第三讲 随机过程的数字特征和特征函数讲解
随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)
性4： 质X 若 与 Y独立 EX且 ,EY存在X， 的 Y 则 数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质 ：如 EX 果 2,EY2存在且0,则 不有 等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6： 若X0，EX存在，则对b任 ，何 有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。 数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
11
N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。 以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数 表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义 则为
三、随机变量函数的数学期望 定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随 机变量，可先确定Y的分布再求Y的均 值，但Y的分布确定比较复杂。可否直 接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则
第三讲 随机过程
• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。
随机过程知识点汇总3
第一章随机过程的基本概念与基本类型一. 随机变量及其分布1随机变量X，分布函数F(x)二P(X < x)X连续型随机变量X的概率分布用概率密度 f (x) 分布函数F(x)二f (t)dt2. n维随机变量X =(X i,X2，…，X n)其联合分布函数F(x) H F a’X?，…，X n) =P(X1空X-X2乞x2,…，X n乞x n,)离散型联合分布列连续型联合概率密度3 .随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X EX =二x k p k连续型随机变量X EX二"xf (x)dx匚方差：DX = E(X -EX)2二EX2-(EX)2反映随机变量取值的离散程度协方差(两个随机变量X,Y )：B XY =E[(X — EX)(Y —EY)] =E(XY) — EX .EY独立=不相关：=:-=0予oO 予离散g(t)二' e iX k P k 连续g(t) e iX f (x)dx'J重要性质：g(0)=1 , g(t) <1 , g(—t)=g(t) , g k(0)=i k EX k5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差0 —1分布P(X =1) =p,P(X =0) =q EX二p DX = p q二项分布k k n -kP(X = k) = C n p q EX=np DX=n pq泊松分布-kP(X =k) =e EXk!DX=扎均匀分布略离散型随机变量X的概率分布用分布列P k 二P(X 二X k)分布函数F(x) = 7 P k相关系数(两个随机变量X,Y )：B XYDX DY若'=0，则称X,Y不相关。
4 .特征函数g(t)二E(e itX)6.N 维正态随机变量 X =(X ,,X 2^ ,X n )的联合概率密度II T A.f(X i ,X 2, ,X n )二 ---------- n-exo{(x-a) B (x-a)} 2 (2 二)2|B|2a =(a .,a 2,…，aj , x =(x i , X 2，…，X n ), B = (b ij )nn 正定协方差阵二•随机过程的基本概念 1•随机过程的一般定义设r 1, P)是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个r T ,都有一个随机变量 X 与之对应, 则称随机变量族fx (t,e),t ・T /是 (JP)上的随机过程。
随机过程的统计特性—数字特征
Q RX (t1 , t2 ) =
k1 , k2 ∈ ε X
∑
∑k ⋅k
1
2
⋅ P{ X (t1 ) = k1 , X (t2 ) = k2 }
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时 刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率 为0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。 由于一次试验结果只有一 个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1时刻的状态必在ζ3上取值， 且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2必在一条样本上，此情况 发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ←样本ζi发生的概率。
∫
∞
−∞
x ⋅ f X ( x, t )d χ = mX (t )
mx(t) 描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即 在各个时刻摆动的中心 X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。
X (t ) 0
t1
m X (t1 )
m X (t i )
t m X (t )
ti
二、随机过程X(t)的均方值和方差 同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时刻t的状态（随机 变量）。其二阶原点矩：
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]， D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。
⎧1， Q fU (u ) = ⎨ ⎩0，
解：
0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u )du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅ U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u )du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 − ⋅ = C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = 2 2 12 3 2 t D[ X (t )] = C X (t , t ) = 12
随机信号第3讲
2.1.2随机过程的分布律
一个随机过程是定义在一个时间区间上,而这个 时间区间上的任意一个时刻,随机过程表现为一个随 机变量,那么我们是否可以用随机变量的分布律来表 征随机过程的分布律呢? 下面我们既要用随机变量的分布律描述随机过程 的分布律,又要用随机变量的数字特征来描述随机过 程的一些数字特征.
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
一维分布律只表征随机过程在固定时刻t上的统 计特性.若需了解随机过程更详细的情况，还要研 究随机过程的二维非步履乃至多维分布律。
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }
x x
1 2
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
这实际上是随机过程在t1,t2时刻的两个状态的二阶 混合原点距.
描述随机过程的相关性的另一个矩函数是二阶混 合中心矩,称为协方差函数.
C X (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{X (t 2 ) m X (t 2 )}]
n n n
(7)随机信号的分布律: 二项式分布,泊松分布(离散变量) 均匀分布(※连续变量) (8)高斯分布(※正态分布): 概率密度函数 概率分布函数 概率积分函数(三条性质) 归一化高斯变量:数学期望为0,方差为1.
第二章 随机过程和随机序列
随机过程及应用：预备知识：特征函数
e
jtxφ(t
)dt
反演公式
注
因
φ(t)
e
jtx
f
(
x)dx
对于连续型随机变量X，概率密度与特征 函数互为富氏变换.
特征函数
推论3 随机变量X 是离散型的,其分布律为
pk PX k, k 0,1,2.
则 φ(t ) pke jkt , t R. k
1
pk 2π
π e j tkφ(t )dt
φ(t) e jt0(1 p) e jt1 p 1 p pe jt q pe jt , t R.
Ex.3 二项分布 φ(t) (q pe jt )n , t R
Ex.4 泊松分布 φ(t ) e(e jt 1) , t R
Hale Waihona Puke 特征函数Ex.5 指数分布
ex ,
f (x) 0,
e
jtxdF
(
x)
求随机变 量函数的 数学期望
注 1）t R, costx 和 sintx 均为有界函数, 故
E(e jtX ) 总存在.
2) E(e j是tX )实变量t 的函数.
特征函数
定义5.1 设X是定义在(Ω,F , P )上的随机变 量,称
φ(t ) E(e jtX )
e
jtxdF
π
反演公式
证 设 s 有N ,
πe jtsφ(t )dt π
π π
pk e jkte jtsdt
k
特征函数
π
π psdt
π π
pke
jt(k s)dt
2ps
0
k
ks
其中当k s时
π
e
jt(k s)dt
随机过程的数字特征
第三节 随机过程的数字特征定义6.3.1 设随机过程}),({T t t ∈ξ的一维分布函数为，我们称);(x t F ());()]([x t dF x t E t ∫+∞∞−==ξµξ()()∫+∞∞−−==);(][)]([22x t dF t x t D t ξξµξσ分别为随机过程}),({T t t ∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：()()∑===ni i i t p x t E t 1)]([ξµξ()()()()t p t x t t E t D t i ni i 2122][])([)]([ξξξµµξξσ∑=−=−==其中：()n i x t P t p i i ,,1},)({"===ξ对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：()dx x t xf t E t ∫+∞∞−==);()]([ξµξ()()()∫+∞∞−−=−==dx x t f t x t t E t D t );(][])([)]([222ξξξµµξξσ均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的摆动中心。
方差函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的关于()t ξµ的平均偏离程度。
但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}T t ),t ({∈ξ的二维分布函数为，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：),;,(2121x x t t F)x ,x ;t,t (dF x x )]t ()t ([E )t ,t (R 2121212121∫∫+∞∞−+∞∞−==ξξξ T t t ∈21,()[][])t ()t (t )t (E )t ,t (C 221121ξξξµξµξ−−=且：)t ()t ()t ,t (R )t ,t (C 212121ξξξξµµ−=若令，则t t t ==21()t t t R t t C 2),(),(ξξξµ−==D ξ(t )=2ξσ由此可以看出：均值函数()t ξµ和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数和方差函数可以由它们确定。
随机过程0-2数字特征、特征函数
第0章 补充知识
第14页
三、特征函数的定义 引言 特征函数是处理概率论问题的有力工具，
其作用在于： ➢ 可将卷积运算化成乘法运算； ➢ 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； ➢ 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的
函数极限问题； ➢ ……….
第0章 补充知识
第15页
1 .复随机变量 设X，Y 为二维（实）随机变量，则称
则对于 F(x) 的任意连续点 x1和x2 ( x1 x2 ),
有
F
(
x2
)
F
(
x1
)
lim
T
1
2
T eitx1 eitx2 (t )dt.
T
it
此定理的证明略去。
注 : 定理表明,当x1, x2为F ( x)的连续点时, F ( x2 ) F ( x1 )的值完全由特征函数决定.
第0章 补充知识
[a, b] 上存在且 g/(x) 在 [a, b] 上黎曼可积，则
b f ( x)dg( x)存在,且 a
b f ( x)dg( x)
b f ( x)g/ ( x)dx
a
a
定理1.3 若f(x)在[a, b]上连续，设
a c0 c1 c2 cn b
若g( x)在[ck , ck1 )取常数值,则
(t)
e itk
k0
pk
e itk
k0
k
k!
e
e (eit )k e e eit
k0 k !
e . (eit 1)
第0章 补充知识
第19页
（4）设随机变量 X 服从U(a, b), 求其特征函数。
1
解
f
《数学随机过程》PPT课件
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
随机过程的特征函数
随机过程的特征函数随机过程是指随机变量随着时间的推移而变化的一类数学模型。
其中，随机过程的特征函数是它的一个重要概念。
特征函数是一个函数，描述了随机变量的性质，它包含了随机变量的所有概率密度函数的信息。
对于随机过程，特征函数描述了随机过程的一些重要特征，例如均值、方差和相关性等。
随机过程的特征函数是一个复值函数，通常用符号$\phi(\omega)$ 表示。
其中，$\omega$ 是一个实数，代表着时间。
假设随机过程$X(t)$ 的概率密度函数为$p(x,t)$，则它的特征函数定义为：$$ \phi(\omega, t) = \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega x} p(x,t) dx $$其中，$i$ 是虚数单位，$x$ 代表随机变量的取值。
特征函数的实部和虚部分别表示了随机变量的偏度和峰度。
特别地，当随机过程是稳定的时，它的特征函数可以表示为：$$ \phi(\omega) = e^{-\alpha|\omega|^\beta} $$其中，$\alpha$ 和$\beta$ 是常数，分别代表着随机过程的尺度和红色噪声的程度。
当$\beta = 2$ 时，随机过程为标准布朗运动，其特征函数为：$$ \phi(\omega) = e^{-\frac{1}{2}\omega^2} $$特别地，当随机过程是高斯过程时，它的特征函数可以表示为：$$ \phi(\omega) = e^{i\mu\omega - \frac{1}{2}\sigma^2\omega^2} $$其中，$\mu$ 和$\sigma^2$ 分别代表高斯过程的均值和方差。
高斯过程是一种非常重要的随机过程，它具有很多优秀的性质，例如可重复性、正则性和可微性等。
综上所述，随机过程的特征函数是随机过程的一个重要概念，它描述了随机过程的一些重要特征，例如均值、方差和相关性等。
对于不同类型的随机过程，它们的特征函数有着不同的形式和性质。
随机过程知识点
随机过程知识点第一章：预备知识§?1概率空间随机试验，样本空间记为Ω。
定义1.1 设Ω是一个集合，F是Ω的某些子集组成的集合族。
如果(1) F ；(2)若A F，则A-I A F ；OO(3)若A n EF，n = 1,2,…，则U A n E F;n 二则称F为?.…代数(Borel域)。
1 , F)称为可测空间，F中的元素称为事件。
由定义易知：(4)?- F；(5)若A)B F,则A B F；n n 八门(6)若 Ai E F，i=1,2,…则U A i，AP A = F.i 4 i -1 i 4定义1.2 设1 , F)是可测空间，一P( ?)是定义在F上的实值函数。
如果⑴任意A ：=F,0乞PA <1;(2)Pl：i： 1；(3)对两两互不相容事件A1, A?,…(当^j时，ACA j=0 ,有Λ□0、QOP A i 八 PA ii ≡T则称P是11,F上的概率，(门，F , P )称为概率空间，P(A)为事件A的概率。
定义1.3 设(J F，P)是概率空间，G F ,如果对任意A1,A2/ ,A n? G，n =1,2,有：PA i ■「P A ,1i=1则称G为独立事件族。
§?2随机变量及其分布随机变量X，分布函数F(X)，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，Cχt,t T ［是独立的。
§ 1?3随机变量的数字特征定义1.7设随机变量X的分布函数为F(X),若JXIdF(X^ ::,则称QQE(X) = JxdF(X)为X的数学期望或均值。
上式右边的积分称为LebeSgUe-StieItjeS 积分。
方差，B X^E l^-EX 丫 - EY 1为X、Y的协方差，而P _ BXY XY V DX JDY为X、Y的相关系数。
若?XY=0,则称X、Y不相关。
(SChWarZ 不等式)若EX^ ::, EY^ -,则EXY 2空EX2EY2.§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10设随机变量的分布函数为 F (X),称g(t) E(e jtX) = .；e jtX dF x , -― t Z为X的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质:⑴ g(0) =1,g(t)胡,g(-t) =g(t)1(2 ) g (t)在一：：，：：上一致连续。
第三讲 随机过程的数字特征和特征函数
3
•方 差
X 2(t) E {X ( [t) m X (t)2 } ]E{X2(t) }m X 2(t)
•均值与方差的物理意义：
x(t ) -----单位电阻上的电压 x 2 (t )/1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率
[ x(t)m ]2x/(1t-)----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率 E{[ x(t)m]2x/(1t)}-----消耗在单位电阻上的瞬交流功率的 统计平均值
•N维随机矢量的自相关
RX E[XXT]
E[X12] RX r21
rn1
r1 2 E[X22]
rn2
r1n
r2n
E[Xn2]
rij E[XiXj]
•N维随机矢量的协方差
D XE[X ( E)X X ( E)X T]
D[X1]
R X(tY 1 ,t2) m x(t1 )m Y(t2)
中心化互 相关函数
t1
t2
描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性
14
•两个随机过程的独立，不相关和正交
C X ( t1 ,Y t2 ) R X ( t1 Y ,t2 ) m x ( t1 ) m Y ( t2 )
CXY(t1,t2)0 R X(Y t1,t2)m x(t1)m Y(t2)
•均值和自相关函数是随机过程最基本的特征
10
例 随机相位信号 X(t)Acos( 0t )自相关函数和方差
m X ( t ) E { X ( t ) } E { A c0 o t ) s } A ( 0 2 c0 o t ) s 2 1 d ( 0
•自相关系数
1.4 随机过程的特征函数
6、随机变量X的n阶原点矩存在，则它的特征 函数可以微分n次，且有
n (0) (i)n E[ X n ] 或 E[ X n ] (i)n n (0)
1.7.4 特征函数与矩的关系
设随机变量X的概率密度 fX (x)，其特征函数为
X (t)
定义此多维随机变量的特征函数为
X1X2 Xn (t1, t2 tn ) E[eitX1itX2 ] itXn
简写为
X (t) E[eitTX ]
式中 t1,t2, ,tn 是实变量，t T 是t的转置，而
n
tT X t1X1 t2 X 2 tn X n ti X i i 1
泊松分布
设随机变量X的分布列为
p{X
k}
k
k!
e，其中，
0
k 0,1, 2,... ， 特征函数为：
X (t)
E(eitX )
eitk
k 0
k
e
k!
e
k 0
eit k
k!
e e e eit
(eit 1)
均匀分布
X R(a, b) 时，(t) eb itx 1 dx a ba
eibt eiat
(b
a)it
1
t0 t0
指数分布
当 X E() 时，
(t) e itx e-xdx = e--itxdx
0
0
= -it
注：
'
t0
由此可得，求随机变量X的各阶矩，可以通过对 特征函数求导数的办法，而无需作非常繁杂的 积分运算。
第三讲 随机过程的数字特征和特征函数讲解
R X (t1, t2 ) 0，则称
X (t1)和 X (t 2 ) 是不相关的。
X (t1 )和 X (t 2 ) 是相互正交的。
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )
一般说来时间相隔越远相关性越弱自相关函数的绝对值也越弱当两个时刻重合时其相关性应是最强的所以r中心化自相关函数?自相关系数正交独立不相关充分条件正态随机过程10?若均值与方差总功率存在存在称为二阶矩过程相关理论自相关函数和方差12t1t2例21一个随机过程由四条样本函数构成每条样本函数等概时刻t1t2上各条样本函数的取值给定求13?互相关函数3两个随机过程的相关特性dydx描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性t1t214?互协方差函数
1 2 (t ) R X (t , t ) m (t ) A 2
2 X 2 X
11
6
• • • •
t1
例2.1 一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函 数等概，时刻t1，t2上各条样本函数的取值给定，求RX (t1 , t2 )
5
4 3 2 1
• • • •
t2
x1(t) x2(t)
若：
R X (t1, t2 ) E[ X (t1)] E[ X (t2 )] 不相关
•2、反映不同随机过程的波形变化
7
•自协方差函数
C X (t1, t2 ) E{[ X (t1) m X (t1)][X (t2 ) mx (t2 )]} E{ X (t1) X (t2 )} m x (t1)mx (t2 ) 中心化自相 R(t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 )
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。
随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。
1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。
随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。
2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。
特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。
特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。
特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。
-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。
-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。
-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。
特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。
-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。
-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。
总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。
随机过程课件
3.2 随机过程的数字特征
为Ft x ，密度函数为t x ， f 则
t T，随机过程 X t , t T 的一维分布函数
2 Xt
二、方差函数
Var X t E X t EX t
称为随机过程X t , t T 的方差函数 .
若E X t x dFt x , 则称随机
5
1 e 2
2 t
1 e 2
2 t
e
2 t
P X P X P X P X
3.3 离散事件和离散型随机过程
P X t1 X t 2 1
t1
t1
t1 t1
1, X 1 P X 1, X 1 1, X 1 P X 1, X 1 1P X 1 P X 1P X 1
3.3 离散事件和离散型随机过程
E X i p 1 p 2 p 1
E X i p 1 p 1
2
Var X i E X i EX i 1 2 p 1
2 2
2
E Yn E
n2 p 1
Ft1 ,,tn x1 ,, xn P X t1 x1 ,, X t n xn
称为随机过程X t , t T n维分布函数 的 .
4 Ft1 ,,tn x1 , , xn : n 1, t1 , , t n T
0
称为X t , t T 的有穷维分布函数族.
3.3 离散事件和离散型随机过程
Y Y P X t 1 P t 1 t 3
随机过程的统计特性PPT教学课件
4. 互相关函数和互协方差函数 设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在 任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1) 和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相 关函数定义为
RXY (t1,t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )]
xyf XY (x, y;t1,t2 )dxdy
FX ( x1, x2; t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
正常红细胞
镰刀型红细胞
一、引起变异的原因
环境 遗传物质
不能遗传 能够遗传
二、遗传物质改变的因素：
染色体的改变
基因的重组
基因的突变
１、提出问题： 花生果实大小有变异吗？
２、做出假设： 花生果实的个体大小存在变异
（1）材料用具 两种花生、尺、笔、坐标纸（或白纸） （2）实施过程及测量数据
①选取了大花生３０粒，小花生３０粒 ②测量的大花生的数据 ③测量的小花生的数据 ④根据所测数据绘制坐标图（或直方图）
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
第七单元 第二章
第五节 生物的变异
生物的变异现象在生物中 是普遍存在的。
要探究的问题：花生果实大小的变异 材料：两个品种的花生、纸、笔、尺 采用的方法：通过观察两种不同花生的
1.2 随机过程的数字特征
[x1 mX (t1)][x2 mX (t2 )] fX (x1, x2;t1,t2 ) dx1dx2
比较自协方差和自相关函数的关系
C X (t1,t2 ) E[(X(t1) mX (t1))(X(t2) mX (t 2))]
E[ X (t1) X (t2 )] mX (t1)E[ X (t2 )] mX (t2 )E[ X (t1)] mX (t1)mX (t2 )
k 1 j1
证明：n n
nn
RX ( 2 ,1)zk z j
E[ X ( k ) X ( j )]zk z j
k 1 j1
k 1 j1
n
n
n
2
EX (k )zk EX ( j )z j E EX (k )zk 0
k 1
j 1
k 1
＝ E[sin0t cos ] E[cos0t sin ] sin0t E[cos ] cos0t E[sin ]
同理 E[cos ]
2
0 cos f ( )d
2
cos
1
d
0
0
2
E[sin ] 0
mx(t) 0
]
＝
1 2
[1
cos
20t
E[cos
2
]
sin
20t
E[sin
2
]
可知
E[sin 2 ] E[cos 2 ] 0
2 x
(t)
1 2
（3）Rx(t1,t2) ＝ E[x(t1)x(t2)]
＝ E [sin(0t1 ) sin(0t2 )]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正态随机过程
独立
充分条t1, t2 ) R(t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 ) R(t1, t2 ) C X (t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 )
•若 t1 t2
2 2 E[ X (t )] X (t ) m2 (t )
如果C X (t1, t2 ) 0，则称
R X (t1, t2 ) 0，则称
X (t1)和 X (t 2 ) 是不相关的。
X (t1 )和 X (t 2 ) 是相互正交的。
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )
1 2 (t ) R X (t , t ) m (t ) A 2
2 X 2 X
11
6
• • • •
t1
例2.1 一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函 数等概，时刻t1，t2上各条样本函数的取值给定，求RX (t1 , t2 )
5
4 3 2 1
• • • •
t2
x1(t) x2(t)
x 2 (t )/1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率
[ x(t ) mx (t )]2/1-----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率 E{[ x(t ) mx (t )]2/1}-----消耗在单位电阻上的瞬交流功 率的统计平均值
2 E{ X 2 (t )} 2 ( t ) m X X (t )
RX (t1 , t2 ) E{ X (t1 ) X (t2 )} E{ A cos(0t1 ) A cos(0t2 )} 1 2 A E{cos 0 (t1 t2 ) cos[0 (t1 t2 ) 2 ]} 2 1 2 1 2 2 1 A cos 0 (t1 t2 ) A cos[0 (t1 t2 ) 2]d 0 2 2 2 1 2 A cos 0 (t1 t2 ) 2
若：
R X (t1, t2 ) E[ X (t1)] E[ X (t2 )] 不相关
•2、反映不同随机过程的波形变化
7
•自协方差函数
C X (t1, t2 ) E{[ X (t1) m X (t1)][X (t2 ) mx (t2 )]} E{ X (t1) X (t2 )} m x (t1)mx (t2 ) 中心化自相 R(t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 )
(t ) [ xi (t ) mX (t )]2 pi (t )
2 X i 1
N
均方值和方差都是时间t的函数
3
•方 差
2 2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2 } E{ X 2 (t )} mX (t )
•均值与方差的物理意义：
x(t ) -----单位电阻上的电压
关函数
•若 t1 t2
•自相关系数
C X (t1 ,t 2 ) X (t1 , t 2 ) C X (t1 ,t1 )C X (t 2 ,t 2 ) C X (t1 ,t 2 ) X (t1 ) X (t 2 )
8
•随机过程的不相关和独立以及正交的关系
C X (t1, t2 ) R(t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 )
•若均值与方差（总功率存在）存在， 称为二阶矩过程，相关理论 •均值和自相关函数是随机过程最基本的特征
10
例 随机相位信号 X (t ) A cos(0t )自相关函数和方差
m X (t ) E{ X (t )} E{ A cos( 0 t )} A
2 0
1 cos( 0 t ) d 0 2
消耗在单位电 阻上的总的平 均功率
平均交流 功率
平均直流 功率
4
5
•自相关函数（重点）
RX (t1 , t2 ) E{ X (t1 ) X (t2 )}
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
xi (t1 ) x j (t2 ) pij (t1 , t2 )
2
•均方 值 •方差
2 2 E[ X (t )] x f X ( x, t )dx
2 X
[ x(t ) mx (t )]2 f X ( x, t )dx (t ) E{[ X (t ) mX (t )] }
2
2 E{X 2 (t )} mX (t )
2.4 随机过程的统计描述
2）随机过程的数字特征
•数学期望
m X (t ) E{ X (t )}
N
xf X ( x, t )dx
mX (t ) xi (t ) pi (t )
i 1
随机过程的均值是 时间t的函数，称为 均值函数
1
统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所 有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。 它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律， 是 所有样本函数在各个时刻摆动的中心。
C X (t1, t2 )
i 1 j 1
[ xi (t1) m X (t1)][x j (t2 ) m X (t2 )]pij (t1, t2 )
2 (t ) D[ X (t )] 2 (t ) C X (t , t ) E{X 2 (t )} mx x
N N
i 1 j 1
N
N
•描述了整个随机过程任 意两个不同时刻的内在 关系：线性相关性 •若 t1 t2
R X (t , t ) E{ X 2 (t )}
6
自相关函数的物理意义
R X (t1, t2 ) E{ X (t1) X (t2 )}
1、自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相 关性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱， 自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时， 其相关性应是最强的，所以RX(t,t)最大。