复合函数的零点问题

复合函数的零点问题

I ．题源探究·黄金母题

【例1】设函数()1

,0,()11,11x x a a

f x x a x a

⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩（a 为常数且()0,1a ∈）．

若0x 是()()f

f x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称

0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点．

【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，

121a x a a =

-++，2

211

x a a =-++． 【解析】2

2

22

221,0,1(),,(1)

(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)

x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪

⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩

当2

0x a ≤≤时，由

21

x x a

=解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2

a x a <≤时，由

1

()(1)

a x x a a -=-解得

2

1

a x a a =

-++2

(,),a a ∈因222211(

)1111

a a a

f a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++，

故21

a

x a a =

-++是()f x 的二阶周期点；

当2

1a x a a <<-+时，由

2

1

()(1)x a x a -=-解得

1

2x a

=

-2(,1)a a a ∈-+，因精彩解读

【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合

函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．

【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．

111112122f a a a a ⎛⎫

⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭

故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；

当2

11a a x -+≤≤时，

1

(1)(1)

x x a a -=-解得

2

11

x a a =

-++ 2

(1,1)a a ∈-+，因22221111(

)(1)11111

a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++， 故21

1

x a a =

-++是()f x 的二阶周期点．

综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，

121a x a a =

-++，2

21

1

x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1

的函数，在区间[0,1)上，2

,,

(),,

x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合

1,*n D x x n n -⎧⎫

==∈⎨⎬⎩⎭N ，

则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设

*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设

*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质 因此10n m

q p =

，则10()n

m q p

= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉

因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，

【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．

【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．

图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11

lg 1ln10ln10

x x '=

=<，则

在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．

【例3】【2015年高考天津】已知函数

()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ） A ．7,4⎛⎫+∞

⎪⎝⎭ B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】D ． 【解析】

由()()22,2,

2,2,

x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得2

22,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 22

2,0

()(2)42,0222(2),2

x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪

∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即

222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以

()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程

()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函

数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知

7

24

b <<．