离散数学复习大纲

试卷类型
一、选择题（10题，每题2分，共计20分）
二、填空题（10空，每空2分，共计20分）
三、选择题（8题，每空1分，共计8分）
四、名词解释（3个，每个4分，共计12分）
五、构造推理证明题（1题，计10分）
六、计算题（共计30分）
求解主析取范式或合取范式、等价关系或偏序关系哈斯图、最小生成树、求解前束范式
离散数学的定义
第1章数学语言与证明方法
主要内容：
●集合定义，集合的两种描述方法，空集合的定义与定理及推论，子集、真子集、全
集，相等集合，包括0的自然数、有理数、整数、实数集合，集合的元素个数
●集合的交、并、补、差、对称差、幂运算（集合的个数）定义，经过括号形成的更
为复杂的集合运算，简单的可以通过文氏图来表示。

第2章命题逻辑
主要内容：
●命题及其真值。

感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结
果不惟一确定的也不是命题。

●简单命题与复合命题概念，5种联结词的具体涵义、真值表与符号表示，汉语的复
合句的那些联结词与它们对应，特别是相容或和排斥或的符号化表示。

●联结词优先级：( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔；同级按从左到右的顺序进行
●命题常项、命题变项、合式公式定义，公式的赋值、真值表
●命题公式的分类有重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式
●等值式的定义，真值表法和等值演算两种判断方法，置换规则
●文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的定义
●定理：(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定；
(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定
●定理：(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式；(2)
一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式
●定理：任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式
●求公式的范式的3个步骤
●极小项、极大项的定义，对于每一个最小项只有一种指派使其取1，对于每一个最
大项只有一种指派使其取0
●定理：设m i与M i是由同一组命题变项形成的极小项和极大项, 则
⌝m i ⇔ M i , ⌝M i⇔ m i
●主析取范式、主合取范式的定义，求解公式的析取范式、合取范式、主析取范式、
主合取范式
●定理：任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
●求主析取范式的步骤，求主合取范式的步骤，快速求法、主析取范式的用途
●命题逻辑推理的推理证明
第3章一阶逻辑
主要内容：
●个体词（个体常项、个体变项）、个体域、全总个体域的定义
●谓词（全称量词和存在量词）、n元谓词P(x1, x2,…, xn)的定义，命题的符号化
●量词（全称量词和存在量词）、谓词公式、量词的辖域、谓词公式的真值判断、量
词的消去等值变换
●等值式的定义，5类基本等值式（量词的消去，量词辖域范围的收缩和扩展）
●置换规则、换名规则的定义
●前束范式的定义，利用量词的辖域的扩张，完成前束范式的求解
●定理3.3(前束范式存在定理) 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
第4章关系
主要内容：
●有序对、笛卡儿积、二元关系、从A到B的关系、A上的关系的定义
●A上重要关系
●A到B上关系的计数，A上关系的计数
●关系的三种表示：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图，后两种的使用限制
●定义域、值域、域的定义
●关系的运算：逆、合成的定义和表示方法以及简单计算
●定理 4.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F-1)-1=F (2) dom F-1=ran F,
ran F-1=dom F
●定理4.2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)-1=G-1
∘F-1
●定理4.3 设R 为A上的关系, 则R∘I A= I A∘R = R
●定义4.13 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂是 (1) R0 = {<x,x>
| x∈A } = I A (2) R n+1 = R n∘R
●定理4.4 设 A 为 n 元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 R s=
R t.
●定理4.5 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) R m∘R n = R m+n (2) (R m)n
= R mn
●自反性与反自反性, 对称性与反对称性，传递性的定义以及矩阵表示的特征。

可以
通过矩阵表示或者关系的图表示分析出关系的性质
●自反 (对称或传递) 闭包的定义，求解的三种形式，一起求解时先自反闭包，再对
称闭包，最后传递闭包
●等价关系、等价类的定义，等价关系的矩阵表示特征
●定理4.8 设R是非空集合A上的等价关系, 则
(1) x∈A, [x] 是A的非空子集.
(2) x, y∈A, 如果 xRy, 则 [x]=[y].
(3) x, y∈A, 如果 x与y没有R关系, 则 [x]与[y]不交.
(4)所有等价类的并集就是A
●商集、集合划分的定义。

等价关系与划分的一一对应
●偏序关系、x与y可比、全序、覆盖的定义
●偏序集的定义，哈斯图的基本组成和画出图
●偏序集的特定元素定义：最小元、最大元、极小元、极大元，下界、上界、下确界、
上确界
第5章函数
主要内容：
●函数定义、函数相等、从A到B的函数、f:A→B函数的计数的定义
●满射、单射、双射函数的定义，判断
●函数复合的基本定理和推论
●函数复合的性质所涉及的两个定理
●反函数的存在条件及定义，反函数的定理
第6章图
主要内容：
●无序对、无序积、多重集合、无向图、有向图的定义，零图
●顶点和边的关联与相邻的定义，悬挂边和悬挂定点
●有向图和无向图的顶点度数，握手定理
●平行边、简单图的定义
●子图、生成子图
●通路、回路定义，初级通路、回路定义
●定理6.3 在n阶图中, 若从顶点u到v(u≠v)存在通路, 则从u到v存在长度小于
等于n-1的初级通路
●定理6.4 在n阶图中, 若存在v到自身的简单回路, 则一定存在v到自身长度小于
等于n的初级回路
●无向图的连通性与连通分支的定义
●短程线与距离的定义
●点割集与边割集的定义
●有向图的连通性及其分类（全连通、单向连通、弱连通）
●图的矩阵表示（有向图与无向图），要能从矩阵数据中画出图，也能从画出的图采
用矩阵表示
●二部图的定义，二部图的判别定理
●欧拉图的定义，欧拉图判别定理
●哈密顿图的定义，判断哈密顿图的必要条件，存在哈密顿回路(通路)的充分条件，
能够从简单的图判断出哈密顿图。

●平面图的定义，平面图的面与次数的定义
●定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍
●极大平面图的定义、极大平面图的性质
●定理6.14 设连通的无向图G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则n-m+r=2
●欧拉公式两个定理及推论
●库拉图斯基(Kuratowski)定理
第7章树及其应用
主要内容：
●无向树的定义
●无向树的性质涉及的两个定理
●生成树的定义
●定理7.2 非平凡的无向树至少有两片树叶
●定理7.3 任何无向连通图都有生成树，以及3个推论
●最小生成树的定义
●根树的定义、哈夫曼树定义
第8章组合计数基础
主要内容：
●组合数学的基本法则：加法法则、乘法法则
●集合的排列、多重集的排列、集合的组合、多重集的组合的定义和定理
●不定方程的求法
第14章代数系统
主要内容：
●二元运算、一元运算的定义
●表示二元或一元运算的方法：公式、运算表
●二元运算的性质：交换律、结合律、结合律
●二元运算的特异元素的定义：单位元（幺元）、零元、逆元
●代数系统定义。