微积分I课程曲线的渐近线与函数作图

定义4 对于函数f (x),若 lim [ f (x) (ax b)] 0或 x
lim [ f (x) (ax b)] 0或 lim[ f (x) (ax b)] 0，则
x
x
称直线y ax b, a 0为曲线y f (x)的一条斜渐近线,
且a lim f (x) , b lim[ f (x) ax].
(2()2)f (fx()x) x x ee12x122 x,2 , f f(x()x) (x(x1)1(x)(x1)1e)e12x122 x.2 .
所以y x 1是曲线的斜渐近线.
例8
求曲线y
2x2 的渐近线 x2 1
解
lim
x
2x2 x2 1
2
y 2为水平渐近线
又
lim
x1
2x2 x2 1
lim
x1
2x2 x2 1
x 1为垂直渐近线无斜渐近线
例9
求曲线y
1 1
e x2 e x2
的渐近线.
解
1 ex2
lim
x
1
e
x2
1, y 1为水平渐近线.
例7 求曲线 y x2 的斜渐近线. 1 x
解 设斜渐近线为y ax b, (a 0), 则
a lim f (x) lim x2 1
x x
x x(1 x)
b lim[ f (x) ax] lim[ x2 ax]
x
x 1 x
x2
x
lim[ x] lim
1
x 1 x
x 1 x
3
x
e
lim ln(3 ) ln 3
x
x
y ln 3是曲线y ln(3 e )的水平渐近线. x
1
例5：求曲线y ex 的垂直渐近线 ln x
1
解
ex lim x0 ln x
“
”
lim
1 x2
1
ex
x0
1
x
1
又
ex lim
x1 ln x
x 0和x 1为该曲线的垂直渐近线
3、斜渐近线
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铃
例10 画出函数yx 3x 2x1的图形. 解 (1)函数的定义域为(, ). (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1), f (x)6x22(3x1). 令f (x)0得x1/3, 1 令f (x) 0得x1/3. (3)曲线性态分析表
x (,1/3) 1/3 (1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, )
1,
故
y 1 是水平渐近线。
例2 求曲线y arctan x的水平渐近线.
解 lim arctan x
x
2
lim arctan x
x
2
y ，y 都是曲线y arctan x的
2
2
水平渐近线.
求曲线y 1＋ 1 的水平渐近线. x
2、垂直渐近线
定义3 对于函数 f ( x )，若
§4.5 曲线的渐近线与函数作图
一、曲线的渐近线
定义1 当曲线上一点沿着该曲线离坐标原点无限 远移时，如果该点与某一直线的距离趋于 零，则该直线为曲线的渐近线
y1 x
x2 a2
y2 b2
1
渐近线的种类：
水平渐近线：y b
垂直渐近线：x a
斜渐近线：y ax b a 0 问题：怎样求曲线y f (x)的渐近线呢？
特殊点的函数值 f(0)1, f(1)0, f(3/2)5/8. 描点联线画出图形.
( 1 , 32) 3 27
yx3x2x1
(1 , 16) (3 , 5) 3 27 2 8
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例例21.1作函数 f (x)
1
e
1 2
x2
的图形.
2
解 (1)函数f(x)的定义域为(, ),
f(x)是偶函数, 图形关于y 轴对称.
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) 或 lim f ( x )
xa
xa
xa
则称直线 x a为曲线 y f ( x ) 的一条垂直渐近线。
例3 求 曲线 f ( x )
解
lim
x1
x2 x2
1
x2 的垂直渐近线。 x2 1
所以 x 1 是垂直渐近线。
lim
x1
x2 x2
x 0是函数的间断点且1 ex2源自limx01
e
x2
, x 0为垂直渐近线
f (x)
1 ex2
a lim x
x
lim
x
x(1 e x2
)
0
曲线无斜渐近线.
二、函数的作图 用描点法作函数图形需要计算许多点, 才能画出较
精确的函数图形. 当我们对函数曲
线的性态有了全面了 解之后, 只需少数几 个点就能画出较精确 的函数图形.
1
所以 x 1是垂直渐近线。
例2 求曲线y ln(3 e )垂直渐近线和水平渐近线.
x
解 函数y ln(3 e )的定义域为(, 0) (e , )
x
3
e
e
lim ln(3 ) , lim ln(3 )
x0
x
xe
x
3
x 0，x e 都是曲线y ln(3 e )的垂直渐近线.
1、水平渐近线 定义2 对于函数 f ( x )，若
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b
x
x
x
则称直线 y b为曲线 y f ( x ) 的一条水平渐近线。
例1.求 曲线
f(
x)
x2 的水平渐近线。 x2 1
解
lim
x
x2 x2 1
x x
x
x 可改为x ，x
为什么呢？
由lim[ f (x) (ax b)] 0 x
lim x[ f (x) a b ] 0 lim[ f (x) a b ] 0
x
x
x
x x
x
a lim f (x) x x
再由lim[ f (x) (ax b)] 0
x
b lim[ f (x) ax] x
f (x) ＋
0
－－－
0
＋
f (x) － － －
0
＋＋＋
f (x) ↗∩ 3极2/大27 ↘∩ 1拐6/点27 ↘∪ 极0小 ↗∪
(4)特殊点的函数值 f(0)1, f(1)0, f(3/2)5/8.
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例10 画出函数yx 3x 2x1的图形. 解 曲线性态分析表
x (,1/3) 1/3 (1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, ) f (x) ↗∩ 3极2/大27 ↘∩ 1拐6/点27 ↘∪ 极0小 ↗∪
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描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数, 求出一阶、二阶导数
为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标
轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形.