴可视为等截面 , 故 q1 = q2 ,见图 3. 2. 1 求 AB 段的挠度方程
均质头的成本较高 ,目前国内外的高剪切均质
收稿日期 :2004 - 12 - 21 ; 修订日期 :2005 - 07 - 15. 作者简介 : 浦广益 (1972 - ) ,男 ,江苏无锡人 ,讲师 ,生化与食品机械专业硕士研究生. 3 通讯联系人 : 范本隽 (1947 - ) ,男 ,江苏苏州人 ,副教授 ,硕士生导师. 主要从事机械力学性能与结构参数优化等
如图 4 (a) 所示 ,由材料力学[3] 可知 AB 段的挠 度方程和 B 端面的转角为
f 1 ( x)
=-
q1 x ( a3 - 2 ax 2 + x3 ) ; 24 EI
θ1B
=
q1 a3 24 EI
式中 , E 为转轴的弹性模量 , I 为惯性矩. 图 3 中所示
的 B C 段 (包括均质头) 对 B 点的力矩为
f ( x) = θB X + Fx 2 + Gx 3 + H x 4
(10) (11)
图 5 BC 段受力图 Fig. 5 Math model for BC shaft
3 用 Rayleigh 法求一阶固有频率
对于可以忽略阻尼的保守系统 , 在整个振动过 程中 ,系统的机械能保持不变 , 即 T + U = 常量. 对于简谐振动 ,如取系统的动能为极大值 Tmax 时的 位置为零势能位置 (即 U0 = 0 的位置) ;则当动能为 零时 (振动质量达到最大位移时) , 势能必有极大值
+ 2 Mc gb) 24 EI
-
q1 a3 )
(2)
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江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 第 5 卷
B
=
( ( q1 a2
+ q2 b2 12 EI a
2 Mc gb)
(3)
C = - q1
(4)
24 EI
则 AB 段挠度方程可简写为
f ( x) = A x + B x 2 + Cx 4
0
¨
式中的 Y ( x) 以 AB 段 的的 静挠 度方 程代 入 , 即
¨
Y ( x) = ( A x + B x 3 + C4 ) ″= 6 B x + 12 Cx 2 .
故
∫ U ABmax =
1 2
a
EI (6B x + 12 Cx 2 ) 2 d x =
0
18 EI ( B2 a3 + 4 C2 a5 + B Ca4 )
高剪切均质机转子系统的临界转速分析
浦广益 , 范本隽wk.baidu.com3
(江南大学 机械工程学院 江苏 无锡 214122)
摘 要 : 利用 Rayleigh 法推导了高剪切均质机转子系统的临界转速 (一阶固有频率) 的解析解 ;并
应用有限元法验证了一阶固有频率 (临界转速) 和振型 ,所得结果为此类转子的结构参数优化设计
1. 2 力学模型 建立高剪切均质机的转子系统的力学模型 ,如
图 3 所示.
图 3 转子系统的数学模型 Fig. 3 Math model for rotator system
图 4 AB 段受力图 Fig. 4 Math model for AB shaft
令
A
=
( 2 a ( q2 b2
同理 ,可得 B C 段轴的最大动能为
T B Cma x
=
q2 2
p2 g
[θ2B3b3
+
θB
Fb4 2
+
( F2 + 2θB G) b5 + (θB H + FG) b6 +
5
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335
( G2
+ 2 F H ) b7 7
+
GH b8 4
(12)
3
5
同理有
U BCmax = 2 EI [ F2 b + 3 FGb2 +
(3 G2
+ 4 H F) b3
+ 9 HGb4
+
36 H2 5
b5
]
(13)
则转子系统的最大势能为
U max = U AB max + U BCmax = 2 EI [3 B2 a3 + 36 C2 a5 + 9 B Ca4 + F2 b + 3 FGb2 +
f ( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) = ( 2 a( q2 b2 + 2 Mc gb) - q1 a3 ) x +
24 EI
( q1 b2
-
q2 b2 12 EI a
2 Mc gb)
x3
-
q1 x4 24 EI
(1)
图 2 定Ο转子结构 Fig. 2 Model of the homogenizer’ statorΟrotor
提供了依据.
关键词 : 高速均质机 ;转子系统 ;固有频率 ;临界转速 ;有限元法 ;AN S YS 软件
中图分类号 : TB 122
文献标识码 : A
Analysis of the Critical Rotational Speed on the HighΟShear Homogenizer Rotator System
第20056卷年第6
3期 月
Journal
of
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) Southern Yangtze University( Natural Science
Edition)
Vol. 5
J un.
No . 3 2006
文章编号 :1671 - 7147 (2006) 03 - 0332 - 05
x
=
∫ ∫ q1
2g
a
Y2 ( x) ·p2 d x
0
=
q1 p2 2g
a
Y2 ( x) d x
0
=
∫ q1 p2
2g
a
(Ax + Bx2
0
+ Cx 4 ) 2 d x
=
q1 p2 [ A 2 a3 2g 3
+
2 AB a5 5
+
A Ca6 3
+
B2 a7 7
+
B Ca8 4
+
C2 a9 9
]
(15)
Umax ,故有 Tmax = U max . 这就是所谓的用能量法求 固有频率.
Rayleigh 法是能量法的推广. 对一个单自由度 系统而言 ,简化时考虑到弹性元件的分布质量对振 动系统的影响 , 从而得到振动系统较准确的基频 (即系统最低的固有频率) 近似值.
现以转子系统的静变形进行计算 , 设系统的振 动方程为
(5)
B 端面转角
θB
= θ1B +θ2B
= q1 a3 24 EI
( q2 b2 / 2 + Mc gb) a (6) 3 EI
2. 2 求 BC 段挠度方程
如图 5 (a) 所示 , 在纯均布载荷 q2
=
Mb g 作用
b
下其挠度方程为
f 1 ( x)
=-
q2 x2 ( x2 24 EI
4 bx + 6 b2 )
研究. Email :Benjunfan @hot mail. com
第 3 期
浦广益等 :高剪切均质机转子系统的临界转速分析
333
机转子转速大都均在 3 000～4 500 r/ min 之间 ,在 进行高剪切均质机设计时必须考虑均质头转子系 统的振动特性. 文中将均质头与转轴即转子系统视 为一个整体进行分析 ,研究其临界转速. 所谓回转 体的临界转速 ,是指当回转体在这些转速或与其接 近的转速运转时 ,本身将出现很大的变形并作弓状 回旋 ,引起支座及整个机械的剧烈振动 ,甚至造成 轴承和回转体的破坏. 而当转速不在这些特定范围 转速时 ,则运行趋于平稳. 任何机械若强行在临界 转速下工作 ,将危害操作人员的人身安全 ,甚至造 成事故. 对于高剪切均质机的转子系统而言 ,当不 考虑回转效应和工作环境等因素时 ,转子系统的临 界转速在数值上与其横向振动频率相同 ,即临界转 速在数值等于其固有一阶频率[2] .
如图 5 ( b) 所示 ,在作用力 Mc g 的作用下 , B C 段挠度
方程为
f 2 ( x)
=-
Mcgx2 (3b 6 EI
x)
求 B C 段的总挠度 ,可将 B C 部分看作是整体转动了
一个θB 的悬臂梁 ,故其挠度为
f ( x) = θB X + f 1 ( x) + f 2 ( x) = θB x -
的均质头转子系统 ,工作原理见图 1 ,图 2. 由于转子 高速旋转所产生的高切线速度在转子与定子间的 狭窄间隙中形成极大的速度梯度 ,以及高频机械效 应带来的强劲动能 ,使物料在定 - 转子的间隙中受 到强烈的液力剪切 、离心挤压 、液层磨擦 、撞击撕裂 和湍流等综合作用 ,使不相溶的固相 、液相 、气相在 相应成熟工艺和适量添加剂的共同作用下 ,瞬间均 匀精细地分散均质 ,经过高频循环往复 ,最终得到 稳定的高品质产品[1 ] .
∫ Mc g b + q2
b
xdx
0
=
Mc gb
+
q2 b2 2
如图 4 ( b) 所示 , 在纯力矩作用下 AB 段的挠度方程
和 B 端面转角为
θ2B
=-
(
q2 b2 2
+ Mc 3 EI
g b)
a
;
f 2 ( x)
=
( q2 b2 2
+ Mc gb) x ( a2
-
6 EI a
x2 )
由叠加原理可知 ,轴 AB 段的挠度方程为