金属自由电子理论

第四章 金属自由电子理论

1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？

解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？

解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激

4.5.当2块6.（1（2（3 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶

体中自由电子的状态密度为：

E

m

L E 22)( πρ=

…………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：

1

1)(+=

-T

K E E B F e

E f (5)

于是，系统中的电子总数可表示为：

⎰∞

=

)()(dE E E f N ρ (6)

由于0=T K ，所以当0

F E E >，有0)(=E f ，而当0

F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：

＝⎰00

22F

E dE E m L π＝240

F

mE L π

由此可得： 2

2

220N E F

π= (7)

7.（1（2（3将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量在E ～dE

E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 2

2

2222

ππ=⋅= （2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为

在绝对零度下，由下式

由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为 （3）电子的平均能量为

8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为m a 10

10

5.3-⨯=。试计算绝对零度时电子气的费米能量0

F E （以

eV 表示）

解：由题意可求得金属锂的电子浓度为

28

31031066.4)

105.3(22⨯=⨯==

-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为 19

10

57.7-⨯=J 72.4=eV

9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成

若1mol 的钾有23

106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。

10.ΘD 在0.3K 时1mol 金属钠的德拜比热容为 6

1057.1-⨯=J/K 而其电子比热容为

41028.3-⨯=J/K

所以德拜比热容与电子比热容之比为

11.有一钨丝，长0.05m ，横截面积的直径为1×10-4m 。试求2000K 时钨丝的热电子发射电流。已知钨的电子逸出功为4.5eV 。

解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为

05.1420001075)

20001038.1/(106.15.42

4

2319=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯---e

A/m 2

故热电子发射电流为

72

4

10103.12

10114.305.14--⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==jS I A 12.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV 和1.8eV 。求： （1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度； （2）若温度上升至800K 时，其热电子发射电流密度为多少？

（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。

解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为

13.m

dt τ0齐次方程

0=+τ

v

dt dv 的通解为 设非齐次方程的特解为t

i Ae

v ω-=，则有

从上式可求出特解的待定系数A 为 故非齐次方程的通解为

上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n 个电荷为e -的电子，则其电流密度

E =-E =-=-)()

1()()(02ωσωττωωi e m ne v e n j t

i

故 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=-=22)(11)0()1(1

)(ωτωτσωττωσi i m ne 其中 m

ne τσ2)0(=