数列的性质-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(新高考地区专用)

1 专题28 数列的性质

【方法点拨】

1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；

2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.

【典型题示例】

例1 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1

>a －7对一切正整数n 都成立，则正整数a 的最大值为________．

【答案】8

【分析】要求正整数a 的最大值，应先求a 的取值范围，关键是求出代数式1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋13n ＋1

的最小值，可将其视为关于n 的函数，通过单调性求解． 【解析】令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1

(n ∈N *)， 对任意的n ∈N *，f (n ＋1)－f (n )＝

13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝23n ＋13n ＋23n ＋4

>0， 所以f (n )在N *上是增函数．

又f (1)＝1312，对一切正整数n ，f (n )>a －7都成立的充要条件是1312

>a －7， 所以a <9712

，故所求正整数a 的最大值是8. 点评：本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f (n )，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通. 例 2 已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足：11a =，()

11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）．若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．

【答案】13

λ>