第八讲 吸引子与混沌

i 1, 2,3 ，所有方向都是收缩的。
方 n1
0 B. 周期吸引子： Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 )，意味着在 向上作周期运动，而其他方向是收缩的。
8.2 连续系统
C. 准周期吸引子： Re(1 ) Re(2 ) 0, Re(3 )，即只在 0 上收缩，而其他方向上作周期运动。 D. 混沌吸引子： Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 ) (或 0 方向 n3
和两个单向Lyapunov指数不同，面积Lyapunov指数 为负(收缩）, 不能保证 面积元在每个方向都是收缩的。
8.3
8.3.1 一维
定义8.3 记
离散系统
x1 F ( x0 ), x2 F ( x1 ) F 2 ( x0 ),
由复合函数微分公式可得
则定义
d F n ( x0 ) dF xn x0 d x0 dx
1 t F 1 lim dt t t 0 x 1 t G 2 lim dt t t 0 y
（8.5）
8.2 连续系统
这里定义的二维问题Lyapunov指数，是指沿 x 和 Lyapunov指数。
y 方向的两个单向
我们还可以定义另一种二维Lyapunov指数-面积Lyapunov指数：
OABC OABC ，
O： ( x u, y v, z w)
A ： ( x d x u
u v d x , y v d x, x x w z w d x) x
图8.1
从而
u v w O A (1 , , )d x x x x

x0
dF dx

x1
dF dx
x0
xn1
1 xn 1 n1 d F ( xk ) ( x0 ) lim ln lim ln n n x0 n n k 0 dx
为离散系统的Lyapunov指数。
（8.7）
m ) 在稳定的不动点处 x* ， 0 ；对于稳定的周期 m 的解： xn F ( xn ，也
8.2 连续系统
临近轨道之间距离趋向零；而当 ( x) 0时，两个临近轨道之间距离会越来越 大。 B. Lyapunov指数与轨道本身有关，不同轨道具有不同的Lyapunov指数。
当 x x 为平衡点时，则
*
1 t ( x ) lim Re( F ( x)) d t Re( F ) x x* Re( F ( x* )) t t 0
F ( x, y , z ) x G ( x, y , z ) y z H ( x, y , z )
在某平衡点 ( x , y , z ) 附近可展为
（8.2）
F x F y F z G x G y G z ， H x H y H z
8.1 吸引子
（1）有阻尼的单摆运动
2 0 sin
则
d 2 0 dt
（2）Van der Pol方程
y x x2 2 0 x 2 ( 2 1) y y ac
8.1 吸引子
则
d x2 0 2 ( 2 1) dt ac 0
按定义，对耗散系统来说
（8.1）
d 0 dt
所以吸引子只对耗散系统成立。
8.1 吸引子
耗散系统有四种吸引子(具体说明见8.2.1节)： A. 不动点式的定常吸引子：一维系统中稳定的不动点，二维系统的稳定结点 和焦点；
B. 周期吸引子；
C. 准周期吸引子；
D. 混沌吸引子。
下面举三个力学耗散系统的例子。
大气动力学的基本方程可简化为：
, , b 0
（8.9）
首先，体积变化率为
y z dV x F b 1 0 dt x y z
从而(8.9) 是三维耗散系统。
8.5
Lorenz吸引子（连续系统）
yz bx, z y, y 1 x 0 bx 1 x 0, y 2 bx, z y
8.1 吸引子
类似地
u v w , 1 , )d y y y y u v w OC ( , , 1 )d z z z z 此时平行六面体 O AB C 的体积为 OB (
1 V V
u v w x x x u v w 1 d xd yd z y y y u v w 1 z z z
1 x(t ) 1 t ( x) lim ln lim Re( F ( x)) d t t t x(0) t t 0
由定义8.2可知∶
（8.4）
时，两个
x(t ) )t e ( x。这意味着从总体上来说，当 A. 当 t 时， x(0)
( x) 0
xx y y zz
8.2 连续系统
则可得三个特征值与特征方向： 。所以 (i , n Re(2 ) Re(3 ) （8.3 0） dt x y z
该平衡点为吸引子。现进一步将其分类如下： A. 定常吸引子： Re(i ) 0,
*
C. Lyapunov指数是刻划两个积分曲线之间（同步）发散或收缩的速率，而不 是轨道本身发散或收缩的速率。
8.2 连续系统
(2) 二维
1 d x F x x d t 1 d y G y y d t
这是在单向Lyapunov指数(定义8.2)基础上导出的（为简单起见，假定限制在实 数域内）。从而
非线性力学导论
8.1 吸引子
这一讲从介绍吸引子入手，引出混沌的定义。由于混沌的现象太复杂，迄 今为止没有统一的定义，所以我们从介绍混沌的一些特征入手，举出两个经典 的混沌例子，最后给出诸多的混沌定义中的一个(离散系统，8.7.2节)
8.1 吸引子
定义8.1 若某一点附近的相体积随时间的变化而缩小，称为吸引子。 考虑平行微六面体，其体积为 d x d y d z 。 其位移函数为 u , v, w 。经 t 时刻后，
设 J J n1 J 0的特征值为
1, ，则可定义 2
1 1 lim ln 1 n n 1 2 lim ln 2 n n
为两个Lyapunov指数，注意这里对应的不是 x, y 方向，而是特征方向 （渐近）。
8.3
从而
离散系统
1 2 0 det J 1, 1 1 2 1
面积变化为
A x y
而
F F x x y x y G G y x y x y
x x J , y y
F x J G x
有 0。
8.3
8.3.2 二维
离散系统
F x Jk G x F y G y x xk , y yk
xn xn1 x0 J n1 J n1 J 0 y y y ， n n1 0
Re(1 ) 0,
Re(2 ) 0, Re(3 ) 0；或
dt
Re(1 ) 0, Re(2 ) 0, Re(3 )）。 0
它是整体稳定（ d 0 且是一有界映射），而局部不稳定（伸长与折叠）。
8.2 连续系统
8.2.2 连续系统的Lyapunov指数
我们还可以用Lyapunov指数来描述吸引子的一个重要特征：刻划两个临近 轨道之间发散或收缩的速率。
（3）强迫耗散的Duffing方程
x ac x ac
y x 2 2 y 0 x 02 x3 A cos z y z
这里通过引入新变量 z 化为自治系统。
d 2 0 dt
8.2 连续系统
8.2.1 连续系统的吸引子
设系统为
(1) 一维
dx F ( x) dt 比较两个临近轨道 x(t ) 和 x(t ) x(t，则 ) d x F ( x x) F ( x) F ( x) x dt
相对变化率为
8.2 连续系统
1 d x F ( x) x dt t x(t ) ln F ( x) d t x(0) 0 定义8.2 连续系统的Lyapunov指数 定义为
对守恒系统： 1 2 lim
对耗散系统：
（8.8）
1 1 ln 1 2 lim ln det J n n n n
，可以和连续系统同样讨论。 1 2 0
8.4
它往往呈现出下列特征：
混沌的特征
通常人们所说的混沌是指在确定性非线性系统中形式上混乱的非周期运动,
F y G y
8.2 连续系统
所以面积变化率为
x y x y A
F G x y x y
（8.6）
1 t 1 d A 1 t F G lim d t lim d t 1 2 t t 0 A d t t t 0 x y
吸引子(KAM定理)。
通常吸引子的所有Lyapunov指数为负，而混沌吸引子的体积Lyapunov指数 为负、但某个Lyapunov指数为正，反映局部不稳定和全局稳定的特点。混沌吸 引子只能用分数维表征，即所有的轨道均趋向容量维（面积或体积）为零的集 合。
8.5
Lorenz吸引子（连续系统）
bx yz x y z y z y z xy
现求(8.9) 的平衡点。由方程
解得
1 ： x y z 0 一个平衡点；
(1) 初值敏感性
初始条件的微小差别最终导致根本不同的现象。
(2) 伸长与折叠
伸长是局部不稳定引起点间距离扩大；折叠是整体稳定所形成的点之间距
离的限制, 如在1.1节中介绍的Logistic映射和8.6节中的Henon吸引子均具有这一 特点。
8.4
混沌的特征
(3) 具有丰富的层次和自相似结构
如Logistic映射形成的混沌中，混沌所在的区域有很丰富的内涵，它绝不能
等同于随机运动。混沌区域内有稳定周期解的窗口，而窗口内还有混沌, …… ; 这种结构无穷多次重复着，并具有各态历程和层次分明的特性。同时伸长与折叠 使混沌运动具有大小不同的各种尺度，构成自相似结构(见第9讲)。 (4) 非线性耗散系统中存在混沌吸引子 在耗散系统中有混沌和混沌吸引子；在保守系统中只有混沌，但没有混沌
8.1 吸引子
其相对体积增加为

V u v w o(s) V x y z
s x 2 y 2 ，从而 z2
v w x y z d u d t x y z x y z