转动惯量的计算平行轴定理

速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
1 mgl sin J
2
式中
J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
m FN
l2
l oP
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 转轴过端点垂直于棒
J 2 l / 2 r2dr 1 ml2
0
12
J l r 2dr 1 ml2
0
3
2.3 用刚体转动定理解题
例1 如图, 有一半径为 R 质量为 m的匀质圆盘,
可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一
端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体
下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
Ro
m
oR
m
T
m
T'
Py
解：1） 分析受力 2）选取坐标
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
J 4 MR
dr r
dFf
dl
停止转动需时 t 0 3 mR0
4 N
例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
解: 在圆盘上取面积微元,
0
面积元所受对转轴的摩擦力矩
大小
rdFf
r
N πR2
dldr
dr r dFf
dl
刹车片
面积微元所受摩擦力矩
rdFf
r
N πR2
dldr
圆环所受摩擦力矩
dM
rdFf
Nrdr
πR 2
2 πr 0
dl
Байду номын сангаас
2Nr 2dr
R2
圆盘所受摩擦力矩
M dM R 2Nr2dr 2 NR
0 R2
3
0
R
圆盘角加速度 M 3 N
细棒绕中心轴
1 mL2 12
细棒绕一端轴
1 mL2 3
薄圆环(筒)绕中心轴
mR2
圆盘(柱)绕中心轴 薄球壳绕中心轴
1 mR2 2
2 mR2 3
球体绕中心轴
2 mR2 5
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒
垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
dr
O´
3）列方程（用文字式）
牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体）
mg T ma y
T R J
约束条件 转动惯量
a y R T T
J m' R2 / 2
m
Ro
m
T
m
oR m
T'
Py
先文字计算求解， 后代入数据求值.
ay 2mg (2m m')
T m'mg /(2m m')
2mg [(2m m')R]
质点角动量守恒定律：
当质点不受力，或所受合力矩M=0时
dl 0 ，l 常矢量
dt
质点系角动量 L li ri mivi
i
i
质点系角动量变化定理
dL M 外 dt
内力总成对出现，则质点系所受合内力矩 等于零，对总角动量没有影响。
角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
刚体定轴转动定理： M z I
刚体绕 z 轴的转动惯量 ：
I mi ri2 I r 2dm i
2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
如果刚体的一个 轴与过质心轴平行 并相距d，则质量为 m的刚体绕该轴的转 动惯量，等于刚体 绕过质心轴的转动 惯量与 md 2 之和
I IC md 2
一些均匀刚体的转动惯量
3g (1 cos )
l