小船渡河问题分析

要避开危险区，则合速度方向应在AC 左侧，
120m
B
v船 v合
C
危险区
由几何关系得 AC=130m sin θ=5/13 ∴v船 = v水sin θ =25/13=1.92m/s
d=50m
v水
A
θ
综合能力提高
甲乙两船在静水中的航行速度分别为 V甲、V乙，两船从同一渡口向对岸划去 ， 已知甲船想以最短的时间渡河，乙船想 以最短航程过河，结果两船抵达对岸的 地点恰好相同，则甲乙两船渡河所用的 2 ： V2 V 时间之比t甲：t乙= 。 乙 甲
培尖班课程
小船渡河问题专题分析
惠州市第一中学 胡壮丽
学习目标：
１．知道满足什么条件时，渡河时间最短
２．知道满足什么条件时，渡河位移最短
［例１］一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在 静水中的速度为v船，那么：（1）怎样渡河时间最短？ （2）若v船>v水怎样渡河位移最小？（3）若v船<v水， 怎样渡河船漂下的距离最短？ 解析：（1）如下图所示，设船头斜向上游与河岸成任 意角θ ．这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝ v船sinθ ，渡河所需的时间为：t＝L/V船sinӨ
[分析]船向岸边运动是合运动，它包括两个运动一 个是沿绳方向的运动和垂直绳子方向的运动，两个 运动合在一起使船向岸边靠拢。 根据平行四边形法则
［例3］ 汽车通过高处滑轮问题 (物体的运动速度等于绳子的运 动速度，绳子的运动可以看成沿绳子方向的向下运动 和垂直绳子斜向上的运动合成) 如右图所示汽车以速 度v匀速行驶，当汽车到达某点时，绳子与水平方向恰 好成θ角，此时物体M的速度大小是多少？
[分析]滑轮左侧汽车后面的绳子实际上同时参与了 两个运动：沿绳子方向拉长的运动和左上方摆动。 而M的运动速度就是沿绳子方向拉长的速度，所以 vM＝vcosθ
练习1．一只船在静水中的速度为0.4m/s，它要渡 过一条宽度为40m的河，河水的流速为0.3m/s。 则下列说法中正确的是 （ B ） A．船不可能渡过河 B．船有可能垂直到达对岸 C．船不能垂直到达对岸 D．船到达对岸所需时间都是100s 练习2．河宽100m，某人站在河边，发现垂直于河 岸方向河的正中恰好有人落水，正逢涨潮，水速 3m/s，如该人用2m/s的速度游去救人，最快到达的 时间为 s，他应该按 方向游去. 25 垂直于河岸
t 2= S/ v合 = d／（v船sin60° )= 60／（3×0.866 ) =23.1s
练习5．有一小船正在渡河，离对岸50m时，已知在 下游120m处有一危险区，假设河水流速为5m/s，为 了使小船不通过危险区到达对岸，那么，小船从现 在起相对于静水的最小速度应是 （B ）
A．2.08m/s C．1.58m/s 解：画出示意图， 最小的船速应垂直于合速度 B．1.92m/s D．1.42m/s
可以看出：L、v船一定时，t随sinθ 增大而减小；当θ ＝90°时，sinθ ＝1（最大）．所以，船头与河岸垂直 时，渡河时间最短． 最短时间：tmin＝ L/V船
（2）如上图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为 了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与 河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量为0．这时船 头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ ．根 据三角函数关系有v船cosθ －v水＝0 cosθ ＝ v水/ v船 ，θ ＝arccos (v水/ v船)因为0≤cosθ ≤1， 所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过。 （或者由三角形几何关系知道）
终点
V甲
V乙合 θ
V乙
α
起点
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V水
T乙=d/V乙合sinθ (V乙合=V乙ctgθ ) =dcosθ/V乙sin2θ T甲/ T乙=V乙sin2θ/V甲cosθ ( cosθ= V乙/ V甲 sinα=cosθ ) T甲/ T乙= V2乙/ V2甲 T甲=d/V甲
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不 论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂 下的距离最短呢？ 如图所示，设船头与河岸成θ 角，合速度v与河岸成α 角（取小于90°的一边）．可以看出：α 角越大，船 漂下的距离x越短．那么在什么条件下α 角最大呢？ 以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时， α 角最大．根据cosθ ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应 为θ ＝arccos (v船/v水) 船漂下的最短距离： xmin＝(v水－v船cosθ )L/(V船sinθ ) · 此时渡河的最短位移： s＝LV水/V船 (V船与合速度垂直)
小结：
（1）要使过河的时间最短，则船头必须垂 直河岸；
（2） 要使过河的位移最短：
a. 若v船 > v水,则船头必须指向河岸上游方向； 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽． b.若v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移最小。
［例2］
在高处拉低处小船问题
（小船的运动可以看成为沿绳方向运动和垂直绳子作 圆周运动的合运动)如右图所示，在河岸上通过滑轮 用细绳拉船，绳的速度为4m/s，当绳拉船的部分与水 平方向成60°角时，船的速度是多少？
练习4河宽60m，水流速度6m/s，小船在静水中速度为 3m/s，则它渡河的最短时间为 20 s，最短航程为 120 m。这时渡河的时间为 23.1 s。
解：画出运动示意图如图示：
v船 v合 v水 v船 v合
d=60m
v水
θ
当船头垂直河岸时，渡河的时间最短 t=d/v=20s 因为v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移 最小， 如图示。 Sinθ= v船 /v水 =1/2 θ =30 ° S=d/ Sinθ=120m