数学分析试卷(附答案)
数学分析试卷及答案6套
一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+收敛.四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. x e dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.1arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1. 221lim nn k nn k →∞=+∑2. 20lim1xt xx xe dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂ 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a ，求函数 n u x =的最大值.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩ 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 九 (10分) 求dS z∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+-=-⎰六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f x y z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim220022*******222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221cos 1y x y x ++当趋于（0，0）无极限。
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域4、11lim 22220-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n n x u dxdx u dx d3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa 2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分）4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim2200222222220222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1c o s 11(s i n 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221c o s 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。
数学分析期末考试题真题含答案
数学分析期末考试题真题含答案一、填空题（每小题2分，共10分）.________dx x)lnx (f ,)(.12=+=⎰⎰则若c x dx x f .________)x (F ,)(.21cos 2='=⎰-则若dt ex F x t=+-⎰-dx x x x )cos 21(.3112 . .______.41013时收敛满足条件当广义积分p xdxp ⎰-._______u lim )u 12u 1.51nn=+-∞→∞=∑n n n 收敛，则（若 二、单选题（每小题2分，共10分）的一个原函数是则的导函数是若)(,cos )(.1x f x x f （ ）（A ）x sin 1+; （B ）x sin 1-; （C ）x cos 1+; （D ）x cos 1-. 2.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上（ ） （A ）连续 ; （B ）有界; （C ） 无间断点; (D)有原函数.3.下列反常积分收敛的是( ) (A)⎰∞+321dx x ; (B) ⎰∞+3ln dx x x ; (C) ⎰∞+3sin dx xx ; (D) ⎰∞+3ln 1dx x . 4.下列级数收敛的是( )(A)∑∞=11n ne ; (B))11ln(1∑∞=+n n ; (C) ∑∞=2ln 1n n ; (D) )1)1((21n n n n --∑∞=.5.)1ln()(x x f +=的幂级数展开式为（ ）（A ）]1,1(3232-∈•••+++x x x x ; （B ）]1,1(3232-∈•••-+-x x x x ; （C ）)1,1[3232-∈•••----x x x x ; （D ）)1,1[3232-∈•••+-+-x x x x . 三、计算题（每小题8分，共48分）;cos 1sin .1dx xx x ⎰++N);n (xdx tan I .2n n ∈=⎰的递推表达式求不定积分0);(,31x .3a >=-⎰∞+a x x d 求设π4.求函数项级数∑∞=1n xnx 的收敛域;5.求幂级数∑∞=+0)12(n n x n 的和函数；.x 9)(.62的幂级数展开成将函数x xx f +=四、讨论与应用题（每小题8分，共16分）1.求由轴y x y ,12-=与23x y =所围成的平面图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积..)1cos1()1(.211的敛散性讨论级数pn n n ∑∞=--- 五、证明题（每小题8分，共16分）（从以下三题可任选两道题做）1.设)(x f 在[0,1] 连续,试证⎰⎰=πππ00)(sin )2/()(sin dx x f dx x xf .2.设函数序列)}({x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(x f ,且)(x g 在区间],[b a 上有界,证明: 函数序列)}()({x g x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)()(x g x f .3.证明若∑∞=12n nx收敛,则∑∞=-11n n nx 发散. 答案一．1.c x +2ln ; 2. x e x sin cos 2-; 3. 1sin 4; 4.32<p ; 5. 1.二．１．D ２．B ３．A ４．D ５．B. 三．１．解：原式dx xdx x x⎰⎰+=2tan 2cos 22 (2分)dx xdx x xd ⎰⎰+=2tan )2(tan （5分）Cx x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . （8分）2．解：dx x x I n n )1(sec tan 22-=⎰- (2分)⎰---=21)(tan tan n n I x xd （4分）),4,3,2(tan 1121 =--=--n I x n n n . （6分）其中.cos ln ,10C x I C x I+-=+= （8分）3．解：令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=，当+∞→a x :时，+∞→-1:a t (2分)故原式⎰∞+-+=1212a dt t （4分）31arctan 2arctan 21ππ=--==∞+-a t a . （6分）从而，4=a （8分） ４．解：由∑∑∞=∞==111n x n x n x n x. （2分）知，当1>x时, ∑∞=11n x n收敛,因此∑∞=1n xnx 也收敛； （4分）当1≤x时,∑∞=11n x n 发散,因此∑∞=1n xnx 也发散(0≠x )； （6分） 当0=x 时,原级数收敛；故原幂级数的收敛域为0=x 及),1(+∞. （8分）5．解：.)12(lim x x n n n n =+∞→;,1x 级数收敛时当<;)12n (,1x 0n 发散原级数化为时当∑∞=+=;)12n ()1(,1x 0n n 发散原级数化为时当∑∞=+--=故原幂级数的收敛域为)1,1(+-. （4分）)1x 1()x 1(x 1x 11)x 1(2x x 11)x 1x (2x x 11)x 2x(x 11)dx nx (2x x 2nx x )12n ()x (s 221n n 1n x 01-n 0n nn n 0n n <<--+=-+-=-+'-=-+'=-+'=+=+=∑∑⎰∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=令 . （8分）6．解：nn n x x x x x f 202)3()1(91)3(191)(∑∞=-=+= （4分）)1(21203)1(++∞=∑-=n n n nx （6分）).3,3(,9)1(121--=-∞=∑nn n nx （8分）五．１．解：1>联立可解得与由223x y x 1y =-= 1/2x =故所求图形的面积为31)34(]3)1[(2/1032/1022=-=--=⎰x x dx x x S （4分）2>所求旋转体的体积为dx x dx x V 222/102/1022)3()1(⎰⎰--=ππ （5分）ππ12031)5832(2/1053=--=x x x . （8分） ２．解．2pp n n 121~n 1cos1u -=由于.,n 121,21p 2p1n 故原级数绝对收敛收敛时当∑∞=> （4分） .,n 121)1(,n 121,21p 2p1n 1n 2p 1n 故条件收敛莱布尼茨交错级数条件满足而级数发散时当∑∑∞=-∞=-≤ 故原级数在21p ≤时条件收敛. （8分） 六．１．证明：则令,x t -=π （2分）⎰⎰-=πππ00)sin ()t ()sin (x dt t f dx x f （4分）⎰⎰-=πππ00xf(sinx)dx )sin (dx x f （6分） ⎰⎰=πππ00)sin ()2/()sin (x dx x f dx x f 故. （8分）２．证明：因为)(x g 在闭区间],[b a 上有界.不放设],[,)(b a x M x g ∈∀≤ （2分）又函数序列)}({x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛，故对0)(,0>∃>∀εεN 当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有Mx f x f n ε<-)()( （6分）于是当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有ε<-)()()()(x g x f x g x f n 函数序列)}()({x g x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛)()(x g x f . （8分）3．证明：由于)1(2122n x n x n n +≤ （4分），又因为∑∑∑∞=∞=∞=+=+12122121)1(n n n n n nx n x 收敛，故∑∞=12n nn x 收敛，从而，∑∞=1n n n x 绝对收敛. （6分）.,11故原级数发散发散而∑∞=n n（8分）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知)(x f 为x 2sin 的原函数，且21)0(=f ，则⎰=dx x f )( 。
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，那么下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处不可导C. f(x)在点x=a处不连续D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 若级数∑(从n=1到∞) (1/n) 收敛，则下列级数中哪一个也收敛？A. ∑(从n=1到∞) (1/n^2)B. ∑(从n=1到∞) (1/n^3)C. ∑(从n=1到∞) (1/n^(1/2))D. ∑(从n=1到∞) (1/n^(3/2))答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-2,2]上的最大值是：A. -8B. 8C. -2D. 2答案：B4. 设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0，则下列说法正确的是：A. 函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点B. 函数f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点C. 函数f(x)在区间(a,b)内没有零点D. 函数f(x)在区间(a,b)内至少有两个零点答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值为______。
答案：-12. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求f'(x)=______。
答案：3x^2-6x+23. 若级数∑(从n=1到∞) (1/n^2) 收敛，则其收敛的和为______。
答案：π^2/64. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线斜率为______。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必有界。
证明：略。
2. 计算定积分∫(从0到1) x^2 dx。
答案：1/33. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案4(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题一 填空（共15分，每题5分）：1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;2 设=--='→5)5()(lim,2)5(5x f x f f x 则54；3 设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(,0,sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。
二 计算下列极限：（共20分，每题5分）1 n n n1)131211(lim ++++∞→ ; 解: 由于，n n n n 11)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→nn n故 。
1)131211(lim 1=++++∞→nn n2 3)(21limn nn ++∞→；解: 由stolz 定理,3)(21limn n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n nn )1)1()(1(lim-+-+--=∞→n n n n n n nn)1)1(2))(1(()1(lim--+---+=∞→n n n n n n n n n.32)1)11(2111lim2=--+-+=∞→nn nn 3 ax a x a x --→sin sin lim；解: ax ax a x --→sin sin lim ax ax a x ax --+=→2sin 2cos2lim.cos 22sin2coslim a a x a x a x ax =--+=→ 4 xx x 1)21(lim +→。
解: xx x 10)21(lim +→.)21(lim 22210e x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）：1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=求解: 。
数理分析试题及答案
数理分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列关于极限的描述中，正确的是：A. 极限是函数在某一点附近的行为B. 极限是函数在某一点的值C. 极限是函数在某一点处的导数D. 极限是函数在某一点处的切线答案：A2. 微分方程的解是：A. 函数的导数B. 函数的积分C. 满足微分方程的函数D. 微分方程的通解答案：C3. 以下哪个是连续函数的性质？A. 函数值可以任意跳跃B. 函数值在任意小的区间内都有定义C. 函数值在任意小的区间内都有变化D. 函数值在任意小的区间内都保持不变答案：B4. 积分的几何意义是：A. 曲线下的面积B. 曲线上的点C. 曲线的长度D. 曲线的斜率答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示函数在该点的_________。
答案：切线斜率2. 函数y=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的是曲线y=x^2与x轴之间的_________。
答案：面积3. 微分方程dy/dx=y的通解是_________。
答案：y=Ce^x4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是_________。
答案：-cos(x) + C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的导数。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，然后将x=2代入f'(x)中，得到f'(2)=3*(2)^2-12*2+11=1。
答案：12. 计算定积分∫(0到1) (x^2-2x+1)dx。
解：首先求出被积函数的原函数F(x)=(x^3/3-x^2+x)，然后计算F(1)-F(0)，得到(1/3-1+1)-(0-0+0)=1/3。
答案：1/3四、证明题（每题10分，共10分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。
数学分析第一学期模拟试卷及解析
第1学期模拟试卷1一、填空题（15分，每小题3分）1. 252limsin 32x x x x→∞+=+ . 2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞=+∞的定义 :3. 数集(1)1nn n N n +⎧⎫--↓∈⎨⎬+⎩⎭的上确界是 , 下确界是 . 4．设1(1)1y x x =≠-+，则n 阶导数=)(n y . 5．定积分1251||(sin )x x x dx -+=⎰ . 二、选择题（15分，每小题3分） 1. 设1(), ()11xf xg x x-==+则当1x →时 ( ) . （A ）()f x 及()g x 为等价无穷小；（B ）()f x 及()g x 为同阶无穷小但不等价； （C ）()f x 是()g x 的高阶无穷小；（D ）()f x .是()g x 的低阶无穷小；2.. 当x →+∞时 ()f x 不以a 为极限的定义是( ) （A ）;0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∀>-≥; （B ）000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥; （C ）00000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-<; （D ）0000 0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥.3． 数集{} (1,0.1) 0 ( 0.1 ,1 )A =--的所有聚点的集合是 ( ) （A ）A ； （B ）{} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]--；（C ） [1,0.1 ] [ 0.1 ,1 ]-- ；（D ） (1,0.1) ( 0.1 ,1 )--；4. 设)(x f 在0x =处二阶可导，且 0()lim1x f x x→'=, 则( ). （A ）0x =是)(x f 的极小值点； （B ）0x =是)(x f 的极大值点； （C ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点； （D ）. 以上都不是。
数学分析竞赛试题及答案
数学分析竞赛试题及答案试题一：极限计算计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]试题二：级数收敛性判断判断下列级数是否收敛：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]试题三：函数连续性与可导性若函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，判断其在 \(x=1\) 处的连续性与可导性。
试题四：中值定理应用若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，证明在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = 0\)。
试题五：积分计算计算下列定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]答案：试题一：根据极限的定义，我们知道当 \(x\) 趋近于 0 时，\(\sin x\) 与 \(x\) 是等价无穷小，所以极限为 1。
试题二：根据级数的比较判别法，由于 \(\frac{1}{n^2}\) 与\(\frac{1}{n(n+1)}\) 比较，后者的级数是收敛的，因此原级数也收敛。
试题三：函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x=1\) 处的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)，代入 \(x=1\) 可得 \(f'(1) = -1\)。
由于 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处的左导数和右导数都存在且相等，所以\(f(x)\) 在 \(x=1\) 处连续且可导。
试题四：根据罗尔定理，由于 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，所以必然存在至少一点 \(c \in (a, b)\) 使得 \(f'(c) = 0\)。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
数学分析 测试试卷及答案
综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。
. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。
(完整版)数学分析试题及答案解析,推荐文档
∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
不同年级的数学试卷分析【含答案】
不同年级的数学试卷分析【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种数学理论是描述数与数之间关系的？A. 代数B. 几何C. 微积分D. 概率论2. 在数学中，以下哪个概念属于线性代数范畴？A. 导数B. 矩阵C. 三角函数D. 集合论3. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则f(1)的值为？A. 2B. 3C. 0D. -14. 下列哪个数学家被称为“几何之父”？A. 欧拉B. 牛顿C. 欧几里得D. 高斯5. 在数学中，以下哪个符号表示无穷大？A. ∞B. πC. eD. φ二、判断题（每题1分，共5分）1. 数学分析主要研究函数的性质和图形。
（错）2. 在数学中，实数包括有理数和无理数。
（对）3. 任何两个奇数之和都是偶数。
（对）4. 欧拉公式是数学中最美的公式之一。
（对）5. 数学证明只能通过逻辑推理来完成。
（错）三、填空题（每题1分，共5分）1. 平面几何中，三角形的内角和等于______度。
2. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为______。
3. 在数学中，______是表示平方根的符号。
4. 两个互质的正整数的最小公倍数等于它们的______。
5. 微积分中的基本定理是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述集合论的基本概念。
2. 什么是对称轴？请举例说明。
3. 请解释极限的概念及其在微积分中的应用。
4. 简述导数的定义及其几何意义。
5. 请解释矩阵的乘法及其运算规则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)。
2. 计算积分∫(1/x)dx。
3. 解方程组：2x + 3y = 7，x y = 2。
4. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
5. 计算概率：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析并讨论函数f(x) = x^2 2x 3的图像和性质。
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六、七、八略
一.（1） 的充要条件是为任何以 为极限的数列 ，都有
（2）设函数 在区间 （或开，或闭，或半开半闭）内满足对任意的 ，可找到只与 有关而与 内的点 无关的 ，使得对 内任意两点 ，当 时，总有 ，就称 在 内一致连续.
二.（1） （2） （提示：利用夹逼准则，得到 ）（3）
三.（1） （2） （3）
四.证：第一步：设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，则设 ，可知在 内至少有一点 ，使得
第二步：设 都在 上连续，在 内二阶可导，且 ，则在 内至少存在一点 ，首先由第一步知，存在 ，同理可知在 上有一点 ；再记 ，在 上考虑这两个，易知 满足第一步条件，从而存在 使得 ，即是
第三步：设直线 的方程是 ，显然有 ，由第二步可知，存在 ，使 ，而 ，所以 .
五.（12分）设函数 四阶可导， ，且 ，证明： .
六.（12分）判别函数 在区间 内的一直连续性，并证明；再证明函数 在 上是一致连续的.
七.（12分）设函数 ，求 .
八.（12分）设函数 在 上有二阶导数，且 ,又 ，证明在 内至少存在一点 ，使 ；另外，若 在区间 中有 成立，证明： 在 中一致连续.
一.(10分)（1）叙述“海涅归结原则”
（2）叙述“一致连续定义”
二.(18分)（1） ；
（2） ；
（3） .
三.求下列函数的导数（12分）
（1）
（2）（3）求ຫໍສະໝຸດ 的 阶导数四.（12分）已知 在 上连续，在 内 存在，设连接 两点的直线与曲线 在异于 点的另一点 处相交， ，试证明：在 内至少有一点 ，使 .