信号与系统(郑君里)第二版 讲义 第二章

第二章 连续时间系统的时域分析

第一讲 微分方程的建立与求解

一、微分方程的建立与求解

对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和

KIL ，与元件的性质无关。

2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。

例2-1 如图

2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。电路起始电压为零。

图2－1

解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：

所以齐次解为：。

因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：

所以，从而求得完全解：

由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而

若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：

二、起始条件的跳变——从到

1.系统的状态(起始与初始状态)

(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型

以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。由于激励信号的接入，系统响应及其

各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬

时。

(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结

了计算未来响应所需要的过去的全部信息。

(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。

(4)初始条件：它决定了完全响应。

这三个量的关系是：。

2.初始条件的确定（换路定律）

电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能

发生突变，即是连续的。

时不变：

时变：

例电路如图2-2所示，t=0以前开关位于"1"已进入稳态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。

(1)试从物理概念判断、和、。

(2)写出t>0时间内描述系统的微分方程式,求的完全响应。

图2－2

解

(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。开关换到2时，电容两端电压不能突变，=

= 0，电容相当于短路，可看成电路接入了的电流源。电感电流不能突变，仍为1A，所以电容支路电流为4A，。

(2)t>0时,电路方程为：

特征方程为：，特征根为：。

方程的完全响应为：

代入初始条件得：

所以零输入响应为零，强迫响应为零；完全响应等于自由响应。

3.初始条件等效为激励源

三、零输入响应(z.i.r)和零状态响应(z.s.r)

一个系统的完全响应从解微分方程角度来分可分解为通解和特解即自由响应和强迫响应；从因果关系来分可以分解为零输入响应和零状态响应；从系统状态来分可分解为稳态响应和暂态响应，它们之间的联系与区别在第四章详细讨论。这里仅举例说明。

例2-2如图2-3所示，时刻，同时自位置1转至位置2，求输出电压的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫响应各分量。

(a)(b)

图2－3

解时的电路如图2-3(b)所示。根据KCL得

齐次解为，特解为，则完全解为

因为，所以

零输入响应为，零状态响应为；自由响应为，强迫响应为；稳态响应为，暂态响应为。

第二讲冲激响应与阶跃响应

用卷积积分的方法求解系统的零状态响应既是本章的重点，也是本章的难点。卷积积分分析法的步骤有三：首先是将信号在时域表示为冲激函数积分；其次就是求系统的冲激响应；再就是用卷积积分求解系统的零状态响应。我们首先对第二点进行讨论。

一、冲激响应和阶跃响应

1.定义：在初态为零的条件下，若激励是单位冲激函数，系统的零状态响应叫冲激响应；若激励是单位阶跃函数，系统的零状态响应叫阶跃响应。

2.特点：冲激响应有两个特点，一是当时间为负值时，系统响应等于零，这一特点反映了系统的实现性，不能想象在信号加入以前就有输出，系统只能延迟信号，不能提前信号；另一是在经过长时间后，响应函数等于零，这一特点反映了系统的稳定性，无源有耗系统中的有限能量是不可能永远保存的。因此，冲激响应一般从零值增长到最大值后再逐渐下降为零(如上图所示)。

这两个特点可用如下两式表示：

实现性(因果性)：

稳定性：

3.阶跃响应及与冲激响应的关系

由时不变系统特性可知：当输入由原来的输入变为它的积分时，输出也由原来的输出变为它的积分。

4.的求法：将作为一个特殊的零输入响应来处理，思路是单位冲激函数在>0时为零，因此，我们只需要解齐次方程，并求出时的初始条件，用这组初始条件确定齐次方程解的系数，从而得出系统的冲激响应。这里作两点说明：

(1)冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题，从而使得一个微分方程在-∞<<∞内都成立。

(2)，匹配就是使方程两端的冲激函数及其导数相匹配。

关键是如何确定时的初始条件。以一个二阶系统为例，若方程式的左端含有冲激函数，方程式的右端、而且是最高导数项也必须出现冲激函数，这样方程的两端才能匹配。分析如下：

2阶导数项含有冲激，在=0不连续，

1阶导数项含有阶跃，在=0不连续，

0阶导数项为斜坡，在=0连续，

对其取积分：

二阶系统需两个条件：

下面以RLC串联谐振电路为例来说明如何用这种方法求系统的冲激响应，然后再把它推广到一般情况。

例2-3 已知，输入为冲激函数，求的函数表达式。

解根据KVL，