讲函数的连续性与导数微分的概念
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第二讲：函数的极限与洛必达
法则
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x →∞= B ． sin lim
sin x x x
x x
→∞-+不存在
C ． 1lim sin
1x x x →∞
= D ． limarctan 2
x x π
→∞=
解：011sin lim sin lim x t t x t
x x t
→∞→=Q ∴选C
注：
sin lim
0;
sin 110lim 1sin 101lim arctan ,lim arctan 22x x x x x
A x
x x B x x
D x x ππ
→∞→∞→-∞→+∞ =-
- ==++
=-=+
2． 下列极限正确的是（ ）
A ． 1
lim 0x x e -→= B ． 10
lim 0x
x e +
→= C ． sec 0
lim(1cos )
x
x x e →+=
D ． 1lim(1)x
x x e →∞
+=
解：10
1
lim 0x
x e e e -
-∞
∞
→==
=Q ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞
3． 若()0
lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则
下列正确的是 （ ）
A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣
⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣
⎦ C ． ()()
1
lim
0x x f x g x →=+
D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠
解：()()0
lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞
∞Q
∴选D
4．若()0
2lim
2x f x x
→=，则()0lim
3x x
f x →= （ ） A ．3 B ．
13 C ．2 D ．1
2
解：()()
002
323lim
lim 32x t t
x x t
f x f t →→= ()021211lim 23323
t f t t
→=
=⋅= ∴选B
5．设()1
sin (0)0(0)1
sin (0)
x x x f x x x a x x ⎧<⎪⎪
==⎨⎪⎪+>⎩
且()0
lim x f x →存在，则a = （ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 解：0
sin lim 1,x x
x
→=
=Q
01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C
6．当0x +
→
时，()1f x =是比x 高阶无穷小，则（ ）
A ．1a >
B ．0a >
C ．a 为任意实数
D ．1a <
11~
2
a
x (0)x +→
又因为()1f x =是比x 高阶无穷小，所以
12
a
x 是比x 高阶无穷小，于是 100112lim lim 02a a x x x
x x ++
-→→==，显然要求 10a ->，即1a >，选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
7．lim 1x
x x x →∞⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
解：原式
lim 1111lim 11x x
x
x
x e e x →∞-∞
-+→∞
⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
8．211
2lim 11x x x →⎛⎫-=
⎪--⎝
⎭ 解：原式
()
()()
112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 1
11
lim
12
x x →==+
9．()()()
3
100213297lim 31x x x x →∞
-+=+ 解：原式
397
2132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫
⎪∞⎝⎭
-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
3
28327⎛⎫
==
⎪⎝⎭
10．已知216lim 1x x ax x →++-存在，则a =
解：因为216
lim 1x x ax x
→++-存在，所以必有
2
1
lim(6)0x x ax →++=，即7a =-
11．12
01arcsin lim sin x
x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 解：11
220011
sin 1,lim 0lim sin 0
x x x x e e x x
-→→≤=∴=Q 又00arcsin lim
lim 1x x x x
x
x →→==Q 故 原式=1
12．若()220
ln 1lim
0sin n
x x x x
→+=
且0sin lim
01cos n x x
x
→=-,则正整数n = 解：()2222
0ln 1lim
lim sin n n x x x x x x x
x
→→+⋅=Q
204
20,lim 02
n x n x n x
→<>2,4,n n ∴>< 故3n =
三、计算题（每小题8分，共64分）