第六章_过程能力指数

pU 0.000032
p .0548 U0
0.5 0.7
6σ
当M≠μ，μ=0.82时，cP不变，不合格品率pU增加
6.1过程能力指数
现在我们来考察M 时会发生什么情况、为确定起见，设过程中心 =0.82，它与规范中心M=0.7有0.12的偏离。
. 9 0 . 82 0 p p x 0 . 9 1 U . 075 0 1 1 . 07 1 0 . 8577 0 . 1423
利用前面的符号，T=USL-LSL，M=（USL+LSL）/2，可得Cpk的第二种形 式： T M
C pk 6 3
若对上式第二项的分子与分母分别是乘以T/2，可得Cpk的第三种形式：
M 2 M ， C 1 k C pk P k T / 2 T
99.73% μ-3σ PC μ+3σ
6.1过程能力指数
基本假设 过程受控，即过程的质量特性X的波动仅由正常波动源 引起，这时过程的质量特性X服从某个正态分布N（，2）
68.26% 95.44% 99.73%

注意: 1）过程能力的前提是过程处Biblioteka Baidu统计控制状态；
2） 过程能力与生产能力的区别
6.2 实际过程能力指数
Cpk的计算 通常，过程中心在规范限（LSL，USL）之中，并把规范限分为 两个小区间；（LSL，）和（，USL）。它们与3的比值能反映过 程在左端或右端满足顾客要求的程度今后我们称：
C PL
LSL 为单侧下限过程能力指数 3
USL 3
C PU
6.1过程能力指数
Cp的点估计
由于Cp中仅含一个未知参数，它是受控过程的标准差。从 角度看，选用的无偏估计是较好的，即：
s ˆs c4
或
R ˆR d2
S
(x
i 1
n
i
X )2
n 1
其中x1，x2，…，xn是来自受控过程的一个样本，c4和d2是修偏 系数，由此可得Cp的估计
为单侧上限过程能力指数
6.2 实际过程能力指数
上述的Cpl和Cpu相当于在Cp的分子与分母中各取一半而定义的二个过程 能力指数。在M时，CPLCPU。这是因为： -LSLUSL- 我们的注意力应放在较小的一端，譬如在上图右端较小，从而相应的 不合格品率pU也较大。从改进质量角度去看，我们应把注意力放在cPL 和cPU中较小的一个。今后称：
S 0 . 0175 ˆ 0 . 018 S C 0 . 9 7 3 4
USL LSL 45 . 23 45 . 07 ˆ C 1 . 48 p ˆ 6 6 0 . 018 S
若直接用s获得Cp的无偏估计：
USL LSL 0 . 16 ~ C b 0 . 9 138 1 . 39 p n 6 S 6 0 . 0175
6.1过程能力指数
Cp与不合格品率之间关系
在规范中心M与过程中心重合的情况下，不合格品率p=pL+pU=2pL可 以从Cp值导出。这是因为可由 导出
T LSL , 2
T 6 Cp
p 2px LSL 2px 3 Cp x 2p 3 Cp 23 Cp 213 Cp
6.1过程能力指数
过程能力指数
过程能力指数（Process Cabability index，PC） 是用来度量一个过程满足顾客要求的程度，即过程 能力指数用来度量过程在受控状态下满足质量标准 的程度
基本思想 将过程能力定量化 将测得的过程能力与质量要求作比较 能力强不一定生产合格产品
LSL
USL
T0 . 9 0 . 5 0 . 4 C 0 . 89 p 6 6 0 . 075 0 . 45
其中T=0.4是公差，6=0.45是过程能力，它表示99.73%的钢夹间隙散 布在长度为0.45cm的区间上。如今Cp<1，即T<6，这表明受控的过程 能力不能满足顾客要求（见图a），需要改进过程。当把标准差减少 到0.067时（见图b），可算得Cp=1，这时受控过程恰好能满足顾客要 求，但无余地，一般还需要继续改进过程，假如把标准差再减少到 0.050，则可算得Cp=1.33。这表明受控过程已能满足顾客要求。
C p k minCPL , CPU
Cp USL LSL T 6 6
为实际过程能力指数 为潜在过程能力指数
这样我们就完成从Cp出发，经过改进，获得Cpk的工作。在这个过程中 我们还得到单侧下限（或上限）过程能力指数。它们分别适用于只有 下规范限和上规范限场合。
6.2 实际过程能力指数
min USL , LSL C pk 3 由Cpk的定义立即可看出：
1 这是Cpk的第一种形式。若利用下列恒等式： min a , b a b a b 2
可把Cpk的分子改写为：
1 USL LSL USL LSL 2 2
LSL X
USL
LSL
USL
LSL X
USL
6
LSL
USL
LSL X
USL
6
6.1过程能力指数
LSL USL
过程能力指数Cp计算
顾客要求体现在规范限（LSL，USL）上。其中点M=（LSL+USL） /2称为规范中心。规范限的宽度T=USLLSL常称为公差，它表示了顾 客要求的宽与严。在规范中心M与受控过程中心（即正态均值）重 合时，过程能力指数定义为：
Cpk的含义：衡量过程的精度与准度 如图：
LSL M=μ USL
12σ
• 容易：减少偏离度k，即减少|M-|
• 困难：减少标准差 • 与顾客商议，能否扩大规范限
6.2 实际过程能力指数
（4）Cpk 的估计 Cpk 的定义中含有正态均值μ 与正态标准差 ，若用与的 ˆ S, ˆ R ）分别代替 Cpk 中的与，即可得 无偏估计（如 x ，与 到 Cpk 的估计，记为：
6.1过程能力指数
LSL M=μ a. σ =0.075 CP=0.89 6σ b. σ =0.067 CP=1.00 6σ USL LSL M μ USL
p .0038 U 0
p .1423 U0
6σ
p .00135 U 0
p .1170 U0
6σ
c. σ =0.050 CP=1.33 0.5 6σ 0.9
对给定的Cp值，利用标准正态分布表就可算得相应的不合格品率。譬如 ，Cp=067时，Φ(3Cp)=Φ(2)=0.9772 ，于是不合格品率： p=2[1- Φ(2)]=2[1-0.9772]=0.0456 类似地可算得各种Cp值所对应的不合格品率。
6.1过程能力指数
Cp能真正反映不合格品率吗？
LSL USL LSL X USL
C pk 的三种计算形式：
C min{ C , C } pk PL PU
M USL LSL USL LSL 2 C pk 6 3 6
C ( 1 k ) C pk p
2 k USL LSL T 2 M
LSL USL
M

6.2 实际过程能力指数
例（续）
钢夹间隙的规范限定为USL=0.9，LSL=0.5
0 . 9 0 . 7 p p x 0 . 9 1 1 2 . 67 U . 075 0
1 0 . 9962 0 . 0038
并把结果标在图上，其它的pU亦类似计算并标在图上。
它比M=时的pU=0.038增加了很多倍，可两者的Cp值不变。这一现象说明 ：当M 时，Cp值不能真实反映过程满足顾客要求。类似情况在b图和c 图上也同样出现。 从上例可见，在M 时，已失去了Cp与不合格品p间的对应关系，这 是因Cp定义与过程中心无关而引起的。但它仍表示着一种潜在能力，当 我们设法把过程中心μ逐渐地移向规范中心M时，这种潜力得到充分体现 ，所以在一般场合下，Cp可称为潜在过程能力指数。
这里г（·）是伽玛函数。当n>30时，修偏系数bn有一个较为精确的 近似计算公式，它是：
bn 1

3 4n1
由于0<bn<1，直接用T/6S作为cp估计会偏大一些，修偏系数克服了系 统误差
6.1过程能力指数
例 加工某金属轴，长度X为其质量特性。规范限为： USL=45.23mm， LSL=45.07mm 现随机从生产线上抽取10个成品，测其长度（减去45mm）为： 0.16 0.14 0.13 0.12 0.17 0.16 0.15 0.15 0.17 0.13 可算得其样本均值 x 与样本标准差s为： s=0.0175 x =45.148， 若用s先作出的无偏估计，然后再得cp的估计：
第六章
过程能力分析
第六章 过程能力分析
6.1 过程能力指数 6.2 实际过程能力指数
6.1过程能力指数
过程能力
过程能力（Process Cabability，PC）是指过程加工质量方面的 能力 此种能力表现在过程稳定的程度上。在过程受控时，质量特性X 服从正态分布N（，2），过程稳定性可用标准差来度量，愈小 ，过程愈稳定，特别，受控过程的9973%的产品质量特性值散布在 内，该区间的宽度6愈小，过程愈稳定，从 3 , 3 区间 而过程能力就愈强。若把过程能力记为PC，则过程能力定义为： PC=6 其中可用过程中获得的样本进行估计。
顾客要求 USL LSL T C p 过程能力 6 6
在这个定义中，规范限（LSL，USL）是顾客要求。一般不能轻易改 进。所以Cp与成反比，是愈小愈好，所以Cp是愈大愈好的指数
过程能力指数意味着过程的波动相对于公差的满足程度
6.1 过程能力指数
例 在用钢材弯曲成钢夹的产品中，其间隙的上、下规范限分别 为（单位：cm） USL=09， LSL=0.5 假设生产过程中钢夹间隙大小X服从正态分布N（0.7，0.0752）。即 该过程中心恰与规范中心重合，=M=0.7，而标准差=0.075；这时的 过程能力指数为
其中k>0称为偏离度
6.2 实际过程能力指数
由Cpk的第三种形式立即可看出Cpk的一个重要性质： Cpk≤Cp 其中等号成立仅当k=0，或M=时成立。 由上面三种形式可看出：提高Cpk的途径有如下三点： • 减少偏离度k，即减少|M- | • 减少标准差 • 与顾客商议，能否扩大规范限
6.2 实际过程能力指数
ˆ T C p ˆS 6
或
ˆ C p
T ˆR 6
其中第二个估计常在样本量n<10时使用。而第一个估计无此限 制。
6.1过程能力指数
注意：上述两个估计都不是Cp的无偏估计。利用样本标准s可以获得Cp 的无偏估计，它是： ~ T
Cp bn 6S
其中修偏集数bn可用
2
分布算得：
n 1 2 2 bn n1 n 2 2
6.1过程能力指数
LSL CP USL
LSL CP USL
LSL
CP
USL
0.5 M=μ 6σ
0.9
0.5 M=μ 6σ
0.9
0.5
M=μ 6σ
0.9
a. σ=0.075
b. σ=0.067
Cp值的三种典型情况
c. σ=0.050
这时要力图：维持此种生产状态。Cp愈大，说明过程能力愈充足， 产品加工质量愈高，但这时对设备、原料料和操作人员要求也愈高 ，加工成本也愈大。所以一个过程的Cp值定于何值要看需要与可能 ，一般能使Cp在1.33左右已是一个很好的过程。实现这个目标要求 人们一点一点地把标准差降下来。
6
这两个图的相等；一个均值与公差中心重合，另一个左偏 Cp一样吗？ 合格率一样吗？ 要评价过程能力，仅有Cp 还不够
6.1 过程能力指数
Cp的缺点 当过程中心与规范中心M重合（M=μ）时，Cp与不合格品率 p间有一一对应关系，故Cp能真实反映过程满足顾客要求的程度 。当M≠μ时，Cp与不合格品率p间的对应关系失去了，从而Cp就 失去真实性。在实际中，μ偏离M是常见的，而μ=M是少见的。 Cp的这个缺点可从下面例子中看出。