一维连续型随机变量及其概率密度.ppt
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连续型随机变量的概率密度
x
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
2 解： (1) f ( x ) dx 0 (ax b)dx 2a 2b 1
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
连续型随机变量及其概率密度函数
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
概率论与数理统计课件 2.1一维连续型随机变量
x
70 10
0.7053
x 70 0.54 10
3准则
X ~ N(, 2)
X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径 的区间内。这是因为：
P 3 X 3 (3) (3)
(3) [1 (3)] 2(3) 1 0.9974
F(x) 0.9974
X 3
是小概率事件
3
3
例 设已知测量误差X～N（0，102 ），现独立 重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的 次数不少于3的概率。
解：第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值 超过19.6”的事件，则有 P( A) P{ X 19.6} 1 P{ X 19.6} 1 P{ X 1.96} 2 2(1.96) 0.05 10
0.617910.6915 0.3094
P(a X b) (b ) ( a )
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人
报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N (, 2 )
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到 低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？
解：设X表 示 行 车 时 间 。 (1) 有70分 钟 可 用 时 走 第 一 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P{ X 70} ( 70 50) 0.9772 10
走 第 二 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P{ X
70}
(70
60 )
0.9938
4
应走第二条路线。
一个事件的概率为零，这个事件不一定是不 可能事件、同样的这个事件的概率为1，这 个事件也不一定是必然事件。
对 x 0
连续型随机变量及其概率密度函数
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
第二章第四节 连续型随机变量及其密度函数 概率论课件
ba
当x b时，
x
a
b
x
F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0 xa
F(x)P(Xx)bx1aa
axb xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后 第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差 服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d P x (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
4. 连续型r.v取区间值的概率.
对一个连续型随机变量X，若已知其密度 函数为f(x),则根据定义，可求得其分布函 数F(x)，同时，还可以求得X的取值落在 任意区间(a,b]上的概率：
b
P(aXb)F(b)F(a)f(x)d.x
一维连续型随机变量及其概率密度共42页
kx, 0 x 3,
p(
x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其它.
(1) 确定常数k; (2) 求 X 的分布函数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 p(x)dx1,
得 3 kd x x 4 ( 2 x )d x 1 ,解之k得 1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P { a X b } P { a X b } P { a X b }
b
P {aXb} a p(x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p逝
第2.3节 一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X为 随 机， 变F(量 x)为X的 分 布,若 函 存 数 在
非 负 可 积 p(x函 ),使数对 于 任 意 x有实 数
x
F(x) p(t)dt,
则 称 X为 连 续 型 随,其 机中 变 p(x)量 称 为 X的 概
率密度,简 函称 数概率 . 密度
性质
(1)对任x意 ,p(x)的 0. (2)
p(x)dx1.
证明 (2)
x
1F () limp (t)dt p(x)dx.
x
p( x)
S p(x)dx1
S1
0
a•
•
b
x
注意
不可能事件的概率一定为0,而概率为0 的事件不一定是不可能事件.
一维连续型随机变量及其概率密度
P { X > 2000, X > 1000} = P { X > 1000} P { X > 2000} = P { X > 1000}
1 − P{ X ≤ 2000} = 1 − P { X ≤ 1000}
1 − F ( 2000) = 1 − F (1000) =e
− 1 2
≈ 0.607.
第2.3节 一维连续型随机变量 2.3节 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义 定义
设 X为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数 , 若存在 F ( x) =
非负可积函数 p( x ), 使对于任意实数 x 有
7 7 ( 3) P {1 < X ≤ } = F ( ) − F (1) = 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, p( x ) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数
x 1 P { X ≤ x }= F ( x ) = ∫−∞e 2πσ ( t − µ )2 − 2σ 2
dt
=?
方法一:利用 软件包计算(演示 方法一 利用MATLAB软件包计算 演示 利用 软件包计算 演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
2 2 3
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
连续型随机变量及其概率密度函数.87页PPT
连续型随机变量及其概率密度 函数.
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第二章 一维随机变量
P(
=
xi
)，得
0
F
(
x
)
=
0.5 0.5 + 1− 2q
0.5 + 1 − 2q + q2
, x. −1 , x [ −1, 0 ) , x [ −1, 0 ) , x [1, + )
0
, x −1
F
(
x
)
=
0.5
, x [ −1, 0 )
2 − 0.5 , x [ 0,1)
P{ X
1}, 2
P{3 X 5},
2
2
解： X 的分布函数为
0, x −1
F(
x
)
=
0.25, 0.75,
−1 x 2 2 x3
1,
x3
1 P{X } = P{X = −1} = 0.25,
2
3
5
P{ X } = P{X = 2} = 0.5,
2
2
例9 设是离散型随机变量，分布列为：
试求常数c及其分布函数。
解：利用规范性
+
b
1 = p( x)dx = cdx = c(b − a)
−
a
c = 1 b−a
1
p(
x
)
=
b
−
a
,
0 ,
x (a, b) 其它
称服从(a,b)上的均匀分布，记为 ~ U(a,b)
利用分布函数是密度函数积分的定义得
当x a时，F ( x) =
1
, x [1, + )
例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红 绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿 灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立， 以 记该 车首次遇到红灯前已通过的道口 数，求的概率分布。
概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
2-3连续型随机变量及其概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
就称 X 服从[a,b] 上的均匀分布，记为 X ~ U[a,b]．
【注】 X 的分布函数为
0, x a,
F ( x)
x
b
a a
,
a
x
b,
1, b x.
均匀分布与第一章中介绍的几何概型原理相通，适用于一维
的几何概型试验．此时， X 落入某区间 I 内（上）的概率为 P{X I} P{X I I [a,b]} I I [a,b]的长度 ． ba
(b ) (a ) ．
特别地， P{X b} (b ), P{X a} 1 ( a ) 。
其中 (a ) 和 (b ) 可查表得．
•22
例 3.5 设随机变量 X ~ N(1, 4) ，分别计算
P{X 3}， P{1 X 5} ．
解 由题意知， 1, 2 ．
y (x)
y
y (x) 1
1 2
O
x
O
x
•20
由于(x) 为偶函数，利用本节例 3.2 的结论，有
F(x()x)
F((x)x)
1；1；F(0()0)
1
1；；P{PX{ X
x}x}
2F(Fx)(x)1．1．
22
当 x 0 时， (x) 可以通过直接查标准正态分布表求得．
当 x 0 时， (x) 1 (x) ，再查标准正态分布表可得．
【注 7】如果 X ~ N(0,1) ，则对于任意的实数 a,b (a b) ， P{a X b} (b) (a) ，
其中 (a), (b) 可查标准正态分布表计算．
•21
一维连续型随机变量及其概率分布
（3）F ( x)右连续，即 F ( x + 0) = F ( x)
例3.3 设某随机变量 ξ 的分布函数为 F ( x) = a + b arctan x 试求常数 a 和 b 解：由于F ( x) 是分布函数，
F (∞) = 0 = a + b( π 2) a = 1 2 b = 1 π F (+∞) = 1 = a + b(π 2) 1 1 即：F ( x) = + arctan x 2 π
从而：
分布函数F ( x)的图形：
p
0 , x<0 0.2 , 0 ≤ x < 1 F ( x) = 0.7 ,1 ≤ x < 2 1 , 2≤ x
0.8 0.6 0.4 0.2 -1 0 1 2 3 4 5
x
例3.2
设靶子是一个半径为2米的圆盘，每次射击都
能中靶，且落在以靶心为圆心的任何一个同心圆内 的概率与该圆的面积成正比。用 ξ 表示弹着点与靶心 的距离，试求随机变量 ξ 的分布函数。 解：若 x < 0 ，则 F ( x) = P{ξ ≤ x} = P{Φ} = 0
a b
例3.6 设随机变量ξ 的密度函数 2 , x>0 2 f ( x) = π (1 + x ) ，求P{1 ≤ ξ ≤ 1} x≤0 0,
2 解： P{1 ≤ ξ ≤ 1} = ∫ f ( x)dx = ∫ 0dx + ∫ dx 2 1 1 0 π (1 + x ) 2 2 1 1 = (arctan x) 0 = arctan 1 = π π 2
例3.5 设 ξ 的密度函数为
c(3 + 2 x), 2 < x < 4 f ( x) = 0, 其它x
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1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
3. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
图形演示 p(x)
1
e
(
xμ) 2σ 2
2
,
x
,
2 πσ
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a p(x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x)
S1
0
a•
•
b
x
注意
不可能事件的概率一定为0,而概率为0 的事件不一定是不可能事件.
(1) 确 定 常 数k; (2) 求 X 的 分 布 函 数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解
(1) 由
p(x) d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
解之得
k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
x1
同时得以下计算公式
P{X a} F(a)
a
p( x)d
x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
p(x) d x p(x) d x
a p(x) d x.
(4) 若 p( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) p( x).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
解 X 的分布密度函数为
p(
x)
1 3
,
0,
2 x 5, 其 它.
设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 Y ~ B 3, 2 . 3
因而有
P{Y
2}
C2032.
F(x) 0,
x 0.
3 1
1 2
指数分布分布函数图形演示
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
=1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
若X是连续性随机变量,则
P{X a} 0,
显然 {X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p(x) 0; p(x)dx 1
是 p(x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1 设随机变量X 具有概率密度
kx, 0 x 3,
p( x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其 它.
上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以
上,求还能使用1000小时以上的概率.
解 X 的分布函数为
F
(
x)
1
e
1 2000
x
,
x 0,
0,
x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 p( x) 称 为 X的 概
率 密 度 函 数,简 称 概 率 密 度.
性质 (1) 对任意的x, p( x) 0. (2)
p(x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim
x
p(t) d t p(x) d x.
x
p( x)
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为μ, σ
S p(x) d x 1
1
0
x
(3)
P{ x1
X
x2 }
F(x2)
F ( x1)
x2 x1
p( x)dx
证明 P{x1 X x2} PX x2 X x1 PX x2 PX x1 F(x2) F(x1)
x2 p( x) d x
x1 p( x) d x
x2 p( x)d x.
2 3
2
1
2 3
C33
2 3
3
1
2 3
0
27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分 布.
p(x)
3
1
1 2
指数分布密度 函数图形演示
分布函数
1 ex , x 0,
由 F (x) x p(t) d t 得
当x 0时 ,
x
F (x) 0dt 0
x
当 0 x 3时 , F (x) p(t)dt
0
0dt
xt
dt x2
06
12
当3
x
4时
,F ( x)
0
0dt
3
0
t 6
dt
x
3 (2
t )dt 2
3 2x x2
4
当x 4时 ,
第2.3节 一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在
非 负 可 积 函 数p( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) p(t)d t,
F(x)
0
0dt
3 t dt
4 2 t dt
x
0dt
06
3 2
4
1
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
p(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它,
则称 X 在区间(a, b)区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U(a,b).
概率密度
p( x)
函数图形
ao
b
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.