湖北省荆州市荆州区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

湖北省荆州市荆州区2020-2021学年八年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A ．224a a a +=
B ．352()a a =
C ．527a a a ⋅=
D ．2222a a -= 2．下列各分式中，是最简分式的是（ ）.
A ．22
x y x y ++ B ．22x y x y -+ C ．2x x xy + D ．2xy y
3．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A ．五边形
B ．六边形
C ．七边形
D ．八边形 4．如图，已知△ABC ≌△ADC ，∠B ＝30°，∠BAC ＝23°，则∠ACD 的度数为（ ）
A ．120°
B ．125°
C ．127°
D ．104° 5．如图，若 MB = ND ，∠MBA = ∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）
A ．AM = CN
B ．AM / /CN
C ．AB = C
D D ．∠M = ∠N 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）
A ．7
B ．8
C ．5
D ．7或8 7．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12
AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（ ）
A ．8
B ．10
C ．11
D ．13
8．化简22
x y x y y x
+--的结果是（ ） A ．1x -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +
9．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）
A ．1
B ．4
C ．11
D ．12
10．如图，在△ ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，过点G 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD ⊥ AC 于D ，下列四个结论：①EF = BE+CF ；②∠BGC= 90 °+12
∠A ；③点G 到△ ABC 各边的距离相等；④设GD =m ，AE + AF =n ，则S △AEF =12
mn.其中正确的结论有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
二、填空题 11．若3m a =，5n a =，则m n a +=______.
12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC=__．
13．已知点A 的坐标为（﹣2，3），则点A 关于x 轴的对称点A 1的坐标是_____．
14．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为30cm ，则此等腰三角形的面积为_____． 15．若关于x 的分式方程
x 2322m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是____．
16．若3(23)10x x +--=，则21x +=______.
三、解答题
17．计算题（1）2(25)(25)4(1)x x x +---
（2）分解因式：22ax ax a -+
18．解分程：（1）21233x x x
-=--- （2）12112
x x x ++=-+ 19．先化简，再求值：53(2)224a a a a ---
÷++，其中a =011(3)()4π--+． 20．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，E 、F 在BC 上，A D ∠=∠，BE CF =，求证：AF DE =.
21．如图，在等腰三角形ABC 中，90A ∠=︒，6AB AC ==，D 是BC 边的中点，点E 在线段AB 上从B 向A 运动，同时点F 在线段AC 上从点A 向C 运动，速度都是1个单位/秒，时间是t （06t <<），连接DE 、DF 、EF .
（1）请判断EDF ∆形状，并证明你的结论.
（2）以A 、E 、D 、F 四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含t 的式子表示.
22．某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等．
（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
23．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝9
4
，则x﹣y＝；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
24．如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
图1图2图3
(1)求证：DE＝BO；
(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE 于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【详解】
解：A. 222a a 2a +=，故A 错误；
B. ()326a a =，故B 错误；
C. 527a a a ⋅=，正确；
D. 2222a a a -=，故D 错误；
故选C
2．A
【分析】
根据定义进行判断即可．
【详解】
解：A 、22
x y x y
++分子、分母不含公因式，是最简分式； B 、22x y x y
-+＝()()x y x y x y +-+＝x －y ，能约分，不是最简分式； C 、2x x xy
+＝(1)x x xy +＝1x y +，能约分，不是最简分式； D 、2xy y ＝x y
，能约分，不是最简分式． 故选A ．
【点睛】
本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．
3．B
【解析】
利用n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
解：设这个多边形的边数为n ，由题意，得
（n ﹣2）180°=720°，
解得：n=6，
故这个多边形是六边形．
故选B ．
4．C
【分析】
证△ABC ≌△ADC ，得出∠B=∠D=30°
，∠BAC=∠DAC=12
∠BAD=23°，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵在△ABC 和△ADC 中 AB AD AC AC BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△ADC ，
∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12
×46°=23°， ∴∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-30°-23°=127°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
5．A
【分析】
根据普通三角形全等的判定定理，有AAS 、SSS 、ASA 、SAS 四种．逐条验证．
【详解】
A 、根据条件AM =CN ，M
B =ND ，∠MBA =∠ND
C ，不能判定△ABM ≌△CDN ，故A 选项符合题意；
B 、AM ∥CN ，得出∠MAB =∠NCD ，符合AAS ，能判定△ABM ≌△CDN ，故B 选项不符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
6．D
【解析】
试题分析：当底为2时，腰为3，周长=2+3+3=8；当底为3时，腰为2，周长=3+2+2=7. 考点：等腰三角形的性质.
7．A
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．D
【分析】
分式化简时要先通分，再加减，通过观察找到最简分母.
【详解】
解：原式
22
x y x y x y =-
--
()()x y x y x y
+-=- x y =+.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是分式的化简，找最简公分母，通分时分子分母都乘以同一个代数式. 9．C
【解析】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.
详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12
∴p+q=m ，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m 的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
10．D
【分析】
根据BG ，CG 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF ∥BC，可得EB=EG ，FG=FC ，从而证得①正确；根据三角形内角和定理即可求出②正确；根据角平分线的性质可知点G 是△ABC 的内心，从而可得③正确；连接AG ，结合点G 是内心，即可表示出△AEG 和△AFG 的面积，从而可知④正确.
【详解】
∵BG，CG 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴∠EBG=∠GBC，∠FCG=∠GCB
∵EF ∥BC
∴∠EGB=∠GBC，∠FGC=∠GCB
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠FGC
∴EB=EG，FG=FC
∴EF = BE+CF
故①正确；
在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）
在△GBC 中，()11802
BGC ABC ACB ∠=︒-∠+∠， 即()111801809022
BGC A A ∠=︒-
-=+∠∠ 所以②正确； ∵点G 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，
∴点G 是△ABC 的内心
∴点G 到△ABC 各边的距离相等 故③正确；
连接AG ，
∵点G 到△ABC 各边的距离相等，GD=m,AE+AF=n ，
∴()11112222
AEF S AE GD AF GD GD AE AF mn =⋅+⋅=+= 故④正确； 综上答案选D.
【点睛】
本题考查的等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理和三角形面积的求法，能够综合调动这些知识是解题的关键.
11．15
【分析】
根据同底数幂乘法法则来求即可.
【详解】
解： m n m n a a a +==3×5=15
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘，底数不变指数相加.
12．75度
【解析】
解：∵∠BAC =45°
，∠BCA =60°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠BCA =180°-45°-60°=75°．故答案为75°
． 13．（﹣2，﹣3）
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，-y ），进而得出答案．
【详解】
解：∵点A 的坐标为（﹣2，3），
则点A 关于x 轴的对称点A 1的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
【点睛】
此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称点的坐标特点，熟练掌握其性质是解题关键．关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
14．225cm 2.
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，求出腰上的高，再代入面积公式即可求解．
【详解】
解：如图所示，作等腰三角形腰上的高CD ，
∵∠B ＝∠ACB ＝15°，
∴∠CAD ＝30°，
∴CD ＝12AC ＝12×30＝15cm ，
∴此等腰三角形的面积＝
12
×30×15＝225cm 2， 故答案为：225cm 2． 【点睛】
本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质定理是解题的关键．
15．m ＜6且m≠2.
【分析】
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】
x 2322m m x x
++=--， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6，
解得，x=
6-2
m ， 由题意得，6-2m ＞0， 解得，m ＜6， ∵6-2
m ≠2， ∴m≠2，
∴m＜6且m≠2.
【点睛】
要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点．
16．3或5或－5
【分析】
由已知3(23)
10x x +--=可知(2x-3)x+3=1,所以要分3种情况来求即可. 【详解】
解：∵3(23)
10x x +--=
∴(2x-3)x+3=1
∴当2x-3=1时，x+3取任意值，x=2;
当2x-3=-1时，x+3是偶数，x=1;
当2x-3≠0且x+3=0时，x=-3
∴x 为2或者1或者-3时，
∴2x+1的值为：5或者3或者-5
故答案为：5，-5，3.
【点睛】
本题考查了一个代数式的幂等于1时，底数和指数的取值.找到各种符合条件各种情况，不能丢落.
17．（1）829x -；（2）2(1)a x -
【分析】
(1)根据整式乘法运算法则进行运算，再合并同类项即可.
(2)分解因式根据题型用合适的方法即可.
【详解】
（1）解：原式()
22425421x x x =---+ 22425484x x x =--+-
829x =-
（2）解：原式()
221a x x =-+ 2(1)a x =-
【点睛】
本题考查了整式乘法和分解因式方法，做整式乘法时能漏项.
18．（1）原方程无解;（1）12
x =- 【分析】
解分式方程先去分母变成整式方程，再求解即可.
【详解】
解：（1）212(3)x x -=---，
3x =，
检验：把3x =代入(3)0x -=，
∴原方程无解
（2）(1)(2)2(1)(2)(1)x x x x x +++-=+-
2232222x x x x x +++-=+-
42x =-
12
x =- 经检验：12
x =-是原方程的根 【点睛】
本题考查了分式方程的解法，需要注意的是解分式方程必须验根,去分母时不要漏乘无分母的项.
19．2a +6，16．
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题．
【详解】
解：原式=
(2)(2)52(2)23a a a a a +--+⋅+-=(3)(3)2(2)23
a a a a a +-+⋅+-=2a +6 当a =011(3)()4π--+=1+4=5时，原式=2×5+6=16． 【点睛】
本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．见解析
【分析】
根据已知条件来证明两个三角形全等(AAS)，即可证明.
【详解】
证明：∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，
∴90B C ∠=∠=︒，
∵BE CF =
∴BF CE =，
在△ABF 和△DCE 中
90BF CE A D
B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴()ABF DCE AAS ∆∆≌
∴AF DE =
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判断和性质.
21．（1）EDF ∆为等腰直角三角形，见解析；（2）不变，9
【分析】
⑴连结AD,由SAS 定理可证BDE ∆和ADF ∆全等，从而可证90EDF ∠=︒,DF=DE.所以EDF ∆为等腰直角三角形.
⑵由割补法可知四边形AEDF 的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.
【详解】
（1）EDF ∆为等腰直角三角形，理由如下：
连接AD ，
∵AB AC =，90A ∠=︒，D 为BC 中点 ∴12
AD BC BD CD === 且AD 平分BAC ∠
∴45BAD CAD ∠=∠=︒
∵点E 、F 速度都是1个单位秒，时间是t 秒，
∴BE AF =
在BDE ∆和ADF ∆中，
45BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴()BDE ADF SAS ∆∆≌
∴DE DF =，BDE ADF ∠=∠
∵90BDE ADE ∠+∠=︒
∴90ADF ADE ∠+∠=︒
即：90EDF ∠=︒
∴EDF ∆为等腰直角三角形.
（2）四边形AEDF 面积不变，
理由：∵由（1）可知，AFD BED ∆∆≌，
∴BDE ADF S S ∆∆=，
∴ AED ADF AED BDE ABD AEDF S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形 ∵111669222
ABD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯= ∴ 9AEDF S =四边形
【点睛】
本题考查了三角形全等的判断SAS,及用割补法来证四边形的面积不变，四边形又三角形来组成。

22．（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．
【分析】
（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数即可找出各购买方案．
【详解】
解：（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元， 依题意，得：30010010x x
=+， 解得：5x =，
经检验，5x =是原方程的解，且符合题意，
∴1015x +=．
答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元．
（2） 设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，
依题意，得：()()804158051000158051050m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
，
解得：1516m ≤≤．
∵m 为整数，
∴15m =或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab ；（2）±4；（3）-7
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy ，将x+y ＝5，x•y ＝
94
代入(x+y)2-(x-y)2=4xy ，即可求得x-y 的值
（3）因为(2019﹣m)+(m ﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m ﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2 ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y＝5，x•y＝9 4
∴52-(x-y)2=4×9 4
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，
通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
24．(1)证明见解析；(2)①，()；②存在；()；③不会变化，MH＋MG ＝6．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，
根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根
据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得E作EF⊥x轴于F，角三角形即
可得到结论；②存在，如图d，当时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即
可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，
∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.
∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，
即∠ECD＝∠BCO.
∴△DEC≌△OBC(SAS)．
∴DE＝BO.
(2)①∵△ODC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°.
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝30°.
设OC＝x，则BC＝2x，
∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝
∴OC＝，BC＝
∵△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝.
又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，
∴6)．
②若点P在C点左侧，则CP＝OP＝＝P的坐标为(－
0)；
若点P在C点右侧，则OP＝＋P的坐标为0)．
③不会变化，MH＋MG＝6
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．。