第1章 基本概念

定理1
令 f : A B是集合A到集合B的一个映射，则
以下两个条件是等价的：
1. f 一个双射。 2. 存在B到A的一个映射 g 使得 g o f jA, f og jB
再者，当条件2成立时，映射g是由f唯一确定的。 一般，设A是一个非空集合，我们把 A A 到A的一个映射叫 做集合A的一个代数运算。
若d是 a1, a2,L , an 一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因 数；a1, a2,L , an 的两个最大公因数至多相差一个符号。
定理3 设d是 a1, a2,L , an 一个最大公因数，那么存在整数
t1, t2 ,L , t，n 使得 t1a1 t2a2 L tnan d.
定理4 n个整数 a1, a2,L , an 互素充要且必要的条件是存 在整数 t1, t2 ,L , tn ，使得 t1a1 t2a2 L tnan 1.
1.当 n 1 时，命题成立； 2.当假设 n k 时，命题成立.则 n k 1 时，命题也成立；
那么,这个命题对于一切正整数n都成立.
定理2（第二数学归纳法原理） 设有一个与自然数n有关的 命题，如果
1.当 n 1 时，命题成立； 2.当假设 n k 时，命题成立.则 n k 1 时，命题也成立；
AA A = B ( 对一切 x, x A x B )
AB且BA (AB且B C)(AC)
❖ 并集与交集的性质 A B A A B, A B B A B A (B C ) = ( A B ) ( A C ) A (B C ) = ( A B ) ( A C )
关于A到B的一个映射应注意以下几点： 1. A和B可以是相同的集合，也可以是不相同的集合.
2. 对于 A 中的每一元素x，需要有B中唯一确定的元素与
它对应. 3. 一般说来, B中元素不一定都是A中元素的像(参看教材
P7例1) 4. 中不相同的元素的像可能相同(参见教材P7例2)
定义2 设 f 是A到B的一个映射.如果 f (A) B 那么就称 f
❖ 确定一个集合一般有两种方法 有限集一般表示为: A = { 1,2,3 }, B = { 张三, 例四 } 无限集一般表示为: A = { x | x 是整数, 3 < x < 10 }
❖ 常见集合的表示 C , R , Q , Z ,
❖ 子集, 真子集, 集合相等 A 是 B 的子集 ( A B 或 B A ) A 的每一个元素都是 B 的元素 ( 对一切 x, x A x B ) A 不是 B 的子集 ( A B ) A 中有一个元素不是 B 的元素 ( 存在一个 x, x A 但 x B ) A 是 B 的真子集( A B 或 B A ) 若 A B 但存在 x B 但 x A A 与 B 相等 ( A = B ) A B 且 B A
那么,这个命题对于一切正整数n都成立.
1.4 整数的一些整除性质
定理1（带余除法） 设有a,b是整数且 a 0, 那么存在一对 整数q和r,使得 b aq r 且0 r a . 满足以上条件的整数q和r 是唯一确定的。
定理2 任意 n(n 2) 个整数，a1, a2,L , an 都有最大公因数。
1.3 数学归纳法
用N表示全体非负整数的集合：N 0,1,2,3,L 用N*表示全体非负整数的集合：N* 1,2,3,L 最小数原理：自然数集 N* 的任意一个非空子集S必含有一 个最小数，也就是这样一个数 a S,c S都有a c.
定理1（数学归纳法原理） 设有一个与自然数n有关的命题， 如果
b
那么则称F是一个数域.
定理1 任何数域都包含有理数域 Q
是A到B上的一个映射，这时也称 f 是一个满映射，简称满射.
定义3 设 f : A B 是一个映射.如果对于A中任意两个元素 x1和x2 ,只要 x1 x2 就有 f (x1) f (x2 ) ,那么就称 f 是A到B的一
一个单映射,简称单射. 设 f : A a B是A到B的一个映射,而 g : B a C 是B到C的一
个映射. 那么对于每一 x A, f (x) B因而 g( f (x)) 是C中一 个元素。因此，对于每一 x A，就有C中一个元素与它对应。
这样就得到到的一个映射，这个映射是由映射 f : A a B 和 g : B a C所决定的，称为f与g的合成。记作 g o f .
如f : A a B既是满射，又是单射，则称 f是A到பைடு நூலகம்的一个双射。
第
一 章
基 本
概
念
1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域
1.1 集合
与集合有关的几个概念 集合的运算
与集合有关的几个概念
❖ 集合的概念 集合: 当作整体看的一组事物, 表示为 A, B, C, … ; 元素: 组成集合的东西称为集合的元素, 表示为 a, b, c, … 属于(aA ), 不属于(a B). 有限集, 无限集.
❖ 集合的差 ( A - B ) A-B={x| xA但xB}
例如 { 1, 2, 3 } - { 2, 3 ,4 } ={1}
❖ 集合的积 ( A B ) AB={(a,b)| aA,bB} R R = { ( x , y ) | x , y R } ( 平面点集 )
1.2 映射
定义1 设A,B是两个非空集合. A到B的一个映射指的是一 个对用法则,通过这个法则,对于集合A中每一元素x,有集合B中 一个唯一确定的元素y与它对应。
定理5 一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那 么它至少整除a和b中的一个。
1.5 数环和数域
定义1 设是复数集C的一个非空子集。若对于S 中任意两数a，b来说， a-b， a+b都在S内，那么就称 S是一个数环。
定义2 设F的一个个数环.如果
1. F含有一个不等于零的数;
2. 如果 a,b F ,且b 0则 a F;