反比例函数案例
反比例函数的实际例子
反比例函数的实际例子
1. 你知道吗，汽车行驶的速度和时间就像是反比例函数一样！比如说，你要去一个地方，路程是固定的吧，如果速度超快，那到达的时间不就很短嘛！反之，要是慢悠悠地开，那花费的时间可就长啦！这多像反比例函数啊，速度和时间此消彼长。
2. 想想看啊，你做一项工作，工作效率和完成时间不也是反比例函数的关系嘛！如果你效率超高，那完成工作不就用时很短嘛，要是磨磨蹭蹭，那得花多少时间呀！这不是明摆着的吗！
3. 哎呀呀，打篮球的时候，投篮的准确率和出手次数也有点反比例函数的味道呢！你要是只求快，疯狂投篮，那准确率可能就下去了呀。
但要是好好瞄准，少投几次，说不定准确率就大大提高了呢！大家想想是不是这么回事呀！
4. 大家有没有发现，给花浇水的量和花存活的时长也类似反比例函数哦！水浇太多，可能花就被淹坏了，可水浇太少，花又会干死，这不是很神奇嘛？
5. 嘿，你们说学习时间和学习效果是不是也是反比例函数呀！一直不停地学，可能效率反而低了，适当地休息调整，那学习效果说不定蹭蹭往上涨呢，这可真有意思！
6. 平时用电的时候，电器功率和用电时间也像反比例函数呢！功率大的电器，用的时间长那电费可就吓人了，如果功率小一点，合理安排使用时间，电费不就少很多嘛！这难道不是很明显嘛！
我觉得反比例函数在生活中无处不在，只要我们细心观察就能发现很多有趣的例子，它真的很神奇呀！。
反比例函数的图像和性质案例
《反比例函数的图象和性质》案例娄底八中李娜创意开场白历史上，曾经有许多人试图用尺规三等分角，但均以失败告终。
数学家怕普斯利用反比例函数图像成功的解决了这一问题。
你想了解帕普斯是如何利用反比例函数解决“三等分角”问题的吗？那就让我们先研究一下反比例函数图像与性质吧！温故：（1）一次函数的图像是什么？其性质有哪些？正比例函数呢？（2）画函数图像的方法有哪些？其一般步骤是什么？应注意什么？课堂目标导航1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．课时安排2课时第1课时一．自主学习方案（预习与交流）通过预习教材P5—P9的内容完成下面的问题知新1.画反比例函数的图像时要先________，列表时自变量可取哪些值？________2.取值以后再________3.描点以后再________，怎样连线？________________反比例函数的图像是________质疑二．课堂导学方案（合作与探究）通过以上的学习讨论，我们了解了反比例函数的大致图像，下面进一步来探索反比例函数的图像和性质。
问题我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？尝试 用描点法来画出反比例函数的图象． 画出反比例函数y=6x 和y=-6x的图象．（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究 反比例函数y=6x 和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=6x 和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳 反比例函数y=6x 和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola ）．此外，y=6x 的图象和y=-6x的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x 和y=-3x的图象．交流 两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】 由y=6x 和y=-6x 的图象及y=3x 和y=-3x的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y 随x 的变化而如何变化？ 猜想 反比例函数y=kx（k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】 （1）反比例函数y=kx（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．学生展示（学生做完后在食物投影仪上展示学生的分析过程，当堂订正，根据学生的解答情况及时查漏补缺）指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象（）【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．【答案】 B2．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．3．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（•）A．y=x B．y=1xC．y=x2D．y=1||x总结反思，拓展升华1．画反比例函数的图象．2．反比例函数的性质．3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．4．在y=kx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．三．当堂评价方案（当堂完成，当堂订正）夯实基础1．已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则k > 0，在图象的每一支上，y值随x的增大而减小．2．下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1-y 2的值为 （A ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 提升能力4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=2k x的图象在第一、三象限内，则k 的值可是________（写出满足条件的一个k 值即可）． 【答案】 略5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，•则这点一定在函数图象上 y=1x（填函数关系式）． 6．若一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图象一定在 二、四 象限． 开放探究7．两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？ 【答案】 不会相交，因为当k 1≠k 2时，方程1k x ＝2k x 无解． 8．点A （a ，b ）、B （a-1，c ）均在反比例函数y=1x的图象上，若a<0，则b < c ．。
初中数学-反比例函数典型例
反比例函数性质
当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小； 当 $k < 0$ 时，图像位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
拓展延伸：其他类型函数典型例题介绍
特征来快速识别问题类型。
理解反比例关系
理解反比例关系中两个量之间的变 化规律，即一个量增大时，另一个 量会减小，且它们的乘积保持不变 。
转化问题类型
将实际问题中的情境抽象为数学模 型，即转化为反比例函数的形式， 以便应用相关知识进行求解。
选择合适方法进行求解
直接代入法
当已知反比例函数中的某个量时 ，可以直接将其代入函数表达式
初中数学-反比例函数典型例
汇报人：XXX 2024-01-28
目 录
• 反比例函数基本概念与性质 • 典型例题分类解析 • 复杂情境下反比例函数应用问题 • 解题技巧与策略分享 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念与性 质
反比例函数定义及表示方法
定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数，且 $k neq 0$) 的函数称 为反比例函数。
积保持不变，要注意区分。
忽视单位换算
03
在实际问题中，不同物理量的单位可能不同，需要进行单位换
算。忽视单位换算可能导致结果错误。
05
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比例函数。
反比例函数图像
反比例函数经典例题(有答案)
一、反比例函数的对称性1、直线y=ax (a>0)与双曲线y= 3/x 交于A (x i, y〔)、B (X2, y2)两点，贝U 4x i y2-3x2y i=2、如图1,直线y=kx (k>0)与双曲线y= 2/x交于A, B两点，若A B两点的坐标分别为A (x i, y i),B (x2, y2)，贝U x i y2+x2y i 的值为( )A 、-8B 、4C 、-4D 、0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-Xi, Y2=-Yi双曲线形式可变化为XY=2即双曲线上点的横纵坐标乘积为 2因此XiYi=2XiY2+X2Yi=Xi(-Yi) + (-Xi) Yi=-XiYi-XiYi=-4图i 图2 图3 图4二、反比例函数中“ K”的求法1、如图2,直线l是经过点(i, 0)且与y轴平行的直线.Rt△ ABC中直角边AC=4, BC=3将BC边在直线l上滑动，使A, B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( )A、3 B 、6 C 、i2 D 、i5/4解析：BC 在直线X=i 上，设B(i , M),贝U C(i, M-3), .••A(5, M-3), 又A B都在双曲线上，二i*M=5*(M-3) , M=i5/4 即K=i5/4 2、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x (x>0)上，Adx轴于点C, Bdy轴于点D, AC与BD交于点P, P是AC的中点，若△ ABP的面积为3,则k=解析：A(xi,k/xi),B(x2,k/x2)AC:x=xi BD:y=k/x2P(xi,k/x2)k/x2=k/2xi 2xi=x2BP=x2-xi=xiAP=k/xi-k/x2=k/2xiS=xi*k/(2xi)*i/2)=k/4=3 k=i23、如图4,双曲线y= k/x (k > 0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为( )A、y=i/xB、y=2/xC、y=3/xD、=6/解析：设E(x0,k/x0)E 是BC中点，二B(x0,2k/x0)B、D两点纵坐标相同，二D(x0/2,2k/x0)BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0梯形面积=(BD+OC/ BC/2=3k/2=3•,- k=2 .•.双曲线的解析式为：y=2/x三、反比例函数“ K”与面积的关系1、如图5,已知双曲线y i=1/x(x >0) , y2=4/x(x >0),点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PAlx 轴于点A, PBLy轴于点B, PA PB分别次双曲线y=/x于D C两点，则^ PCD的面积为( ) 图5 图6 图7解析：假设P的坐标为(a,b )，则C (a/4,b), D(a,b/4),PC=3/4*a PD=3/4*bS=1/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4所以S=9/82、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k >0)交于A B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为G D、E,连接OA OB 0P,设AAOC勺面积为S、△ BOD的面积为&、APOE的面积为S3,则( )A S I<S3B 、S I>S2>S3C 、S I=S2>&D 、S=S< S3解析：结合题意可得：AB者S在双曲线y=kx上，则有S1=S2而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=SK S3.3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=k/x交于G D两点，且S3O C=&CO D=S\BOD 贝1J k=。
人教版九年级数学下册第26章：反比例函数相关的规律探究题优秀教学案例
1.设计具有挑战性和实际意义的作业：布置一些与反比例函数相关的习题，让学生在作业中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
2.引导学生进行作业反思：鼓励学生在完成作业后进行反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知。
3.教师批改作业：教师及时批改学生的作业，给予评价和反馈，帮助学生纠正错误，提高学生的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入真实的生活情境，如购物、交通等，使学生能够更加直观地理解反比例函数的实际意义，增强了学生对知识点的兴趣和记忆。这种情境创设不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.问题导向的教学策略：在教学过程中，我设计了一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生主动思考、探究反比例函数的性质和应用。这种问题导向的教学策略能够有效激发学生的思维，培养学生的探究意识和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活情境导入：通过展示一幅交通流量图，引导学生观察和分析图中的反比例关系，引发学生对反比例函数的思考。
2.利用问题导入：提出一个问题：“如果一辆汽车的油耗与行驶速度成反比例关系，那么当速度增加时，油耗会如何变化？”引发学生的思考和探究欲望。
3.利用复习导入：回顾已学过的正比例函数知识，引导学生发现正比例函数与反比例函数的关系，为学生学习反比例函数打下基础。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：结合学生的生活实际，创设与反比例函数相关的情境，如购物、交通、生产等，让学生在情境中感受到反比例函数的实际意义。
2.问题情境：设计一系列具有挑战性和探究性的问题，引导学生主动思考、探究反比例函数的性质和应用。
3.互动情境：通过师生互动、生生互动，营造轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，促进学生对反比例函数知识的理解。
反比例函数实例
反比例函数实例反比例函数是数学中的一种函数类型，指的是两个变量间的比例关系，其中当一个变量的数值增加时，另一个变量的数值会相应地减小。
在本文中，我们将提供一些反比例函数的实例，以帮助读者更好地理解这一概念。
一、基本概念在反比例函数中，两个变量之间存在着一定的比例关系。
如果我们称一个变量为“x”，另一个变量为“y”，那么反比例函数可以表示为：y=k/x，其中k为常数。
这个方程的意思是，当x的值发生变化时，y的值将相应地发生变化。
y=k/x中的常数k是反比例函数的比例常数，它决定了变量之间的比例关系。
如果k的值比较大，那么当x 的值变化幅度较小时，y的值会有较大的变化；反之，当k的值比较小时，y的变化会比较缓慢。
二、实例1. 两个游泳选手在游泳池中同时游泳，其中一个游泳选手的速度是另一个游泳选手的两倍。
假设游泳池长为40m，其中一个选手游完了整个游泳池所需时间为20秒。
此时，请问另一个选手游完整个游泳池所需的时间是多少？这是一个典型的反比例函数的实例。
此时选手的速度与所需时间之间存在反比例关系，即速度越快，所需时间越短。
我们可以用反比例函数来表示两个选手的速度与所需时间之间的关系。
设选手2的速度为x，则选手1的速度为2x（因为选手1的速度是选手2的两倍）。
根据公式y=k/x，我们可以得到选手1的速度为(2x)。
选手1游完整个游泳池所需的时间为：(40m)/(2x) = 20秒解得选手1的速度为：所以，选手2游完整个游泳池所需的时间为20秒。
2. 一台机器在4小时内可以完成一项工作。
如果我们增加工人的数量，可以使同样的任务在2小时内完成。
假设原本机器只有一名工人在操作，请问加入了多少名工人才能使这项任务可以在2小时内完成？同样，这也是一个反比例函数的实例。
在这个例子中，我们可以使用反比例函数来表示机器中的工人数量与完成任务的时间之间的关系。
设原本机器中的工人数量为x，则增加一个工人后可以将任务在t时间内完成。
反比例函数案例范文
反比例函数案例范文y=k/x其中，y和x是变量，k是一个常数，表示y和x之间的关系。
在这个函数中，当x增加时，y会减少；当x减少时，y会增加。
这种函数形式在许多实际问题中都有应用，下面将介绍一些反比例函数的案例。
案例一：电阻和电流在电学中，电阻和电流之间存在反比例关系。
根据欧姆定律，电阻（R）等于电压（V）与电流（I）之比。
因此可以写出反比例函数：R=V/I这里，电阻R随着电流I的增加而减小，反之亦然。
这种关系在电路分析和工程设计中非常重要。
案例二：速度和时间在机械运动中，物体的速度和所用时间之间存在反比例关系。
按照定义，速度（v）等于位移（s）与时间（t）的比值。
因此可以建立反比例函数：v=s/t当物体的位移增加时，所用时间减少，速度增加；反之亦然。
这个关系在运动学中是非常基础的。
案例三：人口密度和土地面积在人口地理学中，人口密度（D）通常定义为人口数量（P）与土地面积（A）之比。
因此可以建立反比例函数：D=P/A当人口数量增加时，人口密度增加；而当土地面积增加时，人口密度减小。
这种关系在城市规划和人口统计中有重要的应用。
案例四：瓦特和伏特在电功率的定义中，功率（P）等于电压（V）与电流（I）的乘积。
因此可以建立反比例函数：P=V*I当电压增加时，电流减小，功率可能增加或减小，具体取决于变化的情况。
这个关系在电力系统和能源管理中非常重要。
总结：反比例函数描述了两个变量之间的反比关系，其中一个变量的增加导致另一个变量的减少。
反比例函数在许多实际问题中都有应用，例如电阻和电流、速度和时间、人口密度和土地面积、瓦特和伏特等。
通过理解反比例函数的特点和应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并且能够应用数学方法进行求解。
反比例函数生活中的例子
反比例函数生活中的例子
反比例函数是一种数学函数，其中一个变量的值增加时，另一个变量的值会减少，反之亦然。
在生活中，我们可以找到许多反比例函数的例子。
1. 速度和旅行时间。
当我们以较高的速度旅行时，旅行时间会减少；而以较低的速度旅行时，旅行时间会增加。
2. 人口密度和居住空间。
当人口密度增加时，每个人的居住空间会减少；而当人口密度减少时，每个人的居住空间会增加。
3. 投资和回报。
当我们投资的金额增加时，我们可以获得更高的回报率；而当我们投资的金额减少时，我们可以获得更低的回报率。
4. 燃油消耗和速度。
当我们以较高的速度行驶时，车辆的燃油消耗会增加；而当我们以较低的速度行驶时，车辆的燃油消耗会减少。
5. 水龙头的流量和水压。
当水龙头的水压增加时，水流的流量会减少；而当水龙头的水压减少时，水流的流量会增加。
这些例子说明了反比例函数的应用，对我们理解和应用数学知识有很大的帮助。
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人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个有关反比例函数的实际问题，让学生分组讨论，寻找解决方法。
2.学生通过小组讨论，共同探索反比例函数的性质，提高学生的团队合作能力。
3.各小组汇报讨论成果，教师给予评价和指导，帮助学生巩固反比例函数的知识。
人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景基于人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数章节内容，旨在通过实际教学情境，引导学生理解和掌握反比例函数的定义、性质及其应用。在案例中，我担任特级教师，以班级为单位进行教学，学生年龄均为14-15岁，具备一定的数学基础。
根据教材内容，本节课的主要目标是让学生了解反比例函数的概念，能够运用反比例函数解决实际问题。在教学过程中，我充分运用人性化的教学语言，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力，培养他们分析问题、解决问题的能力。
2.学生能够理解反比例函数在实际生活中的应用，认识到数学的重要性，培养学生的数学素养。
3.学生通过反比例函数的学习，能够感受到数学的美丽和逻辑性，培养学生的审美观念。
4.学生能够克服学习中的困难，勇于面对挑战，培养学生的自信心和坚韧性。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设情境，引发学生对反比例函数的思考。例如，通过展示图片，如商场打折、人口增长等，让学生感受到反比例函数在现实生活中的存在。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结反比例函数的定义、性质及其应用，使学生对反比例函数有一个全面的认识。
2.教师强调反比例函数在实际生活中的重要性，激发学生学习反比例函数的积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
根据反比例函数知识点归纳,给出10个例子：
根据反比例函数知识点归纳，给出10个例子：根据反比例函数知识点归纳，给出10个例子反比例函数是一种特殊的函数形式，其特点是当自变量增大时，因变量会相应地减小；反之，当自变量减小时，因变量则会增大。
下面列举了10个反比例函数的例子：1. 电阻和电流的关系：当电流增大时，电阻减小；当电流减小时，电阻增大。
这能够用反比例函数来描述。
2. 速度和时间的关系：在恒定的距离下，当时间增加时，速度减小；当时间减少时，速度增加。
这也可以用反比例函数来表示。
3. 燃料效率和车速的关系：在同一辆车中，当车速增加时，燃料效率减小；当车速减小时，燃料效率增加。
4. 打孔机打孔时间和打孔数量的关系：对于一台打孔机来说，当打孔时间增加时，每分钟打孔的数量减少；当打孔时间减少时，每分钟打孔的数量增加。
5. 饺子和蒸锅水量的关系：当蒸锅中的水量增加时，每批饺子蒸熟所需的时间减少；当水量减少时，蒸饺所需的时间增加。
6. 光照强度和物体亮度的关系：在同一条件下，当光照强度增加时，物体的亮度减小；当光照强度减小时，物体的亮度增加。
7. 音乐音量和听到的声音大小的关系：当音乐音量增大时，听到的声音大小减小；当音乐音量减小时，听到的声音大小增加。
8. 网球击球速度和击球力度的关系：在相同的击球动作下，当击球力度增大时，网球的击球速度减小；当击球力度减小时，网球的击球速度增加。
9. 泵抽水时间和抽水深度的关系：当泵抽水时间增加时，抽水深度减小；当泵抽水时间减少时，抽水深度增加。
10. 车辆行驶速度和制动距离的关系：当车辆行驶速度增加时，制动距离增加；当车辆行驶速度减小时，制动距离减小。
以上是10个常见的反比例函数的例子。
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们理解自然界中的各种规律和现象。
反比例函数经典例题
反比例函数经典例题反比例函数经典例题1．（北京模拟）如图，直线AB 经过第一象限，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D ．设OC ＝x ，四边形OCPD 的面积为S ． （1）若已知A （4，0），B （0，6），求S 与x 之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2）若已知A （a ，0），B （0，b ），且当x ＝34时，S 有最大值98，求直线AB 的解析式；的解析式； （3）在（2）的条件下，在直线AB 上有一点M ，且点M 到x 轴、y 轴的距离相等，点N 在过M 点的反比例函数图象上，且△OAN 是直角三角形，求点N 的坐标．的坐标．2．（北京模拟）已知点A 是双曲线y ＝k 1x（k 1＞0）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线y ＝k 2x（k 2＜0）交于点C ．点D （m ，0）是x轴上一点，且位于直线AC 右侧，E 是AD 的中点．的中点．（1）如图1，当m ＝4时，求△ACD 的面积（用含k 1、k 2的代数式表示）；（2）如图2，若点E 恰好在双曲线y ＝k 1x（k 1＞0）上，求m 的值；的值；（3）如图3，设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当m ＝2时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求k 1的值，并直接写出线段CF 的长．的长．P B O C A x y D 图1 E B O C A x y D 图2 E B O C A x y D 图3 E B O C A x y D F 3．（上海模拟）Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，tan ∠BAC ＝12，反比例函数y＝kx（k ≠0）在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求反比例函数和直线AB 的解析式；的解析式；（2）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 是射线FD 上一动点，是否存在点P 使以E 、F 、P 为顶点的三角形与△AEO 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC 的腰OC 在y 轴的正半轴上，点A （5n ，0）在x 轴的负半轴上，OA :AB :OC =5 :5 :3．点D 是线段OC 上一点，且OD ＝BD ． （1）若直线y ＝kx ＋m （k ≠0）过B 、D 两点，求k 的值；的值；（2）在（1）的条件下，反比例函数y ＝mx的图象经过点B．①求证：反比例函数y ＝mx的图象与直线AB 必有两个不同的交点；必有两个不同的交点； ②已知点P （p ，－n －1），Q （q ，－n －2）在线段AB 上，当点E 落在线段PQ 上时，求n 的取值范围．的取值范围．5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x2＋x －1)的图象交于点A （1，k ）和点B （－1，－k ）．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．xyO CAB E F B O CA xy D E Fx y P O Q M N 6．（浙江义乌）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数y ＝kx在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA ＝12．（1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．的长．7．（浙江某校自主招生）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝－23x的图象上．的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，若另一个菱形为PQ 1M 1N 1，求点M 1的坐标；的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M 在第四象限，另一个菱形的顶点M 1在第二象限．通过改变P 点坐标，对直线MM 1的解析式y ＝kx ＋b 进行探究可得k ＝__________，若点P 的坐标为（m ，0），则k ＝__________（用含m 的代数式表示）；（3）继续探究：①若点P 的坐标为（m ，0），则m 在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？别为两个、三个、四个？②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M 坐标的所有情况．坐标的所有情况．G B FC xOy AHD E xy O 备用图备用图8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 是坐标原点，点A 坐标为（1，3），A 、B 两点关于直线y ＝x 对称，反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象经过点A ，点P 是直线y ＝x 上一动点．上一动点．（1）填空：B 点的坐标为（______，______）；（2）若点C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由；坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q 是线段OP 上一点（Q 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE ＋QF ＋QB 的值最小时，求出Q 点坐标．点坐标．9．（浙江模拟）已知点P （m ，n ）是反比例函数y ＝6x（x ＞0）图象上的动点，P A ∥x 轴，PB ∥y 轴，分别交反比例函数y ＝3x（x ＞0）的图象于点A 、B ，点C 是直线y ＝2x 上的一点． （1）请用含m 的代数式分别表示P 、A 、B 三点的坐标；三点的坐标；（2）在点P 运动过程中，连接AB ，△P AB 的面积是否变化，若不变，请求出△P AB 的面积；若改变，请说明理由；若改变，请说明理由；（3）在点P 运动过程中，以点P 、A 、B 、C 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m 的值；若不能，请说明理由．的值；若不能，请说明理由．BxOy A BxOyA备用图备用图BxOy A PCy ＝6 xy ＝3 xy ＝2x11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数y 2＝cx的图象相交于B （－1，5）、C （52，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数y 1＝kx ＋b 的图象上的动点．象上的动点．（1）求k 、b 的值；的值；（2）设－1＜m＜32，过点P 作x 轴的平行线与函数y 2＝c x的图象相交于点D ．试问△P AD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；说明理由；（3）设m ＝1－a ，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．的取值范围．12．（江苏模拟）如图，双曲线y ＝316x（x ＞0）与过A （1，0）、B （0，1）的直线交于P 、Q 两点，连接OP 、OQ ．（1）求证△OAQ ≌△OBP ；（2）若点C 是线段OA 上一点（不与O 、A 重合），CD ⊥AB 于D ，DE ⊥OB 于E ．设CA ＝a ．①当a 为何值时，CE ＝AC ？②是否存在这样的点C ，使得CE ∥AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．理由．B xOyADCP xy CABEPQD O13．（河北）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A （1，0），B （3，1），C （3，3）．反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．该反比例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0）的图象一定过点C ；（3）对于一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0），当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）．14．（山东济南）如图，已知双曲线y ＝kx经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限分支上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ．（1）求k 的值；的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．15．（山东淄博）如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线y ＝－12x ＋b 过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；的坐标；（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．的数量关系，并证明．BxO yADCPB xOyA DCAB DO CEFyx16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O 为坐标原点，A 是双曲线y ＝kx（k ＞0）在第一象限图象上的一点，直线OA 交双曲线于另一点C ．（1）如图1，当OA 在第一象限的角平分线上时，将OA 向上平移32个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M ，交y 轴于点N ，若MNOA＝12，求k 的值；的值；（2）如图2，若k ＝1，点B 在双曲线的第一象限的图象上运动，点D 在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD 是凸四边形时，求证：∠BCD ＝∠BAD ．17．（湖北模拟）如图，反比例函数y ＝k x的图象经过点A （a ，b ）且）且||a ＋23|＋(b －23)2＝0，直线y ＝2x －2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2）将线段BC 绕坐标平面内的某点M 旋转180°后B 、C 两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M 的坐标；的坐标；（3）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使以PB 为直径的圆恰好过点C ？若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．的坐标，若不存在，请说明理由．C B y x y ＝2x －2 A C B yx y ＝2x －2 备用图备用图 AOCA Nxy M 图1 OCA B xy图2 D如果存在，请求出点和点的坐标；＝的一支在第一象限交梯形对角线；）若＝12，＝2（＝2（．当取最大值时，有＝12，求此时双曲线的解析式．，求此时双曲线的解析式．21．（福建莆田）（福建莆田）如图，如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象过点A （0，3），且与反比例函数y ＝k 2x（x ＞0）的图象相交于B 、C 两点．两点． （1）若B （1，2），求k 1·k 2的值；的值；（2）若AB ＝BC ，则k 1·k 2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．若不是，请说明理由．22．（福建某校自主招生）（福建某校自主招生）如图如图1，已知直线y ＝－12x ＋m 与反比例函数y ＝k x的图象在第一象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别与x 、y 轴交于点C 、D ，AE ⊥x 轴于E ． （1）若OE ·CE ＝12，求k 的值；的值；（2）如图2，作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ； （3）在（1）（2）的条件下，EF ＝5，AB ＝25，P 是x 轴正半轴上一点，且△P AB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标．点的坐标．xO yBCA图1 A B DCExOy A BD CExOy 图2 F ABD CExOy备用图备用图F。
反比例函数的应用
反比例函数的应用反比例函数是一种特殊的函数形式，在数学中应用十分广泛。
它的形式为f(x) = k/x，其中k为常数，x为自变量。
反比例函数具有一些独特的性质，例如当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当x增大时，y的值会很快变小，但不会变为0。
反比例函数在工程学、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
下面分别介绍其中几个应用案例。
一、雷达波与距离在雷达信号的发送和接收中，控制信号的强度是非常重要的。
当雷达的发射功率增加时，雷达信号到达目标的时间会减少，信号在传输过程中所损失的能量也会减少。
这就是反比例函数的应用。
设雷达发射的电磁波在经过距离r后到达了目标，电磁波在传输过程中会损失能量，但总的能量仍然保持不变。
于是，我们可以利用反比例函数来描述这种情况：当雷达距离目标的距离越近时，信号的强度越大；反之亦然。
这一应用极大地提高了雷达的精准度和可靠性，为军事和民用领域带来实际效益。
二、人口增长与资源分布在生态学和环保学领域，反比例函数被用于描述人口增长和资源分布的关系。
一个经典的例子是章鱼和鱼类的数量之间的关系：章鱼数量越多，鱼类数量就会减少，反之亦然。
这可以用反比例函数来表示：鱼类数量F与章鱼数量O成反比例函数，即F = k/O。
这种函数形式可以非常准确地描述章鱼和鱼类数量之间的关系，为保护海洋生态系统提供了重要参考。
另一个例子是城市发展与资源分配的关系。
城市人口增长越快，资源的消耗和浪费也会相应增加。
如果我们考虑到城市中空气污染、水质污染、垃圾处理等因素，就可以将城市人口数量和资源分配写成反比例函数的形式，建立定量模型，提供对城市可持续发展的指导。
三、化学反应动力学反比例函数在化学领域中也有大量的应用，尤其是在化学反应动力学中。
在很多化学反应中，反应速率和反应物浓度是成反比例关系的。
这种现象可以用反比例函数来描述：当反应物浓度越高时，化学反应的速率会越低。
在化学反应动力学实验中，这一性质可以为实验设计和数据计算带来便利，提高研究化学反应的准确度。
反比例函数经典例题(含详细解答)55631
反比例函数难题1、如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…P n都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=kx的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．1.已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式2kx＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝xm(m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝45．(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC 的面积．(1)过A 点作AD⊥x 轴于点D ，∵sin ∠AOE ＝ 45，OA ＝5，∴在Rt△ADO 中，∵sin∠AOE＝AD AO ＝AD 5＝ 45， ∴AD＝4，DO ＝OA2-DA2=3，又点A 在第二象限∴点A 的坐标为(－3，4)，将A 的坐标为(－3，4)代入y ＝ m x ，得4=m -3∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y ＝－12x ，∵点B 在反比例函数y ＝－12x 的图象上，∴n＝－126＝－2，点B 的坐标为(6，－2)， ∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧－3k ＋b=4，6k ＋b ＝－2，∴⎩⎨⎧k ＝－23， b ＝2∴ 该一次函数解析式为y ＝－23x ＋2．(2)在y ＝－23x ＋2中，令y ＝0，即－23x ＋2=0，∴x=3，∴点C 的坐标是（3，0），∴OC ＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝12×OC×AD＝12×3×4＝6，所以△AOC 的面积为6．练习1.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x的图象上，且sin∠BAC = 35．（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．（1）把C （1，3）代入y = kx得k =3设斜边AB 上的高为CD ，则sin∠BAC =CD AC =35∵C （1，3） ∴CD=3，∴AC=5（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有：AD=52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ACD ∽ABC ∴AC 2=AD ·AB ∴AB=AC 2AD =254∴OB=AB －AO=254－3=134 图1此时B 点坐标为（134，0）图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO=254－5=54此时B 点坐标为（－54，0）所以点B 的坐标为（134，0）或（－54，0）．1.如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于B ，轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A 、C 的坐标． （3）若点P 是y 轴上一动点，且，求点P 的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3 ∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为O xyB A CD（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）1.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点1.(1)探究新知如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行。
人教版数学九年级下册26.2实际问题与反比例函数反比例函数在物理学中的应用优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.能够将反比例函数应用到实际问题中，解决与反比例函数相关的物理学问题。
3.掌握反比例函数在物理学中的应用，如速度与时间的关系、路程与速度的关系等。
4.能够运用反比例函数解决实际生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
（二）过程与方法
2.问题导向与小组合作相结合：在教学过程中，教师以问题为导向，引导学生层层深入，逐步掌握反比例函数的性质和应用。同时，组织学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。这种教学方式有助于提高学生的思维品质和解决问题的能力。
3.反思与评价贯穿教学过程：教师在教学过程中注重引导学生进行反思与评价，培养学生的评价能力和自我认知能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的成长和发展，为学生提供反馈和指导。这种教学方式有助于提高学生的学习能力。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性的任务，组织学生进行小组讨论，共同探讨反比例函数在实际问题中的应用。
2.鼓励学生分享自己的观点和思路，培养学生的表达能力和团队协作能力。
3.教师在小组讨论过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，为学生提供帮助。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行总结和反思，提高学生的思维品质。
4.充分利用多媒体手段：在教学过程中，教师利用多媒体手段，如图片、视频等，形象地展示反比例函数的应用，提高学生的学习效果。这种教学方式有助于激发学生的学习兴趣，提高学生的认知水平。
5.注重培养学生的数学应用能力：本节课通过分析实际问题，引导学生运用反比例函数进行解答，从而提高学生的数学应用能力。教师还布置了与本节课内容相关的作业，让学生巩固所学知识，培养学生的责任感。这种教学方式有助于使学生感受到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣。
反比例函数举例
反比例函数举例反比例函数是一种常见的数学函数，它的定义形式为 y = k / x，其中k 是一个常数。
反比例函数的特点是，当 x 增大时，y 会减小；当 x 减小时，y 会增大。
下面是符合要求的十个反比例函数的举例：1. 电阻和电流的关系：当电流增大时，电阻会减小，符合反比例函数的特点。
这种关系在电路中非常常见，用来控制电流大小。
2. 钢琴弦的音高和长度的关系：钢琴的高音弦相对较短，而低音弦相对较长。
这是因为音高和弦的长度成反比例关系。
3. 速度和时间的关系：在匀速运动中，速度和时间成反比例关系。
当时间增加时，速度会减小；当时间减小时，速度会增大。
4. 光的亮度和距离的关系：光的亮度和距离成反比例关系。
当距离增加时，光的亮度会减小；当距离减小时，光的亮度会增大。
5. 人口密度和土地面积的关系：人口密度和土地面积成反比例关系。
当土地面积增大时，人口密度会减小；当土地面积减小时，人口密度会增大。
6. 浓度和体积的关系：在化学反应中，溶液的浓度和体积成反比例关系。
当体积增大时，浓度会减小；当体积减小时，浓度会增大。
7. 频率和波长的关系：频率和波长成反比例关系。
当波长增大时，频率会减小；当波长减小时，频率会增大。
8. 压力和体积的关系：在气体中，压力和体积成反比例关系。
当体积增大时，压力会减小；当体积减小时，压力会增大。
9. 音调和管道长度的关系：在乐器中，音调和管道长度成反比例关系。
当管道长度增大时，音调会降低；当管道长度减小时，音调会升高。
10. 加速度和质量的关系：牛顿第二定律表明，加速度和质量成反比例关系。
当质量增大时，加速度会减小；当质量减小时，加速度会增大。
通过以上例子，我们可以看到反比例函数在各个领域中都有广泛的应用。
在实际问题中，我们可以利用反比例函数来描述和解决各种关系和变化的问题。
需要注意的是，反比例函数的图像是一个双曲线，具有对称轴和渐近线等特点。
了解反比例函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解和分析各种问题。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数比例系数K的几何意义优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容为人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数比例系数K的几何意义。反比例函数是初中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和抽象概括能力具有重要意义。在本节课中，我们需要让学生掌握反比例函数比例系数K的几何意义，理解反比例函数图象的特征，以及能够运用比例系数K解决实际问题。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法。
2.学生之间进行互评、他评，共同提高学习效果。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的进步和成长。
在教学过程中，我们将注重反思与评价，教师引导学评，共同提高学习效果。最后，教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的进步和成长。通过反思与评价，培养学生自我监控、自我反思的能力，提高学生的学习效果。
在案例背景中，我们首先可以通过展示实际生活中的反比例函数现象，如商场打折、人口增长等，引发学生的兴趣和思考。然后，通过引导学生观察反比例函数的图象，让学生发现图象上各点的坐标特点，进而总结出比例系数K的几何意义。接下来，我们可以设计一些具有挑战性的数学问题，让学生在解决过程中深化对反比例函数的理解。最后，通过小组讨论、探究活动等方式，让学生在实践中感受反比例函数的应用价值，提高解决问题的能力。
2.培养学生运用比例系数K解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.引导学生掌握反比例函数的基本性质，能够运用反比例函数解决生活中的实际问题。
在教学过程中，我们将通过观察实际生活中的反比例函数现象，引导学生发现反比例函数的比例系数K与图象特征之间的关系。通过设计具有挑战性的数学问题，激发学生的思考，培养学生的解决问题能力。在解决实际问题的过程中，让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值。
反比例函数经典例题(含详细解答)解析
反比例函数难题1、如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…P n都在函数2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．1.已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式2kx＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝(m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝45．(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC 的面积．(1)过A 点作AD⊥x 轴于点D ，∵sin ∠AOE ＝ 45，OA ＝5，∴在Rt△ADO 中，∵sin∠AOE＝AD AO ＝AD 5＝ 45，xm∴AD＝4，DO ＝OA2-DA2=3，又点A 在第二象限∴点A 的坐标为(－3，4)，将A 的坐标为(－3，4)代入y ＝ m x ，得4=m -3∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y ＝－12x ，∵点B 在反比例函数y ＝－12x 的图象上，∴n＝－126＝－2，点B 的坐标为(6，－2)， ∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧－3k ＋b=4，6k ＋b ＝－2，∴⎩⎨⎧k ＝－23， b ＝2∴ 该一次函数解析式为y ＝－23x ＋2．(2)在y ＝－23x ＋2中，令y ＝0，即－23x ＋2=0，∴x=3，∴点C 的坐标是（3，0），∴OC ＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝12×OC×AD＝12×3×4＝6，所以△AOC 的面积为6．练习1.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x的图象上，且sin∠BAC = 35．（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．（1）把C （1，3）代入y = kx得k =3设斜边AB 上的高为CD ，则sin∠BAC =CD AC =35∵C （1，3） ∴CD=3，∴AC=5（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有：AD=52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ACD ∽ABC ∴AC 2=AD ·AB ∴AB=AC 2AD =254∴OB=AB －AO=254－3=134 图1此时B 点坐标为（134，0）图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO=254－5=54此时B 点坐标为（－54，0）所以点B 的坐标为（134，0）或（－54，0）．1.如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于B ，轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A 、C 的坐标． （3）若点P 是y 轴上一动点，且，求点P 的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3 ∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A 、C 的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P 的坐标为（0，m ） 直线与y 轴的交点坐标为M （0，2）∵O xyB A CD∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）1.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点1.(1)探究新知如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行。
冀教九年级数学上册第30章反比例函数全章优秀教学案例
1.分工合作：我将根据学生的特长和兴趣，合理分配小组成员的任务，让他们在合作中互相学习、互相帮助，共同完成学习任务。
2.互动交流：我将组织学生进行小组互动交流，让他们在交流中分享彼此的学习心得和经验，提高他们的合作交流能力。
3.成果展示：我将鼓励学生进行小组成果展示，让他们在展示中锻炼自己的表达能力和自信心，同时也培养他们的团队精神。
（三）学生小组讨论
1.问题提出：我将设计一系列问题，引导学生进行小组讨论，如“反比例函数的图象有哪些特点？”，“如何判断一个函数是反比例函数？”等。
2.讨论交流：我将组织学生进行小组讨论，让他们在讨论中分享彼此的想法和经验，培养他们的合作交流能力。
3.成果展示：我将鼓励学生进行小组成果展示，让他们在展示中锻炼自己的表达能力和自信心。
在教学过程中，我将以学生为主体，注重培养学生的主动学习和合作探究能力。通过设置富有挑战性和实际意义的问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。同时，我还将注重学生的情感教育，引导他们树立正确的价值观，培养他们的责任感和团队精神。
在评价学生学习成果时，我将采用多元化的评价方式，既注重学生的知识掌握程度，也关注他们的过程与方法的应用，还重视他们的情感态度与价值观的体现。通过这样的评价，我将全面了解学生的学习情况，为下一步的教学提供有力的依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.情境创设：我将利用多媒体课件展示一些与反比例函数相关的实际问题，如购物时商品的单价和数量之间的关系，让学生感受到反比例函数在生活中的应用。
2.问题提出：我将提出问题：“商品的单价和数量之间存在着怎样的关系？”，引导学生思考和探索，激发他们的学习兴趣。
3.目标引导：我将明确本节课的学习目标，让学生知道本节课要学习的内容和要达到的学习效果。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的系数K的几何意义优秀教学案例
1.通过讲解反比例函数系数K的几何意义，使学生理解系数K与函数图像之间的关系。
2.利用图形和实例，直观地展示反比例函数系数K的几何意义，帮助学生建立空间想象能力。
3.引导学生通过观察、分析、归纳，总结反比例函数系数K的几何意义，培养学生自主学习的能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，给出具有挑战性和启发性的问题，让学生在小组内进行讨论、交流。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的系数K的几何意义优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容为人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的系数K的几何意义。反比例函数是初中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。系数K在反比例函数中的几何意义，是理解反比例函数本质的关键。
3.引导学生归纳总结本节课的主要内容，确保学生能够牢固掌握反比例函数系数K的几何意义。
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固本节课所学内容，提高运用反比例函数系数K解决实际问题的能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识，解决实际问题，培养学生的实践操作能力。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效果。
4.直观展示，加深理解：利用图形和实例，直观地展示反比例函数系数K的几何意义，帮助学生建立空间想象能力，加深对反比例函数系数K的理解。
5.总结归纳，巩固知识：通过归纳总结，使学生能够牢固掌握反比例函数系数K的几何意义，布置具有针对性的作业，巩固所学知识，提高学生的实践操作能力。
2.引导学生运用反比例函数系数K的几何意义，解决实际问题，提高学生的合作意识和问题解决能力。
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和指导，确保讨论的顺利进行。
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房县万峪中学
党仕章
3．反比例函数的图象是什么样呢? 例习题分析 例 2．见教材 P41，用描点法画图，注意强调： （1）列表取值时，x≠0，因为 x＝0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性， 可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这 样也便于求 y 值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些 点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提 升学生对数形结合思想的认识。 2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图 象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一 些性质特征．培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力， 训练观察与分析、归纳与概括的能力。 3．情感、态度与价值观
（A）S1＞S2
（C）S1＜S2
（B）S1＝S2
（D）大小关系不能确定
分析：从反比例函数 y k （k≠0）的图象上任一点 P（x，y）向 x 轴、y 轴作 x
垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积 S xy k ，由此可得 S1＝S2 ＝ 1 ， 2
故选 BBiblioteka 随堂练习1．已知反比例函数 y 3 k ，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围 x
1．一次函数 y＝kx＋b（k、b 是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪 些？正比例函数 y＝kx（k≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美， 并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲 及学习数学的成就感。 三、教学重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质 四、教学难点
正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 五、例、习题的意图分析
教材第 41 页的例 2 是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方 面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对 反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折 线
（4）由于 x≠0，k≠0，所以 y≠0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交， 只是无限靠近两坐标轴
例 1．（补充）已知反比例函数 y (m 1)xm2 3 的图象在第二、四象限，求 m 值，
并指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况？
反比例函数的图像和性质（1）教学案例分析
一、教学内容分析 通过本节学习进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并
由图象归纳概括出反比例函数图像的性质。 二、教学目标 1．知识与技能
（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象；知道一次函 数与反比例函数图像的区别与联系，并由图象纳概括出反比例函数的性质；能 用反比例函数的性质与定义解决简单的实际问题。
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即 y kx1 （k≠0）自变
量 x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时， k＜0，则 m－1＜0，不要忽视这个条件
例 2．（补充）如图，过反比例函数 y 1 （x＞0）的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的
x 垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、OB，设△AOC 和△ BOD 的面积分别是 S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质 的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例 2 是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让 学生理解并掌握反比例函数解析式 y k （k≠0）中 k 的几何意义。
x 六、教学过程设计 课堂引入 提出问题：