三角函数一题多解举例

三角函数一题多解举例
例1:求函数cos 2sin y θθ
=+（R θ∈）的值域。

解法一：利用合一公式
cos 2sin cos )2sin y y y θθθθφθ
=⇒=-+=++， 所以
sin()θφ+=|sin()|1θφ+≤，
1≤，解得y ≤≤，
所以函数cos 2sin y θθ
=
+（R θ∈）的值域为[,33-。

解法二：斜率法 cos 0sin (2)
y θθ-=--，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而(sin ,cos )θθ在圆221x y +=上，
当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的
值域为[33
-． 解法三：导数法
212sin (2sin )
y θθ--'=+，令0y '=得1sin ,cos 2θθ=-=，从而[y ∈． 例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值． 解法一：特值法，特别快
在cos cos21a x b x +≥-中取23x π=得11()()122
a b -+-≥-，∴2a b +≤， 当42,33a b ==时，24242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333
a x
b x x x x x +=+=+- 241(cos )1132x =+-≥-，所以a b +的最大值为2. 解法二：构造二次函数
原不等式即2
cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即22cos cos 10b x a x b +-+≥，
令2
()21,cos [1,1]f t bt at b t x =+-+=∈-，
（1）当0b ≤时，()f t 的图象是开口向下的抛物线或者直线， 所以只要(1)2102112(1)210f b a b a b b f b a b -=--+≥⇒+≤+≤<⎧⎨=+-+≥⎩
（2）由0[1,1]41010b a b b a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或
若4,a b <-则302a b b +<-<<；
若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223
a b b +≤+<<． （3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤， 由柯西不等式
，222229112[8()]1()822a b a b ⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪⎝⎭
，故13222
a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2. 例3：设[0,]2
π
θ∈，且2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求m 的取值范围. 解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
2sin 2sin 210m m θθ-+--<，
2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2
π
θ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.
（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1
m θθ+>⋅-， 令sin ,x θ=211()([0,1))21
x f x x x +=⋅∈-，则221(1)2()02(1)x f x x --'=⋅<-， ()f x 是减函数， max 1()(0).2f x f ==-∴1.2
m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2
-+∞.
解法2（利用二次函数的性质）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-++>.
令sin x θ=，则22210x mx m -++>.
令222()221()21,[0,1].f x x mx m x m m m x =-++=--++∈
（1）当1m >时，min ()(1)20f x f ==>，符合题意.
（2）当01m ≤≤时，22min ()()21(1)20,f x f m m m m ==-++=--+>符合题意.
（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴1
0.2
m -<< 综上，m 的取值范围是1
(,)2
-+∞.
解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<， 即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2
π
θ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.
（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1
m θθ+>⋅-， 设sin 1x θ-=，则[1,0)x ∈-， 且221sin 11(1)112(2)2sin 122x x x x
θθ+++⋅=⋅=⋅++-， 令12()(2)2f x x x =⋅++，则212()(1)02f x x
'=⋅-<， ∴()f x 是减函数， ∴max 121()(12).212f x =⋅-++=--∴1.2
m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2
-+∞.
解法4( 利用函数的图象):
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 21m m θθ>--，
令 sin x θ=，则22(1)1x m x >--，[1,0]x ∈-.
在同一个坐标系中作出函数2()f x x =和()2(1)1g x m x =--的图象， 注意到()2(1)1g x m x =--的图象是以(1,1)-为端点的线段，
由图象可知只要(0)(0),f g >即021m >--，∴1
.2
m >- 即m 的取值范围是1
(,)2
-+∞. 解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ： 令2()cos 2sin 22f m m θθθ=+--，
()2cos sin 2cos 2cos (sin )f m m θθθθθθ'=-+=--. ∵[0,]2
π
θ∈，∴sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈， （1）当1m >时，()0f θ'>，(),f θ[0,]2
π
θ∈是增函数， max ()()20,2
f f πθ==-<符合题意. （2）当01m ≤≤时，sin m θ<时，()0f θ'>，sin m θ>时，()0f θ'<， 2222max ()122221(1)20f m m m m m m θ=-+--=--=--< ，符合题意.
（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<<
综上，m 的取值范围是1
(,)2-+∞.。