一个新分数阶混沌系统的同步和控制_杨叶红_肖剑_马珍珍

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一个新的分数阶超混沌系统的同步

一个新的分数阶超混沌系统的同步张一帆;张志明;李天增【摘要】研究分数阶超混沌Lu系统的超混沌行为,给出在不同的参数下生成超混沌的最低阶数.并从理论和数值上研究Lu系统的同步,通过计算机数值仿真证明提出方法的正确性和有效性.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2016(042)002【总页数】5页(P148-152)【关键词】计算机仿真;超混沌系统;同步;拉普拉斯变换【作者】张一帆;张志明;李天增【作者单位】河南牧业经济学院自动化与控制系,河南郑州450011;河南牧业经济学院软件学院,河南郑州450046;四川理工学院理学院,四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】O175尽管分数阶微积分已经有三百年的历史,但是其在物理和工程上的应用在近几年才引起大家的关注[1-3].许多著名系统都有分数阶动力特性[4-5],例如电介质极化[6],电极电解液极化[7],粘弹性系统[8]等等.超混沌系统在物理、生物、信息、化学和其他方面都有广泛的应用[9-12],典型的分数阶超混沌系统有Chen系ssler系统[14] 等.众所周知,超混沌的同步是非常重要但是也是困难的[15-19].迄今为止,已经有了一些控制方法比如反馈控制器、非线性控制器等[20-23].本文研究分数阶超混沌系统动力行为及其同步.给出在不同控制参数下系统能够产生超混沌的最低阶数.把单向耦合法应用到同步分数阶系统中,利用拉普拉斯理论给出驱动系统和响应系统同步条件.数值仿真证明方法的正确性和有效性.本文采用Caputo分数阶算子[1],其被称为光滑的分数阶算子,定义如下:式中:m为不小于q得最小整数,且Γ为Gamma函数t.当求分数阶微分方程的数值解时,采用修正的预校估计法[1].为了解释这个方法,首先考虑下面的分数阶微分方程：式中为Caputo分数阶算子,q为算子的分数阶数,为微分方程的初值.上面的微分方程(2)等价于下面的Volterra积分方程[1]：现在令h=T/N, tn=nh (n=0,1,…,N),则上面的积分方程(3)可以被离散化为下面形式：式中这种近似的误差为式中:p=min(2,1+q).本文主要考虑四维的分数阶非线性系统式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,x=(x1(t), x2(t), x3(t), x4(t))T为系统的状态变量,x(0)=(c1, c2, c3, c4)T为初始条件,且为Caputo分数阶算子[1].下面主要研究四维分数阶系统的超混沌行为.文献[24]通过引入状态反馈控制器构建了一个简单的四维超混沌系统,具有如下形式：式中:a=36,b=3,c=20为系统中的常数,d为系统的控制参数.系统(10)就称为超混沌系统.通过计算机数值仿真,发现当控制参数d满足-0.35≤d≤1.30时,系统能够产生超混沌[24].考虑超混沌系统(10)的分数阶形式：式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,a,b,c为系统中的常数,d为系统的控制参数.通过数值仿真发现对于不同的控制参数,系统产生超混沌吸引子的最低阶数不同,结论如下：1) 控制参数d=1.3时,对于0.645≤α<0.877系统(10)是具有周期轨道,如图1，2；而对于0.877≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图3，4.2) 控制参数d=0.5时,对于0.657≤α<0.833系统(4)具有周期轨道,如图5，6；而对于0.833≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图7，8.图4 当d=1.3,α=0.95时,系统(10)关于y-z-u的超混沌吸引子图5 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于x-y-z的周期轨道图6 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于y-z-u的周期轨道图7 当d=0.5,α=0.9时系统(10)关于x-y-z的超混沌吸引子通过上面方法,能够很容易地得到分数阶系统在不同的控制参数下产生超混沌的最低阶数.利用单向耦合法[25-26]设计出分数阶超混沌系统的同步方法.为了区分驱动和响应系统,对驱动系统的状态变量添加下标m,对响应系统的状态变量添加下标s.驱动系统和响应系统分别定义如下.驱动系统定义为响应系统定义为式中:k1,k2耦合强度.下面定义驱动系统(12)和响应系统(13)之间的状态误差e1=xs-xm, e2=ys-ym, e3=zs-zm和e4=us-um.利用响应系统(12)和驱动系统(13)的差得到误差的分数阶动力方程：对方程(14)两边同时进行拉普拉斯变换,令利用拉普拉斯的性质得sαE1(s)-sα-1e1(0)=a(E2(s)-E1(s))+E4(s)sαE2(s)-sα-1e2(0)=-L{xse3}-L{zme1}+(c-k1)E2(s)sαE3(s)-sα-1e3(0)=L{xse2}+L{yme1}-bE3(s)sαE4(s)-sα-1e4(0)=L{xse3}+L{zme1}+(d-k2)E4(s)方程(15)又可以写成和利用拉普拉斯终值定理,可得和在本文中假设(k1-c)*(k2-d)≠0成立.如果E2(s)和E4(s)都是有界的,即|E2(s)|≤M和|E4(s)|≤M成立,则,又由方程(20), 则.又由于吸引子的特点,存在一个正数N,使得|ym|≤N,|zm|≤N,|xs|≤N.因此,根据方程(22),可得.最终可得).这就意味着系统(12)和(13)实现了超混沌同步.当进行数值仿真时, 超混沌系统的参数分别取为a=36,b=3,c=20,d=1.3,算子的分数阶取为α=0.9.从图3,4可知,分数阶系统为超混沌的.仍选用修正的预校估计法进行数值求解分数阶微分方程.选取驱动系统(12)和响应系统(13)的初始值分别为xm(0)=-2, ym(0)=2, zm(0)=-1, um(0)=1和xs(0)=4, ys(0)=-4, zs(0)=5,us(0)=-5.为得到使两超混沌系统同步的最优耦合强度k1,k2,从k1=k2=0,步长为1的连续增加进行计算机仿真.最终得到以下结论：当k1=k2<3时,两系统不能达到同步；当3≤k1=k2<200时, 两系统能够很快的完成同步；当k1=k2>200时,两系统不能完成同步.更进一步,仿真发现耦合强度k1,k2的最优值大概为100.图9显示了当k1=k2=5时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图10显示了当k1=k2=100时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图11显示了当k1=k2=180时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线.从图9～11和仿真结果可知,当耦合强度k1,k2越接近100,驱动系统和响应系统达到同步的时间越少,同步效果也越好.本文研究分数阶超混沌系统,给出系统在不同参数下产生超混沌的最低阶数.利用单向耦合法实现了系统的同步,并给出最佳的耦合强度.数值仿真证明方法的正确性和有效性.致谢：本文得到四川理工学院校级项目(2012PY17, 2014PY06)的资助，在此表示感谢.【相关文献】[1] PODLUBNY I.Fractional differential equations [M].San Diego:Academic Press,1999.[2] MATSUMOTO T,CHUA L O,KOBAYASHI boratory experiment and numerical confirmation [J].IEEE Trans Circuits System,1986,33:1143-1147.[3] JIA Q.Generation and suppression of a new hyperchaotic system with double hyperchaotic attractors[J].Phys Lett A,2007,371:410-415.[4] CAI G,TAN Z,ZHOU W,et al.The dynamical analysis and control of a new chaotic system [J].Acta Phys Sin,2007,56:6230-6237.[5] JIANG P Q,WANG B H,BU S L,et al.Hyperchaotic synchronization in deterministic small-world dynamical networks [J].Int J Mod Phys B,2004,18:2674-2681.[6] DUARTE F B M,MACADO J A T.Chaotic phenomena and fractional dynamics in the trajectory control of redundant manipulators [J].Nolinear Dyn,2002,29:315-342.[7] SUN H H,ABDELWAHAD A A,ONARAL B.Linear approximation of transfer function with a pole of tractional order [J].IEEE Trans Automat Control,1984,29(5):441-444.[8] KOELLER R C.Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity [J].J Appl Mech,1984,51:299-307.[9] ZHOU X,WU Y,LI Y,et al.Adaptive control and synchronization of a novel hyperchaotic system with uncertain parameters [J].Appl Math Comput,2008,203:80-85. 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一个新分数阶混沌系统的分析与同步

第３１卷
第６期
天津科技大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖｂ１．３１ＮＯ．６
Ｄｅｃ．２０１６
ｔａｂｌｉｓｈｅｒｂｙｕｓｉｎｇＭａｔｌａｂｓｏｆｔｗａｒｅｎｄａｂａｓｅБайду номын сангаасｄｏｎｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｏｒ－ｃｏｒｒｅｃｔｏｒｔｉｍｅｄｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｍｐｌｙｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａ
分数阶混沌系统的同步问题，基于极点配置方法以及扩展的非线性状态观测器理论，设计了一种投影同步方案．数值仿真与理论分析的结果一致，充分验证了该同步方案的可行性和有效性．关键词：分数阶；混沌系统；状态观测器；投影同步；数值仿真中图分类号：ＴＰ３９１．９文献标志码：Ａ文章编号：１６７２。６５１０（２０１６）０６ — ００６９ — ０５
摘
要：提出一个新的同量阶２．７阶分数阶混沌系统，基于预估一校正时域法，采用Ｍａｔｌａｂ绘制了该分数阶混沌系统
的相轨迹图、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数图和分岔图，并用数值仿真验证了该系统在一定参数变化范围内存在混沌吸引子．研究该

非同元次分数阶混沌系统的组合同步

非同元次分数阶混沌系统的组合同步林慧妮【摘要】Based on the idea of tracking control, we give two different options of controllers by using the stability theory of incommensurate fractional-order linear systems and the stability determinant theorem of fractional-order chaos systems, respectively. And we prove that they both can achieve the combination synchronization among three incommensurate fractional-order Lu systems theoretically. Finally, the numerical simulations are provided to illustrate the correctness of the theory and the effectiveness of the control strategy.%本文基于追踪控制的思想，分别利用非同元次分数阶线性系统的稳定性理论与分数阶混沌系统稳定性判定定理给出了控制器的不同选择方案，并从理论上证明了它们都能实现三个非同元次分数阶Lu系统的组合同步。

最后，通过数值仿真验证理论的正确性和控制策略的有效性。

【期刊名称】《漳州师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】7页(P1-7)【关键词】组合同步;追踪控制;分数阶混沌系统;稳定性理论【作者】林慧妮【作者单位】闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O231.2虽然分数阶微积分的发展几乎与整数阶微积分同步，都已经有300多年的历史了，但是由于前者缺乏明显的几何意义，所以分数阶微积分理论一直处于缓慢发展状态. 近年来，随着人们对物理系统的深入研究，发现许多物理系统因其特殊的材料和化学特性而展现出分数阶动力学行为，也就是说，分数阶系统能够更好地描述实际系统的动态特性，所以分数阶混沌系统的控制与同步问题逐渐成为目前混沌研究的热点之一. 对此，人们相继提出了各种各样实现分数阶混沌同步的方法，如单变量驱动方法[1]、线性反馈方法[2]、非线性反馈方法[3]、状态观测器方法[4]、追踪控制方法[5]、主动控制[6]等. 与此同时，人们也提出了各种各样的同步类型，如完全同步[7]、广义同步[8]、自适应同步[9]、投影同步[10]、广义投影同步[11]、函数投影同步[12]等.然而，以上大部分研究是针对单个系统驱动单个系统. 最近Zhou等人提出另一种新的同步类型—组合同步[5]，即采用多个系统驱动单个系统实现混沌同步，该同步类型有着其独特的优点，比如可以将需要传输的信号分割后分别加载到不同的载体上或者在不同时间段使用不同的载体传输信号. 因此，将该方法运用于保密通讯将会增强通讯的安全性以及灵活性[5]. 从目前已有的大量文献来看，人们对于分数阶系统的研究主要是基于同元次分数阶系统模型进行的，而对非同元次分数阶系统的研究目前还鲜有见到[13]，事实上，对于非同元次分数阶系统的组合同步的研究具有一定的理论价值和实际意义.基于上述的讨论，本文将研究三个非同元次分数阶系统的组合同步. 选择三个非同元次分数阶系统作为研究对象，基于追踪控制的思想，通过设计合适的控制器,实现这三个分数阶系统的组合同步. 为了说明方法的有效性，通过数值仿真进一步进行验证.目前，分数阶微分有很多种定义[14]，而最常用的是Riemann-Liouville定义和Caputo定义. 由于后者更适合描述分数阶微分方程的初值问题，所以本文采用Caputo定义[14].定义1[14]连续函数的Caputo分数阶微分定义为：其中，为初始时刻，是Riemann-Liouville积分算子：定义2[15]考虑如下驱动系统和响应系统：其中，，是状态变量，为控制器，为非线性函数.如果存在三个常数矩阵且使得，则称驱动系统(1)、(2)与响应系统(3)达到组合同步. 定义3[16]对于一般的分数阶系统，可以表示为如下形式：式中，为系统状态变量，系统阶次，其中不完全相等，为包含变量的系数矩阵. 当阶数满足，且都为真分数时，则把形如式（4）的系统称为“真分数阶”系统.引理1[17]考虑如下分数阶线性系统：其中，M为分母的最小公倍数，如果式子的所有根满足不等式，则分数阶系统(4)的零解是全局渐近稳定的.引理2[18]对于分数阶系统式中，为系统状态变量，为系统阶次，为包含变量的系数矩阵. 当阶数时，如果存在实对称正定矩阵，使恒成立，则分数阶系统（6）稳定. 该稳定性判据同样适用于真分数阶系统[16].2.1问题描述考虑将如下三个分数阶系统作为驱动-响应系统：为了简单起见，本文取, , .我们的研究目标: 设计合适的控制器使得,其中,,, 即三个系统达到组合同步.2.2 控制方案驱动-响应系统可简写成：其中，，，是连续非线性函数，且对，存在一个有界矩阵，使得.由追踪控制思想，可将驱动系统（10）、（11）的输出作为参考信号，而实现受控的分数阶系统（12）与分数阶系统（10）、（11）的组合同步，实质上就是要选择合适的追踪控制器，使得受控的分数阶系统（12）的输出追踪分数阶系统（10）、（11）的输出信号. 所以下面我们只要用追踪控制方法实现系统的输出信号与参考信号同步，则等价于实现驱动系统(10)、(11)与响应系统(12)的组合同步. 令驱动-响应系统的组合同步误差为.首先，基于参考信号为系统(12)定义一个补偿控制器：将式(13)代入式(12)得：由知，，代入（14）得：进一步地，选择合适的反馈控制器将(16)代入(15)得：由引理1知，如果能够选择适合的反馈矩阵，其中是控制参数，使得对于所有的平衡点，它对应的方程的所有根满足不等式，则误差系统(17)的零解是全局渐近稳定的，即驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.事实上，对于分数阶混沌系统（15），利用一种新的分数阶混沌系统稳定性判定定理可以设计出更加简单的反馈控制器，而且同样能使得驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.首先，我们先把具体的变量代入系统（15），可以将系统（15）化成：选择反馈控制器为则误差系统（18）变为令P是单位矩阵，并构造如下函数：其中由引理2知，只要选择合适的反馈矩阵，使其满足，则可以得到矩阵Y是负定的，此时有恒成立，则分数阶系统（21）是稳定的，即驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.为了验证理论的有效性和正确性，我们考虑这样一个具体分数阶系统，选取参数分别为，. 此时，系统处于混沌状态，且其混沌吸引子的相轨迹如图1所示.对于反馈控制器的设计方案1，初值分别为，此处选择，，. 并使用Matlab软件进行仿真，误差图如图2所示. 由图可知，误差分别很快收敛到零，从而三个非同元次分数阶系统达到组合同步.对于反馈控制器的设计方案2，初值分别为，此处选择，，. 并使用Matlab软件进行仿真，误差图如图3所示. 由图可知，误差分别很快收敛到零，从而三个非同元次分数阶系统达到组合同步.本文分别基于非同元次分数阶线性系统的稳定性理论与分数阶混沌系统稳定性判定定理，利用非线性控制与追踪控制的思想，通过设计合适的控制器，实现了三个分数阶系统的组合同步. 最后仿真结果表明了理论的正确性和控制策略的有效性. 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一个分数阶混沌系统的分析及电路设计

一个分数阶混沌系统的分析及电路设计贾红艳【期刊名称】《天津科技大学学报》【年(卷),期】2013(000)001【摘要】基于一个整数阶的四翼混沌系统，采用频域近似的方法研究它的分数阶方程，发现了该分数阶系统的混沌吸引子。

通过对它的分形分析，观察到较丰富的动力学特性，即不仅可以观察到混沌吸引子，而且也能观察到不同周期的周期轨。

最后，设计一个模拟电路实现了这一分数阶系统，为该分数阶混沌的应用提供技术上的支持。

%The fractional equation of a four-wing chaotic system was studied and a chaotic attractor was found by using approximation of the frequency domain. More dynamic characteristics were observed through studying its bifurcation.Not only chaotic attractors,but also periodic orbits can be found. At last,an analog circuit was designed to provide technologic support for the application of the fractional chaotic system.【总页数】4页(P55-58)【作者】贾红艳【作者单位】天津科技大学电子信息与自动化学院，天津 300222【正文语种】中文【中图分类】TP13【相关文献】1.一个分数阶混沌系统的分析及其同步应用 [J], 钱晔;张璇;周丽华;孙吉红;王旭;刘灵亮2.分数阶混沌系统电路设计及在保密通信中的应用 [J], 贾晨浩;李帅;徐瑜;吴楠燕;孙楠3.一个含有五项的分数阶混沌系统的动力学分析 [J], 杨丽新4.一个含有五项的分数阶混沌系统的动力学分析 [J], 杨丽新;5.新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制 [J], 颜闽秀;徐辉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分数阶混沌系统的控制与同步研究

分数阶混沌系统的控制与同步探究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的探究中得到广泛应用。

本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。

起首介绍了分数阶系统和混沌现象的基本观点，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。

通过模拟试验验证了这些方法的有效性。

最后，总结了探究结果并指出了将来的进步方向。

1.引言随着现代科学技术的进步，混沌系统的探究引起了广泛的关注。

混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。

分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。

因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了探究的重点。

2.分数阶系统的基本观点分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。

分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。

混沌系统是一类具有无法猜测的行为和极其敏感的初始条件的系统。

分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。

3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，探究者提出了多种方法。

其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。

通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。

另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。

4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。

同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。

无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。

常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。

5.模拟试验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟试验。

通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。

分数阶混沌系统的同步控制方法研究的开题报告

分数阶混沌系统的同步控制方法研究的开题报告
分数阶混沌系统同步控制方法的研究是基于分数阶系统的数学原理和混沌现象的特性，探索混沌同步问题的一种研究。

本论文主要探究分数阶混沌系统同步控制问题，分析分数阶系统的特性和混沌现象的本质，建立分数阶混沌系统同步控制的数学模型，并提出分数阶混沌系统同步控制的方法和算法。

同时，利用数值仿真验证所提出的同
步控制方法和算法的可行性和有效性。

具体研究内容和步骤如下：
1.分数阶系统的研究：介绍分数阶微积分的基本概念和性质，分析分数阶系统的特性和适用范围，探究分数阶系统在控制领域的应用。

2.混沌现象的研究：介绍混沌现象的基本概念和性质，探究混沌现象的本质、产生机理以及应用领域。

3.分数阶混沌系统的建模：基于混沌现象的特性和分数阶系统的数学原理，建立分数阶混沌系统的数学模型，并分析其特性和混沌现象。

4.分数阶混沌系统的同步控制方法和算法：提出分数阶混沌系统同步控制的方法和算法，包括抗干扰控制方法、自适应控制方法、非线性控制方法等。

5.数值仿真实验：利用MATLAB等数学软件，对所提出的同步控制方法和算法进行数值仿真，验证其可行性和有效性。

同时，对仿真结果进行分析和讨论，得出结论
并提出进一步的研究方向。

本项研究的意义在于探究分数阶混沌系统同步控制问题，为深入理解分数阶系统和混沌现象的特性、加深对同步控制问题的认识提供理论支持，并为实际控制应用提
供参考和指导。

分数阶混沌系统的间歇控制同步

分数阶混沌系统的间歇控制同步王娴;李东【摘要】针对传统分数阶混沌系统连续控制同步方法存在的不足,提出了一种不连续的控制方法—间歇控制法;由于分数阶微分方程稳定性理论的发展不成熟,通过对控制器的改进构造了新的响应系统,将分数阶同步误差系统转化为整数阶同步误差系统,基于Lyapunov稳定性理论构造V函数,得出分数阶混沌系统的间歇控制同步渐近稳定的充分条件,实现了分数阶混沌系统的间歇同步;特别地,当施加周期间歇控制时,可获得更为简单和实用的同步判据;并以分数阶Chen混沌系统为例进行数值模拟,实验结果表明间歇方法能够较好的对分数阶混沌系统进行控制同步.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】分数阶;混沌系统;间歇控制同步【作者】王娴;李东【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O1930 引言近年来的研究发现大部分整数阶混沌系统的阶数调整为分数阶时，系统仍具有混沌行为，且能更好地描述各类复杂力学和物理行为，如分数阶Lorenz系统[1]、分数阶Chua系统[2]、分数阶Liu系统[3]、分数阶Lü系统[4]等。

纵观已有的分数阶混沌控制同步方案，绝大多数都是建立在连续控制基础之上的。

如主动滑膜控制法、反馈控制法、模糊控制法、自适应法[5] 、脉冲同步[6]等。

而间歇控制同步是一种较为重要的不连续同步方法，与脉冲同步有着一定的相似性。

间歇控制可根据控制器是否工作将每个时间段分为“工作时间”和“休息时间”。

当工作时间趋于一个点时，间歇控制就变成了脉冲控制；而当休息时间趋于零时，间歇控制就变成了连续控制。

因此间歇控制同步方法更具有研究意义。

目前，间歇控制在整数阶混沌系统中已取得了一定的成果，文献[7]首次提出了一种新的混沌控制方法—间歇控制法，并从理论上验证了方法的可行性。

一种新型汽车电控单元标定方案的实现

摘要：为了研究汽车部分电子系统，需要对汽车CAN 网络数据通信中的电控单元进行标定。

介绍了CCP 协议，分析了利用新型标定软件Vehicle Spy3进行基于CCP 标定方案的实现方法，描述了Vehicle Spy3的标定过程。

采用该方法对电控单元进行标定，体现出其标定方案的高性价比与高效性。

关键词：CCP 协议；电子控制单元；标定；Vehicle Spy3中图分类号：U463.6文献标识码：A文章编号：2095－0926（2015）03－0057－03Realization of a new calibration scheme for automotive electronic control unitSONG Han-chao ，YAN Wen-bing ，XU Zheng ，WANG Zhi-qiang（School of Automotive and Transportation ，Tianjin University of Technology and Education ，Tianjin 300222，China ）Abstract ：In order to study the electronic system of automobile parts ，the electronic control unit （EOV ）in data communi -cation in CAN network is P protocol is briefly introduced ，and the implementation method based on Vehicle Spy3is analyzed ，and the calibration procedure of SPY3Vehicle is described in detail.The electronic control unit is calibrated by this method ，which reflects the high performance ratio and efficiency of the calibration scheme.Key words ：CCP protocal ；electronic contral unit （ECU ）；calibration ；Vehicle Spy3收稿日期：2015-04-08基金项目：天津职业技术师范大学科研发展基金资助项目（KJ14-03）.作者简介：宋汉超（1990—），男，硕士研究生；阎文兵（1968—），女，教授，硕士生导师，研究方向为振动与噪声控制.一种新型汽车电控单元标定方案的实现宋汉超，阎文兵，徐征，王志强（天津职业技术师范大学汽车与交通学院，天津300222）近年来，汽车电子技术不断发展，在汽车电子技术中对汽车电子控制单元（electronic control unit ，ECU ）的研究越来越重要。

分数阶Lorenz混沌系统的同步控制

关键词：分数阶；混沌系统；控制器；非线性；线性
中图分类号：ＴＰ３９１．９文献标识码：Ｂ
ＳｙｎｃｈｒＯｎｉｚａｔｉＯｎＣｏｎｔｒｏｌｏｆＦｒａｃｔｉｏｎａｌ—Ｏｒｄｅｒ
ＮａｎｊｉｎｇＪｉａｎｇｓｕ２１００４４，Ｃｈｉｎａ）
ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒＬｏｒｅｎｚｃｈａｏｔｉｃｈｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅａｄ —
ｄｒｅｓｓｅｄｐｒｏｂｌｅｍｉｓｔｒａｎｓｆｏｍｅｒｄｉｎｔｏｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｌｙａｓｉｓｏｆｔｈｅｅｒｒｏｒｓｙｓｔｅｍ．ＢａｓｅｄｏｎＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｓｃｈｅｍｅｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｆｏｒｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌ —ｏｒｄｅｒＬｏｒｅｎｚｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈａｒｅｔｈｒｅｅｎｏｎ — ｌｉｎｅａｒｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ａｓｉｎｇｌｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ａｎｄａｓｉｎｇｌｅｌｉｎｅａｒｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ

分数阶四翼超混沌系统的控制与同步

分数阶四翼超混沌系统的控制与同步李瑞军【摘要】四翼混沌吸引子的系统信号具有较宽的频谱带宽,在保密通信领域中具有重要的应用价值,研究四翼混沌吸引子的同步问题具有重要的意义;研究了一个新的分数阶四翼超混沌系统的控制与同步;基于分数阶系统稳定性定理,设计了非线性控制器实现了系统的镇定;通过构造合适的非线性观测器作为响应系统设计了一个系统同步方案,理论分析与数值模拟均验证了所得结果的准确性与有效性.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(031)012【总页数】7页(P11-17)【关键词】分数阶;超混沌系统;同步;控制【作者】李瑞军【作者单位】山西工程技术学院基础部,山西阳泉045000【正文语种】中文【中图分类】O415.5分数阶微积分是整数阶微积分的扩展，它是指微分和积分为分数阶或任意阶，近几年来，分数阶系统被广泛应用，受到很多学者的关注和研究，近期的专著主要强调分数阶微积分在信号处理、生物工程、扩散波和电磁学的应用[1-6]。

分数阶算子能够更准确的描述实际超混沌系统的动力学行为，且分数阶超混沌系统的控制与同步在保密通信、系统控制及信息处理等其他领域比整数阶混沌系统具有更为突出的应用前景和发展前途，因此分数阶超混沌系统的控制与同步研究已经引起了国内外研究人员的广泛关注。

并且已经取得了一定的成果，如文献[7]研究了一类新的分数阶超混沌系统的同步，文献[8]介绍了基于非线性控制的分数阶超混沌Chen系统与新系统的自适应同步，文献[9]研究了分数阶四翼超混沌系统与分数阶Chen 系统的异结构同步,文献[10]研究了带有未知参数的分数阶超混沌 Lorenz 系统的自适应追踪控制与同步。

1 预备知识分数阶微积分(Fractional Calculus)是研究任意阶微分与积分的理论，是普通的整数阶微积分向非整数阶的推广。

关于分数阶微积分的定义和数值算法有很多不同的形式，采用应用最为广泛的Caputo定义。

分数阶混沌系统的同步研究及电路实现

分数阶混沌系统的同步研究及电路实现摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【期刊名称】《《西北师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(055)006【总页数】7页(P47-52,73)【关键词】分数阶混沌系统; 电路实现; 线性反馈同步; 保密通信【作者】摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5; TN1.92分数阶微积分的发展已有300多年的历史，但由于缺乏实际应用，一直没有得到足够的重视.近年来，研究者将分数阶算子引入到整数阶混沌系统的研究中，发现当混沌系统的阶数不是整数时，系统也会发生混沌行为，而且分数阶混沌系统可以很准确的显示混沌系统的动力学特性[1-2].分数阶混沌系统研究成为了一个热点问题，相继出现一系列分数阶混沌系统，如分数阶Chua电路[3]、分数阶Lorenz系统[4]、分数阶Chen系统[5]、分数阶Lü系统[6]等.通过计算仿真发现，当这些混沌系统的阶数不是整数时，系统仍然可以表现为混沌状态，而且，可以更准确的呈现系统的动力学特性.在研究分数阶混沌系统的同时发现，混沌的同步控制问题是一个难点问题，得到了广泛研究并已出现了很多同步方法，如广义同步[7]、混合投影同步[8]、脉冲同步[9]、自适应同步[10-12]等.以上控制方法的控制器都是非线性的，而在实际工程应用中，文中尝试的线性控制器较易实现，经济代价小，因此具有较高的应用价值. 由于分数阶混沌系统同步控制在保密通信、信号处理等领域[13-17]比整数阶混沌系统更具有应用前景和发展前途.目前大部分是对分数阶混沌系统同步控制方法的研究，应用分数阶混沌电路实现混沌保密通信，相关研究还比较少，还处于发展的初期阶段，由于混沌信号自身的特性，混沌控制在保密通信这一领域将有很大的发展空间.文中在整数阶混沌系统的基础上，提出一个新的分数阶混沌系统，该混沌系统与已有的混沌系统相比，时序特性更加复杂、无序.利用波特图频域近似法设计了该2.7阶新分数阶混沌系统的电路.运用驱动-响应同步方法，设计了线性控制器，实现了两个分数阶混沌系统的同步.在同步电路的基础上，利用混沌掩盖保密通信的原理，设计了混沌保密通信电路.1 分数阶微积分的基本理论在分数阶微积分的定义中，最为常用的是Riemann-Liouville(RL)定义[4]，其数学表达式为(1)其中G为Γ函数，n-1≤α<n.当函数f(t)的初始值为零时，(1)式的Laplace变换可表示为(2)时域-复频域转换法是最常用的计算分数阶微积分的方法.通过求解复频域的1/sα,得到复频域的展开形式，再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解，文献[9]提出了一种波特图的频域近似方法.利用波特图频域近似法[9]，文献[7]推导出了α在0.1～0.9的1/sα展开式，这里仅采用近似误差为2 dB的1/sα的展开式[7]，用作文中的系统电路设计.2 分数阶新混沌系统及其电路实现2.1 分数阶新混沌系统(3)其中，0<α≤1,0<β≤1,0<γ≤1并且a=20,b=14,c=11,e=10/3.文中选取参数α=β=γ=0.9对分数阶新混沌系统进行研究.其数值仿真相图如图1所示.由此可知，2.7阶分数阶新混沌系统存在混沌吸引子.2.2 平衡点及其稳定性令该系统方程右边等于零，即(4)可得系统有3个平衡点S0(0，0，0)，S1(-6.5784，-3.3257，19.5610)，S2(9.9117， 5.0180，19.5610).在平衡点S0(0，0，0)将系统线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，解得特征根为λ01=-7.00,λ02=18.31,λ03=-27.31，由于特征值λ1和λ3为负实数，而λ2为正实数，显然S0是不稳定的且为二维空间中的一个鞍点.将系统在平衡点S1线性化，其Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0,得其特征根为(a)x-y-z吸引子(b)x-y相轨图(c)y-z相轨图(d)x-z相轨图图1 α=β=γ=0.9时2.7阶新混沌系统的数值仿真相轨图Fig 1 Numerical simulation phase diagram of a new chaotic system with 2.7 order,α=β=γ=0.9同理，S2处的特征值为由于S1,S2的λ2和λ3是实部为正的共扼复数，且λ1为负实数，所以平衡点S1,S2都是不稳定的鞍焦点.2.3 分数阶混沌电路设计这里，采用误差为2 dB的1/s0设计电路，由文献[7]可知，1/sa的近似表达式为(近似误差2 dB)(5)当α=0.9时，混合型电路单元如图2所示.图2 分数阶1/sa的混合电路Fig 2 Fractional order 1/sa hybrid circuit根据电路设计理论，设计新分数阶混沌系统的电路图，如图3所示.图3中运算放大器采用LM741，模拟乘法器采用AD633(输出系数0.1)，整个电路供电电压为15 V，其中R1=R2=500 Ω，R3=100 Ω，R9=800 Ω，R10=1 kΩ，R11=100 Ω,R17=R18=30 kΩ,R19=100 Ω,R7=R8=R15=R16=R23=R24=10kΩ,R4=R12=R20=61.5 MΩ,R5=R13=R21=1.65 MΩ,R6=R14=R22=15.7kΩ,C1=C4=C7=0.5 μF,C2=C5=C8=0.3 μF,C3=C6=C9=0.44 μF.在Multisim上仿真电路原理图，并用示波器显示各相仿真相图，结果如图4所示，将电路实现的结果与数值仿真结果相比较可知，电路实现的结果与数值仿真结果完全一致，证明了新分数阶混沌系统的正确性.3 分数阶混沌系统同步的电路实验整数阶混沌系统的同步控制研究已取得了很多的研究成果，这为研究分数阶系统的同步控制奠定了坚实的理论基础.这里采用线性反馈控制方法来图3 2.7阶新混沌系统电路原理图Fig 3 Schematic diagram of the 2.7-order new chaotic system实现2个新分数阶混沌系统的同步.所谓线性反馈法就是对2个演化规律相同的自治混沌系统，把一个系统的变量用适当的方式反馈到另一个系统中去，从而控制被反馈的系统，最终达到两个系统的同步.该方法是设计线性反馈控制器，实现起来比较容易，在工程应用中具有较大的实际意义.新分数阶驱动系统微分方程为(6)新分数阶响应系统微分方程为(7)运用电路理论对驱动和响应系统进行电路设计，2个分数阶混沌系统的同步电路如图5所示，其中R25=R26=R30=R31= R35=R36=1 kΩ，R27=(a)x-y平面相轨图(b)x-z平面相轨图(c)y-z平面相轨图图4 2.7阶新混沌系统仿真相轨图Fig 4 Phase diagram of thenew chaotic system of the 2.7 orderR28=R29=R32=R33=R34=R37=R38=R39=10 kΩ，选取合适的控制参数k1,k2,k3，利用Multisim对图5进行仿真，得到各相的同步仿真相图.图6为x1-x2平面的同步相图，是一条穿过原点的直线，图7为x1-x2的时序波形图.由图6和图7可以看出，2个系统实现了完全同步.4 分数阶混沌保密通信电路利用文中提出的新分数阶混沌系统，设计一个分数阶混沌掩盖保密通信电路，混沌掩盖保密通信电路如图8所示，图中R64=R67=R68=R70=R71=R72=R74=100 kΩ，R65=R69=R73=50 kΩ，R66=33 kΩ，混沌掩盖通信的基本原理为：将混沌信号与信源信号叠加在一起，在接收端通过同步差分解调电路，得到信源信号.在电路图8中，信号源信号从Vin输入，调制解调电路的另一输入端口输入混沌信号，2种信号通过运算放大器反向加法电路进行叠加，得到反向的混合信号，再经过一级反向电路，得到正的混合信号，在接收端，利用差分解调电路将混合信号与信源信号进行分离，输出端Vout得到的即是信号源信号.由于发送端与接收端实现了同步，所以该电路可以实现保密通信.文中选用正弦信号作为信号源，通过电路仿真得正弦波信号与叠加后的混沌信号以及叠加后的混沌信号与解调出的输出信号，如图9和图10所示，从电路仿真结果看，输入信号与混沌信号叠加后，信号波形十分复杂，在信号传输过程中，窃听者只能得到混合后的混沌信号，由于解调过程要求驱动电路与响应电路参数完全一致，否则无法解调出传输信号，所以，此电路具有很好的保密特性.图9和图10中输入信号与解调出的信号完全一致，即证明此保密通信电路的正确性. 图5 2.7阶新混沌系统同步电路图Fig 5 2.7-order new chaotic system synchronization circuit图6 系统(6)与系统(7)x1-x2平面的同步仿真图Fig 6 Simultaneous simulationof system(6) and system(7) x1-x2plane图7 系统(6)与(7)的同步仿真波形图Fig 7 Synchronous simulation waveforms of system (6) and system (7)图8 混沌掩盖保密通信电路调制解调电路Fig 8 Modulation and demodulation circuit of secure communication circuit with chaotic masking图9 正弦波信号与叠加后的混沌信号Fig 9 Sine wave signal and superimposed chaotic signal图10 叠加后的混沌信号与解调出的输出信号Fig 10 Chaotic signal after superposition and demodulated output signal5 结束语对新提出的分数阶混沌系统通过数值仿真、平衡点理论分析进行验证，并设计了电子电路，电路仿真结果与数值仿真完全一致，证明了系统模型的正确性，由于分数阶混沌系统更精确、动力学特性更加复杂无序，构建了新分数阶混沌系统驱动-响应同步电路图，以及新分数阶混沌保密通信电路，并在Multisim上进行仿真，采用混沌掩盖原理对输入信号进行加密，用混沌信号对信号源信号加以掩盖，在接收端，利用差分解调电路对混沌信号进行解调，由电路仿真结果可以看出，解调出的输出信号与输入信号完全一致，即说明此电路具有很好的保密性，可以实现保密通信.参考文献:【相关文献】[1] CARROLL T L,PECORA L M.Synchronizing chaotic circuits[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1991,38(4):453.[2] TOUR J M,HE T.Electronics:the fourth element[J].Nature,2008,453:42.[3] HARTLEY T T,LORENZO C F,KILLORY QAMMER H.Chaos in a fractional order Chua’s system[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1995,42(8):485.[4] GRIGORENKO I,GRIGORENKO E.Chaotic dynamics of the fractional Lorenzsystem[J].Physical Review Letters,2003,91(3):034.[5] LU J G.Nonlinear observer design to synchronize fractional-order chaotic systems via a scalar transmitted signal[J].Physica:A Statistical Mechanics & ItsApplications,2006,359(1):107.[6] WU X,LI J,CHEN G.Chaos in the fractional order unified system and its synchronization[J].Journal of the Franklin Institute,2008,345(4):392.[7] MAHMOUD G M,MAHMOUD E g synchronization of hyperchaotic complex nonlinear systems[J].Nonlinear Dynamic,2011,67(2):1613.[8] VELMURUGAN G,RAKKIYAPPAN R,CAO J.Finite-times synchronization of fractional-order memristor-based neural networks with time delays[J].NonlinearDynamics,2015,73(1/2):36.[9] ZHENG S.Further results on the impulsive synchronization of uncertain complex-variable chaotic delayed systems[J].Complexity,2016,21(5):131.[10] SONG X,SONG S,LI B.Adaptive synchronization of two time-delayed fractional-order chaotic systemswith different structure and different order[J].Optik:International Journal for Light and Electron Optics,2016,127(24):11860.[11] 陈晔,李生刚,刘恒.基于自适应模糊控制的分数阶混沌系统同步[J].物理学报,2016,65(17):251.[12] 贾雅琼,蒋国平.基于状态观测器的分数阶时滞混沌系统同步研究[J].物理学报,2017,66(16):26.[13] JIA H,GUO Z,QI G,et al.Analysis of a four-wing fractional-order chaotic system via frequency-domainand time-domain approaches and circuit implementation for secure communication[J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics,2018,155:233.[14] 潘光,魏静.一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制器设计[J].物理学报,2015,64(4):41.[15] 薛薇,徐进康,贾红艳.一个分数阶超混沌系统同步及其保密通信研究[J].系统仿真学报,2016,28(8):1915.[16] 李琳,孔留勇.一种基于混沌的新型图像加密算法[J].系统仿真学报,2018(3).[17] 黄宇,王佳荣,梁伟平.求解分数阶混沌系统参数估计问题的和声引力搜索算法[J].系统仿真学报,2016,28(5):1045.。

一个新混沌系统

一个新混沌系统
高智中
【期刊名称】《湖南文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(23)1
【摘要】构造了一个不同于经典的Lorenz系统、Chen系统和Lü系统的三维连续自治混沌系统,利用理论分析和相图、时间响应图、Lyapunov指数谱和分岔图等非线性动力学分析方法,研究了新混沌系统的一些基本动力学特性.分析结果表明,系统是耗散的,存在两个不稳定平衡点,轨线是有界的.当参数变化时该混沌系统表现出丰富的动力学行为.
【总页数】5页(P34-37,47)
【作者】高智中
【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽凤阳,233100
【正文语种】中文
【中图分类】O545
【相关文献】
1.一个新混沌系统的混沌控制与同步 [J], 李翔;冯平;王维俊;张弛;王海龙
2.一个新的混沌系统及其混沌控制研究 [J], 高智中
3.一个新单参数混沌系统的混沌控制分析 [J], 谢承蓉;蔡丽红;刘政
4.一个新自治混沌系统的混沌控制 [J], 崔俊峰;祝泽华
5.一个新混沌系统的混沌分析及混沌控制 [J], 彭建奎;俞建宁;张莉;张建刚
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分数阶混沌系统的投影同步

分数阶混沌系统的投影同步杨丽新;刘晓君【摘要】The dynamics and projective synchronization of a new fractional chaotic system are studied. The chaotic attractors in different phase space are got by numerical simulation. Based on the fractional stability theory, suitable synchronization controller is designed. Numerical simulations show the effectiveness and feasibility of the controllers.%研究一个新的分数阶混沌系统的投影同步问题.给出了此系统不同相平面上的混沌吸引子,然后基于分数阶系统稳定性理论和滑模控制原理,为此系统设计了合适的控制器,实现了分数阶混沌系统的投影同步.数值仿真验证了所设计控制器的有效性.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2012(025)001【总页数】4页(P75-78)【关键词】分数阶混沌系统;投影同步;稳定性理论【作者】杨丽新;刘晓君【作者单位】天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001【正文语种】中文【中图分类】O322;TP273分数阶微积分理论自产生以来，已有300多年的历史，但由于早期主要侧重于理论研究，因此没有实际的应用背景而发展缓慢［1］．1983年Mandelbort指出自然界及许多科学领域中存在大量的分数维事实，由此作为分形几何和分数维动力学基础的分数阶微积分取得了极大的进展［2］．一直以来，整数阶微积分都是研究的重点内容，但整数阶微积分仅仅决定于函数的局部特征，而分数阶微积分以加权的形式考虑了函数的整体信息，在很多方面应用分数阶数学模型可以更准确地描述实际系统的动态响应．自从1963年美国气象学家E．N．Lorenz提出著名的Lorenz混沌系统以来［3］，混沌作为非线性动力学的一个重要的分支越来越引起人们的重视［4］．人们在认识和研究混沌理论和应用的过程中，逐步认识到混沌的研究价值和应用价值．1990年，Pecora和Carroll［4］提出完全同步以来，混沌同步由于在保密通信等领域的潜在应用而得到了广泛的研究并取得了很多成果．常用的同步方法非常的多，例如自适应同步、观测器同步、滑模同步、耦合同步以及反馈同步等［5－8］，但这些研究成果往往针对的是整数阶混沌系统领域，研究分数阶的情况很少．这是因为分数阶系统在计算和仿真时的复杂性而导致的．在实际情况中，分数阶系统却更具有普遍性，而且具有更大的密钥空间，因而对于分数阶混沌系统的同步研究更具有重要的价值．目前，分数阶混沌同步尽管也取得了一些成果，但远不如整数阶混沌同步发展的充分，尤其是在保密通信中保密性更强的投影同步，针对分数阶混沌系统的研究较少．本文研究一个新的分数阶混沌系统的投影同步问题，基于分数阶系统稳定性理论和滑模控制原理，为系统设计了合适的控制器，实现了系统的投影同步．1 分数阶微分及数值算法在分数阶微积分的研究过程中，对微分和积分概念给出了很多定义．在以往的研究中，大多数文献应用的都是Riemann－Liouville定义的分数阶微分，其数学表达式为其中Γ（·）为伽马函数，n－1≤α＜n，n∈Z．如果函数f（t）的初始值为零，则式（1）的拉普拉斯变换表达式可以表示为使用Riemann－Liouville定义的分数阶微分，必须精确知道分数阶微分的未知函数在初始时间t＝0时的初始值．2 基于主动滑模原理的控制器设计给定驱动系统D a x＝A 1x＋g 1（x），其中a为阶数，0＜a＜1，x∈R3表示系统的状态变量，A 1∈R3×3为系统的线性部分，g 1：R3→R3为系统的非线性部分．给定响应系统为设计控制器u，使得＝0，其中β投影同步标度因子．可得误差系统其中 e＝y－βx，A＝A 2，G（x，y）＝g 2（y）－βg 1（x）＋β（A 2－A 1）x．根据主动控制思想，设计控制器为则误差系统可以重新写为其中 H（t）＝K w（t），K ＝［k 1，k 2，k 3］T，w（t）∈ R为控制输入，满足条件其中 s＝s（e）是滑模面，因此误差系统可以记为滑模面记为S（e）＝0＝0，C＝［c 1，c 2，c 3］T 是常数向量，系统发生滑模运动时满足S（e）＝0，S·（e）＝0，联立式（2）～（8），可得等效控制为wη（t）＝－（CK）－1 CAe（t），CK 为非奇异矩阵，可得D a e＝（I－K（CK）－1 C）Ae．选择到达率为指数趋近率D as＝－ρsgn（s）－rs．系数ρ，r＞0，可得控制输入为w（t）＝－（CK）－1［C＋（r I＋A）e＋ρsgn（s）］，u（t）＝－K（CK）－1［C（r I＋A）e＋sgn（s）－G（x，y）．定理1 若选择滑模面为式（8），则误差系统（7）可以达到滑模条件，且当误差系统到达滑模面时，滑动模态是稳定的．证明考虑Lyapunov函数V＝（1／2）S 2，对此式求导，得－ρs sgn（s）－rs 2．因为s sgn（s）＞0，r＞0，ρ＞0，所以负定，故满足滑模到达条件．将式（9）代入系统（7），得其中 K（CK）－1ρsgn（s）是误差系统的输入，｜ar g（eig［A－K（CK）－1 C（r I＋A）］e｜＞aπ／2，那么只要选择合适的K，C，则误差系统是稳定．3 数值仿真文献［6－7］中构造的混沌系统其中 x＝（x 1，x 2，x 3）T ∈R3 为系统的状态变量，a，b，c∈R为参数，且当系统（10）取参数a＝5，c＝1，b＝16时，系统呈现混沌吸引子如图1所示．图1 系统（10）的混沌吸引子系统（10）的分数阶其中 0＜q 1，q 2，q 3≤1为系统的阶数，当阶数为1时，系统（10）与系统（11）等价．分数阶系统（11）的参数仍取a＝5，b＝16，c＝1．当q 1 ＝1，q 2 ＝1，q 3 ＝0．99时，系统（11）存在混沌吸引子，采用Riemann－Liouville 定义设计算法，数值仿真得到该混沌吸引子在不同相平面上的投影，如图2所示．图2 当q 1 ＝1，q 2 ＝1，q 3 ＝0．99时，系统（10）的混沌吸引子根据滑模控制的设计，选取A＝A 2 ＝［－10，10，0；40，0，0；0，0，－2．5］，C＝（1，1，1）T，K＝（1，1，－1）T，r＝15，ρ＝2，系统（10）的初值为（1，2，3），系统（11）的初值为（0．1，0．1，0．1），标度因子为β＝5．采用Riemann－Liouville定义的分数阶微分对系统进行仿真，图3为系统同步误差曲线，可以看出t＝20左右，驱动系统与响应系统达到同步．4 结束语基于分数阶系统稳定性理论，设计了合适的自适应控制器，实现了一个新的三维自治分数阶混沌系统的投影同步，数值仿真验证了控制器的有效性．所得结果对于该分数阶系统在保密通信中的应用提供了基础数据．图3 同步误差曲线和对应的状态变量曲线（投影因子β＝5）【相关文献】［1］ LORENZ E N．Deter ministic nonperiodic flow［J］．J At mos Sci，1963，20：130－141．［2］ RSSLER O E．An equation for continuous chaos［J］．Phys Lett A，1976，57：397－398．［3］ CHEN G R，UETA T．Yet another chaotic attractor［J］．Int J of Bif urcation and Chaos，1999，9：1 465－1 466．［4］ PECORA L M，CARROLL T L．Synchronization in chaotic systems［J］．Phys Rev Lett，1990，64：821－826．［5］ VINCENT U E，NJAH A N，AKINLADE O，et al．Phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic ratchets［J］．Chaos，2004，14（4）：1 018－1 025．［6］褚衍东，李险峰，张建刚，等．一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟［J］．四川大学学报：自然科学版，2007，44（3）：596－601．［7］ CHU Y D，LI X F，ZHANG J G，et al．Nonlinear dynamics analysis of a new autonomous chaotic system［J］．J Zhejiang Univ Sci，2007，8（9）：1 408－1 413．［8］陈向荣，刘崇新，李永勋．基于非线性观测器的一类分数阶混沌系统的完全状态投影同步［J］．物理学报，2008，57（3）：1 453－1 456．。

分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告

分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告【摘要】本文研究分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法，首先介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的基本概念和性质，然后基于Lozi混沌系统和Chen混沌系统，分别建立了分数阶Lozi混沌系统和分数阶Chen混沌系统，并分析了它们的混沌特性。

接着，提出了一种基于自适应反馈控制的分数阶Lozi混沌系统同步算法，并给出了理论证明和仿真结果。

最后，总结了本文的研究内容和主要贡献，并展望了未来的研究方向。

【关键词】分数阶微积分；分数阶微分方程；混沌系统；同步控制算法【Abstract】This paper studies the chaotic characteristics analysis and synchronization control algorithm of fractional-order nonlinear systems. Firstly, the basic concepts and properties of fractional calculus and fractional differential equations are introduced. Then, based on the Lozi chaotic system and Chen chaotic system, fractional-order Lozi chaotic system and fractional-order Chen chaotic system are established respectively, and their chaotic characteristics are analyzed. Then, an adaptive feedback control based synchronization algorithm for fractional-order Lozi chaotic system is proposed, and theoretical proof and simulation results are given. Finally, the research content and main contributions of this paper are summarized, and the future research direction is prospected.【Keywords】fractional calculus; fractional differential equation; chaotic system; synchronization control algorithm。

一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步

一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步
陈玉霞;赵祖伟
【期刊名称】《郑州轻工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(025)002
【摘要】构造了一个新的三维混沌系统,该系统与Chen系统、Lorenz系统等各类经典的混沌系统都是拓扑不等价的.通过理论分析、数值仿真研究了该系统的混沌特性,且发现新系统在低于3阶时仍然呈现丰富的混沌现象.实现了该分数阶系统与其响应系统的异结构同步.
【总页数】4页(P103-106)
【作者】陈玉霞;赵祖伟
【作者单位】郑州大学,电气工程学院,河南,郑州,450001;郑州大学,电气工程学院,河南,郑州,450001
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.新分数阶混沌系统及异结构同步 [J], 潘红
2.不同阶异结构分数阶混沌系统的广义投影同步 [J], 王亚民;朱鑫铨;姬天富;刘玉荣
3.分数阶混沌系统同结构与异结构广义同步 [J], 闵富红;王执铨
4.一种异结构分数阶混沌系统的同步滑模控制器设计 [J], 魏静;潘光
5.异结构分数阶混沌系统的柔性变结构同步控制 [J], 邵克勇;郭浩轩;韩峰;王婷婷
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０引言
混沌现象是在一个系统中出现的一种看似无规则的且具有内在随机性的复杂现象。大量研究表明，当混沌系统的阶数为分数时仍然出现混沌现象，并且更能反映出系统呈现的工程物理现象。近年来，人们对混沌系统进行了深入研究。在混沌系统的同步中，参数具有重要的作用，研究者对整数阶混沌系统参数识别进
第４９卷第２期２０１４年２月山东大学学报（理学版）Ｖｏｌ．４９Ｎｏ．２Ｆｅｂ．２０１４ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
大多以参数和结构确定的混沌系统作为研究对象设计同步方法，当系统中某些参数未知时，混沌系统的敏感性将造成系统状态极大的差异。
2014-03-05 17:46 收稿日期：２０１３０５０９；网络出版时间：２０１３１１２２１５ ∶ ０７ /kcms/detail/37.1389.N.20140305.1746.002.html 网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３７．１３８９．Ｎ．２０１３１１２２．１５０７．００１．ｈｔｍｌ
β ｊ，ｎ＋１＝
０ ≤ｊ ≤Ｎ
ｐｍａｘ｜ｙ（ｔ）－ｙ（ｔ）｜＝Ｏ（ｈ），ｊｈｊ
（９）
（ｋ）
（ｋ）０
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（４）
令ｈ＝
Ｔ＋，ｔ＝ｎｈ，ｎ＝０，１， …，Ｎ∈ Ｚ，对式（４）进行ＡｄａｍｓＢａｓｈｆｏｒｔｈ预估，可得到预估公式：Ｎｎｋ［ｑ］－１ｑｑｔｈｈ１＋ｎ（ｋ）ｐｙ（ｔ）＝ｙ＋ｆ（ｔ，ｙ（ｔ））＋（ｔ，ｙ（ｔ））， α ∑ ｈｎ＋１０ｎ＋１ｎ＋１，ｎ＋１ｆｊｈｊｈｋ！ Γ （ｑ＋２）（ｑ＋２）ｊ Γ ｋ＝０
文章编号：１６７１９３５２（２０１４）０２００７６０８ＤＯＩ：１０６０４０／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１９３５２０２０１３２２５
一个新分数阶混沌系统的同步和控制
第２期
杨叶红，等：一个新分数阶混沌系统的同步和控制
７７
近年来，很多研究者开始注重参数辨识在实际应用中的研究，比如在通信信息传递时参数辨识和参数的失真现象是在所难免的，故而，参数的辨识在通信中也有着重要的作用。能否同时实现混沌系统的同步和参数辨识，这关系到通信信息传递的准确性。本文在文献［１１１２］的基础上，在原分数阶系统中增加一个二次非线性项，构造了一个新的分数阶混沌［１３］系统。该系统与其他各类混沌系统都是拓扑不等价的，并且在分数阶时仍然具有混沌现象。同时，还设计了该系统的自适应反馈控制方法，使得此分数阶混沌系统同时实现线性参数未知的同结构自适应同步和参数辨识。
∫
Ｌａｐｌａｃｅ变换表达式表示为Ｌｆ（ｔ）＝ｓＬ｛ｆ（ｔ）｝。 { ｄｄｔ }
ｑｑｑ
（２）
１２预估－校正算法１９］２０］目前，分数阶微积分运算的求解方法主要有时频域转换算法［和预估－校正算法［。时频域转换算法主要通过采用整数阶拟合分数阶的方式，利用求整数阶的方法进行计算。而预估－校正算法是典型的求解一阶微分方程组ＡｄａｍｓＢａｓｈｆｏｒｔｈＭｏｕｌｔｏｎ法的推广。分数阶系统可基于下述算法进行离散化从而求得方程的数值解。考虑微分方程：
ｑＤ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｙ（ｔ）），０≤ ｔ， ≤Ｔｔｙ
（３）
初值为ｙ（０）＝ｙ，ｋ＝０，１， …，ｍ－１，ｍ＝［ｑ］。与式（３）等价的Ｖｏｌｔｅｒｒａ积分方程为
ｋ１ｔ（ｋ）ｔｑ－１ｙ（ｔ）＝∑ ｙ＋（ｔ－ｓ）ｆ（ｓ，ｙ（ｓ））ｄｓ。００ｋ！（ｑ） Γ ｋ＝０［ｑ］－１
１分数阶微分定义和预估－校正算法
１１分数阶微积分定义１４１８］分数阶微分有着多种定义［，在以往的研究中，大多采用的是ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ（ＲＬ）定义的分数阶１７］微分［，其数学表达式如下：ｑｎｄｆ（ｔ）１ｄｆ（ｔ）ｔｆ（） τ ＝ｄ，（１） τ ｑｎｑ－ｎ＋１（ｎ－ｑ）ｄ Γ ｄｔｔ０（ｔ－τ ）其中，（ · ）是伽马函数，ｎ－１≤ ｑ，ｑ为分数，ｎ为正整数。如果函数ｆ（ｔ）的初始值均为０，则式（１）的 Γ ≤ｎ
Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｏｆａｎｏｖｅｌｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ
ＹＡＮＧＹｅｈｏｎｇ，ＸＩＡＯＪｉａｎ，ＭＡＺｈｅｎｚｈｅｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０１３３１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｏｖｅｌｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｔｈｒｅｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｑｕａｄｒａｔｉｃｔｅｒｍｓｗａｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄａｎｄｉｔｓｂａｓｉｃｃｈａｏｔｉｃｄｙｎａｍｉｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｗａｓａｎａｌｙｚｅｄ．ＴｈｅｃｏｎｔｒｏｌｏｆｔｈｅｎｅｗｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｗａｓｒｅａｌｉｚｅｄｂｙＬａｐｌａｃｅｔｒａｎｓｆｏｒｍ．，ｔｈｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｓｙｎＢａｓｅｄｏｎＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｗｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒ，ａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｌａｗｓｗｅｒｅｄｅｒｉｖｅｄｔｏａｃｈｉｅｖｅｃｈａｏｓｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｗｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ；ａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌ；ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ
杨叶红，肖剑，马珍珍
（重庆大学数学与统计学院，重庆４０１３３１）
摘要：构造了一个具有三个非线性二次项的新分数阶混沌系统，分析了其基本的混沌动力学特性，并应用Ｌａｐｌａｃｅ变换实现了新系统的混沌控制。基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ理论和分数阶混沌系统稳定性理论，得到同时实现新分数阶混沌系统自适应同步和参数辨识的充分条件，并通过数值仿真，验证了结论的正确性。关键词：分数阶混沌系统；自适应控制；同步中图分类号：ＴＰ２７３文献标志码：Ａ
（５）
其中，
ｑ＋１ｑ＋１ｑ＋１ α ｎ－ｊ＋２）＋（ｎ－ｊ）－２（ｎ－ｊ＋１），１≤ ｊ， ≤ｎｊ，ｎ＋１＝（
{
ｑ＋１ｑｎ－（ｎ－ｑ）（ｎ＋１），ｊ＝０，
（６）
１，ｊ＝ｎ＋１，（７）（８）
ｋ［ｑ］－１ｎｔ１ｎ＋１ｐ（ｋ）ｙ（ｔ）＝ｙ＋ｂｆ（ｔ，ｙ（ｔ））， ∑ ∑ ｈｎ＋１０ｊ，ｎ＋１ｊｈｊｋ！ Γ （ｑ）ｊ＝ｋ＝００ｑｈｑｑ（（ｎ＋１－ｊ）－（ｎ－ｊ））。ｑｑ２设ｑ＞０且对于某个Ｔ满足Ｄ（ｔ）∈ Ｃ［０，Ｔ］，有误差估计：ｔｙ