数值分析版试题及答案
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10、已知f⑴=2,f(2)=3,f(4)=5.9，则二次Newton插值多项式中x系数为
(0.15)；
度为(5 )
方 式 有 关， 与 常 数 项 无 关。
复习试题
、填空题:
答案：2.367,0.25
3、鮒)1,f(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为
拉格朗日插值多项式为。
1 1
L2(x)2(x 2)(x3)2(x 1)(x 3)2(x 1)(X 2)
4、 近似值x*0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字；
最佳平方逼近多项式。
解：
若span 1,x，贝卩o(x) 1，i(x) x，且(x) 1，这样，有
所以，法方程为
1
23
41
23
1
—
—
1
—
2a0
6，经过消兀得
2a0
6
1
1a1
9
1a10|
1
2
3
4
12
3
再回代解该方程，得到 印4，a011
6
故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x)口4x
6
例3、设f(x) ex,x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x)1,span 1,x的最佳平
(2)用n 4的复合辛普森公式
由于h2，f xx，xk12k k1,2,3，x12 2kk 0,1,2,3，所以，有
k一
2
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元
再回代，得到x33，x22，1
所以，线性方程组的解为X11,X22,X33
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:
则由A LU的对应元素相等，有
方逼近多项式。
解：
若span 1,x，贝卩o(x) 1，i(x) x，这样，有
所以，法方程为
解法方程，得到ao0.8732，a〔1.6902，
故，所求最佳平方逼近多项式为
9
例4、用n4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分.xdx。
1
解：
(1)用n4的复合梯形公式
由于h2，f x上，xk12k k1,2,3，所以，有
( ? )
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
( ? )
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、 观测误差、 截断误 差及舍入误差。
( ? )
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。
(X)
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一 步 迭 代 计 算 的 舍 入 误 差 。
例1、已
-1
1
2
-3
0
4
求f (x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：
(1)由题可知
1
1
2
3
0
4
插值基函数分别为
故所求二次拉格朗日插值多项式为
(2) —阶均差、二阶均差分别为 均差表为
阶
阶
-1
-3
1
0
3/2
2
4
4
5/6
故所求Newton二次插值多项式为
例2、设f(x) x23x2,x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x)1,spa n 1,x的
判断题（10XT）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组A冷b一定可以使用高斯消元法求解。
2、解非 线 性方 程f(x)=0的 牛顿 迭 代 法 在 单根x*附近 是 平 方 收 敛 的
( ? )
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛
(X)
4、 样条 插 值 一 种 分 段 插 值
5、设f (x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；
Xnf(Xn)
xn1xn~~~
答案1 f(xn)
6、 对f(x) x3x 1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为
xi
X2
X3
9
4，得xຫໍສະໝຸດ Baidu177.69，x2476.92，为
154
227.08
1、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A LU唯
一成立。
Newton— cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（
7、区间a,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。
（X ）
(V)7、(X)8、(X)
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,
截 断 误 差 = 舍入 误 差
(?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差
(
1000彳
1.用计算机求 爲时，应按照n从小到大的顺序相加n1n
()
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
()
4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变
11
u12，u13
56
l21u11
l21
1
l31u11-
1312，
121u12
u22
u22
1
60，
121u13
u23
u23
1
45，
I31U12I32U221132
36，
l31u13
l32u23
u332
u33
13
15
因此,
100
y1解Ly b，即-10y2
3
4
解Ux y，即0
0
5
丄
60
0
6
1
45
13
15
(0.15)；
度为(5 )
方 式 有 关， 与 常 数 项 无 关。
复习试题
、填空题:
答案：2.367,0.25
3、鮒)1,f(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为
拉格朗日插值多项式为。
1 1
L2(x)2(x 2)(x3)2(x 1)(x 3)2(x 1)(X 2)
4、 近似值x*0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字；
最佳平方逼近多项式。
解：
若span 1,x，贝卩o(x) 1，i(x) x，且(x) 1，这样，有
所以，法方程为
1
23
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1
—
—
1
—
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6，经过消兀得
2a0
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1
2
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再回代解该方程，得到 印4，a011
6
故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x)口4x
6
例3、设f(x) ex,x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x)1,span 1,x的最佳平
(2)用n 4的复合辛普森公式
由于h2，f xx，xk12k k1,2,3，x12 2kk 0,1,2,3，所以，有
k一
2
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元
再回代，得到x33，x22，1
所以，线性方程组的解为X11,X22,X33
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:
则由A LU的对应元素相等，有
方逼近多项式。
解：
若span 1,x，贝卩o(x) 1，i(x) x，这样，有
所以，法方程为
解法方程，得到ao0.8732，a〔1.6902，
故，所求最佳平方逼近多项式为
9
例4、用n4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分.xdx。
1
解：
(1)用n4的复合梯形公式
由于h2，f x上，xk12k k1,2,3，所以，有
( ? )
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
( ? )
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、 观测误差、 截断误 差及舍入误差。
( ? )
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。
(X)
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一 步 迭 代 计 算 的 舍 入 误 差 。
例1、已
-1
1
2
-3
0
4
求f (x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：
(1)由题可知
1
1
2
3
0
4
插值基函数分别为
故所求二次拉格朗日插值多项式为
(2) —阶均差、二阶均差分别为 均差表为
阶
阶
-1
-3
1
0
3/2
2
4
4
5/6
故所求Newton二次插值多项式为
例2、设f(x) x23x2,x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x)1,spa n 1,x的
判断题（10XT）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组A冷b一定可以使用高斯消元法求解。
2、解非 线 性方 程f(x)=0的 牛顿 迭 代 法 在 单根x*附近 是 平 方 收 敛 的
( ? )
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛
(X)
4、 样条 插 值 一 种 分 段 插 值
5、设f (x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；
Xnf(Xn)
xn1xn~~~
答案1 f(xn)
6、 对f(x) x3x 1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为
xi
X2
X3
9
4，得xຫໍສະໝຸດ Baidu177.69，x2476.92，为
154
227.08
1、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A LU唯
一成立。
Newton— cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（
7、区间a,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。
（X ）
(V)7、(X)8、(X)
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,
截 断 误 差 = 舍入 误 差
(?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差
(
1000彳
1.用计算机求 爲时，应按照n从小到大的顺序相加n1n
()
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
()
4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变
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u12，u13
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l21u11
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l31u11-
1312，
121u12
u22
u22
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60，
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u23
u23
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45，
I31U12I32U221132
36，
l31u13
l32u23
u332
u33
13
15
因此,
100
y1解Ly b，即-10y2
3
4
解Ux y，即0
0
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丄
60
0
6
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45
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