初中数学九年级《相似三角形》公开课教学设计
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定公开课教学设计
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，使学生认识到数学在生活中的广泛应用，增强学生的数学应用意识。
2.培养学生严谨、认真、勤奋的学习态度，激发学生勇于探索、积极思考的精神风貌。
3.通过对相似三角形的学习，使学生认识到事物之间的联系和规律，培养学生的辩证唯物主义世界观。
本章节教学设计以人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定为核心，围绕教学目标，结合学科特点和课程内容，注重培养学生的知识技能、过程ห้องสมุดไป่ตู้方法以及情感态度与价值观。在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的数学素养，为学生的全面发展奠定基础。
-例题应涵盖不同难度层次，由浅入深，使学生逐步提高解决问题的能力。
4.实践应用，拓展思维：
-布置课后作业，要求学生运用相似三角形的性质解决实际问题，巩固所学知识。
-鼓励学生寻找生活中的相似三角形，将数学知识与社会实践相结合，提高学生的数学应用意识。
5.反思评价，促进发展：
-在教学过程中，教师应及时收集学生的反馈，了解学生的学习情况，调整教学策略。
2.教学难点：
-相似三角形的判定条件的理解与应用，尤其是AA相似定理和SSS相似定理的运用。
-在复杂图形中识别相似三角形，并运用相似三角形的性质进行问题的求解。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课：
通过展示生活中常见的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引发学生对相似三角形的好奇心，从而导入新课。
此外，学生在团队合作方面已具备一定的基础，能够在小组讨论中发表自己的观点，倾听他人的意见。教师应充分利用这一特点，组织学生进行小组合作学习，提高学生的问题解决能力和沟通能力。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
-学生回顾全等三角形的性质，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从相似三角形的定义入手，探讨相似三角形的性质。
-解释相似三角形的定义，强调比例关系。
-引导学生观察相似三角形的边长和角度，发现性质。
2.教师运用几何画板动态展示相似三角形的性质，帮助学生形象理解。
-学生能够运用相似三角形的性质，进行严密的几何证明，掌握证明过程中的逻辑关系。
-学生能够灵活运用相似三角形的性质，解决复合几何问题，提高解题技巧。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学应用能力。
-学生能够运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题，如测量高度、距离等。
-学生能够将相似三角形的性质与其他数学知识相结合，解决综合性的数学问题。
3.培养学生的创新精神和实践能力，激发学生探索未知世界的热情。
-教师鼓励学生提出问题、解决问题，培养学生的创新思维。
-学生通过解决实际问题，感受数学与现实生活的联系，激发探索未知世界的热情。
4.培养学生的严谨学生严谨对待数学问题，养成良好的学习习惯。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推理和证明过程。
2.学生在解决实际问题中，对相似三角形性质的应用。
3.帮助学生建立几何直观，理解相似三角形的空间变化。
教学设想：
1.采用情境导入法，引发学生兴趣
-通过展示生活中与相似三角形相关的实例，如建筑物的立面设计、摄影中的构图等，激发学生的学习兴趣，引导学生认识到相似三角形在实际中的应用。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及其判定条件，掌握相似三角形的性质和比例关系。
北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》第1课时示范公开课教学设计
第四章图形的相似4.7 相似三角形的性质第1课时一、教学目标1.经历探索相似三角形中对应线段的比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质.2.熟练掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能利用相似三角形的性质解决一些实际问题.4.通过探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验.二、教学重难点重点：掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.难点：利用相似三角形的性质解决一些实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【合作探究】在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.(1)△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？预设：(1)△ACD∽△A'C'D'，因为：∠A=∠A'，∠ADC=∠A'D'C'=90°.相似比是1:2(2)由CD：C'D'=1:2，得C'D'=2CD=3cm,即模型房的房梁立柱高3cm.【想一想】已知△ABC △△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；(1)它们对应高的比是多少？(2)对应角平分线的比是多少？(3)对应中线的比呢？请证明你的结论.教师活动：带领学生一起分析题目，梳理解题思路，然后让学生独立完成.每一个小题完成后，总结重要的性质.分析：证明“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比相等”的时候，要用到“两角分别相等的两个三角形相似”；证明“相似三角形对应中线的比等于相似比”的结论时，要用到“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.预设：对应高、角平分线、中线的比都等于相似比. (1)证明：分别过A'和A 作△A'B'C'与△ABC 的高A'D'和AD ，∴∠ADB =∠A'D'B' =90°. 又有∠B ＝∠B'，△ △ABD △△A'B'D'. △.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．结论：相似三角形对应高的比等于相似比. (2)证明：分别作△A'B'C'与△ABC 中∠B'A'C'和∠BAC 的平分线A'D'和AD .∵∠B'A'C'=∠BAC ，∴ ∠B'A'D'=∠BAD . 又∵∠B ＝∠B'，△ △ABD △△A'B'D'.∴.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比．结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. (3)证明：分别作△A'B'C'与△ABC 中B'C'和BC 边的中线A'D'和AD . △B'C'=BC ，△B'D'=BD . 又△△B ＝△B'，AB=A'B'， △ △ABD △△A'B'D'.△.AD ABk A'D'A'B'== 类似的，我们可以得到其余两组对中线的比也等于相似比．结论：相似三角形对应中线的比等于相似比. 【归纳】 相似三角形的性质相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 【议一议】如图，已知△ABC △△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ；点D 、E 在BC 边上，点D'、E'在B'C'边上.(1)若1133BAD BAC B'A'D'=B'A'C'=∠∠，∠∠，则ADA D''等于多少？ 教师活动：提示通过△ABC ∽△A'B'C'，找到角度对应相等的条件，证明△ABD ∽△A'B'D'，再通过相似比求出AD A D''预设：证明：△ △ABC △△A′B′C′，则△B'=△B ， △B'A'C'=△BAC ，AB k A B'='而1133BAD BAC B'A'D'=B'A'C'=∠∠，∠∠△△B'A'D'=△BAD ，则有△ABD △△A'B'D'. △AD AB k A D'A B'==''(2)若1133BE BC B'E'=B'C'=，，则AE A E''等于多少？教师活动：提示通过△ABC ∽△A'B'C'，找到边对应相等的条件，结合夹角相等，证明△ABE △△A'B'E'，再通过相似比求出AE A E''预设：证明：△ △ABC △△A′B′C′，则△B'=△B ， BC ABk B'C'A'B'== 而1133BE BC B'E'=B'C'=，，△BE BC B'E'B'C'=，即BE AB k B'E'A'B'==.∴△ABE △△A'B'E'. △AE AB k A E'A B'==''.如图，AD 是△ABC 的高，AD =h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E .当12SR BC =时，求DE 的长.如果13SR BC =呢？教师分析：由已知条件中两个垂直关系可证得SR ∥BC ，则可证得△ABC ∽△ASR ，从而得到两个三角形的相似比，再利用相似三角形的高的比等于相似比，求出AE 的长，从而算出DE 的长.展示完整解题过程：解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ，∴SR ∥BC . ∴∠ASR =∠B ，∠ARS =∠C . ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AE SRAD BC=(相似三角形对应高的比等于相似比)，即.AD DE SRAD BC-= 当12SR BC =时，得1.2h DE h -= 解得1.2DE h =当13SR BC =时，得1.3h DE h -= 解得2.3DE h =教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.△ABC ∽△A'B'C' ，BD 和B'D' 是它们的对应中线，已知32AC A C'='，B'D' =4cm ，则BD = cm.2.△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应角平分线，已知AD =8cm ，A'D'=3cm ，则△ABC 与△A'B'C' 的对应高之比为 .3.如图，AD 是BC 边的高，点I ，H 在BC 边上，点G 在AC 上，点F 在AB 上， BC =60cm ，AD =40cm ，四边形FGHI 是正方形，则(1) △AFG 与△ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形FGHI 的边长.答案： 1. 6 2.8∶33.解：(1)△AFG 与△ABC 相似. ∵四边形FGHI 是正方形， ∴ FG ∥BC .∴ ∠AFG =∠B ，∠AGF =∠C . ∴ △AFG ∽△ABC . (2)∵ △AFG ∽△ABC ， ∴.AE FGAD BC= 设正方形FGHI 的边长为x cm ，则 AE =(40-x )cm.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第108页习题4.11第3、5题.。
九年级数学下册《相似三角形》优秀教学案例
3.教师在小组合作过程中，要关注学生的参与情况，适时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到提升。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高他们的自主学习能力。
结合学科特点，本案例将引导学生通过观察、猜想、验证、应用等环节，深入理解相似三角形的本质。在课程设计上，充分考虑学生的认知水平和兴趣，注重知识点的层次性，由浅入深，逐步引导学生掌握相似三角形的判定方法及其在实际问题中的应用。
此外，本案例还注重情感目标的实现，通过鼓励学生积极参与、勇于探索，培养他们面对困难时坚持不懈的精神，使学生在掌握知识的同时，也能获得成功的体验和自信心的提升。在教学过程中，教师将以亲切、鼓励的语言，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感状态下主动探索、积极思考，实现知识与能力的全面发展。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养他们独立解决问题的习惯。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极参与、勇于探索的精神，使他们面对数学问题充满好奇心和求知欲。
2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
3.培养学生合作学习的意识，让他们在团队中相互帮助、共同进步，增强集体荣誉感。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，涵盖本节课所学知识点，让学生通过练习巩固知识。
2.布置一些拓展性的作业，如研究相似三角形在其他领域的应用，激发学生的探究欲望。
3.要求学生完成作业后进行自我检查，对自己的学习情况进行评价，培养他们的自主学习能力。
九年级数学上册《相似三角形的判定》教案、教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例作为导入，例如，展示一组相似的图形，如不同大小的三角形装饰品，并提出问题：“你们观察这些图形，它们之间有什么共同之处？”通过引导学生观察和思考，激发学生对相似三角形的兴趣。
1.教学策略：
-采用直观演示与抽象讲解相结合的方式，通过动态几何软件或实物模型，让学生直观感受相似三角形的形成和性质。
-引导学生通过自主探索、小组讨论等形式，发现并理解相似三角形的判定条件。
-设计层次分明的练习题，从基础到提高，逐步深化学生对知识点的掌握。
2.教学过程：
-导入新课：通过生活实例或几何图形，引发学生对相似三角形的好奇心，激发学习兴趣。
-小组展示：每组选取一道典型问题，进行解题思路和答案的展示，培养学生表达能力和逻辑思维能力。
4.家庭作业：
-布置适量的课后作业，涵盖相似三角形的判定方法和性质应用，要求学生在规定时间内完成，家长签字确认。
-鼓励学生在完成作业过程中，遇到问题主动向同学和老师请教，培养自主学习和解决问题的能力。
5.作业评价：
-对学生的作业进行及时批改，给予反馈，关注学生在作业中反映出的薄弱环节，进行针对性辅导。
-开展优秀作业展示活动，激发学生的学习积极性，营造良好的学习氛围。
2.学生在运用相似三角形的判定方法时，可能会出现混淆和错误，教师应针对这一问题进行针对性的讲解和练习。
3.学生的空间想象能力和逻辑思维能力存在差异，教师应充分关注这一点，设计不同难度的教学活动，使每位学生都能得到提高。
4.学生在小组合作学习中，沟通能力和团队协作能力有待提高，教师应引导学生积极参与讨论，学会倾听他人意见。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定公开课(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的判定定理、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对相似三角形判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.在探索相似三角形判定的过程中，发展学生的空间观念和数据分Biblioteka 观念，培养团队合作与交流表达能力。
4.通过对相似三角形在实际生活中的应用，增强学生的数学与现实生活的联系，激发学习兴趣，提高数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定定理，包括SSS、SAS、ASA三种情况。
-学会运用判定定理判断两个三角形是否相似。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS、SAS、ASA这三个判定定理。对于难点部分，我会通过图形和具体例题，帮助大家理解如何准确判定两个三角形是否相似。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用纸片制作相似三角形，并验证判定定理的正确性。
1.加强课堂互动，鼓励学生提问和发表见解，提高他们的思考能力。
2.针对不同学生的学习情况，制定个性化的教学方案，帮助他们克服学习难点。
3.注重培养学生的口头表达能力，提高他们在课堂上的参与度。
4.增加课后作业和练习，巩固所学知识，提高学生的几何素养。
5.定期进行教学反思，及时发现问题，调整教学方法，不断提高教学水平。
九年级数学上册《相似三角形》教案、教学设计
3.总结目标：
帮助学生巩固所学知识，培养他们的概括总结能力和应用意识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
1.基础巩固题：针对本节课的基础知识，设计以下作业题，以巩固学生对相似三角形性质和判定方法的理解。
（1）判断给定三角形是否相似，并说明理由；
（2）利用相似三角形的性质，计算给定图形的边长或角度；
（3）阶段性评价：通过阶段测试，评估学生对本章节知识的掌握程度，为后续教学提供参考。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同学生的学习需求，提供适当难度的教学内容；
（2）关注学生的情感态度，鼓励他们积极参与课堂活动，增强自信心；
（3）注重培养学生的几何直观和空间想象能力，提高他们解决几何问题的能力；
3.组织小组合作学习，让学生在讨论和交流中，提高解决问题的能力；
4.设计丰富的例题和练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，使他们感受到数学在生活中的重要作用；
2.培养学生独立思考、勇于探究的精神，增强他们的自信心；
3.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力，使他们学会倾听、尊重他人意见；
3.讲解目标：
让学生掌握相似三角形的定义、判定方法和性质，为解决实际问题奠定基础。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
将学生分成小组，针对以下问题进行讨论：
（1）相似三角形在实际生活中的应用；
（2）如何利用相似三角形的性质和判定方法解决几何问题；
（3）相似三角形与其他数学知识之间的联系。
2.小组讨论：
（2）鼓励学生思考问题，勇于探索，培养解决问题的能力；
（3）作业完成后，学生需认真检查，确保答案正确；
初中数学九年级《相似三角形》公开课教学设计
教学课时建议：本小节新授课可分为6学时，其中第一学时主要解决两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1；第二课时着重解决两个三角形相似的判定方法2及其应用；第三课时着重解决三角形相似的判定方法3及其应用；第四课时运用三角形相似的知识解决实际问题；第五课时综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题；第六课时着重掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．具体的教学设计如下：相似三角形一、教学目标知识技能：掌握相似三角形的概念和判定，能应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质．数学思考：学生在原有知识和经验的基础上，通过动手实践、小组合作交流，探索相似图形的基本性质及其判定，进一步丰富对空间图形的认识和感受，掌握通过实例探索数学结论的方法，初步形成从特殊到一般的思维方式，在多种形式的数学活动中发展合情推理．问题解决：培养学生从图形相似的角度分析现实问题、提出有关的数学问题并加以适当解决的自觉意识和能力．积累有关数学活动经验，使学生理解图形相似的数学内涵，形成有关技能，发展思维能力．情感态度：在思考、分析和解决问题的过程中，认识数学严谨、抽象和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．在小组合作交流的探索过程中，勇于发表自己的见解，体验探究数学结论的乐趣．提高学生审美意识．注重经历观察、操作、推理、想象等探索过程，提高逻辑推理要求．二、重难点分析教学重点：相似三角形的判定及应用、相似三角形的周长和面积．本节的主要内容深入研究了相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长和面积．相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多，能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多，同时相似也是数学中一种基本的变换．教学难点：相似三角形的判定和相似三角形的应用．相似这部分内容实际上到了初中阶段推理证明要求的最后一章,所涉及的问题不仅是相似的问题,也有很多是和全等的问题结合在一起，也有一些是圆中的相似问题,题目也相对以前比较复杂,要综合应用学生以前学过的知识,教学时应注意多帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合，要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法，通过这一章对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力．对于相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介，再应用前面的定理进行证明，学生不太习惯，这是本章教学的难点，教学中要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点．三、学习者学习特征分析学生学习相似的知识，是在前面学习全等的知识基础上的发展．从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，也是学生认识上的一个飞跃．从培养学生的逻辑思维能力来说，“相似”这一章处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高的阶段，要求学生能熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程．教学中要综合应用学生以前学过的知识,加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法，通过这一章对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力．四、教学过程（一）创设情境，引入新课胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？要想解决这个问题，需要掌握相似三角形的知识，从这节课开始我们来学习27.2相似三角形．（二）合作交流，探索新知1．两个三角形相似的两个三角形相似的判定引例﹑判定方法 1提出问题：如图在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点 E ，△ADE与△ABC有什么关系？延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似．归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．探究方法：在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似．（学生小组交流）（多媒体素材动画）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径．归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．2．两个三角形相似的判定方法2及其应用提出问题：。
《相似三角形的性质》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】第1课时
第四章 图形的相似4.7 相似三角形的性质第1课时 教学设计一、教学目标1．经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验．2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．二、教学重点及难点重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题． 难点：相似三角形的性质的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课.五、教学过程【复习引入】我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC ∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？师生活动：学生分别从边和角两个方面给出“对应边成比例，对应角相等”．教师板书：如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，那么，∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'．教师进一步提出：三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的相关性质是为下一步探究在知识上作铺垫．【探究新知】 AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===练一练 如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD 和C'D'分别是它们的立柱．（1）△ACD 与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．（2）如果CD =1.5 cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成解题过程．解：（1）△ACD 与△A'C'D'相似； 理由：∵AC AB BC A'C'A'B'B'C'==，∴△ABC ∽△A'B'C'．∴∠A =∠C'A'D'． 又∵CD ⊥AB ，∴C'D'⊥A'B'．∴∠ADC =∠A'D'C'=90°．∴△ACD ∽△A'C'D'，且相似比为1∶2．（2）∵△ACD ∽△A'C'D'，∴12CD C'D'=，即1.512C'D'=．∴C'D'=3． 答：模型房的房梁立柱高3 cm ．设计意图：从具体、特殊的相似三角形入手，研究相似三角形对应高的比与相似比的关系．想一想 已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、猜想并完成证明过程．解：（1）由上面的“练一练”可得它们对应高的比是k ．猜想：相似三角形对应高的比等于相似比．证明：如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应高AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'．又∵△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，D'C'B'A'D C B A∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应高的比等于相似比．（2）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应角平分线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，∠BAC =∠B'A'C'．∵AD 和A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线，∴∠BAD =∠BAC =∠B'A'C'=∠B'A'D'． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比．（3）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应中线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应中线的比等于相似比．归纳 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 设计意图：把问题由具体推广到一般，由研究三角形的高推广到研究三角形的角平分AD AB k A'D'A'B'==AB C A'B'C'D D'1212AD AB k A'D'A'B'==D'D C'B'A'C B A1212BC AB BD k A'B'B'D'B'C'===AD AB k A'D'A'B'==线、中线，从而得出结论．议一议如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在BC 边上，点D'，E'在B'C'边上．（1）若∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，则ADA'D'等于多少？（2）若BE=13BC，B'E'=13B'C'，则AEA'E'等于多少？（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出结论．解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．又∵∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'．∴△ABD∽△A'B'D'．∴AD ABkA'D'A'B'==．（2）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，AB BCA'B'B'C'=．又∵BE=13BC，B'E'=13B'C'，∴AB BEA'B'B'E'=．∴△ABE∽△A'B'E'．∴AE ABkA'E'A'B'==．（3）答案不唯一，例如：将问题（1）中的13换成14，15，结论还成立吗？若换成1k(k≠0)呢？说说你的理由；将问题（2）中的13也进行这样的变化，结论还成立吗？结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．设计意图：将上述相似三角形的性质定理推广到更一般的情况得出结论．【典例精析】例如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=12BC时，求DE的长．如果SR=13BC呢？师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC．∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C．∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴AE SRAD BC=（相似三角形对应高的比等于相似比），即AD DE SRAD BC-=．当SR=12BC时，得12h DEh-=．解得DE=12h．当SR=13BC时，得13h DEh-=．解得DE=23h．【课堂练习】1．若△ABC与△A1B1C1的对应角平分线的比为7︰5，△ABC的最短边长为20 cm，则△A1B1C1的最短边长为_________cm．2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm．他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？3．如图，在△ABC中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，求AD·BC的值．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD．已知AB =4，AC =6，BC =5，BD =5.5，求DE 的长．参考答案1．．2．蜡烛应放在距离纸筒60 cm 的地方．3．10．4．DE =136． 师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.7 相似三角形的性质（1）1．相似三角形的性质1007。
人教初中数学九下 《相似三角形的性质》教案 (公开课获奖)
相似三角形的性执教学目标：理解相似三角形对应线段之比与相似比的关系重点：相似三角形面积之比与相似比的关系难点：相似三角形面积之比与相似比的关系重点一:相似三角形对应线段的比等于相似比因为三角形的周长等于三角形三边之和,所以相似三角形周长之比等于相似比.1.(2013长沙)如图,在△ABC中,点D,点E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比等于.2.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',AC与A'C'是对应的对角线,若四边形ABCD的周长为60 cm,AC∶A'C'=3∶2,求四边形A'B'C'D'的周长.3.如图所示,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120 mm,高AD=80 mm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点在AB、AC上,该矩形的一边长QM=y(mm),另一边长MN=x(mm).如何用含x的代数式表示y?重点二:相似三角形(多边形)面积比等于相似比的平方相似三角形(多边形)面积比等于相似比的平方.①不要忘记平方.②不要忘记前提是相似.③若知道面积比,求相似比时,用开方,不可混淆.④相似比是有顺序的, 不能颠倒.4.(2013内江)如图所示,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于( )(A)2∶5 (B)2∶3 (C)3∶5 (D)3∶25.(2013钦州)如图,DE是△ABC的中位线,则△ADE与△ABC的面积的比是.6.(2014长沙)如图,△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积为8,则△ABC的面积为.7.如图所示,在△ABC和△EBD中,===.(1)若△ABC与△EBD的周长差为60 cm,求这两个三角形的周长;(2)若△ABC与△EBD的面积和为812 cm2,求这两个三角形的面积.1.(2013重庆)已知△A BC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,则△ABC与△DEF的面积之比为( )(A)4∶3 (B)3∶4 (C)16∶9 (D)9∶162.如图,在△ABC中,AD、BE是两条中线,则S△EDC∶S△ABC等于( )(A)1∶2 (B)2∶3 (C)1∶3 (D)1∶43.如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )(A)2(B)3 (C)4(D)64.(2013聊城)如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为( )(A)a (B)a (C)a (D)a5.如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,则下列结论正确的是( )(A)∠E=2∠K (B)BC=2HI(C)六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长(D)S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.(2013南通)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为.7.(2013眉山)如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,且==,若△AEF的面积为2,则四边形EBCF的面积为.8.如图,▱ABCD中,AE∶EB=1∶2,且S△AEF=6 cm2,则△AEF和△CDF的周长比= ,S△CDF= .9.已知:如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,=.(1)求证:△ABD∽△A CB;(2)求△ABD与△ACB的周长的比,△ABD与△ACB的面积的比.10.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆,小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽及视线与两岸形成的两三角形面积之比.11.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,高EF经过点O,且OE∶OF=1∶2.求:(1)AB∶CD的值;(2)△AOB与△COD的周长比是多少?(3)如果△COD的面积是64 cm2,则△AOB的面积是多少?12.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证:=;(2)求这个矩形EFGH的周长.13.如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,AD、BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.教后反思：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为D CA B,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CABDC A BD C AB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．EDCABPD C A B∴AE=CE．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(ba ab b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
相似三角形的判定数学教学教案(10篇)
相似三角形的判定数学教学教案（10篇）《相似三角形》数学教案篇一教学目标：1、了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似。
2、能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似。
3、理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质。
重点和难点：1、本节教学的重点是相似三角形的概念2、在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点。
知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法：1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1。
2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角。
3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上。
教学过程一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。
以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。
那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形二、合作学习，探索新知1、合作学习如图1,在方格纸内先任意画一个☆ABC,然后画出☆ABC经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像☆A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C）。
问题讨论1：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应角之间有什么关系？问题讨论2：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应边之间有什么关系？学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例。
2、由合作学习定义相似三角形的概念（1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（2）表示：相似用符号“☆”来表示，读作“相似于”如☆A ′B ′C ′与☆ABC相似，记做“☆A ′B ′C ′☆☆ABC ” 。
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述：A B C A ′B ′C ′相似三角形的判定数学教学教案篇二一、教学目标1.使学生了解判定定理2、3的证明方法并会应用。
华师大版九年级数学上第23章图形的相似23.3.2(第二节)相似三角形的判定公开课教学设计
2.引导学生通过观察、猜想、验证等途径，自主探究相似三角形的判定方法，培养学生的动手操作能力和观察力。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高学生对知识的理解和运用能力。
4.注重培养学生的问题解决能力，引导学生运用所学知识解决实际问题时，能够灵活选择和运用判定方法。
-目的：拓展学生的知识面，提高学生解决复杂问题的能力。
4.小组合作题：分组讨论，共同解决一道相似三角形判定的问题，要求每组提交一份解题报告。
-目的：培养学生的团队协作能力和交流表达能力，共同提高。
5.思考题：请同学们思考，相似三角形判定方法在平面几何中还有哪些应用？举例说明。
-目的：激发学生的思考，提高学生对相似三角形知识体系的认识。
（四）课堂练习
1.设计练习：教师设计具有代表性的练习题，涵盖相似三角形的判定方法，让学生进行巩固。
-教师设计：这里有一些关于相似三角形判定的练习题，请同学们独立完成。
2.互动解答：学生互相讨论，解答练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
-教师指导：在解答练习题的过程中，如果遇到问题，可以与周围的同学讨论，我也会巡回解答你们的疑问。
-教师提问：同学们，我们之前学习了全等三角形的判定方法，谁能来说一说有哪些判定方法？
-学生回答：SSS、SAS、ASA、AAS等。
2.生活实例：展示生活中含有相似三角形的图片，如建筑物的立面图、摄影作品等，引导学生观察并发现相似三角形的美。
-教师引导：同学们，观察这些图片，它们有什么共同的特点？
-学生回答：它们都包含了相似的三角形。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：以生活中的实例，如摄影中的构图、建筑物的相似结构等，引出相似三角形的判定问题，激发学生的学习兴趣。
初中相似三角形教案
初中相似三角形教案教学目标：1. 理解相似三角形的概念及性质；2. 学会运用相似三角形解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 相似三角形的定义及性质；2. 相似三角形的判定方法。
教学难点：1. 相似三角形的性质的应用；2. 相似三角形的判定方法的灵活运用。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示相似三角形的图形和性质；2. 学生准备笔记本，记录教学内容和解题步骤。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的三角形的相关知识，如三角形的分类、三角形的性质等；2. 提问：同学们，你们知道什么是相似三角形吗？有什么性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形；2. 讲解相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；3. 讲解相似三角形的判定方法：AA相似判定法、SAS相似判定法、SSS相似判定法；4. 举例讲解相似三角形的应用：如何通过相似三角形解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选几位同学上来讲解解题过程和答案；3. 教师点评答案，指出解题过程中的优点和不足。
四、拓展延伸（10分钟）1. 引导学生思考：相似三角形在实际生活中有哪些应用？；2. 让学生举例说明，互相交流分享；3. 教师总结并讲解相似三角形在实际问题中的应用方法。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、性质和判定方法；2. 强调相似三角形在实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，让学生巩固所学知识；2. 提醒学生在做作业时注意相似三角形的判定方法的灵活运用。
教学反思：本节课通过讲解相似三角形的定义、性质和判定方法，让学生掌握了相似三角形的基本知识，并能运用相似三角形解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动思考、积极参与，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
《相似三角形的性质》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】第2课时
第四章图形的相似4.7 相似三角形的性质第2课时教学设计一、教学目标1．巩固相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形的周长比对应相似比，面积比等于相似比的平方．二、教学重点及难点重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题．难点：相似三角形的性质的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课五、教学过程【复习引入】相似三角形都有什么样的性质呢？相似三角形的性质：1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的性质是为下一步探究新新性质在知识上作铺垫．【探究新知】想一想如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师启发、引导，师生共同完成解题过程．解：如图，（1）由已知，得2AB BC AC A'B'B'C'A'C'===．∴2AB BC AC AB A'B'+B'C'A'C'A'B'++==+． 分别作△ABC 和△A'B'C'的高CD ，C'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'， ∴2CD AB C'D'A'B'==（相似三角形对应高的比等于相似比）． ∴2122412ABCA'B'C'AB CD S AB CD S A'B'C'D'A'B'C'D'====△△． （2）由已知，得AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===．∴AB BC AC AB k A'B'+B'C'A'C'A'B'++==+． 分别作△ABC 和△A'B'C'的高CD ，C'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴CD AB k C'D'A'B'==（相似三角形对应高的比等于相似比）． ∴21212ABCA'B'C'AB CD S AB CD k S A'B'C'D'A'B'C'D'===△△． 归纳 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．议一议 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n 边形呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出答案．答：两个相似四边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；两个相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；两个相似n 边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．结论：两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．设计意图：由特殊结论出发探究一般性结论的过程，有利于培养学生的发散思维，增强学生学习的兴趣．【典例精析】例如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：根据题意，可知EG∥AB．∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A．∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴222GECABCS EC ECS BC BC⎛⎫==⎪⎝⎭△△（相似三角形的面积比等于相似比的平方），即22122EC=．∴EC2=2．∴EC．∴BE=BC-EC=2，即△ABC平移的距离为2．设计意图：让学生运用所学知识，解决一些问题．【课堂练习】1．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9︰4，则△ABC与△DEF的相似比为（）．A．9︰4 B．3︰2 C．4︰9 D．2︰32．两个相似三角形面积的比是9︰16，其中小三角形的周长为36 cm，则大三角形的周长为（）．A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）．A．75，115 B．60，100C．85，125 D．45，854．如图，在△ABC中，BC=2，DE是△ABC的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4．其中正确的有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知两个相似三角形对应角平分线的比为2︰3，周长和为20，则较小三角形的周长是_________．6．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BE 交DC 于点F ，若EF ∶FB =1∶3，则ABCADE S S △△的值为_________．7．如图，在□ABCD 中，点E 是CD 延长线上一点，BE 交AD 于点F ，DE=CD ．（1）求证：△ABF ∽△CEB ；（2）若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．答案：1．B ．2．A ．3．A ．4．D ．5．8．6．19． 7．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，AB ∥CD ．∴∠ABF =∠CEB ．∴△ABF ∽△CEB ．12（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB=CD ．∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ．∵DE =CD ， ∴，． ∵S △DEF =2，∴S △CEB =18，S △ABF =8．∴S 四边形BCDF =S △BCE -S △DEF =16．∴S 四边形ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．（3）相似三角形周长的比等于相似比．（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.7 相似三角形的性质（2）1．相似三角形周长的比等于相似比．2．相似三角形面积的比等于相似比的平方．1221==9DEF CEB S DE S EC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△21==4DEF ABF S DE S AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△。
九年级数学关于相似三角形的教案
九年级数学关于相似三角形的教案教案标题：探索相似三角形教学目标：1. 理解相似三角形的概念及其性质；2. 能够判断两个三角形是否相似；3. 掌握相似三角形的比例关系和性质；4. 能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学重点：1. 相似三角形的定义和性质；2. 相似三角形的比例关系；3. 利用相似三角形的性质解决实际问题。
教学难点：1. 判断两个三角形是否相似；2. 应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件和投影仪；2. 相关的数学教辅资料；3. 板书工具和白板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入相似三角形的概念，例如：你们在几年级学过相似的概念了吗？相似的意思是什么？2. 提示学生回忆相似的定义和性质，例如：两个图形形状相似，但大小可以不同。
二、概念讲解（15分钟）1. 通过示意图和实例，介绍相似三角形的定义和性质，例如：对应角相等，对应边成比例。
2. 引导学生观察和总结相似三角形的比例关系，例如：两个相似三角形的对应边的比例相等。
三、判断相似三角形（15分钟）1. 讲解判断两个三角形是否相似的方法，例如：AAA（对应角相等）、AA（对应角相等且对应边成比例）等。
2. 给出一些实例让学生进行判断，并解释判断的依据。
四、应用实例（20分钟）1. 给出一些实际问题，要求学生运用相似三角形的性质解决问题，例如：计算高楼的高度、测量无法直接测量的距离等。
2. 引导学生分析问题，找出相似三角形的关系，并列出解题步骤。
五、小结与拓展（10分钟）1. 小结相似三角形的定义、性质和判断方法。
2. 提出拓展问题，例如：如何判断两个多边形是否相似？六、作业布置（5分钟）1. 布置相似三角形的练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生自主寻找实际问题，并运用相似三角形的性质解决。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够清楚地理解相似三角形的概念和性质，掌握判断相似三角形的方法，并能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
相似三角形的性质公开课教案
利用相似三角形解决面积和体积问题
计算不规则图形的面积
将不规则图形划分为若干个相似三角形，通过测量相似三角形的对应边长，利 用相似比计算每个三角形的面积，进而求出不规则图形的总面积。
05
学生自主探究活动设计与 实践
探究活动一：寻找生活中的相似三角形实例
任务描述
学生分组在生活中寻找相似三角 形的实例，如建筑物、日常用品
等，并拍照记录。
活动目的
通过寻找实际生活中的相似三角形 ，增强学生对相似三角形概念的理 解，培养学生的观察能力和小组合 作能力。
预期成果
各组收集到的相似三角形实例照片 及简要说明。
02
构造相似三角形
同样根据已知条件和相似三角 形的判定定理，构造出相似三
角形。
03
应用相似性质
利用相似三角形的性质，即相 似三角形的对应角相等，来证
明所需的角相等关系。
04
给出结论
根据证明过程得出结论，并强 调相似三角形在证明角相等关
系中的重要作用。
综合运用相似三角形性质进行几何证明
复杂几何问题的分析
可以通过相似三角形的定义和判定方法来 证明该定理。
ห้องสมุดไป่ตู้
在解决一些几何问题时，可以通过寻找相 似三角形并利用该定理来求解未知角度。
相似三角形对应边成比例定理
01
定理内容：如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比 例。
02
比例性质
03
对应边之间的比例是常数，称为相似比。
04
相似比具有传递性，即如果△ABC∽△DEF且△DEF∽△GHI ，那么△ABC∽△GHI，且它们的相似比相等。
初中数学初三数学上册《相似三角形》教案、教学设计
-学生在理解相似三角形的动态变化过程中，可能会对对应角、对应边的概念产生混淆。
（二）教学设想
1.对于重点内容的处理：
-利用直观教具和多媒体演示，让学生直观感受相似三角形的形成过程，强化对判定方法的理解。
-设计由易到难的题目，让学生逐步掌握相似三角形性质的应用，通过实际操作和问题解决，加深对知识的理解。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将带领学生回顾本节课所学的内容，并总结如下：
1.相似三角形的定义、判定方法和性质。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
3.本节课的学习方法，如合作探究、交流讨论等。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形知识的掌握，提高他们的应用能力，我设计了以下作业：
1.基础知识巩固题：完成课本第十章的习题1、2、3，这些题目旨在帮助学生巩固相似三角形的判定方法和性质，确保学生对基本概念的理解。
4.情感态度的培养：
-鼓励学生积极面对挑战，将难点作为提升自我能力的契机，培养学生的坚持精神和自信态度。
-创设积极的学习氛围，通过肯定和鼓励，帮助学生树立正确的学习观念，培养对数学的积极情感。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课时，我将利用学生已有的知识经验，通过以下方式激发学生的兴趣和好奇心：
-通过对不同判定方法的比较和分析，引导学生理解各种判定方法之间的联系和区别。
-梳理相似三角形的性质和判定方法，归纳总结规律，形成知识结构。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的热爱和兴趣，增强学生的自信心和自主学习意识。
-创设有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中体验到数学的乐趣。
初中数学初三数学上册《相似三角形的判定》教案、教学设计
1.引导学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的判定方法和性质。
2.教师进行补充和强调，帮助学生构建完整的知识体系。
3.提醒学生课后进行复习，布置适量的课后作业，巩固课堂所学知识。
五、作业布置
1.基础作业：完成课本相应练习题，巩固相似三角形的判定方法和性质。要求学生在完成作业时，注意理解题目要求，规范解题过程，提高解题效率。
作业布置注意事项：
1.作业量要适中，避免过多增加学生的负担。
2.作业难度要适中，既要保证基础知识的巩固，又要激发学生的学习兴趣。
3.作业形式要多样化，注重培养学生的自主学习、合作交流和创新思维能力。
4.教师要及时批改作业，给予反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效果。
2.提问：“同学们，你们在生活中还见到过哪些相似的三角形？它们之间有什么共同特征？”通过这个问题，激发学生的好奇心，为学习相似三角形的判定方法做好铺垫。
3.引导学生回顾全等三角形的判定方法，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知
1.结合课本，讲解相似三角形的定义，让学生理解相似三角形的含义。
2.通过几何画板演示，让学生直观地观察相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.讲解相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS等，结合具体例子进行分析，让学生理解并掌握这些方法。
4.针对不同判定方法，设计相应的例题，引导学生运用所学知识解决问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组讨论一个相似三角形的判定方法，并给出实际例子。
2.各小组派代表进行汇报，分享本组讨论成果，其他小组可进行补充和提问。
6.作业：布置适量的课后作业，巩固课堂所学知识。
7.课后反思：教师对课堂教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学质量。
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教学课时建议：本小节新授课可分为6学时，其中第一学时主要解决两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1；第二课时着重解决两个三角形相似的判定方法2及其应用；第三课时着重解决三角形相似的判定方法3及其应用；第四课时运用三角形相似的知识解决实际问题；第五课时综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题；第六课时着重掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．具体的教学设计如下：相似三角形一、教学目标知识技能：掌握相似三角形的概念和判定，能应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质．数学思考：学生在原有知识和经验的基础上，通过动手实践、小组合作交流，探索相似图形的基本性质及其判定，进一步丰富对空间图形的认识和感受，掌握通过实例探索数学结论的方法，初步形成从特殊到一般的思维方式，在多种形式的数学活动中发展合情推理．问题解决：培养学生从图形相似的角度分析现实问题、提出有关的数学问题并加以适当解决的自觉意识和能力．积累有关数学活动经验，使学生理解图形相似的数学内涵，形成有关技能，发展思维能力．情感态度：在思考、分析和解决问题的过程中，认识数学严谨、抽象和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．在小组合作交流的探索过程中，勇于发表自己的见解，体验探究数学结论的乐趣．提高学生审美意识．注重经历观察、操作、推理、想象等探索过程，提高逻辑推理要求．二、重难点分析教学重点：相似三角形的判定及应用、相似三角形的周长和面积．本节的主要内容深入研究了相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长和面积．相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多，能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多，同时相似也是数学中一种基本的变换．教学难点：相似三角形的判定和相似三角形的应用．相似这部分内容实际上到了初中阶段推理证明要求的最后一章,所涉及的问题不仅是相似的问题,也有很多是和全等的问题结合在一起，也有一些是圆中的相似问题,题目也相对以前比较复杂,要综合应用学生以前学过的知识,教学时应注意多帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合，要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法，通过这一章对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力．对于相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介，再应用前面的定理进行证明，学生不太习惯，这是本章教学的难点，教学中要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点．三、学习者学习特征分析学生学习相似的知识，是在前面学习全等的知识基础上的发展．从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，也是学生认识上的一个飞跃．从培养学生的逻辑思维能力来说，“相似”这一章处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高的阶段，要求学生能熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程．教学中要综合应用学生以前学过的知识,加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法，通过这一章对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力．四、教学过程（一）创设情境，引入新课胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？要想解决这个问题，需要掌握相似三角形的知识，从这节课开始我们来学习27.2相似三角形．（二）合作交流，探索新知1．两个三角形相似的两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1提出问题：如图在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ，△ADE与△ABC有什么关系？延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似．归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．探究方法：在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似．（学生小组交流）（多媒体素材动画）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径．归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．2．两个三角形相似的判定方法2及其应用提出问题：利用刻度尺和量角器画△ABC与△，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1．延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）研究方法：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（多媒体素材动画）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．（定理的证明由学生独立完成）3．三角形相似的判定方法3及其应用提出问题：观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作△ABC与△，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==．分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）探究方法：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．）（多媒体素材动画）归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（定理的证明由学生独立完成）4．运用三角形相似的知识解决实际问题提出问题：利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．例4：为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．5、综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？6．相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）结论:相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方.延伸问题：探究：（1）如果△ABC∽△，相似比为k1，它们的面积比是多少？相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如果四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？相似多边形面积比等于相似比的平方（三）应用新知，体验成功利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学．（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）（五）拓展延伸，布置作业（1）必做题:如图，梯形ABCD中,AB∥CD．且AB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点．EF与BD 相交于点M．(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM．(2)选做题:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证AB·DE＝AD·AC．(3)思考题如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？五、教学评价：(一)选择题1.下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是()(A)(B)(C)(D)2.如图，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是四点中的（）(A)或.(B)或.(C)或.(D)或.3.点分别是的边的中点，则（）(A) .(B) .(C) .(D) .4．如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点到的距离是3m，则点到的距离是（）(A)m．(B) ．(C)．(D) ．(二)填空题5．两个相似三角形周长的比为5:6，则其对应的面积比为___________．6．我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是 1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为________m．7．图中．8．由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的________．(三)解答题9．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明．（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．答案：(一)选择题1．B；2．C；3．C；4．C．(二)填空题5．25:36；6．4.8；7．2；8．．(三)解答题9．（1）∵Rt△CED中，∠CDE=60°，CE⊥BD，∴∠ECD=30°，∴DE=CD=DA，EC=EA．又∵∠BAC=45°，∠BDC=60°，∴∠DBA=15°．又∵∠BDA=120°，DE=DA，∴∠DAE=∠DEA=30°．∴∠EAB=15°，∴BE=EA=EC，DE=DA．（2）在△ADE与△AEC中，∠DAE=∠DAE，∠AED=∠ACE．∴△ADE∽△AEC．。