2020年新编绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案名师精品资料
【2020-2021自招】四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学(理)试题(解析版)
2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<，()0,2B =，则A B =（ ）A ．{}04x x <<B ．{}22x x -<< C ．{}02x x << D ．{}13x x <<【答案】C【解析】解绝对值不等式得集合A ，再求交集即可. 【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，()0,2B =， 所以AB ={}02x x <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．7 B ．10 C ．14 D ．21【答案】C【解析】由1476a a a ++=，利用等差数列的性质解得4a ，再利用等差数列求和公式即可得出． 【详解】1476a a a ++=， 436a ∴=，解得42a =．则17747()7142a a S a +===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c -+等于（ ） A ．0 B ．2C ．2D ．22【答案】C【解析】利用向量的三角形法则、向量加法的运算律及向量减法的运算律，即可得解. 【详解】 如图，a b c +=，∴2a b c a b a b a -+=-++=，1a =，∴22a b c a -+==.故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则、向量加法的运算律、向量减法的运算律及向量的模，考查学对这些知识的掌握能力，属于基础题. 4．设sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ） A 3B ．3-C ．3D ．3【答案】A【解析】利用二倍角公式将sin 2sin 0αα-=展开，即可求cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α及tan α，然后利用二倍角公式求得tan2α. 【详解】由sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，得2sin cos sin sin (2cos 1)0ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==， 则23sin 1cos αα=--=-， 所以sin tan 3cos ααα==-， 所以22tan 23tan 231tan ααα-===-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99 B ．131C ．139D ．141【答案】D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．6．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D 【解析】【详解】当0x >时，()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增，则值域为(1,)+∞； 当0x ≤时，()3xf x a =-在(,0)-∞上单调递减，则值域为[1,)a a -；因为函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以函数()f x 有最小值时，需满足11a -≤，即2a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,2]-∞， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.7．已知123a =，b log =92c log =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．.a c b >> C ．.b a c >> D ．.c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为102331a =>=，2211log 3log 2,122b b =>=<<，3911log 2log 222c ==<所以a b c >>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 8．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．已知命题p ：x R ∃∈，321x x =-，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】先利用函数图象交点、不等式恒成立判断p ，q 的真假，再利用复合命题的性质得到结论． 【详解】因为32,1y x y x ==-有交点，所以x R ∃∈，321x x =-，即p 为真命题，又因为，当0a =时，210ax ax ++>也恒成立； 故q 为假命题；所以p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∧⌝为假命题，p q ∨为真命题； 故选：B ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定以及一元二次不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在数列{}n a 中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n + 【答案】B【解析】由已知1122n n n a a a --=+两边取倒数，求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即可.【详解】1122n n n a a a --=+， 11112n n a a -∴=+，1112=a 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12 为首项，公差为12的等差数列，112n n a = ，2n a n = 故选:B 【点睛】当递推关系不能直接表达为等差或等比数列时，通过将所给递推关系变形，显现出一个相关数列为等差或等比数列，间接求出原数列得通项公式.11．已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．12．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是（ ）①()g x x =是()f x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e=+在[)1+∞，上的弱渐进函数. A ．①② B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误； ③由构建关系，取特值()()1f e g e ->，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥，1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当2x =时，()21F >，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设取特值()()=421g e e f e -->， 不符合，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1≥x 时，()10xx H x e -'=≤，()1x xH x e=-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1≥x 时，0x xe>，()11x x H x e =->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确.综上，①④正确. 故选:C 【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.二、填空题13．数列{}n a 满足13n n a a +=且2469a a a =，则()3579log a a a 的值是___________ 【答案】11【解析】由递推式可得数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得34a 的值，由等比数列的性质得37a ，代入即可得结果. 【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得349a =，所以()3339211579743333a a a a a ===⨯=，即()1135793log log 311a a a ==，故答案为：11. 【点睛】本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题.14．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______．【答案】23【解析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点()1,b 的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为1-，求出a ，即可得解； 【详解】解：∵()1,b 是2ln y x x =+的点，则1b =，12y x x'=+，显然在点()1,b 处的斜率3k =，则切线方程为32y x =-，∵直线32y x =-与直线1y ax =-垂直，则31a =-，显然13a =-，则12133a b +=-=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题． 15．已知()()36xx f x x ee -=++, ()10f a =,则()f a -= _________.【答案】2【解析】推导出()()12f x f x +-=，再由()10f a =求()f a -的值. 【详解】 ∵()()()()336,6xx x x f x xee f x x e e --=++-=-++ ，∴()()12f x f x +-=，∵()10f a =， ∴()()122f a f a -=-= 故填：2. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，关键是发现()()f x f x -与的关系. 16．如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.2【解析】设,AB AC m n ==，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=，可得：6mn = 再由1233t AC AB t AC A AP D =++=，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==ABC 的面积为332， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1333222mn =⋅=6mn ∴=D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t = 1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+ 2222229393m n mn AP +∴=++=当且仅当m n ==时取得最小值. 【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212n n n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且()co 2cos s 0c b A a B --=. （1）求角A 的大小；（2）若3b =，ABC 的面积ABCS =，求a 的值．【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角A 的大小； （2）根据三角形面积公式先求得c ，再代入余弦定理即可求得a 的值． 【详解】（1）∵()co 2cos s 0c b A a B --=，由正弦定理代入化简可得()cos 2sin sin sin cos 0A C B A B --=， 即2cos sin cos sin sin cos 0A C A B A B --=，()2cos sin cos sin sin cos sin A C A B A B A B ∴=+=+，即2cos sin sin A C C =，sin 0C ≠，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =，又0A π<<，3A π∴=，（2） 3b =，由（1）知3A π=，结合三角形面积公式可知11sin 322ABCSbc A c ==⨯= 4c ∴=，由余弦定理有22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=【点睛】本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的简单应用，余弦定理解三角形的应用，属于基础题.19．已知函数()21cos 2sin f x x x x =+-，x ∈R .（1）若[]0,x π∈，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数()g x ，求()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，最大值为1-. 【解析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据函数平移求出函数()g x 的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 【详解】（1）()21cos 2sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤可得函数()f x 的单调减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半， 得到()2sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦54,666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦ ，所以11sin 462x π⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭ 故()g x 的最小值为2-，最大值为1-. 【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）01k <<．【解析】（1）求出导函数()'f x ，然后按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）问题变形为方程ln 52x x k x ++=+有两解，【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 （2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x > 所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →， 当30x e -<<时，()1p x <，∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的零点个数．零点个数总是常常转化为方程解的个数，又可转化为直线与函数图象交点个数．本题中在确定出函数的单调性与极值（最值）后还必须确定函数值的变化趋势才可得出正确答案，否则易出现扩大了的范围．21．已知函数2()ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的最值；（2）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.【答案】（1）最小值为0，无最大值；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数进行求导得到函数的单调区间，进而可得最值；（2）由题意可得得到2121lnx x a x x =-，把要证明的结论转化为证2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，不妨令211x t x =>，构造函数21()ln 2g t t t t=--+，利用导数证明()g t 在()1,+∞上为减函数，可得()()10g t g <=，则结论得证. 【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， 故最小值等于()10f =，无最大值.（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln x x a x x =- ，要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫ ⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t <-+， 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明恒成立问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=，曲线2C的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程; （2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 【答案】（1）2yx ，10x y +-=；（2）2.【解析】（1）给曲线1C 的极坐标方程2sin cos θρθ=两边同乘ρ，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩进行转化.曲线2C 的参数方程两式相加消去t ，得直角方程； （2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，然后利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】（1）由曲线1C 的极坐标方程可得曲线1C 的直角坐标方程为2y x ,由曲线2C 的参数方程可得曲线2C 的普通方程为10x y +-=,（2）将曲线2C的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入曲线1C的普通方程得：220t -=, 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，∴12t t +=, 122t t ⋅=-， 可得122MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，难度一般.23．已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(][),04,-∞+∞；（2）13a >-. 【解析】（1）先通过分类讨论去掉绝对值符号，再分段求出()0f x <的解，从而得到原不等式的解.（2）根据给定的范围可把()3f x x <+转化为10ax a --<在[]2,1-上恒成立，令()1g x ax a =--，[]2,1x ∈-，可得关于a 的不等式组，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()4,22213,214,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩，不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得0x ≤或4x ≥，不等式解集为(][),04,-∞+∞.（2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+等价于()213x a x x ++-<+，整理得10ax a --<，记()1g x ax a =--，则()()2010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解得13a >-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般有零点分段讨论法、数形结合法、平方法等，对于不等式的恒成立问题，应该根据不等式的特点合理构建新函数，得到关于参数的不等式或不等式组，本题属于中档题.。
绵阳南山中学和南山中学实验学校度初升高自主招生考试数学试题(无答案)
绵阳南山中学和南山中学实验学校度初升高自主招生考试数学试题(无答案)为F 、G ，则∠FBG=________________.16. 不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x],如[2. 3]=2，[-1.5]= -2则方程[243+x ]=x 的所有实数解是______________. 17. 已知∆ABC 是锐角三角形，O 是其外接圆的圆心，∠ABC=60°，延长AO 交AB 于D ，则CEAD =_______________. 18如图，在扇形AOE 中，∠AOE= 120°，弦AB=BC=34，CD= DE=4连结OB.OD ，则图中两个阴影部分的面积和等于_______________.三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）19（本题共两个小题，满分16分，每小题8分）(1)已知M=,121)1()14.3(2220++-÷-++-x x x x x x π其中x 满足不等式组,343112⎪⎩⎪⎨⎧<-<-x x x 且x 为整数，求M 的值。
(2)解方程.013121111222=-++++xx x x x x 20.(本小题满分12分)中国天气网2019年6月18日1时通过手机发布的绵阳市一周的天气预报，如下图所示：(I)某位游客准备本周内到绵阳市参观，且连续呆两天，求这两天恰好一天有雨的概率；(II)从周一至周六的6天内任意选择两天，求两天的温差均小于或于8°C 上且只有一天有雨的概率。
（温差为白天气温与夜间气温的差）21.(本小题满分12分)在6月4日结束的FTC 机器人科技挑战赛全国总决赛中，由南山中学学生黄毅、何璐宇、李志君、杨振一、何科橙、李奇伟、姚力月、段维等同学组成的AuroraPlus 队，斩获全国亚军，黄毅同学获得美国两所大学的专项奖学金共计10万美元，这是我校FTC 机器人代表队继去年获同济大学邀请赛勇夺全国冠军后取得的又一佳绩.在某次机器人训练中，要求位于点0处的机器人甲要在最短的时间内与正在前进的机器人乙相遇，在机器人甲出发时，机器人乙位于点O 北偏西30°且与O 相距20米的A 处，并以30米/分钟的速度沿正东方向匀速行驶,假设机器人甲沿直线方向以v 米/分钟的速度匀速行驶，经过t 分钟与机器人乙相遇 （Ⅰ）若希望相遇时机器人甲行驶的距离最小，则机器人甲行驶的速度大小应为多少？（Ⅱ）假设机器人甲的最高行驶速度只能达到30米/分钟，试设计行驶方案（即确定行驶方向和行驶速度的大小），使得机器人甲能以最短时间与机器人乙相遇，并说明理由.22.(每小题满分12分）某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1所示B 产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2所示（注：利润与投资金额单位：万元）(Ⅰ)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资全额的函数关系式．（Ⅱ）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？23.(本小题满分12分)如幽，若P 是反比例函数x k y 2=的图象在第象限内一点，过点P 作y PD ⊥轴，垂足分别为D 、C ，DP 与CP 的延长线分别交反比例函数xk y 2=于B 、A 两点，且021>>k k(Ⅰ)证明AB//CD;(Ⅱ)用21k k ，表示CDAB 的值. 24.(本小题满分12分)在平面真角坐标系工xoy 中，二次函数)0(2<+=a ax x y 的图象与x 轴交于O 、A两点，且与直线321--=ax y 相切于点C. (I)求∠OAC;(II)若点D 在抛物线ax x y +=2上，E 在x 轴上，是否存在以0、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。
四川省绵阳南山中学实验学校2020-2021学年高二下学期开学考试数学(理)试题
四川省绵阳南山中学实验学校2020-2021学年高二下学期开学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝是 A ．:p x R ⌝∀∈，210x x ++> B ．:p x R ⌝∃∈，210x x ++≠ C ．:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥D ．:p x R ⌝∃∈, 210x x ++<2．已知:2p x >，:213q x ->，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列关于命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题是真命题B ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy =，则0x ≠”C ．命题“若6πα=，则1sin 2α=”的逆否命题是假命题 D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是“若x y ≠，则cos cos x y =”4．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） A ．9B ．6C ．-9D ．-65．给出两个命题:p 方程210x x --=有两个不同的实数根；:q 若10x x->，则1x >，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝6．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <8．若对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．(,1]-∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞9．设0xy >，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．12 B ．9C ．10D ．010．函数3()3f x x x =-在区间()2,m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A ．1,)-+∞（B ．1,1]-（C ．1,2)-（D ．1,2]-（ 11．已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,)eB ．(0,1)C ．(0,)eD ．(0,1)12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．函数()12f x x x =-+-的最小值______________ ．14．若命题“任意实数x ，使210x ax ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围为__________．15．若函数()22ln f x ax x x =--存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为____________.16．已知函数21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题17．已知函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >-；（2）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．18．已知()3211232f x x x ax =++，a R ∈.（1）若()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]22-,上的最大值． 19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点()1,0P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为M 、N ，求PM PN ⋅的值． 20．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），射线l 的极坐标方程为()304πθρ=≥，直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，以O 极点为原点，极轴为x 的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值. 21．已知函数()()()1xf x e a x a R =--∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()()1ln 1f x x x =--. （1）求()f x 在()1,0处的切线方程；（2）若()1,x ∈+∞，不等式()f x a >恒成立，且a Z ∈，求a 的最大值.参考答案1．C 【解析】由特称命题的否定为全称命题，得命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥ 故选C. 2．A 【分析】解出不等式213x ->，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】解不等式213x ->，即213x -<-或213x ->，解得1x <-或2x >，{}2x x > {1x x <-或}2x >，因此，p 是q 的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及利用集合的包含关系来判断充分条件与必要条件，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题. 3．A 【分析】写出原命题的逆命题，判断逆命题的真假可判断A 选项的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假一致可判断C 选项的正误；利用四种命题之间的关系可判断B 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，命题“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题为“若x 、y 互为相反数，则0x y +=”，原命题的逆命题为真命题，A 选项正确；对于B 选项，命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy ≠，则0x ≠”，B 选项错误；对于C 选项，命题“若6πα=，则1sin 2α=”是真命题，其逆否命题也为真命题，C 选项错误；对于D 选项，命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是“若x y ≠，则cos cos x y ≠”，D 选项错误.故选：A. 【点睛】本题考查四种命题的关系，考查逆命题、否命题、逆否命题的改写以及原命题与逆否命题真假性一致的原则的应用，考查推理能力，属于基础题. 4．D 【解析】 y′=4x 3+2ax由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D. 5．D 【分析】判断出命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假. 【详解】对于命题p ，对于方程210x x --=，()()214150∆=--⨯-=>，该方程有两个不同的实根，命题p 为真命题； 对于命题q ，解不等式10x x->，解得0x <或1x >，命题q 为假命题. 因此，()p q ⌝∨、p q ∧、()()p q ⌝∧⌝为假命题，()()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选：D. 【点睛】本题复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题. 6．C 【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.详解：根据()()0,0f x f x ''><，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数()y f x '=的图象，可得的函数()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，其中3x =-的左边负右边正，所以3x =-为函数的一个极小值点，且(3,1)-上函数单调递增，所以①④是正确的；其中1x =的左右两侧都是正数，所以1x =不是函数的极值点，所以②是错误的； 由()10f >可得函数在0x =处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力. 7．A 【分析】先根据题意，求得极值点在(0,1)上，然后求导判断函数的单调性，找到极值点，然后求解即可. 【详解】()2330,f x x b =-='解得x =因为函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值， 所以0b >.极值点在(0,1)上,所以在(()(),,0,f x f x '-∞>递增，在(()(),0,f x f x <'递减；)()(),0,f x f x '+∞>递增；所以()f x 在x =01∴<< ,01b ∴<<,故选A. 【点睛】本题考查了导函数的应用极值，判断极值点是解题的关键，属于中档题. 8．A 【分析】构造函数()ln f x x x x a =--，利用导数研究函数()f x 在()0,∞+单调性，并计算()min 0f x ≥，可得结果.【详解】令()ln f x x x x a =--，()0,x ∈+∞ 则()'ln fx x =，令()'01f x x =⇒=若01x <<时，()'0f x <若1x >时，()'0fx >所以可知函数()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增 所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立 所以()min 101f x a a =--≥⇒≤- 故选：A 【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题. 9．B 【分析】 将代数式222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式可求出所求代数式的最小值. 【详解】0xy >，22222222414559x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫∴++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当xy =222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9.故选：B.本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 10．D 【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间()2,m -上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】 由于()()()'233311fx x x x =-=+-，故函数在(),1-∞-和()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，()()122f f -==，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间()2,m -上有最大值，根据图像可知(],B A m x x ∈，即(]1,2m ∈-，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11．A选择特殊值，当0a =时，函数很明显没有零点，排除BCD 。
绵阳南山中学实验学校2020届高三数学五月月考试题理含解析
（2）商场对选的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高300元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖,则每次中奖都可获得一定数额的奖金，假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的,请问:商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？
C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性可得 , ，根据不等式的性质可知 ;通过比较 与1 的大小关系，即可判断 ，从而可选出正确答案。
【详解】解： ， ,则
，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性。在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于 ,若 ,则(1）当 时, ; （2)当 时， ； （3)当 时, ； 若 ,则（1）当 时， ; (2）当 时， ； (3）当 时， .
（2）根据 及三角形面积公式，代入即可得等式 ，结合基本不等式即可求得 的最小值，进而得 的面积的最小值.
【详解】（1）解法一：由 及正弦定理知 ，
则 ，
则 ,
得
解法二：∵ ，
∴ ,
则 ，
∴ ，
∴ 。
（2） 的平分线交 于点 ，
则 ，
∴ ,
则 ，
由 ，
得 ,当且仅当 时等号成立,
则 .
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2020年绵阳中学自主招生数学试题
2020 年绵阳中学自主招生数学试题一.选择题：〔本大题共 12 个小题，每个 4 分，共 48 分，将所选答案填涂在机读卡上〕 1、以下因式分解中，结果正确的选项是〔 〕B.x 4 (x 2)(x 2)( x 2) 23224 2 1D.1 (a 2)(a 1)(a 3)2xx 1 x(x 1 )2 x2、〝二次函数y ax bx c 的图像如下图，试判定 与a b c 2 因此a b c 0 .〞他这种讲明咨询题的方式表达的数学思想方〕B.配方法 D.分类讨论法1 1 13、实数 满足 ，那么 的值是〔 〕x xx 4 4 2x 2 x xA.-2k k4、假设直线y 2x 1与反比例函数 的图像交于点P(2,a) ，那么反比例函数 的图像还y y x x〕C.(-2,-3)D.(2,12) D.95、现规定一种新的运算：〝*〞：m *n (m n) ，那么〕m n 46、一副三角板，如下图叠放在一起，那么AOB C O D ＝ 〔 〕7、某中学对 2005 年、2006 年、2007 年该校住校人数统计时发觉，2006 年比 2005 年增加 20%， 2007 年比 2006 年减少 20%，那么 2007 年比 2005 年〔 A.不增不减 B.增加 4％ C.减少 4％〕 8、一半径为 8 的圆中，圆心角θ为锐角，且 3，那么角θ所对的弦长等于〔2 〕 A.8D.169、一支长为 13cm 的金属筷子〔粗细忽略不计〕，放入一个长、宽、高分不是 4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进〔 〕深的水才能完全埋住筷子。
A.13cm 10、如图，张三同学把一个直角边长分不为 3cm,4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻动〔顺时 针方向〕，顶点 A 的位置变化为 ，其B.4 10 cmC.12cmD. 153 cmA AA 12中第二次翻动时被桌面上一小木块挡住，使纸板 一边 与桌面所成的角恰好等于BAC ，那 么 A C 2 1〕A2A.8 2 cmC.2 29 cm11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下 修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。
【新】2019-2020绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。
2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（ ） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
四川省绵阳中学(实验学校)2020-2021年自主招生数学试卷
HGCB DEA四川省绵阳中学(实验学校)2020-2021年自主招生数学试卷（时间：70分钟 满分：100分）姓名：_____ 分数：______一．选做题（共10小题，每题3分，共30分）1．已知三条抛物线y 1=x 2-x+m ，y 2=x 2+2mx+4，y 3=mx 2+mx+m-1中至少有一条与x 轴相交，则实数m 的取值范围是( )(A)4/3<m<2 (B)m ≤3/4且m ≠0 (C)m ≥2 (D)m ≤3/4且m ≠0或m ≥22．若等腰△ABC 的三边长都是方程x 2-6x+8=0的根，则△ABC 的周长是( ) (A)10或8 (B)1O (C)12或6 (D)6或10或123．已知A 、B 两地相距4千米。
上午8:00，甲从A 地出发步行到B 的，8:20乙从B 地出发骑自行车到A 地，甲乙两人离A 地的距离（千米）与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示。
由图中的信息可知，乙到达A 地的时间为A 、8:30B 、8:35C 、8:40D 、8:454．如图，在正方形ABCD 的外侧，以AD 为斜边作等腰直角△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于点G 、H ，若△GHE 的面积为2，则△CDH 的面积为（ ）A 、2；B 、22；C 、32；D 、4；5．已知关于x 的一次函数y=mx+2m-7在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围（ ）A 、7m >B 、1m >C 、17m ≤≤D 、以上都不对6．如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的圆弧，第3题图时间/分 2060 24 距离/千米则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．12-πB ．41π- C ．13-πD ．61π-7．如图，已知点A 是一次函数y =x 的图象与反比例函数xy 2=的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA =OB ，那么△AOB 的面积为A 、2B 、22C 、2D 、228．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA =90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABC ；④△ADF 与△CFB 。
数学答案)
∴△EOB 是等腰直角三角形．∴ BOE 45 ．∴ AOB 135° …………………12 分 20．解（1）设改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 a 万元和 b 万元．
a 2b 230 依题意得： 2a b 205 ·····································································2 分
21.证明（1）：∵ AB是直径
∴ ACB 90，CAB ABC 90 ………………………2 分 ∵ MAC ABC ∴ MAC CAB 90 ，即 MA AB
∴ MN是半圆的切线 . ………………………4 分
M
（2）如图∵ D是弧AC的中点， ∴ DBC DBA ……………………………5 分
把 x 5 2 代入得原式 4 4( 5 1) 5 1 ·······························10 分 5 1 ( 5 1)( 5 1)
四川省绵阳南山中学实验学校2019-2020学年高一下学期开学考试数学(理)试题含答案
绵阳南山中学实验学校高2019级高一（下）入学考试题数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.下列命题中正确的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d <，则abc d >C. 若a b >，c d >，则a c b d ->-D. 若0ab >，a b >，则11a b <2.在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A. B. 4C. D. 23.数列{}n a 满足143n n a a -=+且10a =，则此数列第5项是（ ）A. 15B. 255C. 16D. 634.等比数列{}n a 中，372,8,a a ==则5a = （ ）A. 4±B. 4C. 6D. 4-5.已知：在△ABC 中，cos cos cCb B =，则此三角形为（ ）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形6.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项 7.ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为2224a b c +-，则C =A. π2B. π3C. π4D. π68.△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝3B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是 ( ) A. ①②B. ①④C. ①②③D. ③④ 9.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )A 12万元B. 16万元C. 17万元 D. 18万元10.不等式2(3)2(3)40a x a x -+--<对于一切x ∈R 恒成立，a 的取值范围是（ ）A. (,3)-∞-B. (1,3]-C. (,3]-∞-D. (1,3)-11.在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A. 200mB. 300mC. 400mD.12.在锐角三角形中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则a b 的取值范围是（ ） A. 32⎛ ⎝⎭ B. )2 C. D. 02（，） 第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二.填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案直接填在答题卡中的横线上. 13.已知等比数列{}n a 中，0n a >，19,a a 为210160x x -+=的两个根，则456a a a ⋅⋅=_______. 14.在ABC V ，三个内角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若内角、、A B C 依次成等差数列，且不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b 等于___________.15.在ABC V 中，60A =︒，1b =sin sin sin a b c A B C ++=++________． 16.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．三.解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 0b C c B +=.（1）求C ；（2）若a b ==D 在边AB 上，CD BD =，求CD 的长.18.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且()21010004010000501450040x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，，．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润L （x ）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．19.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围． 20.已知二次函数()f x 满足以下两个条件：①不等式()0f x <的解集是(2,0)-②函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值是3.（Ⅰ）求()f x 的解析式；的（Ⅱ）若点()()*1,n n a a n N +∈在函数()f x 图象上，且199a =. （ⅰ）求证：数列(){}lg 1n a +为等比数列 （ⅱ）令()lg 1n n b a =+，是否存在正实数k ，使不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立？若存在，指出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.的参考答案第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.D2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.D10.B11.B12.A第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二.填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案直接填在答题卡中的横线上. 13. 6414.15. 316. 9三.解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）因为 cos sin 0b C c B +=，∴由正弦定理知，sin cos sin sin 0B C C B +=，0B π<<, sin 0B >，于是cos sin 0C C +=，即tan 1C =-，因为 0C π<<，所以3 4C π= （2）由（1）和余弦定理知，222222cos 225c a b ab C ⎛=+-=+-= ⎝⎭5c =，所以222 cos 2a c b B ac +-=== ∵在BCD ∆中，CD BD =，所以12 cos BC B CD=，5 2cos 4a CD B === 18.（1）当040x <<时，()225100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-； 当40x ≥时，1000010000()5100501450025002000()L x x x x x x=⨯--+-=-+； ∴()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+，∴当20x =时，()()201500max L x L ==；当40x ≥时，10000()2000()200020002001800L x x x =-+≤-=-=， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()()10018001500max L x L ==>； ∴当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元． 19.（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++L ()112222n n n -=++. 因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222nn λ≤+成立.又()21114416222424nn n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）. 所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 20. （Ⅰ）因为不等式()0f x <的解集是(2,0)-，所以设()(2)(0)f x ax x a =+>，且函数的对称轴为：1x =-，因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以最小值为(1)33f a ==，解得1a =， 函数解析式为()(2)f x x x =+；（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为点()()*1,n n a a n N +∈在函数()f x 的图象上，所以212n n n a a a +=+，则()2111n n a a ++=+，()()1lg 12lg 1n n a a ++=+， 因为199a =，所以()1lg 12a +=，数列(){}1lg 1n a ++是以2为首项，2为公比的等比数列；（ⅱ）()lg 12n n n b a =+=，要使不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立， 则2220kn n -->对于一切*n N ∈恒成立， 所以222k n n>+对于一切的*n N ∈恒成立，令()*222(),g n n N n n =+∈， 令1t n =，则2211()222()22g t t t t =+=+-，(01t <≤)，max ()(1)4g t g ==， 所以当4k >时， 不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立.。
2020届四川省绵阳市南山中学实验学校高三下学期入学考试数学(理)试题Word版含解析
2020届四川省绵阳市南山中学实验学校下学期入学考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求. 1．若集合A={x|x 2﹣4x ﹣5=0}，B={x|x 2=1}，则A ∩B=（ ）A ．﹣1B ．{﹣1}C ．{5，﹣1}D ．{1，﹣1} 2．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．已知向量13(,)22BA =uu v ，31(,)22BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒ 4．已知α，β，γ是三个不同的平面， 1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若1//l α，1l β⊥，则//αβC ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12//l lD ．若αβ⊥，1l α⊥，2l β⊥，则12l l ⊥ 5.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．25-B ．25C ．210-D ．2106. 设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<7．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c bb c+最大值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．49．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．2πD ．7π10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ） A.4π B.92πC.6πD.323π11.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1(0,)2 B ．2(,1)3 C ．12(,)23 D ．12(0,)(,1)23U12.若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C ．1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分．答案填在答题卡上．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3，则= ．14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜 色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止的不同取球种数为 ．15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件若z=2x+y 的最小值为1，则a= ．16．设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M （，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2,60c C ==︒. （1）求sinA sin a bB++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计绵阳市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）： 网购金额 （单位：千元） 频数 频率（0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2． （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上. （1）当1:1:2AE EA =时，求证1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，若△AOB 的面积为．且直线AB 经过点P （﹣2，3）（1）求椭圆C 的方程；（2）过点S （﹣，0）的动直线l 交椭圆C 于M ， N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以MN 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数g （x ）=+lnx 在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f （x ）=mx ﹣﹣lnx （m ∈R ）．（1）求θ的值； （2）设h （x ）=，若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得f （x 0）﹣g （x 0）＞h （x 0）成立， 求m 的取值范围．选做题。
南山中学实验学校自主招生考试模拟试题
南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学试题一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(2) 的结果是( ) A ．5B ． 5C ．6D ． 62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．B ．CD ．4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A ．点P B ．点M C ．点RD ．点Q7．若220x x ++=，则xy 的值为（ ）A ．6或0B ．6-或0C．5或0D ．8-或8．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A ．y x> B ．x =y C ．y x < D ．与a 、b 的取值有关9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程 为 x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）---020=623)(a a =3±2a a a =+2x - ABCD 40°120°图1ABCD图2图3A B DC10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式子个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )卷Ⅱ(非选择题,共114分)二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上． 13．的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6， 点A 对应的数为，则点B 所对应的数为 ． 15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程的一个根，则 的值为 ． 17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． -1-02=++n mx x 222n mn m ++图5图7-1图7-2图8图10-1图10-2图918．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.A 说：B 第三名,C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名；D 说：C 第一名，B 第二名；E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(1)（本小题满分8分）解方程：.(2)（本小题满分8分）先化简再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中22430a a +-=.20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．1211+=-x x8分9分 分数10分 图11-2 7分 甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图图11-1（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 （2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？21．（本小题满分12分）如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． （1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数（x ＞0）的图象经过点M ， 求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． xmy =xmy =22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？图13-2A D O BC 2 1MN图13-1AD BMN1 2 图13-3AD O BC21MNO23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图13-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图13-3，求的值． ACBD如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，AD = 6，BC = 8，，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中， 写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积． （3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖， 被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由． 90B ∠=︒33=AB PQ图14（备用图）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、B 3(0,)2C -，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =，求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称， 问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由； （3）设直线BD 交P 于另一点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．。
2019-2020学年四川省绵阳南山中学实验学校高一下学期开学考试数学(理)试题解析
2019-2020学年四川省绵阳南山中学实验学校高一下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a b c d> C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若0ab >，a b >，则11a b< 答案：D利用特殊值对四个选项逐一进行排除，从而得到正确选项. 解：对于A 选项，当0c =时，不成立，故A 选项错误.当1,0,2,1a b c d ===-=-时，a bc d<，故B 选项错误. 当1,0,1,0a b c d ====时，a c b d -=-，故C 选项错误，故D 选项正确.所以选D. 点评：本小题主要考查不等式的基本性质，由于题目是选择题，故采用特殊值举反例的方法，对选项进行排除.属于基础题.不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变.两边同时乘以零，那么两边都变为令.两边同时乘以负数，不等号要改变方向.同向不等式可以相加，不能相减.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2答案：B试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．【考点】求不等式组表示的平面区域的面积．3．数列{}n a 满足143n n a a -=+且10a =，则此数列第5项是（ ） A ．15 B ．255C ．16D ．63答案：B由递推公式可推出{1}n a +为等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式. 解：143n n a a -=+Q ，11114(1)41n n n n a a a a --+∴+=+⇒=+，∴{1}n a +是以1为首项，4为公比的等比数列，则1*14()n n a n N -+=∈， ∴1*41()n n a n N -=-∈，∴4541255a =-=.故选：B 点评：本题考查数列的递推公式，等比数列的通项公式，属于基础题. 4．等比数列{}n a 中，372,8,a a ==则5a = （ ） A ．4± B ．4 C ．6 D ．4-答案：C本试题主要考查了等比数列的通项公式的运用．因为等比数列中等比中项性质可知253755164,4()a a a a a ==∴==-舍，故选C.解决该试题的关键是根据等比中项253716a a a ==，得到结论．5．已知：在△ABC 中，cos cos c C b B=，则此三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形答案：C利用正弦定理把边换成角得到sin cos sin cos C CB B=，进而利用三角函数的差角公式求解即可 解： 对于cos cos c C b B =，等式左边的分子分母同时除以2R ，利用正弦定理可得， sin cos sin cos C CB B=，∴sin cos sin cos 0C B B C -=， 得到sin()0C B -=，A ，B ，C 均在△ABC 中，故得到B C =，此三角形为等腰三角形. 答案选C. 点评：本题考查正弦定理和三角函数差角公式的运用，属于简单题.6．如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A ．13项 B ．12项C ．11项D ．10项答案：A试题分析：设这个数列有n 项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 【考点】1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；7．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：C分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
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18
题
保密★启用前
绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题
数学
本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上
,并认真核对姓名与考号;
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑
,如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效
;
3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的
位置上,答在试题卷上无效
.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;
4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交
.
第I 卷(选择题,共36分)
一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1．－4的倒数是（
）A ．4
B ．－4
C ．
14
D ．－
14
2．下列运算正确的是（
）A .3
3
3
2a a
a
B . 6
3
3
a
a
a
C . 3
3
6)2(x
x D . 4
2
6
a
a
a
3．用科学记数法表示
0.000031，结果是（
）
A ．3.1×10-4
B ．3.1×10-5
C ．0.31×10
-5
D ．31×10
-6
4．要使式子
2
a a
有意义，则a 的取值范围为( )
A.
2a .2B a .20C a 且a D.2
a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（
）
A
B C D
6．如图，已知直线
AB CD ∥，125C °，
45A °，那么
E 的大小为（）
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E(－4,2)，F(－2,－2)，以原点O 为位似中心，
相似比为
12
，把△
EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（
）
A ．(－2,1) B. (－8,
4)
C ．(－8,
4)或(8,－4)
D. (－2,1)或(2,－1)
8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点
D
是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（）
A.32
B.
33
C.3
D.2
9．若关于x 的一元二次方程2
210kx
x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A.
1
k B.
1k 且0k C.1
k D.
1k 且0
k 10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为
Q ，
∠ACB 的平分线垂直于
AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（）。
A.32
B.52
C.3
D.4
11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△
O ′A ′B
点A 的对应点在直线34
y
x 上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为（
）
A.
94
B. 3
C. 4
D. 5
12．如图12，抛物线2
+(0)y ax
bx c a
过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P=a b c ，
则P 的取值范围是（
）.
A ．-4＜P ＜0
B ．-4＜P ＜-2
C ．-2＜P ＜0
D ．-1＜P ＜0
二、填空题（每小题
4分，共24分）
13．分解因式：2
4129ax
ax
a ＝．
14：已知m 2
-6m-1=0求2m 2
-6m+2
1m
= .
15．已知关于
x 的方程
231
x m x 的解是正数，则
m 的取值范围为：______.
16.在平面直角坐标系中，点O 是原点，点B （0，3），
点A 在第一象限且AB ⊥BO ，点E 是线段AO 的中点，点M 在线段AB 上．若点B 和点E 关于直线
OM 对称，且则点M 的坐标是
(
，
) ．
17．如图，AB 是半圆O 的直径，且8AB ，点C 为半圆上的一点．将此
半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分
的面积是
（结果保留
）．
18.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
动点P 从点Q 出发，沿射线
QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过
t 秒，
O
D
C A
B
图12
A B
C
D
E
P Q
（第10题）
16题图C
A
B
O
17题图。