振动与噪声大作业

一、关于《模态测试基础》的读书笔记

1 前言

模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。模态分析可以用来研究机械机构的动态特性，其中实验模态技术非常重要，模态技术本质是利用数学相关的基本公式及其变换式，使我们能够看到结构动态特性和相应的频响函数之间的联系。多自由度结构（MDOF）可看成多个单自由度结构（SDOF）的叠加，首先，SDOF线性动态系统可用一些单模概念表示，这些概念是某些参数估计技术的基础；其次，频响函数各种形式的表达式，都可以通过实际测量和使用效果被检验。最后，这些概念都可扩展到MDOF系统里，因为大多数的物理结构都是MDOF系统，并且某些与阻尼结构和线性系统假定有关的概念也可以探讨。

2 结构动力学背景

2.1 单自由度（SDOF）结构动力学系统

组成：质量块m、阻尼c和弹簧k、动能（kinetic energy）、势能（potential energy）、刚度（Stiffness）。

运动方程：

, （1）

上式是一个力的等式，f（t）是力的函数。可见，固有频率和阻尼系数可直接求取。临界阻尼（critical damping）：在该阻尼值时系统无振摆。结构动态研究只关注阻尼比小于1的情况。当阻尼比小于1的时候，（1）运动微分方程的根为复数，其表示为：

当无外加激励时（f=0），求解运动方程，得到复数根：虚部：Damped Natural Frequency 有阻尼固有频率；实部：Damping Rate 阻尼率。此时单自由度系

统在弱阻尼的条件下随时间做指数衰减振动，其振动图形如下所示：

当外界激励不为零时，则该单自由度系统在激励下做强迫振动，可用频率响应函数来描述该系统的特性。其中频率响应函数可分为以下几种表示形式。

(1)极坐标表示形式：幅值、相位与频率之间的关系，其关系图如下所示：

（2）直角坐标表示形式：实部、虚部与频率的关系，其关系图如下所示：

（3）向量（复数域）：实部和虚部（能表现出频响的范围，画出一个圆）如下图所示：

（4）波特图：dB和对数频率，可以用位移、速度、加速度与对数频率的关系图如下表示：

2.2 多自由度（MDOF）结构动力学系统

多自由度模型建立如下图所示：

所以MDOF系统可以看成由多个SDOF互连组成，因此运动方程可表示如下为：

即以矩阵形式表示。

当没有激励时，解以上矩阵方程，会得到系统模态参数（方程的根）。因为方程的根是一组数（n个，n=系统的自由度数），因此对应每个固有频率和阻尼都有一个对应的振动位移，这个振动位移就叫做模态振型。此时MDOF的频率响应如下图所示：

当系统受到外力激励时，MDOF也有频响，可表示为记权的SDOF系统频响的和。这里的权重可称为“振型参与系数”，能够识别某一点上每个振型对总响应的贡献有多大，如下图所示：

（上图为MDOF频率响应）（上图为SDOF模态的贡献）2.3 阻尼机构和阻尼模型

在所有的振动系统中，只要存在能量损耗，就有阻尼存在。自由振动时，阻尼造成的能量损失会导致振动幅度的衰减；当有外界激励时，外力的输入可用来平衡系统能量的损失；这两种情况下，阻尼的存在都会导致系统能量的损失。

前述数学公式中的阻尼力也叫做系统的粘性阻尼力，它与速度成比例。而实际的物理机构的阻尼与数学模型的阻尼不是同一个概念。

在大部分有阻尼机构中，阻尼都是非线性的，但是只考虑阻尼的粘性部分，可用等效阻尼系数来表示系统的阻尼，等效阻尼系数见下图：

粘性阻尼的能量损耗（上图注解）W=FS；Y轴为阻尼力，X轴为振幅，则一圈（一周期）的能量损耗即为椭圆面积，图中E用圆面积（半径X）表示，Ceq 即为等效阻尼系数

2.4 频率响应函数和传递函数之间的关系

频率响函数是输出与输入傅立叶变换后的比值；传递函数是输出与输入拉氏变换后的比值；模态测试中，测量的是频率响函数；而通常的参数评估是在拉氏域（复数域）上求出传递函数曲线；根据频率响函数，可以在拉氏域（复数域）上找到曲线的极点；系统的频率响就是沿虚轴方向的传递函数。

3 频率响应的测量

3.1 测试系统的组成

若对一个机械系统进行频率响应测量，必须做如下假设：（1）假设系统是线性的，（2）系统是稳定，这两个条件是进行模态测试的必须条件。

通用的模态测试系统如下图所示：

模态测试系统由：控制器（计算机）、激振设备、传感器、数据采集和信号处理设备、机械结构几个部分组成。

3.2 支撑结构

首先要考虑固定机构，因为这是确定边界条件所必须的。

边界条件可以理解成：绝对的自由和绝对的约束的边界。而在实际中绝对的自由约束很难实现，因此必须用某种方式支承结构。约束条件意味着运动（位移/旋转）为零。但是，事实上大多数结构与地面连接后都会表现出一定的自由度。

为近似的得到自由系统，结构可以被很软的弹性体悬挂起来，或者放在很柔软的垫子上。这样，结构就有了一个约束，刚体模型也不再是零频率。但是，如果使用非常柔软的支承，刚体模型频率要远远低于弹性模型频率，影响可以忽略不计。自由支承的经验说明：刚体模型的最高频率必须小于第一弹性模型频率的十分之一。依此评判，刚体的影响可以忽略，

（上图为自由悬挂系统的频率响应图）

然而在实验环境中很难构建一个受约束系统。首先，连接结构的基座会有运动惯性，因此，无法做到真正的接地；其次，连接点是螺栓、铆钉或焊接方式，就会有一定的弹性度。一个可能的补偿办法是测量基座在连接点处超出关心频率范围的频响，之后，验证这个响应一定程度的小于相应的结构频响，这样就可忽略刚体的影响。但是频响可能测不到，仍然会影响到测试结果。

选择合适的边界条件的一个原因是为了有限元模态改进和子系统耦合。总之，为了得到任何有可能使用到的数据，确定全部的边界条件是非常重要的。

3.3 激励的结构

激励函数有四种：稳态、随机、周期和瞬时激励。

真随机、猝发随机、脉冲是最常用的信号源，激励函数的选择要根据这几个因素：信号处理仪器的能力、结构特性、通用测量考虑和激振系统。

结构非线性度的测量最好使用正弦扫频信号，非线性结构的线性化模型最好使用随机信号来评估，结构内部阻尼和密度则应使用一些特殊信号激励，如果模型是紧密耦合或阻尼很小，无泄漏函数信号最合适（例如猝发随机信号）。

3.4 激振器测试

由于激振器和结构通过力传感器连在一起，因此改变了结构的动力学特征：如果结构很轻，则固定测压元件的夹具就会使整个结构的质量增大，造成测到的力比实际加到结构上的力要大。

Fm：测到的力； Fs：加到结构上的力； Mm：结构质量； Ax：结构位移。

实际中还有这种状况：尽管结构被沿着一个轴向固定，但仍然会有偏移和旋转的趋势，因此要求连接到传感器上的激杆在轴向刚度很高，非轴向很软，只承受轴向的负载，不承受力矩和剪切力，这样使结构能在非轴向自由运动，不会造成非轴向干扰。

激振器的支承也很重要。为了避免反作用力影响到结构，激振器必须和结构