第一次数学危机——无理数

第一次数学危机！ ——无理数
历史上的三大数学危机：
第一，希伯斯发现了无理数，推翻了毕达哥拉斯 的著名理论。 第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把 整个微积分理论推翻。 第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合 所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小 明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎 还是说实话。
立方根与开立方 一般的，如果一个数x的立方等于a，即 x3 = a，那么这个数x就叫做a的立方根； 求a的立方根的运算叫做开立方。
正数的立方根是正数； 0的立方根是； 负数的立方根是负数。
实数：
早在公元前，古希腊数学家毕达哥 拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的 一切现象都能归结为整数或整数之比”， 也就是一切现象都可用有理数去描述.
此观点被当时的大部分人所接受并承认， 甚至被毕达哥拉斯学派的人奉之为堪比宗 教般的信仰不可动摇，直到有一天，毕达 哥拉斯的一个学生——希伯斯，发现了无 理数......
1、面积为2的长方形，ຫໍສະໝຸດ Baidu长到底是 说少呢？ 2、即a2 = 2时，a是多少？
1、三个正方形的边长之间有怎样的大 小关系？
1 ‹ a ‹ 2
2、边长a的整数部分是几？是分为是 几？百分位呢？千分位呢？......
经过探索整理如下表：
1、还可以继续算下去么？ 2、a可能是有限小数么？
总结：最终我们发现，a=1.41421356......我们还 可以无限的继续算下去，因此a是无限小数，并且 我们找不到它的循环节，所以a是一个无限不循环 小数。
a=1.41421356......
b=2.2360679......
而这些不能用分数或者整数表示的无限 不循环小数称之为无理数
练习1： 以下下哪些是有理数，哪些是无理数？
559 - 180 、0.77777777.....、3.1415926、
0.1010010001....、
3
练习2：判断 （1）所有无限小数都是无理数；（ （2）所有无理数都是无限小数；（ （3）有理数都是有限小数； （
估算面积为5的正方形边长b的值， （结果精确到千分位）；
结论：b=2.2360679......我们同样可以 无限的计算下去，并且找不到循环节， 因此b也是一个无限不循环小数。
1 0.3333333333......= 3
2 0.4= 5
3 1.5= 2
8.0=8
以上这些有限小数、无限循环小数都可以 用整数或者分数表示，我们称之为有理数
× √ ×
） ） ）
（4）不是有限小数的不是有理数；（ × ）
算术平方根、平方根、开平方
一个正方形的面积为9，那么它的边长是多少？
25 一个正方形的面积为 36
，那么它的边长是多少？
一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a， 那么这个正数x就叫做a的算术平方根； 一般的，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么 这个数x就叫做a的平方根； 求a的平方根的运算叫做开平方。