大学物理功和能

b
B
r
m
t A
x
o
a
EKB
1 2
mvx2
1 2
mvy2
1 2
ma2
2
(2)
F max i mayj
m 2xi m 2 yj
ma 2 costi mb 2 sin tj
Wx
Wy
0
a Fxdx
0 m 2xdx
a
b 0
Fy dy
b m 2 ydy
0
1
2
ma2 2
1 mb2
2
2
例1：在光滑水平桌面上，有一弹簧振子系统，劲度系数
F cos
S ab Fdr cos
A 即为功的定义。
功常用图示法
来计算，这种计 算方法比较简便。
o
a dr
r b
4.2 动能定理
一、质点的动能定理
定义：动能
Ek
1 2
mv2
质点的动能定理
WAB EBk EAk
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
说明
动能定理是在牛顿第二定律的 基础上导出的，因而只在惯性 系中成立。
(mgzb
mgza
)
Z
WG (mgz)
不管是沿acb，还是沿adb ， a•
dr
c• •b
mg
结果都一样，即重力作功与路径
无关；
X
O· Y
d
⑵ 万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以
M 所在处为原点 , M 指向 m 的方向为矢径的正方
W
f
向。m
ab f •
受dl的 引r力rabG方0 M向r 3m与r矢• 径dl方r向•相dl反。r dl
cos
所做 的功。
ti bsin
tj
x a cost y bsin t
vx a sin t vy b cost
vx a sin t
A(a,0)点：cos t=1
vy b
sin t=0
cos
t
y
EKA
1 2
mvx2
1 2
mvy2
1 2
mb2 2
B(0,b)点：cos t=0 sin t=1
1 2
kx22
1 2
kx12
4 8102 (J )
例2：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力
与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉
子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子
的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
分析：由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速
度也相同，所具有的初动能也相同；由动能定理
两式相加得：
即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
记作：W外＋W内＝EKB - EKA
质点系动能定理
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
说明： 1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的动能。 2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。 4、动能与动量的异同：
cos
rdr
G rb ra 0
Mm r3
rdr
b
Mm
Mm
确定 (两G个0 质r点a ，) 则(MG、0 mrb
钉入过程是阻力作功= 钉子动能的增量，两次动
能增量相同，∴两次阻力作功相同。
解：以钉入方向为X轴，板面为原点。阻力与深度成正
比，则有f = -kx（k 为阻力系数）；令第一次钉入为
x1=1cm ，第二次钉入为x2 。由两次作功相等，可得：
x1 kxdx x2 kxdx
0
x1
x22 2x12
风力提水机
第 4 章 功与机械能
§4.1 功 动能 §4. 2 动能定理
§4.3 保守力做功与势能 §4. 4 引力势能
§4. 5 机械能守恒定律 §4. 6 守恒定律的意义 §4. 7 碰撞
4.1 功
功是表示力对空间累积效应的物理量。 F
F
一、恒力的功（常力沿直线做的功）
M
M
A=Fcos S 记作A F S
——线积分
说明 （1）合力的功等于各分力的功的代数和: （2）在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
dA F Fn ds F ds ,
A dA
s
sB sA
F
ds
（3）瞬时功率:力在单位时间内所作的功
瓦特 (1W=1J/s）
功的图像
在 F cos ~ r 图中的曲线下面积为功。
图中的曲线 下面积为：
ri i
Fi
B
则变力沿曲线从 n
A—B
n
作的总功：
AAB
若ri
i 1
Ai
dr
i1 Fi ri 元 位移 dr
A
上的元功 ：
dA B
变力的功A
F
dA
drBF
cos
F dr
dr F
l
F cosds cosds
解析式： A
BA
A
A (Fxdx Fydy Fzdz)
例4-4、一质量为m的质点，在xoy平面上运动。
其r位置a矢c量os为：ti
b
sin
tj
y
b
Fra Baidu bibliotek
B
r
m
t A
x
其中a , b , 为正值常数，a > b 。 o
a
(1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。
(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的
解：(过1)程由中分r力
Fx
a
、Fy
“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；
二、质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要 考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的系统
推 广
多个质点组成 的系统
两个质点在外力及内
力作F用1下如图所示F：2
m1
f1
f2
m2
质点：m1 m2 内力： 初速度：
外力： 末速度：
取x2 2x1
第二次钉入x x2 x1 0 41cm
4、3 4、4 保守力作功 势能 引力势能
4.3.1、重力、引力、弹力等保守力 与耗散力
⑴ 重力的功
m
在重力b 作用下 由
a
b
运动到b，取地面为 坐标原点.
WG
mg dr
a
(mg)k (dxi
a
dyj dzk )
zb
za
mgdz
k =20．0N/m，把振子从平衡位置拉长为x1=4cm，问在 弹性限度之内，再拉长4cm ，外力需作多少功？
解法一，W 外= －W弹 ＝－∫－kxdx =∫kxdx
W外
x2 x1
kxdx
1 2
kx22
1 2
kx12
1 20（0 082 0 042） 2
4 810（2 J）
解法二，W外=△EP=
S
或△A=Fcos△r
功等于质点受的力和它的位移的点积
讨论： 功是标量，只有大小正负之分。
当0 </2时，dA>0，力对物体做正功。 当 =/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2 <时，dA<0，力对物体做负功。
二、变力的功（变力沿曲线做的功）
把总位移分成许多小位移的叠加，
在每个小位移上可看作恒力 的功： Ai Fi ri