电路-第18章均匀传输线讲解

18.3 均匀传输线方程的正弦稳态解
均匀传输线工作在正弦稳态时，沿线的电压、 电流是同一频率的正弦时间函数，因此，可以用 相量法分析沿线的电压和电流。
1. 均匀传输线方程的正弦稳态解
u i x L0 t R0i

i x

C0
u t
G0u

dU dx
j
L0

x
端
Δx
③ 每一个线元可以看成是集总参数的电路，因而 可以将基尔霍夫定律应用到这个电路的回路和 结点。
2. 均匀传输线的方程
+
u ( x,t )
-
L0Δx R0Δx
i( x,t )
C0Δx G0Δx
传输线电路模型
+ i(x Δx,t) u(x Δx,t)
-
KVL方程
L0Δx
i(x, t
求 f=50Hz，距终端900km处的电压和电流。
解
UI((xx))UZUC22cshhxx

Z C I2s hx I2chx
ZC
Z 0 398 5.5 (Ω) Y0
Z0Y0 1.073 10384.5 1/km
x 9001.07310384.5 965.710384.5
单位长度复阻抗
单位长度复导纳

dU dx

Z 0 I
两边求导
d2U dx2

Z0Y0U

2 U

dI dx

Y0U
传播常数

d 2 I dx2

Z Y0 0I


2
I
Z0Y0 j ( jL0 R0 )( jC0 G0 )
i
u
x
C0
t
G0u
① 均匀传输线方程也称为电报方程，反映沿 线电压电流的变化。
② 均匀传输线沿线有感应电势存在，导致两 导体间的电压随距离 x 而变化；沿线有位 移电流存在，导致导线中的传导电流随距 离 x 而变化 ；
③ 均匀传输线方程适用于任意截面的由理想 导体组成的二线传输线。
0.5484e j0.96125 0.45580e j0.96125
0.96125 (弧度） 0.96125 *360 / 2 55.1035（度）
shx' 0.5484 55.1035 0.4558 55.1035
(0.5484cos55.1035 0.4558cos55.1035 ) j(0.5484sin 55.1035 0.4558sin 55.1035 )
ix,t i i

2
U ZC
eax cos
t

x
z

2
U ZC
eax cos
t


x
z
考察u+和i+
u x,t 2 U eax cos t x
i
2
特点
U ZC
eax cos

通解 U (x) A1e x A2e x

I (x) B1e x B2e x
2. 积分常数之间的关系

dU dx

Z 0 I
I 1 Z0
dU dx


Z0
e ( A1 x
e A2 x)
令： Z 0Y 0 Y 0 1
Z0 Z0
注意 本章讨论的是双导体系统传输线。
2. 传输线的电路分析方法
① 集总电路的分析方法 当传输线的长度 l<< ，称为短线，可以忽略
电磁波沿线传播所需的时间，即不计滞后效应，可 用集中参数的电路来描述。
+ u(t)
-
短线
+
u(t) G
-

l
集总参数电路中
电场
C
LR
磁场
L
i(t)
热
R
C
导线——只流通电流
均匀传输线的特点
① 电容、电感、电阻、电导连续且均匀地分布在
整个传输线上；可以用单位长度的电容C0、电
感L0 、电阻R0 、电导G0来描述传输线的电气性
质； R0 G0 L0 C0
传输线原参数
② 整个传输线可以看成是由许许多多微小的线元 x 级联而成；
始
+ Li 0Δx R0Δx
终
端
G0Δx
u(t) - Ci 0Δx
Z0 ZC
得：B1 B2


Z
0
A1


Z 0 A2
1
ZC

A1
1
ZC
A2
ZC
Z0 Y0
特性阻抗
注意 A1、A2、B1、B2 由边界条件确定。
3. 给定边界条件下传输线方程的解
选取传输线始端为坐标原点，x 坐标自传输线
的始端指向终端。


① 已知始端(x=0)的电压 U 1 和电流 I1 的解
t
)

R0Δxi(
x,
t
)

u(x

Δx,t)

u(
x,t
)
Δx 0
u x

L0
i t

R0i

0

u x

R0i

L0
i t
L0Δx R0Δx
+
u ( x,t )
-
i( x,t )
C0Δx G0Δx
+ i(x Δx,t)
u(x Δx,t)
-
KCL方程
C0Δx
u(
x
t

U (x) A1e x A2e x
I1

I (x)
A1
e x
A2 e x
ZC
ZC
+ -
U1
U (x 0) U1 , I(x 0) I1 0
I(x)
+ U (x)-
x

A1
A1

A2 A2

U1 Z C I1
解得：
A1


1
2 1
2
(U1 (U1

Z C I1 ) Z C I1 )

U U


ZC

U I


U I

ZC
z
瞬时式 ux,t u u
2 U eax cos t x
2 U eax cos t x
令x l x，x为传输线上一点到终点的距离。
I(x)
I2
+
+
U-(x)
U- 2
以终端 为零点
l
x
0
U
(x)

1 2
(U 2

e ZCI2 )
x

1 2
(U 2

e ZCI2 )
x
I(x)

1 (U2 2 ZC

I2 )e
x
Δx,t
)

G0Δxu
(
x

Δx,t
)

i(
x

Δx,t
)

i(
x,
t
)

0
Δx 0
i x

C0
u t

G0u

0

u x

L0
i t
R0i

i t

G0u
C0
u t

i x
C0
u t
G0u
均匀传输线方程
注意

u x

L0
i t
R0i

1 2
(U 2

ZCI2 )e
l
x处的电压电流为：
e e U
(x)

1 2
(U 2

ZCI2 )

(lx)

1 2
(U 2

ZCI2 )
(l x)
e e
I(x)

1 (U2 2 ZC

I2 )
(lx)

1 (U2 2 ZC

I2 )
(l x)
18.1 分布参数电路
1. 传输线的定义和分类
① 定义 用以引导电磁波，最大效率的将电磁能或电
磁信号从一点定向地传输到另一点的电磁器件称 为传输线。 ② 分类
a) 传递横电磁波（TEM波）的平行双线 、同 轴电缆 、平行板等双导体系统传输线。工 作频率为米波段（受限于辐射损耗）。
b) 传递横电波（TE波）或横磁波（TM波）的单 导体系统，如金属波导和介质波导等。工作频 率为厘米波段。
第18章 均匀传输线
18.1 分布参数电路 18.2 均匀传输线及其方程 18.3 均匀传输线方程的正弦稳态解 18.4 均匀传输线的原参数和副参数 18.5 无损耗传输线 18.6 无损耗线方程的通解 18.7 无损耗线的波过程
重点：
1. 分布参数电路的概念 2.均匀传输线的方程及其正弦稳态解 3.无损耗传输线的波过程
i

548
2 sin(314t 63.2 )A
4. 均匀传输线上的行波
UI((xx))ZAAC11eexx

A2e x A2 e ZC
U e x x Ie x
U e Ie
x x



A1 A2
U U

1 (U2 2 ZC

e I2 )
x
UI((xx))UZUC22cshhxx

Z C I2s hxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ I2chx
例1 已知一均匀传输线 Z0=0.42779/km ,
Y0=2.710-690s/km. U2 220kV , I2 455A
f 50
f =1000 MHz v 3108 0.3m
f 109
注意
当传输线的长度 l ，严格地讲，这是一个电 磁场的计算问题。在一定的条件下可作为电路问题 来考虑。求解这类问题需要解偏微分方程。
18.2 均匀传输线及其方程
1. 均匀传输线
均匀传输线沿线的电介质性质、导体 截面、导体间的几何距离处处相同。
② 分布电路的分析方法 当传输线的长度 l ，称为长线，电磁波的滞
后效应不可忽视，沿线传播的电磁波不仅是时间的
函数，而且是空间坐标的函数，必须用分布参数电
路来描述。
+ u(t)
- G0Δx
长线
L0Δx R0Δx
i(x,t) C0Δx u(x,t)
+
l
例 f =50 Hz
v 3108 6000km
Z
C I1shx I1chx
②
已知终端(x=l)的电压

U
2和电流

I2
的解
e e e e UI22Z1AC1
l
( A1
A2 l
l
A2
l)
I(x)
I2
+
+
U (x)
-
U- 2
x
l
解得：
A1

1 2
(U 2

Z C I2
)e
l
A2
x
可写为
U
( x)

1 2
U1
e(
x

e
x)

1 2
e ZCI1(
x

e
x)
I(x)

1 2
U1 ZC
e(
x

e
x)

1 2
e I1(
x

e
x)
双曲函数：
chx

1 2
(e
x

e
x)
shx

1 2
(e
x

e
x)
UI((xx))UUZ1cC1hshxx

1 2
(U1

Z C I1 )
A2

1 2
(U1

ZC I1 )
x处的电压电流为：
U
(x)

1 2
(U1

Z C I1 )
e
x

1 2
(U1

e ZCI1)
x
I(x)

1 (U1 2 ZC

e I1)
x

1 (U1 2 ZC

I1 ) e
减常数。
③ 随距离x的增加，电压和电流的相位不断滞后；

经过单位距离相位滞后的量值，称相位
常数。
④ 电压和电流沿线呈波动状态，称电压波和电流波； t=t1 t=t2 t=t3 x
shx'

1 2
(e
x

e
x)

0.82486.4
chx

1 2
(e
x

e
x)

0.5817.4
x 9001.07310384.5 965.710384.5
shx' sh(0.9657 cos84.5 j0.9657sin 84.5 ) sh(0.092558 0.96125j) 1 (e e 0.092558 j0.96125 e e ) 0.092558 j0.96125 2
t


x
z
① 传输线上电压和电流既是时间t的函数，又是空间 位置x的函数，任一点的电压和电流随时间作正 弦变化。
t
u x,t 2 U eax cos t x
② 某一瞬间 t，电压和电流沿线分布为衰减的正弦
函数。
x

经过单位距离幅度衰减的量值，称衰
0.052976 0.82363j 0.8253386.32
U (x) U2chx ZCI2shx 22247.50 V
I(
x)

U 2 ZC
shx

I2chx

54863.2A
u 222 2 sin(314t 47.5 )V

R0 I

dI dx

jC0


G0 U
方程的相量形式

dU dx
j
L0

R0


I

dI dx

jC0


G0 U
令：Z0 R0 jL0
Y0 G0 jC0
注意
1 Z0 Y0

dU dx
Z0I

dI dx

Y0U