平面向量专题(优秀经典专题梳理练习及答案详解)

n＝－1.
7、设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
7、解析：(1)因为 a 与 b－2c 垂直，所以 a·(b－2c)＝0，即 4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝0,4sin (α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
643 2
5、解析：由 a·(b－a)＝a·b－|a|2＝2＝6cos θ－1，
∴cos θ＝1， 2
∴θ＝π. 答案：C 3
→
→
→
→
→
6、已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN
＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
②若
Ax1
,
y1
,
Bx2
,
y
2
，则
uuur AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若 ar =(x,y)，则 ar =( x, y)；
④若
ar
x1,
y1
,
r b
x2 ,
y2
，则
ar
//
r b
x1 y2
x2
y1
0
。
3、平面向量的相关计算
rr ①向量的模与平方的关系： a a
ar 2
|
ar
|2
。
②乘法公式成立
6、解析：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴ －6m＋n＝5，
解得 m＝－1，
－3m＋8n＝－5，
平面向量专题（二）练习1
一、知识梳理：
1、相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为
a
b
。大小相等，方
向相同
( x1 ,
y1 )
(x2 ,
y2 )
x1
y1
x2 y2
。
2、平面向量的坐标运算：
①若
ar
x1,
y1
,
r b
x2 ,
y2
，则
ar
r b
x1
x2 ,
y1
y2
；
r
a
r b
r a
r b
r a
2
r b2
r a
2
r b
2
；
ar
r b
2
ar 2
2ar
r b
r b
2
ar
2
2ar
r b
r b
2
；
③向量的夹角：cos
= cos
ar ,
r b
ar
•
r b
rr
=
a•b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
④两个向量的数量积的坐标运算
r
性质。 ⑥平面内两点间的距离公式
设 a (x, y) ，则| a |2 x2 y2 或| a | x2 y 2
二、练习：
→
→
→
→
1、已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形 ABCD 为平行四边形，则( )
A．a－b＋c－d＝0
B．a－b＋c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a＋b＋c＋d＝0
因此，tan(α＋β)＝2. (2)由 b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b＋c|＝ sin β＋cos β 2＋ 4cos β－4sin β 2 ＝ 17－15sin 2β ≤4 2. 又当β＝kπ－π(k∈Z )时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
4 (3)证明：由 tan αtan β＝16 得 16cos αcos β＝sin αsin β，所以 a∥b.
→→ →→
→→→ →
→→
1、解析：依题意得，AB＝DC，故AB＋CD＝0，即OB－OA＋OD－OC＝0，即有OA－OB
→→ ＋OC－OD＝0，则 a－b＋c－d＝0，故选 A.
答案：A
2、设 a，b 是两个不共线的非零向量，若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，则实数 k＝________.
2、解析：因为 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，所以存在实数λ，使 8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8 －λk)a＋(k－2λ)b＝0.又 a，b 是两个不共线的非零向量，故 8－λk＝0， 解得 k＝±4.
k－2λ＝0， 答案：±4
3、已知向量 a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3、解析：依题意，当 m＝－2 时，a＝(4,4)，b＝(1,1)，所以 a＝4b，a∥b，即由 m＝－
2 可以推出 a∥b；当 a∥b 时，m2＝4，得 m＝±2，所以不能推得 m＝－2，即“m＝－2”是
r
rr
已知两个向量 a (x1, y1),b (x2, y2 ) ，则 a ·b = x1x2 y1 y2 。
rr
rr
rr
⑤垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b 。
两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ b a ·b ＝O x1 x2 y1 y2 0 ，平面向量数量积的
“a∥b”的充分而不必要条件．
答案：A
4、若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则 a·b 的值为( )
A．－1
B.1
C．－1
D．1
2
2
4、解析：依题意得(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以 a·b＝－1，选 A. 2
答案：A
5、已知 a，b 满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则 a 与 b 的夹角为( ) A.π B.π C.π D.π