结构非线性分析技术

图1
弹簧力与位移的线性与非线性关系
引起结构非线性的原因很多，主要归纳为以下三类：
2.1 状态变化
许多结构表现出一种与状态相关的非线性行为，例如工程中最常见到的单向约束结构，可 以描述为图 2 的原理模型，悬臂梁在力 F 作用下发生弯曲，当弯曲增大到一定阶段后与下面的 固定圆柱发生接触，使悬臂梁的弯曲刚度发生突变，当反方向作用力时则不会受到圆柱的影响。 工程中轴承套可能是接触的，也可能是不接触的，系统的刚度由于状态的改变在不同的值之间 发生突变。
250～500N：
δ x2 δ y2
F2 2 (L -x1)5 12(EI) 2 F2(Lx 2 ) 3EI
3
4.6mm 22mm
500～750N：
δ x3 δ y3
750～1000N：
δ x4 δ y4
40 35 30
F32 (L -x2)5 12(EI) 2 F3(Lx 3) 3 3EI
L δ F 3EI
3
F 为作用力，E 为材料的弹性模量，I 为截面惯性矩。梁的弯曲刚度为 L3 ，如果仅是约束 （状态非线性）发生变化，则弯曲刚度的计算公式随之进行修正；E 变化即材料非线性发生； 当变形不能忽略时， 梁的长度不再是 L， 而是小于 L， 若不考虑截面的变化， 随着大变形的发生， 梁的弯曲刚度会逐渐增加，这与钓鱼杆的情形是一致的。非线性问题求解是将载荷分成一系列 的载荷增量，在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前程序调整刚度矩阵以 反映结构刚度的非线性变化。
F k(x) x
力与位移不再是线性关系。当采用非线性模型后，可以说明为什么同一个前提会导致多种不同 的后果，确定性前提可以导致不可预测的结果（混沌），在非线性模型中，几种运动模式不能 叠加，它们的相互耦合可以产生全新的合作行为或不可预料的结果，蝴蝶效应就是最好的例证， 此类问题无法从线性模型通过逼近或微扰来解决。
图7
悬臂梁弯曲大变形与迭代步的关系
4 悬臂梁的弹塑性弯曲
材料非线性是由弹性模量的变化引起的，悬臂梁变形理论计算公式为：
L δ F 3EI
3
梁端最大应力：
σ
L 为悬臂梁长度，b 为高度，a 为厚度。
My I

FLb 2I

6FL ab 2
采用图 8 的双线性随动强化材料模型，分三个载荷工况进行加载计算： （1）加载 F=400N （2）卸载至 0 （3）再加载 F=480N
2 结构非线性主要分类
非线性是指两个量之间没有像正比那样的直线关系，广义的讲，非线性是指力与位移之间 不遵循虎克定律， 即： 力 F 与考察的位移 x 不呈现 F=Kx 的关系， 而可能更多是复杂的函数关系。 实际上线性是一种理想状态，在现实世界中是不存在的，比如当弹簧刚度 K 定义为常量时，弹 簧力与位移之间存在线性关系，但随着弹簧位移的增加，刚度 K 会逐步增大，因此弹簧力与位 移关系为：
3EI
3 悬臂梁弯曲大变形计算
悬臂梁在力 F 作用下发生弯曲， 小变形假设下， 端点 A 沿 X 方向的变形可以忽略， 即δ x=0， A 点沿 y 向的变形和转角为：
δy θ
FL3 3EI
FL2 2EI
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（1）
当变形很大时，A 点沿 X 向的变形不能忽略，此情况下 X 向变形近似为（若忽略截面惯性 矩的变化）：
21.8mm
500～1000N：
δ x2 δ y2
F2 2 (L -x1)5 12(EI) 2 F2(Lx 2 ) 3EI
3
15mm 31mm
若迭代步增加到 4 步， 0～250N：
δ x1 δ y1
F12 L5 12(EI) 2
1.2mm 12.2mm
F1(L- x1)3 3EI
8.4mm 29mm
F4 2 (L -x3)5 12(EI) 2 F4(Lx 4 ) 3 3EI
12.5mm 34mm
随着迭代步的增加，由公式计算的解逐步接近有限元结果，图 7 为计算值随迭代步的关系。
大变形下Y变形(mm） 大变形下X变形(mm)
变形量(mm)
25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 载荷步数 80 100 120
1 前言
目前随着 CAE 应用的深入发展，工程中的大量结构单纯考虑线性计算不能满足精度要求， 迫切需要采用更复杂更精确的计算方法解决实际工程问题，如多零件装配体的瞬态响应，切削 加工中的切削力、残余变形以及自激振动、铣削薄壁零件时刀具与工件的耦合振动、连接部位 铆钉脱落后引发的突变等等都是工程中最常见的现象，这些方面均涉及非线性计算，目前 CAE 对这类问题还没有有效的处理方法，对于大型复杂结构，如何采用非线性计算方法解决工程实 际问题是未来 CAE 发展应用重点考虑的问题。
δ x 0mm δ y 50.73mm
图 6 为 ANSYS 大变形解（打开大变形效应）：
δ x 10.0mm δ y 41.6mm
（为端部中间点变形值）
图6
悬臂梁弯曲变形（大变形解）
3 FL 3EI
悬臂梁小变形条件下理论解为： δ y
50.794mm
由公式（1）（2）（3）计算的大变形解（一个载荷步时）：
3
图3
非线性系统响应曲线
2.3 材料非线性
非线性的应力──应变关系是结构非线性常见原因，加载历史，环境，加载时间皆会影响 材料的应力应变关系，如随着温度的变化多数金属材料的弹性模量会有明显改变，体现出热软 化的特性；当作用力超过一定限度，材料发生塑性行为，当作用力消除后，材料内部残留永久 变形，且卸载不沿加载路径。多数材料还会出现蠕变，随着时间的变化材料体现出不稳定现象。 一般来说，状态变化是由约束条件的变化引起的，随着变形量的改变，约束位置或约束点 的数目发生改变，因此造成系统刚度的变化，使系统的平衡方程不再是线性的；几何非线性是 由于大变形引起的，因为变形量不能忽略，会导致系统的空间位置出现显著变化，因此在刚度 矩阵中要附加变形项；材料非线性是由弹性模量的变化引起的。如悬臂梁的最大变形理论计算 公式为：
图2
单向支撑结构
2.2 几何非线性
如果结构经受大变形，由于几何形状的改变可能会引起结构的非线性响应，前面的非线性 弹簧是几何非线性的一个例子，另一个显著的例子是鱼杆，随着鱼杆的弯曲，弯曲刚度会增加， 表现出鱼的重量与端点下垂量不成线性关系，导致杆端显示出随着载荷增加不断增长的刚性。 德国学者杜芬（E.Duffing）对此类问题进行了详细研究并提出著名的杜芬方程：
Analysis of Technology in Nonlinear Structure
LI Chuye, Wang Haitao ,Wang Zengxin, Shao Zemin （Beijing Aeronautical Manufacturing Technology Research Institute，Beijing 100024）
F L δx 1 2 δy θ 12(EI)2
2 5
（2）
图4
悬臂梁大变形计算
A 点沿 y 向的变形和转角为：
δy θ
F(L -δx)3 3EI
F(L -δx)2 2EI
（3）
图5
悬臂梁弯曲变形（小变形解）
由于 A 点沿 X 向的变化使弯矩减小，因此计算 A 点 Y 向变形和转角时 L 值要做修正，将 L 代之为 L-δ x。这是一个循环计算自平衡过程，因为此后δ x 中的 L 值也要作出修正。按照这一 流程，将载荷 F 划分为多个微载荷循环计算。 悬臂梁长 L=100mm，高 b=5mm，厚度 a=3mm，作用力 F=1000N，材料弹性模量 E=210000Mpa， 泊松比ν=0.3。图 5 为 ANSYS 小变形解（没有打开大变形效应）：
[Abstract] Discusses the three nonlinear problems and the calculation method of nonlinear large deformation of cantilever beam, respectively, using the theory and method of CAE to solve, when the load step increases gradually, gradually approaching the theoretical solution of CAE solution. Application of ANSYS on the cantilever beam of large elastoplastic deformation after the hysteretic characteristics, with the increase of loading and unloading times, constantly strengthen strengthening material, when the stress exceeds 2 σ s, material seemed to exhibit hysteretic characteristics. [Keyword] Nonlinear; Cantilever beam; Large deformation; Plasticity; Hysteretic characteristics
x x x 3 f cos t x
杜芬方程与普通线性弹簧振子方程相比，多了 x 项，取正号表示弹簧是渐硬的，负号表示弹 簧渐软的，图 3 为非线性弹簧时的响应曲线，当作用力超过临界值时，在响应曲线中出现一段 不稳定状态，在此阶段振幅会出现突跳，这是非线性系统中存在的普遍现象，球面壳体的振动 也存在不稳定的突跳，这导致地震的偶然性和不可预知性。
500 450 400
应力（Mpa）
350 300 250 200 150 100 50 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
应变
图 8 双线性随动强化材料模型
图 9 载荷工况 1 下的应力云图
ab 2 6L
从材料模式来看，材料的屈服极限为 σs=400MPa，因此当 F
结构非线性分析技术
李初晔 王海涛 王增新 劭泽明 （北京航空制造工程研究所 北京 100024）
[摘要] 论述了非线性涉及的三类问题， 探讨了悬臂梁大变形非线性计算方法， 分别采用理论和 CAE 方法进行求 解，当迭代步逐渐增加时，理论解逐渐接近 CAE 解。应用 ANSYS 研究了悬臂梁弹塑性大变形后的滞回特性，随 着加卸载次数的增加，材料不断强化，当强化应力超过 2σ s 时，材料似乎均表现出滞回特性。 [关键词] 非线性；悬臂梁；大变形；弹塑性；滞回特性
图 10 载荷工况 2 下的应力云图
图 11 载荷工况 3 下的应力云图
第 3 载荷工况是对悬臂梁卸载后再加载分析，材料的弹性区域得到扩大，屈服极限得到提高， 屈服极限由 400MPa 提高到 640MPa，在加载力不高，梁的应力不超过 2σs 时，卸载和下一次加载 沿相同的路径（图 12）。到载荷工况结束，根部最大应力 823MPa，梁端部最大弯曲变形 122mm。 当强化应力达到 2σs 时，卸载和下一次加载沿不同的路径，材料呈现滞回特性（图 13）。随着 加卸载次数的增加，材料不断强化，当应力超过 800MPa 时，根据随动强化假设，沿线性卸载应 力最大不超过 2σs，使卸载过程中材料也发生屈服现象，前次卸载和本次加载不沿相同路径，材 料呈现出滞回特性，当强化应力超过 2σs 时，材料似乎均表现出滞回特性。
F L δ x 12 19.3mm (EI) 2
2 5
δy
F(L - x ) 3 3EI
26.6mm
若增加到两个迭代步，载荷先加到 500N，再从 500N 加到 1000N。 0～500N：
F1 L δ x1 12 4.8mm (EI) 2
2 5
δ y1
F1(L- x1)3 3EI
σS 167N 时梁根部开
始进入屈服状态。此后，随着作用力的增加，材料逐渐向中间屈服，从根部开始外表面的材料 逐步强化，到第一载荷工况结束，根部最大应力 673MPa，梁端部最大弯曲变形 70mm，图 9。 第 2 载荷工况是对第 1 载荷工况的卸载分析，卸载后梁的最大残余变形 57mm，最大残余应力 124Mpa，图 10。