(高等数学)积分方程

§1
一. 积分方程一般概念
积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
1. 积分方程的定义与分类 [线形积分方程] 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程
α ( x) y ( x) = F ( x ) + λ ∫ K ( x, ξ ) y (ξ ) d ξ
a
b
(1)
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称为积分方程。 式中α(x),F(x)和 K(x,ξ)是已知函数， λ,a,b 是常数， 变量 x 和ξ可取区间(a,b) 内的一切值；K(x,ξ)称为积分方程的核，F(x)称为自由项，λ称为方程的参数。如果 K(x,ξ) 关于 x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次 的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果 F(x)≡0 ，就称方程 (1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。 [一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类 Fr 方程
a x
′ ]( x − α ) + y 0 + ∫ ( x − ξ ) f (ξ ) d ξ + [ A(α ) y 0 + y 0
a
x
令
K ( x, ξ ) = (ξ − x )[ B (ξ ) − A′(ξ )] − A(ξ )
和
′ ]( x − α ) + y 0 F ( x ) = ∫ ( x − ξ ) f (ξ ) d ξ + [ A(α ) y 0 + y 0
*
在计算过程中应用了公式
x x 1 ( ) d d ( x − ξ ) n −1 f (ξ ) d ξ L f x x L x = 1 4 2 4 3 ∫ ∫ ∫ a a a (n − 1)! 1 4 24 3 n x n
（n≥2）
当 f (α ) = f ′(α ) = L = f
n −1
(α ) = 0 时成立。
第十五章
积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值 问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外， 还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线 性积分方程。
a
b
[n 维弗雷德霍姆积分方程]
α ( P ) y ( P ) = F ( P ) + ∫ K ( P, P 1 ) y( P 1) d P 1
D
称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中D是n维空间中的区域，P,P1∈D，它们的坐标分别是 ′ , x′ ′ ( x 1 , x 2 , L , x n ) 和 ( x1 2 , L , x n ) , α(P)=α(x1,x2,L,xn),F(P)=F(x1,x2,Lxn)和K(P,P1)=K( x 1 , x 2 , L , x n , ′ , x′ ′ x1 2 , L , xn ) 是已知函数，f(P)是未知函数。 关于 Fr 方程的解法，一维和 n(>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑 一维 Fr 方程。 [沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限 b 改成变动上限，上面三类 Fr 方程分别称为第一、 第二、第三类沃尔泰拉积分方程。 由于第三类 Fr 方程当α(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成 b F ( x) K ( x, ξ ) α ( x) y ( x) = + λ∫ α (ξ ) y (ξ ) d ξ a α ( x) α ( x )α (ξ )
⎧d2 y ⎪ 2 + λy = 0 ⎨d x ⎪ ⎩ y (0) = 0, y ( a ) = 0
出发，积分两次，导出关系式
y ( x ) = − λ ∫ ( x − ξ ) y (ξ ) d ξ + Cx
0 x
上式就可写为如下的形式:
y ( x ) = ∫ K ( x, ξ ) y (ξ ) d ξ + F ( x )
a x
(3)
这是一个第二类沃尔泰拉方程，核 K 是 x 的线性函数。 例1 初值问题 ⎧d2 y ⎪ 2 + λy = f ( x ) ⎨d x ⎪ ⎩ y (0) = 1, y ′(0) = 0 变为积分方程
y ( x ) = λ ∫ (ξ − x ) y (ξ ) d ξ + 1 − ∫ (ξ − x ) f (ξ ) d ξ
0 0 x x
(4)
(5)
反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其 第一次求导的结果中令 x=a,就得给定初始条件。在例 1 中，对(5)式求导，得出 x x dy (6) = − λ ∫ y (ξ ) d ξ + ∫ f (ξ ) d ξ 0 0 dx 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件 y(0)=1, y ′(0) = 0 对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例2 从问题
⎧ d2 y dy + B( x) y = f ( x) ⎪ 2 + A( x ) dx ⎨d x ⎪ y (α ) = y , y′(α ) = y′ 0 0 ⎩
（2）
若从方程(2)中解出 计算不难得出 * ，
d2 y ，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的 d x2
y ( x ) = − ∫ { A(ξ ) + ( x − ξ )[ B (ξ ) − A′(ξ )]} y (ξ ) d ξ
∫
第二类 Fr 方程
b a
K ( x, ξ ) y (ξ ) d ξ = F ( x )
b
y ( x ) = F ( x ) + λ ∫ K ( x, ξ ) y (ξ ) d ξ
a
第三类 Fr 方程
α ( x ) y ( x ) = F ( x ) + λ ∫ K ( x, ξ ) y (ξ ) d ξ
它是含有未知函数 α ( x) y ( x), 以
K ( x, ξ )
α ( x)α (ξ )
为积分方程的核的第二类 Fr 方程。所以本章重点
研究一维第二类 Fr 方程。 2. 积分方程与微分方程之间的关系 某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分方程的初值问题：