固液两相流中颗粒受力及其对垂向分选的影响

固液两相流中颗粒受力及其对垂向分选的影响孟晓刚1,2，倪晋仁1,2(1.北京大学环境工程系；2.水沙科学教育部重点实验室）摘要：在不同颗粒浓度条件下，通过考虑颗粒之间的相互作用，对固液两相流中的颗粒受力进行了分析。

采用拉格朗日方法对颗粒在一维两相流中垂向运动过程进行了模拟。

根据两相流中颗粒分选达到准稳定状态时的分选特征，探讨了作用于颗粒的各种力对颗粒运动和分选结构的影响。

推导出颗粒受力与颗粒分选机理之间的关系。

关键词：固液两相流；颗粒；垂向分选；受力作者简介：孟晓刚(1976-)，男，山西文水人，研究生，主要研究方向：固液两相流理论。

颗粒受力分析是固液两相流中固体颗粒运动研究的核心问题[1]。

Stokes （1851）曾对单个圆球、圆柱体和无限长平板在粘性流体中的简谐直线运动进行了较为详尽的研究，给出了反映流体对物体作用的数学表达式。

此后，Basset （1888）、Boussineaq（1885）、Oseen（1927）等研究了粘性流体中做加速运动的单个圆球的直线运动，指出作用在圆球上的力不仅取决于它的瞬时速度和加速度，而且与圆球做加速运动的历史有关，从而得到了著名的B.B.O.方程。

Tchen[2]进一步改进了B.B.O.方程，考察了不稳定紊流场中悬浮颗粒的运动，并给出了描述细颗粒运动的基本方程。

当流体中有多个颗粒存在时，颗粒的受力情况与单颗粒会有所不同。

任意一个颗粒的运动都可能受到其它颗粒的影响，颗粒之间作用的主要形式有接触、位置交换和颗粒之间的碰撞。

同时，大量颗粒的存在会影响液相的流动特性，后者的变化又会反过来影响颗粒的运动。

因此，对于多颗粒存在的情形，需要对B.B.O.方程进行修正以便能够考虑颗粒之间的作用。

黄社华等[3]在忽略粒间碰撞作用的前提下，在不同流动条件下对各作用力修上，得到了任意流场中稀疏颗粒运动方程的一般形式，并对方程进行了理论解析，探讨了颗粒物理性质对其运动规律的影响。

对于颗粒碰撞不易忽略的情形[4]，一种简便的方法是对颗粒受到流体的惯性作用和颗粒浓度影响进行修正。

对于颗粒间的相互作用，可采用Bagnold[5]关于同心圆筒间悬浮粗颗粒的剪切试验结果，即颗粒剪切应力和粒间离散应力在惯性作用区的表达式。

综合前人的研究成果，可将固液两相流中颗粒所受的力分为：粒间作用力、与流体-颗粒相对运动无关的力（包括惯性力、重力和压差力）、与流体-颗粒间相对运动有关的纵向力和侧向力（包括附加质量力、Basset力、升力、Magnus 力和Saffman力）以及与颗粒运动状态有关的相间阻力。

本文根据球形颗粒在一维两相流中的受力分析，采用拉格朗日方法对非均匀颗粒的运动过程进行跟踪模拟，研究各种颗粒在两相流中的分选过程，并且对影响固相颗粒垂向分选的受力特性进行比较，以期揭示颗粒的受力特性与固液两相流中颗粒分选机理之间的关系。

1 1基本方程在B.B.O.方程的基础上，加入考虑粒间作用的相关项，改进后的两相流中颗粒运动方程为1/6πd3ρp du p/dt=F g+F p+F a+F B+F M+F S+F L+F Ip+F c(1)其中：d为颗粒粒径；up 为颗粒运动速度；ρp为颗粒密度;t为时间；Fg为重力;Fp为压差力；Fa 为附加质量力;FB为Basset力;FM为Maguns力;Fs为Saffman力;FL为颗粒受到的升力;FIp 为相间阻力;Fc为颗粒之间的作用力。

文中的相间应力项可采用Stokes阻力公式[6]来表示。

对粘性两相流，单位体积上的相间应力Mpx可表述为：M px =α218μλ/D2(uf-up) (2)对稀性两相流用颗粒阻力公式求各个颗粒的所受的相间阻力：F Ip =1/8πCDd2ρl|u f-u p|(u f-u p) (3)式中：uf 为液体的运动速度；ρl为液体密度；CD为阻力系数；α2为修上系数，根据实际情况确定；颗粒之间的作用主要考虑碰撞作用，颗粒间作用的应力项采用Bagnold[5]建议的惯性作用区的应力表达式P yy =αiρp(λD)2(du/dy)2cosφ(4)Pxy=Pyytanφ(5)以上两式中，Pyy 和Pxy分别为颗粒间碰撞产生的正应力和切应力，前者又称为离散应力;αi为试验常数；φ为颗粒间动态内摩擦角；λ为颗粒线性浓度，与颗粒体积浓度C和静态接触时的颗粒最大可能浓度C的关系为λ=[((C0/C)1/3)-1]-1(6) 实际上，Bagnold建议的应力关系中已经综合考虑了弥散、碰撞的作用。

若满足颗粒惯性区的条件，则可以直接引用其试验结果来模化固液两相流中的粒间作用。

考虑到球形颗粒的一维两相流动不易计入颗粒的旋转和侧向运动特征，因此可以忽略升力、Magnus力和Saffman力的作用。

方程简化为：1/6πd3ρp du p/dt=F g+F p+F Ip+F a+F B+F c(7)应该指出，不同粒径的颗粒之间的碰撞[7]需要加以考虑。

在应用式（4）时，浓度的因素已经在λ中考虑。

显然，当小颗粒与大颗粒碰撞时，对大颗粒的作用较小。

另一方面，虽然大颗粒对较小颗粒的作用较大，但因粒径较大，故可能同时与多个颗粒碰撞，将这一作用同时转给多个颗粒。

而且，当两个粒径相差较悬殊的颗粒相遇时，附着、滑移作用较明显，其间的碰撞作用也相对较小。

因此有理由认为，与某个粒级碰撞作用最强烈的恰好是同一粒级或与之相近的颗粒。

为此，引入粒径影响系数。

当粒径为d1的颗粒与粒径为d2的颗粒碰撞时(d1＜d2)，有：φd1d2=d1/d2(8)具体到本模型中，粒径为d1的颗粒在受到个数为Xi、粒径为di的颗粒作用时，等价于受到粒径为：d x =(9)的颗粒的作用。

为简化问题，本文假定两相流中液相的速度分布在计算中流场保持不变，在此基础上差值求得一维各层的运动特征参量，计算固相颗粒的运动轨迹。

当两相流中固相颗粒含量较少时，可以认为两相流中液相速度分布规律与流体类似，可能呈抛物线型分布或对数分布。

本文中采用抛物线型的液相速度分布，表面最大流速取为5m/s。

2 计算结果分析模型计算采用拉格朗日和欧拉法相结合的方法。

假设泥石流的体积比浓度为C，则可推算出浆体浓度和相应的参数。

对固相颗粒，假定初始时刻均匀分布。

采用拉格朗日方法，每组颗粒在各层中抽取相同个数跟踪其路径，统计其运动参数得出各层的平均运动参数。

调试阶段，按照个数比例在每层中选取每组颗粒，分别计算出每个采样颗粒的运动状态和轨迹后，用欧拉法统计出垂向上的粒径分布。

模型计算中，固液两相流物质组成采用刘希林等人[8]泥石流试验资料中样品Ⅱ的级配曲线并进行颗粒粒径的分段处理。

根据两相流模型理论，参考试验资料中的连续级配曲线，确定模型中的固液两相流的物质组成为：水、小于lmm的细颗粒、lmm颗粒、2mm颗粒、5mm颗粒和10mm颗粒。

其中，水和小于lmm的固相颗粒构成浆体，其余的固相颗粒构成两相流中的固相部分。

实际计算中根据试验资料取为1000∶50∶10∶1。

有效重力只与因相颗粒的粒径大小有关，与颗粒运动状态无关。

由于粒间作用力与粒径成四次方关系，浓度的增加则自然会导致式（4）中的λ的增加，进而使粒间作用力增加。

与颗粒运动紧密相关的力，如阻力、附加质量力和Basset力等，图1至图3给出了初始时处于近表层的（粒径为5mm的）颗粒在不同浓度条件下的受力、运动速度和轨迹随时间变化的计算结果。

由图可见，随着颗粒浓度和粒径的增加，这些力的大小与粒间作用力、有效重力的量级差别逐渐增大。

就其力的大小而言，只有相间阻力在颗粒运动过程中可以与粒间作用力和有效重力的量级相当，且在颗粒浓度较小时，相间阻力的作用更为突出。

相比之下，Basset力和附加质量力的量级要小的多。

因此，在描述颗粒的受力变化过程和运动轨迹时，相间阻力不能被忽略。

随着颗粒浓度和粒径的增加，三者与粒间作用力、有效重力在量级上的差别逐渐增大，相间阻力的作用也有所减弱。

颗粒的速度与轨迹在后期的摆动现象愈加明显。

图4至图6给出了初始时处于近表层的、不同粒径的颗粒在浓度为0.3时受力随时间变化的计算结果。

可以看出，随着粒径的增加，粒间作用力在颗粒运动中的影响越来越大，颗粒运动速度加快，在平衡位置附近的速度和位移之摆动幅度相应增大。

图1 不同浓度条件下近表层颗粒分选过程中受力大小变化(d=5mm)图2 不同浓度条件下近表层颗粒分选过程中速度大小变化(d=5mm)图3 不同浓度条件下近表层颗粒分选过程中运动轨迹变化(d=5mm)图4不同粒径条件下近表层颗粒受力大小变化(C=0.3)图5不同粒径条件下近表层颗粒速度大小变化(C=0.3)图6不同粒径条件下近表层颗粒运动轨迹变化(C=0.3)在不同颗粒粒径和浓度条件下，颗粒运动速度和轨迹的变化主要由粒间作用力和相间阻力的消长决定。

在颗粒运动过程中，附加质量力和Basset力的数量级都相对较小。

为了比较二者对颗粒运动的影响，可以分别考虑加入附加质量力和Basset力作用、加入二者之一以及同时忽略二者的情况，有关结果见图7至图10当颗粒由不同初始位置出发时，不同浓度和粒径条件下的颗粒速度和位移变化过程的差异大致表现为：在颗粒运动的前期，附加质量力和Basset力的作用主要减小速度的峰值且前者较后者作用更大，二力的作用对颗粒运动轨迹的改变都不太明显；在颗粒运动的后期，当颗粒逐渐趋近平衡位置时，颗粒会在平衡位置附近不断摆动，此时，Basset力和附加质量力在一定程度上减小了颗粒运动的摆动频率和摆幅，使得颗粒向平衡位置趋近的速度加快，在这一方面Basset 力的作用比附加质量力的作用更为显著，尽管二者都随颗粒浓度和粒径的增加略有增强。

图7 附加质量力和Basset力引起的近表层颗粒运动速度和轨迹变化(C=0.5，d=10mm)图8 附加质量力和Basset力引起的近底层颗粒运动轨迹和速度变化(C=0.5，d=10mm)在颗粒浓度较高时，对于初始位置在流场近底层的较大颗粒，Basset力会明显改变颗粒的运动轨迹。

由图8可见，与未考虑Basset力时的情况相比，近底层颗粒的上升速度减慢，而且在运动后期，颗粒基本稳定在较低的一个新位置上，此时在计算时间段内可以近似认为，颗粒在Basset力的作用下，最终位置发生了改变，Basset力、粒间作用力和有效重力一起在颗粒运动后期决定着颗粒的最终位置。

粒间作用力和有效重力这两个与颗粒运动状态无关的力虽然在数量级上相对较人，但二者处于相互抵消的状态。

因此，为了进一步考察相间阻力、Basset 力和附加质量力对颗粒运动的贡献，将二者合二为一与其它力相比较。

在颗粒浓度为0.3、粒径为5mm的条件下，分别以初始时位于流场近表层和近底层颗粒为例，计算每个力在所有各力绝对值加和中所占的比例，结果表明：不管颗粒初始时处于近表层还是近底层，在运动初期支配颗粒运动的都是粒间作用力和有效重力。