初中九年级上册数学 《二次函数》优质课件PPT
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22.1.1 二次函数 课件(共15张PPT)
新课导入
你 观 察 过 公 园 的 拱 桥 吗？
篮球入框，公 园里的喷泉， 雨后的彩虹都 会形成一条曲 线.这些曲线 能否用函数关 系式表示？
知识讲解
1.二次函数的定义
探究归纳
1 1
1
3
此式表示了种植面积y与边长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一 确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
温故知新
1. 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 一次函数与正比例函数
3.一元二次方程的一般形式
30(1+x)2
30(1+x)2
30(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y 都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同特征呢？
知识讲解
归纳总结
二次函数的定义：
注意
知识讲解
2.二次函数的应用 例1
不一定是，缺少 a≠0的条件
中y=0时得到的。
与前面我们学过的一元二 有什么联系和区别？
且a≠0； 可以看成是函数
区别:前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是y，后 者是0。
随堂训练
B C
随堂训练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.
人教版九年级上册数学二次函数课件
当a=0时，这个函数不是 二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
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二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》PPT
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
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二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当a、b、c为何值时函数y＝ax2＋bx＋c是一正次比函例数函？数？
思考： 二次函数的一般式y＝ax2
＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联 系和区别？
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 (2)y=x+3
(3)s=3-2t²
(5)y=
_1_ x²
(4)y=(x+3)²-x²
(6)v=10 r²
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
1、下列函数中，（x是自变量），哪些是二次 函数？为什么？
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
例3.某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x米，
宽为y米，面积为S平方米，（x﹥y）.
(1)如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周 长），求S与x的函数关系，并求出x的取值范围。
(2)现根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必 须是18平方米，在满足（1）的条件下，矩形的长 和宽各为多少米？
问题4：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2件,即两
年后的产量y=_2_0__(1_+__x_)2__
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
2、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
解答过程
2、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方 形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
2、定义：一般地，形y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
例2、 y = （m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
描述变量间
关系的数学工 具
正比例函数
y kx (k 0)
一次函数
y kx b (k 0)
反比例函数
九年级下册 第26章
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方
体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式
为 y=6.x2
此式表示了正
方体表面积y与正 方体棱长x之间的 关系，对于y的每 一个值，x都有唯 一的一个对应值， 即y是x的函数。
问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场
比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
每个球队n要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队
对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所
以比赛的场次数
m 1 n n 1
2
即
m
1 2
n2
1 2
n
此式表示了比赛的
场次数m与球队数n之 间的关系，对于n的每 一个值，m都有唯一的 一个对应值，即m是n 的函数。
解：设所求的为 二 ya次x2函 bx数 c,由题意得：
｛abc 10 abc 4
4a 2bc 7
待定系数法
解得 a2 ,b ， 3 ,c5
所求的二次函 y数 2x2是 3x5
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 对同学说,你有什么温馨提示?
知识运用
1、m取何值时，函数
m22m1
基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
二次函数
函数
此式表示了两年后的产
即
y 20x2 40x 20
量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x
的函数。
式子①②③④有什么共同点?
y=6x2
d
1 2
n2
1 2
n
d
0x2 40x 20
函数都是用自 变量的二次整
式表示的
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的 函数叫做二次函数。其中a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。
问题3：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n
条边，那么它有 n 个顶点，从一
个顶点出发，连接与这点不相邻
M
N 的各顶点,可以作(n-3)条对角线.
d 1 n n 3
此式表示了多边形 的对角线数d与边
2
数n之间的关系,对
即
d
1 2
n
2
3n 2
于n的每一值,d都 有唯一的对应值, 即d是n的函数。
练习 1. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式.
2. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm². (1)写出y与x之间的函数关系表达式； (2)当圆的半径分别增加2cm时,圆的面积增加多少?
3.已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10, 当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个 二次函数的解析试.
当a、b、c为何值时函数y＝ax2＋bx＋c是一正次比函例数函？数？
思考： 二次函数的一般式y＝ax2
＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联 系和区别？
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 (2)y=x+3
(3)s=3-2t²
(5)y=
_1_ x²
(4)y=(x+3)²-x²
(6)v=10 r²
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
1、下列函数中，（x是自变量），哪些是二次 函数？为什么？
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
例3.某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x米，
宽为y米，面积为S平方米，（x﹥y）.
(1)如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周 长），求S与x的函数关系，并求出x的取值范围。
(2)现根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必 须是18平方米，在满足（1）的条件下，矩形的长 和宽各为多少米？
问题4：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2件,即两
年后的产量y=_2_0__(1_+__x_)2__
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
2、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
解答过程
2、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方 形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
2、定义：一般地，形y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
例2、 y = （m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
描述变量间
关系的数学工 具
正比例函数
y kx (k 0)
一次函数
y kx b (k 0)
反比例函数
九年级下册 第26章
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方
体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式
为 y=6.x2
此式表示了正
方体表面积y与正 方体棱长x之间的 关系，对于y的每 一个值，x都有唯 一的一个对应值， 即y是x的函数。
问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场
比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
每个球队n要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队
对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所
以比赛的场次数
m 1 n n 1
2
即
m
1 2
n2
1 2
n
此式表示了比赛的
场次数m与球队数n之 间的关系，对于n的每 一个值，m都有唯一的 一个对应值，即m是n 的函数。
解：设所求的为 二 ya次x2函 bx数 c,由题意得：
｛abc 10 abc 4
4a 2bc 7
待定系数法
解得 a2 ,b ， 3 ,c5
所求的二次函 y数 2x2是 3x5
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 对同学说,你有什么温馨提示?
知识运用
1、m取何值时，函数
m22m1
基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
二次函数
函数
此式表示了两年后的产
即
y 20x2 40x 20
量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x
的函数。
式子①②③④有什么共同点?
y=6x2
d
1 2
n2
1 2
n
d
0x2 40x 20
函数都是用自 变量的二次整
式表示的
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的 函数叫做二次函数。其中a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。
问题3：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n
条边，那么它有 n 个顶点，从一
个顶点出发，连接与这点不相邻
M
N 的各顶点,可以作(n-3)条对角线.
d 1 n n 3
此式表示了多边形 的对角线数d与边
2
数n之间的关系,对
即
d
1 2
n
2
3n 2
于n的每一值,d都 有唯一的对应值, 即d是n的函数。
练习 1. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式.
2. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm². (1)写出y与x之间的函数关系表达式； (2)当圆的半径分别增加2cm时,圆的面积增加多少?
3.已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10, 当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个 二次函数的解析试.