金属自由电子理论

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第四章 金属自由电子理论

1.金属自由电子论作了哪些假设?得到了哪些结果?

解:金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立,如同理想气体中的粒子一样是“自由”的,每个电子的运动由薛定谔方程来描述;电子满足泡利不相容原理,因此,电子不服从经典统计而服从量子的费米-狄拉克统计。根据这个理论,不仅导出了魏德曼-佛兰兹定律,而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状?费米能量与哪些因素有关?

解:金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多,为什么?

解:因为在低温时,大多数电子的能量远低于费米能,由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激

4.5.当2块6.(1(2(3 将(2)和(3)式代入(1)式,并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子,得该一维金属晶

体中自由电子的状态密度为:

E

m

L E 22)( πρ=

…………………………(4) (2)由于电子是费米子,服从费米—狄拉克统计,即在平衡时,能量为E 的能级被电子占据的几率为:

1

1)(+=

-T

K E E B F e

E f (5)

于是,系统中的电子总数可表示为:

⎰∞

=

)()(dE E E f N ρ (6)

由于0=T K ,所以当0

F E E >,有0)(=E f ,而当0

F E E ≤,有1)(=E f ,故(6)式可简化为:

=⎰00

22F

E dE E m L π=240

F

mE L π

由此可得: 2

2

220N E F

π= (7)

7.(1(2(3将(2)式代入(1)式,并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子,这样可得能量在E ~dE

E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 2

2

2222

ππ=⋅= (2)由(1)问可知,该系统的自由电子的状态密度为

在绝对零度下,由下式

由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为 (3)电子的平均能量为

8.金属锂是体心立方晶格,晶格常数为m a 10

10

5.3-⨯=。试计算绝对零度时电子气的费米能量0

F E (以

eV 表示)

解:由题意可求得金属锂的电子浓度为

28

31031066.4)

105.3(22⨯=⨯==

-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为 19

10

57.7-⨯=J 72.4=eV

9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成

若1mol 的钾有23

106⨯=N 个电子,试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。

10.ΘD 在0.3K 时1mol 金属钠的德拜比热容为 6

1057.1-⨯=J/K 而其电子比热容为

41028.3-⨯=J/K

所以德拜比热容与电子比热容之比为

11.有一钨丝,长0.05m ,横截面积的直径为1×10-4m 。试求2000K 时钨丝的热电子发射电流。已知钨的电子逸出功为4.5eV 。

解:由里查孙-杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为

05.1420001075)

20001038.1/(106.15.42

4

2319=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯---e

A/m 2

故热电子发射电流为

72

4

10103.12

10114.305.14--⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==jS I A 12.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV 和1.8eV 。求: (1)采用里查孙-杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度; (2)若温度上升至800K 时,其热电子发射电流密度为多少?

(3)若把银与铯两种金属接触在一起,求出室温下它们的接触电势差。

解:(1)在室温下银的热电子发射电流密度为

13.m

dt τ0齐次方程

0=+τ

v

dt dv 的通解为 设非齐次方程的特解为t

i Ae

v ω-=,则有

从上式可求出特解的待定系数A 为 故非齐次方程的通解为

上式中的第一项随时间的增大迅速衰减,表示电子在电场作用下的驰豫过程,对电流没有贡献,对电流有贡献是第二项,如果在电场的作用下,单位体积内含有n 个电荷为e -的电子,则其电流密度

E =-E =-=-)()

1()()(02ωσωττωωi e m ne v e n j t

i

故 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=-=22)(11)0()1(1

)(ωτωτσωττωσi i m ne 其中 m

ne τσ2)0(=

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