电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理y-资料
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Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
1
回顾：
1. 标量场的梯度
GradVV@ddVna)n
2. 矢量场的散度
VV xaˆxV yaˆyV zaˆz
uv v
divuAv@limÑ S AgdS
V0 v
divA vA v=Ax Ay Az x y z
3. 散度定理
max
？旋度的方向 a ˆ z
空间矢场在任一点的旋 度矢量的方向是该点取 最大方向旋度的方向， 它的模是该点取最大方 向旋度的大小。
8
（3）方向旋度
Ñ v
Aua ˆu
v
1 v v
AV lsium 0V su C uAdl
我们看到：掌握了某一点的旋度，可以知道绕什么方向的方向 旋度最强，并算出方向旋度的最大值；如果矢量场F每一点的旋 度都有定义，则形成一个矢量场的分布称为矢量F的旋度场。总 而言之，旋度场是源于矢场的另一矢场，它全面地刻画了矢场 的涡旋特征（空间变化特征）。
u v u vu v
VdivA dVÑ SA g dS
2
主要内容
1. 矢量场的旋度 2. 斯托克斯定理 3. 两个零等式 4. 亥姆霍兹定理
3
1. 矢量场的旋度
旋涡 旋涡源 环量 旋度
Q1
v l1
v l
Q
v Q2
P
l2
静电场：有始有终 矢量场散度场描述散度源强度在空间分布
静磁场：无始无终闭合线 矢量场旋度场描述旋涡源强度在空间分布
20
3.2 恒等式 II
任何矢量场的旋度的梯度恒为零
v (A)0
恒等式 II 的逆定理：如果一矢量场的散度为零，它就 可表示为另一矢量场的旋度。
例如：
uv gB0
uv uv 那么 BA
无散场又成为管形场。管形场是没有流量源和汇的。管 形场穿过任何封闭面的净流出通量为零，通量线自身呈 闭合形状。
(A B) B A A B
( ) 0
A ( A) 2A
2
2 x2
y22
z22
2A2Axex 2Ayey 2Azez 13
Example 2-21(P57-58)
14
一个旋度为零的矢量场称为无旋场 一个散度为零的矢量场称为无散场
15
2. 斯托克斯定理
一矢量场的旋度在一开放表面上的面积分，等于该矢量 沿包围该表面的围线的封闭线积分
方向旋度：当面积趋于零时，垂直于 aˆ 方u 向上的单位面积上
的环量
vv
Ñ v
Agdl
CurlA lim
Vs aˆu s0 aˆu
aˆ s v dl
ds
v dl
ds
aˆ s
回路（回路的绕行方向）与回
P
路包围面（面法线方向）这两
个方向之间的关系：右手规则
注意：在每一点P处都有无穷多的方向旋度 7
v CurlA＝aˆx
Az y
－Ay z
－aˆy
Az x
－Ax z
aˆ z
Ay
x
Ax y
11
柱坐标系
aˆr
raˆ
aˆ z
v A
1
r r z
Ar
rA
Az
球坐标系
aˆR
AvR2s1in
R
AR
Raˆ
RA
Rsinaˆ
RsinA
12
(A B) A B
(A) A A
的强度在空间的分布
10
vv (5)在正交曲面坐标系下的表达式 C urlA A
h1aˆu1
v curlA
1
h1h2h3 u1
h1Au1
h2aˆu2 u2 h2Au2
h3aˆu3 u3
h3 Au3
aˆx
v CurlA
x
aˆy
aˆ z
y
z
直角坐标系下：
a)x
x
a)y
y
a)z
z
Ax
Ay
Az
16
Example 2-22(P60)
17
18
3. 两个零等式
3.1 恒等式 I
任何标量场的梯度的旋度恒为零。（V及其一阶导数处处存在）
(V)0
恒等式 I 的逆定理也成立： 如果一个矢量的旋度为零，则该矢 量可以表示为一个标量场的梯度。
例如：
uv E0
那么
uv EV
一个无旋（保守）矢量场总可以表示成一个标量场的梯度
4
（1）基本概念：矢量A沿闭合回路l的环量
l Adl
环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关， 还取决于该曲线相对于矢量A的取向。若环量 不等于 零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场
或有旋场，若环量 等于零，则为无旋场。可见，环量
可以用来描述矢量场的旋涡特性。
5
2A
2A
5A
10A
u vv vvv v
S ( C u r l A ) d S S ( A ) d S Ñ C A d l
降维：二维 —— 一维
斯托克斯定理将一矢量的旋度的面积分变换为该矢量的 线积分，或者作相反的变换。凡是可应用斯托克斯定理 的场总是意味着有一个带有环形边界的开放表面存在。 最简单的开放表面是二维的平面或者带有圆周边界的圆 盘，注意：dl和ds的方向关系服从右手定则。
J
z 正最大
z
次之
y
y
x
x
x
Ñ cBgdl0c内I0Jvdsv
z
零
y
z
y
x
x
x
(1)在同一点绕不同方向的方向旋度不相同，
(2)有这样一个特殊方向，该方向的方向旋度最大
z
零
y
z 负最 大
y
最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度
vv
v
v
Ñ Agdl
CurlAA lim Vs0
aˆn
C
Vs
VspointM
3A
3A
Ñ cB g dl0 c内 I0J vds v
divFvgFv＝limÑ Fvgdsv Vv0 Vv point M
vv
lim Ñc A dl
s0
S
po int M
绕同一点有无穷多的回路，怎么办？ 6
（2）三维空间矢量场方向旋度的概念
研究在同一点绕各个不同方向的旋涡强度（无穷多的绕行方向），沿每一 个回路都有一个旋度，称为方向旋度，其方向为回路包围面积的法线方向
19
直角坐标系下证明：=0
aˆx
v A
x
Ax
aˆy
aˆ z
y
z
Ay
Az
f
aˆx
xf aˆy
fyaˆz
f z
=
aˆ
x
x
aˆ y
y
aˆ z
z
aˆ x
aˆ y
aˆ z
aˆ x
y
z
z
y
= x
y
z
aˆ
y
x
z
z
x
Hale Waihona Puke Baidu
0
x
y
z
aˆ
z
x
y
y
x
9
(4)物理意义
vv
vv
Ñ Agdl
CurlAA lim Vs0
aˆn
C
Vs
VspointM
max
如果矢量场F每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布
（矢量场)称为矢量F的旋度场
Ñ Bgdl c
0
c内
I
vv
Ñ A g d l
C
Vs
源
单位面积上的源，涡旋
源的强度
旋度场：空间每点处涡旋源的强度，描述涡旋源
1
回顾：
1. 标量场的梯度
GradVV@ddVna)n
2. 矢量场的散度
VV xaˆxV yaˆyV zaˆz
uv v
divuAv@limÑ S AgdS
V0 v
divA vA v=Ax Ay Az x y z
3. 散度定理
max
？旋度的方向 a ˆ z
空间矢场在任一点的旋 度矢量的方向是该点取 最大方向旋度的方向， 它的模是该点取最大方 向旋度的大小。
8
（3）方向旋度
Ñ v
Aua ˆu
v
1 v v
AV lsium 0V su C uAdl
我们看到：掌握了某一点的旋度，可以知道绕什么方向的方向 旋度最强，并算出方向旋度的最大值；如果矢量场F每一点的旋 度都有定义，则形成一个矢量场的分布称为矢量F的旋度场。总 而言之，旋度场是源于矢场的另一矢场，它全面地刻画了矢场 的涡旋特征（空间变化特征）。
u v u vu v
VdivA dVÑ SA g dS
2
主要内容
1. 矢量场的旋度 2. 斯托克斯定理 3. 两个零等式 4. 亥姆霍兹定理
3
1. 矢量场的旋度
旋涡 旋涡源 环量 旋度
Q1
v l1
v l
Q
v Q2
P
l2
静电场：有始有终 矢量场散度场描述散度源强度在空间分布
静磁场：无始无终闭合线 矢量场旋度场描述旋涡源强度在空间分布
20
3.2 恒等式 II
任何矢量场的旋度的梯度恒为零
v (A)0
恒等式 II 的逆定理：如果一矢量场的散度为零，它就 可表示为另一矢量场的旋度。
例如：
uv gB0
uv uv 那么 BA
无散场又成为管形场。管形场是没有流量源和汇的。管 形场穿过任何封闭面的净流出通量为零，通量线自身呈 闭合形状。
(A B) B A A B
( ) 0
A ( A) 2A
2
2 x2
y22
z22
2A2Axex 2Ayey 2Azez 13
Example 2-21(P57-58)
14
一个旋度为零的矢量场称为无旋场 一个散度为零的矢量场称为无散场
15
2. 斯托克斯定理
一矢量场的旋度在一开放表面上的面积分，等于该矢量 沿包围该表面的围线的封闭线积分
方向旋度：当面积趋于零时，垂直于 aˆ 方u 向上的单位面积上
的环量
vv
Ñ v
Agdl
CurlA lim
Vs aˆu s0 aˆu
aˆ s v dl
ds
v dl
ds
aˆ s
回路（回路的绕行方向）与回
P
路包围面（面法线方向）这两
个方向之间的关系：右手规则
注意：在每一点P处都有无穷多的方向旋度 7
v CurlA＝aˆx
Az y
－Ay z
－aˆy
Az x
－Ax z
aˆ z
Ay
x
Ax y
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柱坐标系
aˆr
raˆ
aˆ z
v A
1
r r z
Ar
rA
Az
球坐标系
aˆR
AvR2s1in
R
AR
Raˆ
RA
Rsinaˆ
RsinA
12
(A B) A B
(A) A A
的强度在空间的分布
10
vv (5)在正交曲面坐标系下的表达式 C urlA A
h1aˆu1
v curlA
1
h1h2h3 u1
h1Au1
h2aˆu2 u2 h2Au2
h3aˆu3 u3
h3 Au3
aˆx
v CurlA
x
aˆy
aˆ z
y
z
直角坐标系下：
a)x
x
a)y
y
a)z
z
Ax
Ay
Az
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Example 2-22(P60)
17
18
3. 两个零等式
3.1 恒等式 I
任何标量场的梯度的旋度恒为零。（V及其一阶导数处处存在）
(V)0
恒等式 I 的逆定理也成立： 如果一个矢量的旋度为零，则该矢 量可以表示为一个标量场的梯度。
例如：
uv E0
那么
uv EV
一个无旋（保守）矢量场总可以表示成一个标量场的梯度
4
（1）基本概念：矢量A沿闭合回路l的环量
l Adl
环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关， 还取决于该曲线相对于矢量A的取向。若环量 不等于 零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场
或有旋场，若环量 等于零，则为无旋场。可见，环量
可以用来描述矢量场的旋涡特性。
5
2A
2A
5A
10A
u vv vvv v
S ( C u r l A ) d S S ( A ) d S Ñ C A d l
降维：二维 —— 一维
斯托克斯定理将一矢量的旋度的面积分变换为该矢量的 线积分，或者作相反的变换。凡是可应用斯托克斯定理 的场总是意味着有一个带有环形边界的开放表面存在。 最简单的开放表面是二维的平面或者带有圆周边界的圆 盘，注意：dl和ds的方向关系服从右手定则。
J
z 正最大
z
次之
y
y
x
x
x
Ñ cBgdl0c内I0Jvdsv
z
零
y
z
y
x
x
x
(1)在同一点绕不同方向的方向旋度不相同，
(2)有这样一个特殊方向，该方向的方向旋度最大
z
零
y
z 负最 大
y
最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度
vv
v
v
Ñ Agdl
CurlAA lim Vs0
aˆn
C
Vs
VspointM
3A
3A
Ñ cB g dl0 c内 I0J vds v
divFvgFv＝limÑ Fvgdsv Vv0 Vv point M
vv
lim Ñc A dl
s0
S
po int M
绕同一点有无穷多的回路，怎么办？ 6
（2）三维空间矢量场方向旋度的概念
研究在同一点绕各个不同方向的旋涡强度（无穷多的绕行方向），沿每一 个回路都有一个旋度，称为方向旋度，其方向为回路包围面积的法线方向
19
直角坐标系下证明：=0
aˆx
v A
x
Ax
aˆy
aˆ z
y
z
Ay
Az
f
aˆx
xf aˆy
fyaˆz
f z
=
aˆ
x
x
aˆ y
y
aˆ z
z
aˆ x
aˆ y
aˆ z
aˆ x
y
z
z
y
= x
y
z
aˆ
y
x
z
z
x
Hale Waihona Puke Baidu
0
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z
aˆ
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x
y
y
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(4)物理意义
vv
vv
Ñ Agdl
CurlAA lim Vs0
aˆn
C
Vs
VspointM
max
如果矢量场F每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布
（矢量场)称为矢量F的旋度场
Ñ Bgdl c
0
c内
I
vv
Ñ A g d l
C
Vs
源
单位面积上的源，涡旋
源的强度
旋度场：空间每点处涡旋源的强度，描述涡旋源